2.5 Vectores cartesianos

Transcripción

1 .5 VECTORES CRTESINOS 43.5 Vectoes catesianos Las opeaciones del álgeba vectoial, cuando se aplican a la esolución de poblemas en tes dimensiones, se simplifican consideablemente si pimeo se epesentan los vectoes en foma vectoial catesiana. En esta sección pesentaemos un método geneal paa hace esto; luego, en la sección siguiente aplicaemos este método paa enconta la fuea esultante de un sistema de fueas concuentes. Sistema coodenado deecho. Usaemos un sistema coodenado deecho paa desaolla la teoía del álgeba vectoial que se pesenta a continuación. Se dice que un sistema coodenado ectangula es deecho si el pulga de la mano deecha señala en la diección del eje positivo, cuando los dedos de la mano deecha se cuvan alededo de este eje están diigidos del eje positivo hacia el eje positivo, figua -1. Componentes ectangulaes de un vecto. Un vecto puede tene una, dos o tes componentes ectangulaes a lo lago de los ejes coodenados,,, dependiendo de cómo esté oientado con especto a los ejes. En geneal, cuando está diigido dento de un octante del maco,,, figua -, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la le del paalelogamo, podemos dividi el vecto en componentes como luego. l combina estas ecuaciones, paa elimina, se epesenta mediante la suma vectoial de sus tes componentes ectangulaes. (-) Fig. -1 Vectoes unitaios catesianos. En tes dimensiones, el conjunto de vectoes unitaios catesianos i, j, k, se usa paa designa las diecciones de los ejes,,, espectivamente. Como se indicó en la sección.4, el sentido (o cabea de la flecha) de estos vectoes se epesentaá analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si están diigidos a lo lago de los ejes, o positivos o negativos. En la figua -3 se muestan los vectoes unitaios catesianos positivos. Fig. - k i j Fig. -3

2 44 CPÍTULO VECTORES FUERZ k Repesentación de un vecto catesiano. Como las tes componentes de en la ecuación - actúan en las diecciones positivas i, j k, figua -4, podemos escibi en foma de vecto catesiano como i j k (-3) i i k j j Ha una claa ventaja al escibi los vectoes de esta manea. l sepaa la magnitud la diección de cada vecto componente se simplificaán las opeaciones de álgeba vectoial, paticulamente en tes dimensiones. Fig. -4 k Magnitud de un vecto catesiano. Siempe es posible obtene la magnitud de si está epesado en foma de vecto catesiano. Como se muesta en la figua -5, a pati del tiángulo ectángulo aul, del tiángulo ectángulo sombeado,. l combina estas ecuaciones paa elimina se obtiene (-4) i j Po consiguiente, la magnitud de es igual a la aí cuadada positiva de la suma de los cuadados de sus componentes. Fig. -5 Diección de un vecto catesiano. La diección de se definiá mediante los ángulos diectoes coodenados a (alfa), b (beta) g (gamma), medidos ente la cola de los ejes,, positivos, dado que se localian en la cola de, figua -6. Obseve que independientemente de hacia dónde esté diigido, cada uno de esos ángulos estaá ente Paa detemina a, b g, considee la poección de sobe los ejes,,, figua -7. Con efeencia a los tiángulos ectángulos aules mostados en cada figua, tenemos cos cos cos (-5) Estos númeos se conocen como cosenos diectoes de. Una ve obtenidos, los ángulos diectoes coodenados a, b g, pueden deteminase a pati de los cosenos invesos.

3 .5 VECTORES CRTESINOS 45 k u g a b j 90 a i Fig. -6 Una manea fácil de obtene estos cosenos diectoes es foma un vecto unitaio u en la diección de, figua -6. Si está epesado en foma de vecto catesiano, i j k, entonces u tendá una magnitud de uno seá adimensional dado que está dividido ente su magnitud, es deci, u i j k (-6) b 90 donde. Po compaación con la ecuación -7, se obseva que las componentes i, j, k de u epesentan los cosenos diectoes de, esto es, u cos i cos j cos k (-7) Como la magnitud de un vecto es igual a la aí cuadada positiva de la suma de los cuadados de las magnitudes de sus componentes, u tiene una magnitud de uno, a pati de la ecuación anteio puede fomulase una impotante elación ente los cosenos diectoes como 90 cos cos cos 1 (-8) quí puede obsevase que si sólo se conocen dos de los ángulos coodenados, el tece ángulo puede encontase con esta ecuación. Finalmente, si se conocen la magnitud los ángulos diectoes coodenados, puede epesase en foma de vecto catesiano como g u cos i cos j cos k (-9) i j k Fig -7

