CAPITULO 3 MÉTODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES

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1 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES CAPITULO MÉTODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES. Resumen En este capítulo se encuenta solución analítica mediante el método de sepaación de vaiables a una ecuación que esulta de las ecuaciones difeenciales acopladas descitas en el capítulo como consecuencia de la elación de popocionalidad ente los amónicos fundamental y secundaio. Se encuentan los valoes de las amplitudes y de una cantidad física consevativa, en téos de la coodenada tansvesal nomalizada η, poniendo atención al signo de desplazamiento de fase β. Finalmente se descibe la fomación de solitones ópticos espaciales.. Objetivo Se desean enconta los valoes de cantidades físicas consevativas, las cuales po analogía con el oscilado amónico se les llamaá enegías potencial y cinética, así como las expesiones paa las funciones de distibución de las amplitudes ( η ) y ( ) η, las cuales se hayan elacionadas po ( η) = α( η). A pati de esta sustitución en las ecuaciones (.9) y (.4) descitas en el capítulo anteio, se obtiene: d b α dη + =. (.) d dη 4 4( β + b) + =. (.) α Igualando los valoes de los coeficientes: 4β + 8b = b b = β. (.)

2 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES α 4 = α =. (.4) α Sustituyendo estos valoes en la ecuación (.), obtenemos: d d 4 β η + + =. (.5) Es esta ecuación difeencial en téos de y con condiciones de peiodicidad: ( η) = ( η+ H), (.6) la que se pocede a soluciona, una vez encontado el valo del paámeto α. A fin de obtene soluciones de solitones, se debe tene el valo del peíodo espacial H.. Ecuaciones del potencial a pati de la esolución mediante el método de integales y enegías A fin de obtene una solución explícita de la amplitud, la cual se tata en la sección.4 de este capítulo, es impotante educi el oden de la ecuación (.5), lo cual pemite enconta otas magnitudes físicas de inteés de estudio. Antes de ota cosa, escibamos nuevamente la ecuación anteio de la siguiente manea: 4 && + β+ =. (.7) Donde abeviamos las deivadas: & d dη y && d& dη d dη. Multiplicando la ecuación po & se conviete en: 4 && & + β& + & =. (.8) Que puede se expesada en téos de la deivada de una ecuación como: d & β dη + + =. (.9)

3 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 4 Esto último implica que: & + β + = cte. (.) Esta última ecuación da cuenta de que existe una cantidad física consevativa. En analogía con el oscilado amónico, sive de conveniencia llama a éstas magnitudes como enegías; hecho que pemite un mejo análisis del compotamiento del fenómeno. Las siguientes condiciones son aplicables a la ecuación (.): ( η = ) =, & ( η = ) =. (.) max Llevando a una contibución que no involuca el téo de la deivada de la amplitud: βmax + max = cte. (.) Con estas consideaciones, se puede identifica la foma de la ecuación de la consevación de la enegía: E= K + V con: K = & y V = β +. (.) En donde la constante tiene el análogo con la enegía total E, K con la enegía cinética y V con la enegía potencial. En lo sucesivo, se haá efeencia a estas magnitudes físicas con los nombes de las enegías, sabiendo que de manea esticta estas cantidades no son una enegía cinética y una enegía potencial.

4 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 5.. Enegía Potencial según el desplazamiento de fase Pocede ahoa analiza cada una de las contibuciones de la enegía potencial. Las ecuaciones que desciben el potencial, según el signo del paámeto de desplazamiento de fase, son: V ( ) = β +, paa β >. (.4) V ( ) =, paa β =. (.5) V ( ) = β +, paa β <. (.6) Y posee los siguientes compotamientos sujetos a los valoes de β : 4 b=7 V( ) - b= b= Figua.: Potenciales según el signo de β La figua. muesta un potencial coespondiente a un polinomio de tece gado, cuyos mínimos coesponden a puntos de equilibio y cuyos valoes mayoes de enegía sólo pueden se aquellos coespondientes a los máximos locales del potencial. Las cuvas muestan una cieta asimetía, pudiendo pesenta soluciones peiódicas alededo de los puntos de mínimos locales, situación que pesentamos en el capítulo 4, así como soluciones de solitones paa los niveles del potencial coespondientes a los máximos locales.

