MOVIMIENTOS EN EL PLANO 1- VECTORES

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1 1 MOVIMIENTOS EN EL PLANO 1- VECTORES Las medidas de magnitudes ectoiales son los ectoes. Un ecto se epesenta gáficamente po una flecha que a desde el punto llamado oigen al etemo. La longitud del ecto es su módulo. La ecta a la que petenece nos da su diección la punta de flecha indica el sentido. Un ecto se simboliza po una leta con una flecha encima. Su módulo puede indicase con la misma leta sin flecha,, o mediante. Suma de ectoes La suma de dos ectoes es oto ecto. Se detemina situando el oigen de uno de ellos sobe el etemo del oto; el ecto suma tiene el oigen en el oigen del pimeo su etemo en el etemo del segundo. Consecuencia de ello es la egla del paalelogamo: colocando los ectoes a suma con el mismo oigen, la diagonal del paalelogamo que definen que pasa po el oigen es el ecto suma. La suma de ectoes tiene las popiedades conmutatia asociatia: a) Conmutatia: a + b = b + a b) Asociatia: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Poducto de un escala po un ecto El poducto de un escala k po un ecto es oto ecto de módulo k, la misma diección que, igual sentido que si k es positio contaio si es negatio. El ecto -, opuesto de, es (-1), de igual módulo diección que sentido contaio. Difeencia de ectoes La difeencia ente dos ectoes 1 2 el opuesto de 2. 1 = 2 + ( ) 1 2 es la suma de 1

2 2 De foma gáfica, se puede calcula utilizando la egla del paalelogamo: el ecto difeencia es el que a del etemo del segundo al etemo del pimeo. Vectoes unitaios Tienen po módulo 1. Son mu impotantes los ectoes unitaios en las diecciones de los ejes X e Y, denominados i j, espectiamente Componentes de un ecto Sea un ecto de módulo que foma un ángulo con el eje X, colocado de modo que su oigen coincide con el oigen de coodenadas las coodenadas de su etemo son (,). Puedes obsea que dicho ecto puede obtenese como suma de dos ectoes pependiculaes colocados a lo lago de los ejes de coodenadas ( e ). = + Como: = i = j Resulta: = + = i + j e se denominan componentes del ecto. En la figua puedes obsea que: cos α = senα = tgα = 2- VECTOR DE POSICIÓN Y VECTOR DESPLAZAMIENTO Vimos que en el moimiento ectilíneo la posición de un móil se detemina tomando un punto oigen sobe la taectoia. Entonces la posición se indica mediante la distancia al oigen, una magnitud escala que es positia o negatia según el móil se halle en la zona consideada positia o negatia. Cómo se puede detemina la posición en un plano pescindiendo de la taectoia? Un modo sencillo es utiliza ectoes, segmentos oientados con un oigen un etemo, que se caacteizan po su módulo (longitud), diección sentido. Paa ello en un plano tomamos un sistema de coodenadas catesianas señalamos la posición del móil mediante un ecto con oigen en el oigen de coodenadas

3 3 etemo en el punto móil (figua). Éste se denomina ecto de posición. Cuando las coodenadas del punto son (,), el ecto de posición se epesa como: = + = i + j donde i j son los ectoes unitaios en las diecciones de los ejes. Cuando el punto se muee, el ecto de posición cambia. A cada alo del tiempo coesponde una posición distinta del punto un ecto de posición que aía con el tiempo, de modo que las coodenadas e son funciones del tiempo t. El cambio de posición se epesa mediante la aiación del ecto de posición. Si el punto ha pasado de P 1 a P 2 = 2 1 Este ecto P 1 P 2, con oigen en el punto de patida etemo en el de llegada, se llama ecto desplazamiento (figua). Obsea que el ecto desplazamiento no ha de coincidi con la taectoia ecoida. Sólo en un moimiento ectilíneo el ecto desplazamiento tiene la diección de la taectoia. 3- VECTOR VELOCIDAD El ecto elocidad media es el cociente ente el ecto desplazamiento el intealo de tiempo tanscuido: m = t El ecto elocidad media en un tiempo infinitamente pequeño es el ecto elocidad instantánea, deiada del ecto de posición especto al tiempo: d = dt Como los ectoes i j son constantes, al deia el ecto de posición: = i + j obtenemos: d d d = = i + j = i + j dt dt dt