4 46 CPÍTULO VECTORES FUERZ lgunas veces, la diección de puede especificase mediante dos ángulos, u f (fi), como se muesta en la figua -8. Entonces, las componentes de pueden deteminase al aplica pimeo tigonometía al tiángulo ectángulo aul, de donde se obtiene f cos f O u Fig. -8 sen f hoa, al aplica tigonometía al oto tiángulo ectángulo sombeado, cos u sen f cos u sen u sen f sen u Po lo tanto, escito en foma de vecto catesiano se conviete en sen f cos u i sen f sen u j cos f k No debe memoia esta ecuación; en ve de ello, es impotante que entienda la foma en que las componentes se deteminaon mediante tigonometía..6 Suma de vectoes catesianos La suma (o esta) de dos o más vectoes se simplifican consideablemen - te si los vectoes se epesan en téminos de sus componentes catesianas. Po ejemplo, si i j k i j k, figua -9, entonces el vecto esultante, R, tiene componentes que epesentan las sumas escalaes de las componentes i, j, k de, es deci, ( )k R ( )i ( )j ( )k R Si esto se genealia se aplica a un sistema de vaias fueas concuentes, entonces la fuea esultante es la suma vectoial de todas las fueas pesentes en el sistema puede escibise como ( )j F F i j k (-10) ( )i Fig. -9 quí, F, F F epesentan las sumas algebaicas de las espectivas componentes,, o bien i, j, k de cada fuea pesente en el sistema.

5 .6 SUM DE VECTORES CRTESINOS 47 Puntos impotantes El análisis vectoial catesiano se usa a menudo paa esolve poblemas en tes dimensiones. Las diecciones positivas de los ejes,, se definen mediante los vectoes unitaios catesianos i, j, k, espectivamente. La magnitud de un vecto catesiano es. La diección de un vecto catesiano se especifica usando ángulos diectoes coodenados a, b, g que la cola del vecto foma con los ejes positivos,,, espectivamente. Las componentes del vecto unitaio u > epesentan los cosenos diectoes de a, b, g. Sólo dos de los ángulos a, b, g tienen que se especificados. El tece ángulo se detemina a pati de la elación cos a cos b cos g 1. En ocasiones la diección de un vecto se define usando los dos ángulos u f como en la figua -8. En este caso las componentes vectoiales se obtienen mediante descomposición vectoial po medio de tigonometía. Paa enconta la esultante de un sistema de fueas concuentes, epese cada fuea como un vecto catesiano sume las componentes i, j, k de todas las fueas del sistema. La fuea esultante que actúa sobe el amae del baco puede deteminase epesentando pimeo cada fuea en la cueda como un vecto catesiano paa después suma las componentes i, j k. EJEMPLO.8 Epese la fuea F mostada en la figua -30 como un vecto catesiano. Como sólo se dan dos ángulos diectoes coodenados, el tece ángulo puede se deteminado con la ecuación -8; es deci, cos cos cos 1 cos cos 60 cos 45 1 cos 1 (0.5) (0.707) 0.5 a F 00 N Po consiguiente, eisten dos posibilidades, a sabe, cos 1 (0.5) 60 o bien cos 1 ( 0.5) 10 Po inspección, es necesaio que 60, puesto que F debe esta en la diección. Mediante la ecuación -9, con F 00 N, tenemos F cos i cos j cos k (00 cos 60 N)i (00 cos 60 N)j (00 cos 45 N)k 100.0i 100.0j 141.4k N Se muesta que efectivamente la magnitud de F 00 N. Fig. -30

6 48 CPÍTULO VECTORES FUERZ EJEMPLO.9 Detemine la magnitud los ángulos diectoes coodenados de la fuea esultante que actúa sobe el anillo en la figua -31a. F R {50i 40j 180k} lb g 19.6 F {50i 100j 100k} lb F 1 {60j 80k} lb F F 1 a 74.8 b 10 Fig. -31 Como cada fuea está epesentada en foma de vecto catesiano, la fuea esultante, que se muesta en la figua -31b, es F F F 1 F 60j 80k lb 50i 100j 100k lb La magnitud de F R es 50i 40j 180k lb (50 lb) ( 40 lb) (180 lb) lb 191 lb Los ángulos diectoes coodenados,, se deteminan a pati de las componentes del vecto unitaio que actúa en la diección de F R. u F i j k 0.617i 0.094j 0.94k de manea que cos cos cos Estos ángulos se muestan en la figua -31b. NOT: en paticula, obseve que 90 puesto que la componente j de u FR es negativa. Esto paece aonable consideando la suma de F 1 F de acuedo con la le del paalelogamo.