5 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 6.. Análisis del potencial según paámeto de desplazamiento de fase A pati de la ecuación que descibe el potencial en téos de la amplitud del amónico fundamental (.), se pocede a aplica el método de máximos y mínimos con el citeio de la segunda deivada, obteniendo: Paa desplazamiento de fase positivo ( β > ): Mínimo en =, con: V ( = ) =. (.7) Máximo en = β, con: 4 V = β = β 8. (.8) Es de nota que los valoes de la enegía total que puede toma el sistema paa el potencial descito po (.4) van desde un valo mínimo E =, hasta un valo máximo: E max 4 β =. (.9) Ahoa, obtengamos el valo de la ota abscisa paa el cual el valo del potencial V tiene un valo igual al máximo. 4 V ( ) = β + = β. (.) 8 Ésta, es una ecuación de tece gado, de la cual extaemos las siguientes aíces: = β, max = β. (.) 6 Siendo la pimea de ellas, una doble aíz. Dichos valoes numéicos se señalan en la siguiente página( ve figua.).

6 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 7 El potencial, toma la siguiente foma: b= V( ) - mín máx Figua.: Potencial paa desplazamiento de fase positivo La cuva anteio muesta un potencial cuyo máximo local coesponde al nivel paa el cual se buscan soluciones de solitones, así como el punto más bajo que es el oigen, y que coesponde al mínimo local. En ausencia de desplazamiento de fase ( β = ), la función no pesenta un pozo de potencial, pues pesenta una pendiente hoizontal en el oigen. Este tipo de compotamiento, caente de máximos y mínimos tae como consecuencia la inexistencia de soluciones peiódicas. Paa un desplazamiento de fase negativo ( β < ), se tiene: Mínimo en = β, con: 4 V = β = β 8. (.) Máximo en =, con: V ( = ) =. (.) De manea análoga que el caso de desplazamiento de fase positivo, encontamos el oto punto paa el cual el potencial alcanza su máximo valo, el cual coesponde a la ota intesección de la cuva con el eje V, paa lo cual se debe obtene la odenada al oigen.

7 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 8 Los puntos son así: =, max = β. (.4) Este último valo de la amplitud es pecisamente max y la abscisa del oigen es como se apecia abajo en la figua.. La gáfica paa el potencial β < se muesta a continuación: b=- V( ) mín máx Figua.: Potencial paa desplazamiento de fase negativo. La anteio cuva también pesenta un máximo y un mínimo, siendo ahoa ceo el valo coespondiente al máximo local, en contaste con la contibución del potencial paa un desplazamiento de fase positivo. Se buscan soluciones de solitones también paa este valo del máximo local del potencial. En la tabla., la cual se muesta en la página siguiente, se puede obseva el intevalo ente las cuales vaía la amplitud dento del pozo según el signo que tome el desplazamiento de fase.

8 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 9 Tabla.: Potencial y amplitud paa valoes extemos de V ( ) según el signo de β. V ( ) Vmax ( ) V ( ) Vmax ( ) β > V ( ) = β + = β = max = β 6 β = = = = V ( ) = β < V ( ) = β + = = β max = β Resumen de los valoes más significativos encontados que elacionan a V con. Dicho ango va desde hasta max con sus máximos coespondientes, pasando po un punto en la cual coesponde un mínimo. En el caso β = se indica = y es de nota que no hay ni máximos ni mínimos, lo que implica que no existen soluciones peiódicas como se ha apuntado con anteioidad..4 Ecuaciones de las funciones de amplitud paa las enegías mediante el método de sepaación de vaiables Ahoa, se desea busca una solución de η ( ), paa valoes de enegía E en el intevalo: E E E, paa desplazamientos de fase positivos y negativos. max Pocedamos a despeja el valo de & de la ecuación de la enegía (.), con E como constante.

9 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 4 Tenemos así: 4 4 & = E β. (.5) Despejando y tomando integales en ambos lados de la ecuación, llegamos a: d η = dη. (.6) max E β Estas integales se esolveán paa dos casos paticulaes: Pimeo paa el caso de enegía máxima, que coesponde al nivel más alto de los potenciales; señalado con línea discontinua paa el caso de β > (ve Figua.) y segundo paa el valo de E =, valo máximo del potencial paa el caso de un desplazamiento de fase negativo y coespondiente a la línea hoizontal del eje ( V ( ) = ), mostado en Figua...4. Solución de la ecuación difeencial de la enegía paa enegía máxima Como esta integal se pocedeá a esolve paa el nivel máximo de enegía (ve Fig.), se toma en cuenta el valo máximo de la enegía E de la ecuación (.9). Así, podemos simplifica el polinomio dento de la aíz a fin de hace más sencilla la integal. Esta expesión de tece gado es posible factoizala como: β + β E = β +. (.7) Volviendo a la solución de la ecuación difeencial mediante sepaación de vaiables, la integal toma entonces la foma de: 5 4 d η =. (.8) ( + β ) ( + β ) β 6 6