4 4 Las componentes del ecto elocidad son las deiadas de las coodenadas del punto con especto al tiempo, esto es: d dt = d = dt El ecto elocidad en cada punto tiene la diección de la tangente a la taectoia en ese punto, como puede obsease en la figua. Hace que t tienda a 0 supone que el punto P 2 se aceque al P 1 indefinidamente. Entonces la diección de la secante a la cua P 1 P 2, tiende a confundise con la de la tangente: 4- VECTOR ACELERACIÓN 4.1- Aceleación media e instantánea Duante el moimiento la elocidad puede aia en diección, sentido módulo, puesto que se tata de una magnitud ectoial. Relacionando la aiación del ecto elocidad con el tiempo, se tendá el ecto aceleación. Vecto aceleación media es el cociente ente el incemento del ecto elocidad el tiempo. Si es 1 la elocidad del móil paa t 1 2 la elocidad paa t a = = m t2 t1 t Obsea que no es la difeencia ente los módulos de la elocidad en esos instantes, sino la difeencia ente los ectoes elocidad. El ecto aceleación instantánea es la aceleación media calculada en un tiempo infinitamente pequeño, esto es la deiada del ecto elocidad especto al tiempo. d d d dt dt dt a = = i + j = a i + a j 4.2- Componentes intínsecos de la aceleación

5 5 Cuál es la diección del ecto aceleación? La elocidad es tangente a la taectoia en cada punto, peo la aceleación pesenta una situación algo más compleja. Un cuepo que se desplaza en línea ecta no tiene aceleación si el módulo de su elocidad es constante, a que el ecto elocidad pemanece constante = 0. Si el cuepo que se desplaza en línea ecta aía el módulo de su elocidad, la aiación de elocidad tiene la diección de la taectoia,, po tanto, la aceleación, también. Estos dos pimeos casos son sencillos poco sopendentes. Si un cuepo tiene taectoia cua el módulo de su elocidad es constante (p. ej. un moimiento cicula unifome) puede paece a pimea ista que no ha aceleación, pues no aía el alo de la elocidad. Sin embago, ésta es un ecto que en este caso cambia continuamente de diección. Po ello no es ceo eiste aceleación. Esta aceleación, denominada nomal o centípeta, es pependicula a la taectoia, po tanto, al ecto elocidad; po ejemplo, en un moimiento cicula a diigida hacia el cento de la cicunfeencia. Su módulo es: 2 an = R donde es la elocidad R es adio de la cicunfeencia (o el denominado adio de cuatua si es ota cua). Po tanto, en cualquie moimiento cuilíneo ha aceleación. La eistencia de la aceleación nomal es esponsable de que nos aamos hacia afuea en una cua cuando iajamos en un coche o de que al centifuga una laadoa, la opa se aa hacia la pate eteio del tambo Si un cuepo ecoe una taectoia cua aiando el módulo de su elocidad, como sucede en un moimiento cicula unifomemente aceleado, eiste: una aceleación que hace aia el módulo de la elocidad, tangente a la taectoia (igual que en el moimiento ectilíneo); se denomina aceleación tangencial; en el moimiento cicula se denomina aceleación lineal se elaciona con la aceleación angula mediante la epesión: a t = α R siendo la aceleación angula R el adio de la cicunfeencia una aceleación que pooca el cambio de diección, la módulo 2 /R diección pependicula a la taectoia. aceleación nomal, de En este caso, la aceleación total es la suma ectoial de las aceleaciones tangencial nomal. Como éstas son pependiculaes, el módulo de la aceleación total puede calculase aplicando el teoema de Pitágoas: a = a + a 2 2 total t n