7 .6 SUM DE VECTORES CRTESINOS 49 EJEMPLO.10 Epese la fuea F que se muesta en la figua -3a como un vecto catesiano. Los ángulos de que definen la diección de F no son ángulos diectoes coodenados. Se equieen dos aplicaciones sucesivas de la le del paalelogamo paa esolve F en sus componentes,,. Pimeo F F F, luego F F F, figua -3b. Po tigonometía, las magnitudes de las componentes son F 100 lb sen 60 lb 86.6 lb 100 cos 60 lb 50 lb F cos cos 45 lb 35.4 lb F sen sen 45 lb 35.4 lb F 100 lb F Dado que F, tiene una diección definida po j, tenemos F {35.4i 35.4j 86.6k} lb Paa mosta que la magnitud de este vecto es efectivamente de 100 lb, se aplica la ecuación -4, F F F (35.4) ( 35.4) (86.6) 100 lb Si es necesaio, los ángulos diectoes coodenados de F pueden deteminase a pati de las componentes del vecto unitaio que actúa en la diección de F. Po tanto, F 100 lb u F i j k i j k 0.354i 0.354j 0.866k (c) de manea que Fig. -3 cos 1 (0.354) 69.3 cos 1 ( 0.354) 111 cos 1 (0.866) 30.0 Estos esultados se muestan en la figua -3c.

8 50 CPÍTULO VECTORES FUERZ EJEMPLO F N F Dos fueas actúan sobe el gancho que se muesta en la figua -3a. Especifique la magnitud de F sus ángulos diectoes coodenados, de modo que la fuea esultante F R actúe a lo lago del eje positivo tenga una magnitud de 800 N. Paa esolve este poblema, la fuea esultante F R sus dos componentes, F 1 F, se epesaán cada una en foma de vecto catesiano. Entonces, como se muesta en la figua -33a, es necesaio que F R F 1 F. l aplica la ecuación -9, F 1 1 cos 1 i 1 cos 1 j 1 cos 1 k 300 cos 45 i 300 cos 60 j 300 cos 10 k 1.1i 150j 150k N F i j k Como F R tiene una magnitud de 800 N actúa en la diección j, F R (800 N)( j) {800j} N g 77.6 F 700 N Requeimos que b 1.8 a 108 F N Fig. -33 F R 800 N F F 1 F 800j 1.1i 150j 150k i j k 800j (1.1 )i (150 )j ( 150 )k Paa satisface esta ecuación, las componentes i, j, k de F R deben se iguales a las componentes i, j, k coespondientes de (F 1 F ). Po consiguiente, Entonces, la magnitud de F es 1.1 N 650 N 150 N ( 1.1 N) (650 N) (150 N) 700 N Podemos usa la ecuación -9 paa detemina,,. cos ; 108 cos ; cos ; Estos esultados se muestan en la figua -33b.

9 56 CPÍTULO VECTORES FUERZ.7 Vectoes de posición 4 m 1 m O m 4 m m 6 m Fig. -34 En esta sección pesentaemos el concepto de vecto de posición. Se mostaá que este vecto es impotante al fomula un vecto de fuea catesiano diigido ente dos puntos cualesquiea en el espacio. Coodenadas,,. lo lago de este libo usaemos un sistema coodenado deecho paa hace efeencia a la localiación de puntos en el espacio. También usaemos la convención seguida en muchos libos técnicos, la cual eige que el eje positivo esté diigido hacia aiba (diección cenital) de foma que mida la altua de un objeto o la altitud de un punto. Po tanto, los ejes, se encuentan en el plano hoiontal, figua -34. Los puntos en el espacio se localian con elación al oigen de coodenadas, O, po mediciones sucesivas a lo lago de los ejes,,. Po ejemplo, las coodenadas del punto se obtienen comenando en O midiendo 4 m a lo lago del eje, luego m a lo lago del eje, finalmente 6 m a lo lago del eje. sí, (4 m, m, 6 m). De la misma manea, mediciones a lo lago de los ejes,, desde O hasta genean las coodenadas de, es deci, (6 m, 1 m, 4 m). Vecto de posición. Un vecto de posición se define como un vecto fijo que ubica un punto en el espacio en elación con oto punto. Po ejemplo, si se etiende desde el oigen de coodenadas, O, hasta el punto P(,, ), figua -35a, entonces se puede epesa en foma de vecto catesiano como i j k Obseve cómo la suma vectoial de cabea a cola de las tes componentes genea el vecto, figua -35b. pati del oigen O, se ecoe en la diección i, luego en la diección j finalmente en la diección k paa llega al punto P(,, ). i k O P(,, ) j i O P(,, ) k j Fig. -35