10 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 4 De esta manea encontamos que la solución a la integal es (A): 5 4 d = Actan. (.9) β 6 ( + β ) ( + β 6) Igualando el esultado de esta integal, a la anteio integal en téos de η : β β η = i Actan. (.) β β De la cual se puede despeja en téos de η, con la ayuda de identidades funcionales (A6) y (A) se llega al esultado siguiente: β =. (.) ( η) β sech η β Con algunas elaciones funcionales como (A9), la ecuación anteio se conviete en una secante cuadada en luga de secante hipebólica cuadada, en el caso de difeencia de fase negativa y una equivalencia a ceo paa una β con valo nulo. La función pesenta la típica foma acampanada de una secante hipebólica cuadada paa la función de amplitud del pime amónico, la cual se haya coida en el eje como se mostaá más adelante en la Fig.4.

11 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES Compotamiento de la amplitud de la onda fundamental en los casos límite. Veamos ahoa los distintos valoes de la amplitud del amónico fundamental: Tabla.: Amplitudes según el signo de β, paa extemos de η y de. E ( η ) ( η ) ( η ± ) max η( = ) β > β = βsech η β max β 6 = = η =± ln ( + ) β β β = = = = = Resumen de los cálculos paa los casos límite de η y de. En el caso límite en que la coodenada tansvesal nomalizada η tiende a infinito con cualquiea de sus signos, se obtiene una solución significativa paa β positivo, lo que nos conduce a una asíntota hoizontal (mostadas en la Figua.4 con líneas discontinuas, paa cada valo de β ). El caso en que β =, esulta en un compotamiento tivial de poco inteés, ya que caeceía de cambios en la amplitud, implicando con esto un total ausencia de intensidad luosa. Po último se muestan las odenadas al oigen, lo que nos da las intesecciones con el eje η, que poseen la foma: ( ) η( = ) =± Actanh ln β =± + β, (.) y que las epesentamos como una dependencia de logaitmo natual, haciendo uso de una elación funcional.

12 I CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 4 Las gáficas de la funciones de la amplitud e intensidad del amónico fundamental son: b= b= b= η b=.5 b=.5 b= η Figua.4:Amplitud en función de la coodenada tansvesal Figua.5:Intensidad de luz en función de la coodenada tansvesal En la figua.4 se nota el compotamiento de secante hipebólica cuadada, mostando las asíntotas con líneas discontinuas paa distintos valoes del desplazamiento de fase. La gáfica de la intensidad luosa (Fig.5), al tene una popoción con el cuadado de la amplitud, muesta una cuva que posee picos de mayo intensidad en el cento, que disuyen y vuelven nuevamente a incementase hasta supea el pico de intensidad cental..4.. Compotamiento de la amplitud del segundo amónico paa los casos límite. La amplitud del segundo amónico sólo se difeencia en un múltiplo de como se ha venido mostando y las gáficas de ( η ) paa β > y β, debido a este mismo hecho, poseen un compotamiento simila, cuzándose exactamente en los mismos puntos del eje η..4. Solución de la ecuación difeencial de la enegía paa enegía E = Ahoa pocedamos obtene una expesión de ( ) η paa el caso en que la enegía tiene un valo nulo, el cual coesponde al valo máximo de enegía paa un desplazamiento de fase negativo como se puede apecia en la Fig..

13 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 44 Tomemos la ecuación (.) y hagamos nula la constante: & + β + =. (.) Despejando el valo de & = d dη: β & = i +. (.4) Sepaado vaiables e integando, con = i se tiene: d η = i dη. (.5) β + β La pimea integal posee como solución (A): d = i Actan β β + β. (.6) + β Igualando al esultado de la segunda integal cuyo valo es iη : β η = Actan +. (.7) β Haciendo uso de algunas elaciones funcionales (A5) y (A) y tomando en cuenta un desplazamiento de fase negativo, se despeja : β =. (.8) ( η) β sech η Esta es una solución de tipo solitón de manea semejante a la anteio. La función de amplitud pesenta ota vez una foma acampanada, típica de secante hipebólica cuadada, como se muesta en la figua.6 de la siguiente página. En este caso, la función no se encuenta coida en el eje.