10 .7 VECTORES DE POSICIÓN 57 En el caso más geneal, el vecto de posición puede esta diigido desde el punto hasta el punto en el espacio, figua -36a. Este vecto también está designado po el símbolo. manea de convención, algunas veces nos efeiemos a este vecto con dos subíndices paa indica desde dónde hasta qué punto está diigido. sí, también puede designase como. demás obseve que, en la figua -36a están efeenciados con sólo un subíndice puesto que se etienden desde el oigen de coodenadas. pati de la figua -36a, po la suma vectoial de cabea a cola con la egla del tiángulo, se equiee que (,, ) (,, ) l despeja epesa en foma vectoial catesiana se obtiene ( i j k) ( i j k) o bien ( )i ( )j ( )k (-11) sí, las componentes i, j, k del vecto de posición pueden fomase al toma las coodenadas de la cola del vecto (,, ) paa después estalas de las coodenadas coespondientes de la cabea. (,, ). También podemos foma estas componentes diectamente, figua -36b, al comena en ecoe una distancia de ( ) a lo lago del eje positivo ( i), después ( ) a lo lago del eje positivo ( j) finalmente ( ) a lo lago del eje positivo ( k) paa obtene. ( )k ( )i ( )j u Fig. -36 Si se establece un sistema de coodenadas,,, entonces se pueden detemina las coodenadas de los puntos. pati de esta posición se puede fomula el vecto que actúa a lo lago del cable. Su magnitud epesenta la longitud del cable, su vecto unitaio, u >, popociona la diección definida po,,.

11 58 CPÍTULO VECTORES FUERZ EJEMPLO.1 Una banda elástica de caucho está unida a los puntos como se muesta en la figua -37a. Detemine su longitud su diección medida de hacia. 3 m m 3 m m Pimeo establecemos un vecto de posición desde hasta, figua -37b. De acuedo con la ecuación -11, las coodenadas de la cola (1 m, 0, 3 m) se estan de las coodenadas de la cabea ( m, m, 3 m), de donde se obtiene 1 m [ m 1 m]i [ m 0]j [3 m ( 3 m)]k 3i j 6k m {6 k} { j} m { 3 i} m Estas componentes de también se pueden detemina diectamente si se obseva que epesentan la diección la distancia que debe ecoese a lo lago de cada eje a fin de llega desde hasta, es deci, a lo lago del eje {3i} m, a lo lago del eje {j} m finalmente a lo lago del eje {6k} m. Po lo tanto, la longitud de la banda de caucho es ( 3 m) ( m) (6 m) 7 m l fomula un vecto unitaio en la diección de, obtenemos u 3 7 i 7 j 6 7 k g 31.0 a m b 73.4 (c) Las componentes de este vecto unitaio dan los ángulos diectoes coodenados cos Fig. -37 cos cos NOT: estos ángulos se miden desde los ejes positivos de un sistema de coodenadas localiado en la cola de, como se muesta en la figua -37c.

12 .8 VECTOR FUERZ DIRIGIDO LO LRGO DE UN LÍNE 59.8 Vecto fuea diigido a lo lago de una línea F Con mucha fecuencia, en poblemas tidimensionales de estática, la diección de una fuea se especifica po dos puntos a tavés de los cuales pasa su línea de acción. Tal situación se muesta en la figua -38, donde la fuea F está diigida a lo lago de la cueda. Podemos fomula F como un vecto catesiano al obseva que esta fuea tiene la misma diección sentido que el vecto de posición diigido desde el punto hasta el punto sobe la cueda. Esta diección común se especifica mediante el vecto unitaio u >. Po lo tanto, u F u ( )i ( )j ( )k ( ) ( ) ( ) Fig. -38 unque hemos epesentado F simbólicamente en la figua -38, obseve que tiene unidades de fuea, a difeencia de, que tiene unidades de longitud. u F La fuea F que actúa a lo lago de la cadena puede se epesentada como un vecto catesiano si se establecen pimeo los ejes,, se foma un vecto de posición a lo lago de la longitud de la cadena. Después se puede detemina el vecto unitaio coespondiente u > que define la diección tanto de la cadena como de la fuea. Finalmente, la magnitud de la fuea se combina con su diección. F Fu. Puntos impotantes Un vecto de posición localia un punto en el espacio con especto a oto punto. La manea más fácil de fomula las componentes de un vecto de posición consiste en detemina la distancia la diección que debe ecoese a lo lago de las diecciones,,, desde la cola hasta la cabea del vecto. Una fuea F que actúa en la diección de un vecto de posición puede se epesentada en foma catesiana si se detemina el vecto unitaio u del vecto de posición éste se multiplica po la magnitud de la fuea, es deci, F Fu F(>).