14 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES b= b= b= η Figua.6:Amplitud en función de la coodenada tansvesal I b=-.5 b=- b= η Figua.7:Intensidad de luz en función de la coodenada tansvesal En la figua.6 se obsevan amplitudes positivas paa cualquie desigualdad de fase negativa, notándose las funciones de tipo secante hipebólica, mientas que la figua.7, muesta los picos de intensidad lumínicos paa distintas desigualdades de fase, los cuales son más intensos en el cento y disuyen a medida que la coodenada tansvesal nomalizada se aleja del oigen..4.. Casos límite de la función de la amplitud del amónico pincipal Como en el caso de enegía máxima, se obtiene una tabla paa los casos extemos: Tabla.: Amplitudes según el signo de β, paa extemos de η y de. E = ( η ) ( η = ) ( η ± ) η( = ) β = = = = = β < β β sech η = max = β = η =± Resumen de los cálculos paa los casos límite de η y de.

15 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 46 De foma paecida al caso de enegía máxima, cuando η = se obtienen el valo máximo de, peo esta vez paa un desplazamiento de fase negativo. En el caso límite en que la coodenada tansvesal nomalizada η tiende a infinito con cualquiea de sus signos, se obtiene una solución significativa paa un desplazamiento de fase negativo, lo que nos conduce a la asíntota hoizontal que es el eje η ( = ). Con β = es un caso tivial fuea de inteés, debido a que no había cambios en la amplitud, tayendo como consecuencia una total ausencia de intensidad lumínica. Sintetizamos los datos en la tabla Compotamiento de la amplitud del segundo amónico paa los casos límite Debido a que a amplitud del segundo amónico sólo cambia en una elación popocional las gáficas de ( ) η paa cualquie valo de difeencia de fase, poseen un compotamiento simila, cotan el eje η en los mismos puntos..5 Conclusiones Se pudo enconta una solución analítica paa la ecuación difeencial (.5), la cual involuca las ecuaciones de los dos amónicos, dando po esultado más geneal paa la función de la amplitud, una secante hipebólica cuadada con la coodenada tansvesal nomalizada η como vaiable independiente. Se halla una cantidad consevativa que se compone de una cantidad física que se eligió llamala potencial y que posee la foma de un polinomio de tece gado. Se esumen los valoes paa los puntos de inflexión de cada una de las contibuciones de los potenciales en la tabla.. De las tablas que son un esumen de los esultados de las funciones de las amplitudes de los amónicos en téos de la coodenada tansvesal nomalizada (tablas.. y.), se concluye que se tienen soluciones de tipo solitón paa valoes positivos de

16 CAPÍTULO : METODO DE RESOLUCIÓN MEDIANTE INTEGRALES 47 desplazamiento de fase en el caso de enegía máxima y paa valoes negativos de desplazamiento de fase paa el caso de enegía ceo, pues se encuentan soluciones localizadas y acotadas, tales que la función de amplitud tiende a una constante ( ( η) cte ) cuando la coodenada tansvesal nomalizada tiende a sus valoes infinitos (η ± ) [], teniéndose el valo mínimo de amplitud cuando η ± y el máximo de amplitud cuando η paa los dos casos: E = y E =, los cuales max 4β 8 coesponden a los valoes máximos del potencial paa β > y β < espectivamente. Se encuenta una solución tivial paa el caso de ausencia de desplazamiento de fase ( β = ), la cual no coesponde a una de tipo solitón pesentando valoes nulos de la amplitud que conducen a la ausencia de intensidad luosa. Estas conclusiones debido a la popocionalidad de los amónicos son válidas tanto paa las funciones de las amplitudes del amónico fundamental como paa la del segundo amónico. Se concluye que existen solitones de tipo billantes paa el caso de desplazamiento de fase negativa ( E = ), debido a que poseen mayo intensidad luosa en el cento y ésta, disuye confome se aleja del cento (ve figua.7). En el caso de desplazamiento de fase positiva ( E = 4β 8), se nota la pesencia de solitones oscuos, los cuales muestan mayo intensidad luosa en los extemos que en el cento. Sin embago, pesentan en el cento un pico que posee mayo intensidad que las egiones centales de la coodenada tansvesal nomalizada (ve figua.5). En las conclusiones se mostaá el caso de amplitudes pequeñas, las cuales dan soluciones de ondas peiódicas en un ango E < E < E alededo de los puntos de mínimo local del potencial (ve figuas. y max.).