13 60 CPÍTULO VECTORES FUERZ EJEMPLO.13 El hombe que se muesta en la figua -39a jala la cueda con una fuea de 70 lb. Repesenta esta fuea al actua sobe el sopote como un vecto catesiano detemine su diección. 8 pies 6 pies 1 pies 30 pies En la figua -39b se muesta la fuea F. La diección de este vecto, u, está deteminada a pati del vecto de posición, el cual se etiende desde hasta. En ve de usa estas coodenadas de los etemos de la cueda, también puede obtenese diectamente al obseva en la figua -39a que se debe ecoe desde { 4k} pies, luego { 8j} pies finalmente {1i} pies paa llega a. sí, {1i 8j 4k} pies La magnitud de, que epesenta la longitud de la cueda, es (1 pies) ( 8 pies) ( 4 pies) 8 pies Paa foma el vecto unitaio que define la diección el sentido de F tenemos g b F 70 lb u 1 8 i 8 4 j 8 8 k a u Como F tiene una magnitud de 70 lb una diección especificada po u, entonces F u 70 lb 1 8 i 8 4 j 8 8 k 30i 0j 60k lb Fig. -39 Los ángulos diectoes coodenados están medidos ente (o F) los ejes positivos de un sistema coodenado con oigen en, figua -39b. pati de las componentes del vecto unitaio: cos cos cos NOT: estos esultados tienen sentido si se les compaa con los ángulos identificados en la figua -39b.

14 .8 VECTOR FUERZ DIRIGIDO LO LRGO DE UN LÍNE 61 EJEMPLO.14 La fuea que se muesta en la figua -40a actúa sobe el gancho. Epésela como un vecto catesiano. m F 750 N 5 m ( 3 )(5 m) 5 ( m, 0, m) F u ( m, m, 3 m) m 30 ( 4 )(5 m) 5 Fig. -40 Como se muesta en la figua -40b, las coodenadas paa los puntos son ( m, 0, m) sen 30 m, cos 30 m, 3 5 m 5 o bien ( m, m, 3 m) Po lo tanto, paa i desde hasta, deben ecoese {4i} m, después {3.464j} m finalmente {1k} m. sí, u 4i 3.464j 1k m ( 4 m) (3.464 m) (1 m) 0.748i j k La fuea F epesada como un vecto catesiano se conviete en F F u (750 N)( i j k) 557i 48j 139k N

15 6 CPÍTULO VECTORES FUERZ EJEMPLO.15 El techo está sostenido po cables como se muesta en la fotogafía. Si los cables ejecen fueas F 100 N F C 10 N sobe el gancho de paed en como se muesta en la figua -41a, detemine la fuea esultante que actúa en. Epese el esultado como un vecto catesiano. En la figua -41b se muesta gáficamente la fuea esultante F R. Podemos epesa esta fuea como un vecto catesiano si fomulamos F F C como vectoes catesianos sumamos luego sus componentes. Las diecciones de F F C se especifican al foma vectoes unitaios u u C a lo lago de los cables. Esos vectoes unitaios se obtienen a pati de los vectoes de posición asociados C. Con efeencia a la figua -41a, paa i desde hasta debemos ecoe { 4k} m, después { 4i} m. Po consiguiente, F 100 N F C 10 N 4i 4k m 4 m (4 m) ( 4 m) 5.66 m 4 m F F (100 N) i k C F 70.7i 70.7k N m Paa i desde hasta C, debemos ecoe { 4k} m, luego {j} m finalmente {4j}. Po lo tanto, 4i j 4k m (4 m) ( m) ( 4 m) 6 m F F C F F (10 N) 4 6 i 6 j 4 6 k F R C 80i 40j 80k N Po lo tanto, la fuea esultante es C F F F 70.7i 70.7k N 80i 40j 80k N 151i 40j 151k N Fig. -41