6 6 Estos dos ectoes aceleación tangencial nomal se denominan componentes intínsecas de la aceleación, que en esumen tienen las siguientes caacteísticas: a) aceleación tangencial, que modifica el módulo de la elocidad su diección es tangente a la taectoia en cada punto; es la aceleación lineal del moimiento cicula o la aceleación del moimiento ectilíneo; b) aceleación nomal o centípeta, de módulo 2 /R diección pependicula a la taectoia, que modifica la diección de la elocidad; se diige hacia el cento de la cicunfeencia en los moimientos ciculaes. 5- COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS Veemos a continuación algunos moimientos en el plano que pueden considease compuestos po dos moimientos a lo lago de los ejes de coodenadas. Vimos anteiomente que la ecuación de moimiento en dos dimensiones se epesa como: = i + j Deiando se obtiene: d d d = = i + j = i + j dt dt dt Y oliendo a deia: d d d a = = i + j = a i + a j dt dt dt A pati de las epesiones anteioes puedes obsea que las componentes de la posición, elocidad aceleación en ambos ejes an po sepaado no se mezclan, esto es, conocida, se detemina a independientemente de, iceesa. Supongamos un móil con un moimiento en el plano con ecto de posición: 2 = (5 + 6t)i + (4 + 10t 6t )j Sus coodenadas en cada momento son: X= 5+6t =4+10t-6t 2 A pati de éstas podemos detemina,, a a : = 5+6t =6 m/s a =0 =4+10t-6t 2 =10-12t a =-12 m/s 2 La coodenada X se compota como la coespondiente a un moimiento ectilíneo con elocidad constante de 6 m/s coodenada inicial 0 =5 m. Po su pate, la coodenada Y se compota como la de un moimiento ectilíneo unifomemente aceleado con aceleación -12 m/s 2, elocidad inicial 10 m/s coodenada inicial 0 =4 m. Esto es, el moimiento plano anteio puede considease compuesto po dos moimientos ectilíneos pependiculaes, uno unifome en el eje X oto unifomemente

7 7 aceleado en el eje Y. En geneal, los moimientos en el plano que estudiaemos los descompondemos en dos moimientos sencillos en cada uno de los ejes Composición de moimientos ectilíneos unifomes pependiculaes. Supongamos una baca con la que un emeo petende cuza un ío pependiculamente a la oilla. La baca es desiada po la coiente del ío de modo que si el umbo es pependicula a la coiente, la baca no llega a la oilla opuesta fente al punto de patida, sino que la coiente la aasta aguas abajo una cieta distancia. Supongamos que el agua del ío llea una elocidad constante. Si el emeo dejase paada la baca, ésta aanzaía aguas abajo a la misma elocidad del ío. Si emase un estanque, donde el agua no se muee, con una elocidad b constante pependicula a la oilla, la baca lleaía esta elocidad b. Peo cuando la baca se halla en el ío está afectada po una elocidad constante en el eje X ota elocidad constante b en eje eje Y. La elocidad total de la baca iene dada po: = i + j Po se el moimiento en cada eje unifome, si consideamos que la baca pate del punto (0,0), las coodenadas del moimiento de la baca son: = t b = b t 5.2- Moimiento paabólico El moimiento de un balón lanzado po encima de la baea al saque de una falta o el de una pieda lanzada desde un acantilado hacia el ma con elocidad inicial hoizontal son moimientos cua taectoia es una paábola. Este tipo de moimiento puede considease compuesto po un moimiento unifome hoizontal un moimiento unifomemente aceleado etical, cua aceleación es la de la gaedad. Si la elocidad inicial 0 foma un ángulo con la hoizontal, sus componentes en los ejes hoizontal etical son: o = o cos o = o sen La elo- cidad hoizontal no se modifica a lo lago de la taectoia paabólica, como se e en la gáfica. Sin embago, disminue hasta se ceo en el punto más alto paa después olese negatia duante el descenso. La ecuación de moimiento en cada uno de los ejes puede escibise como: = o + o t = o + o t gt2 Sustituendo o o en función de o esulta:

8 8 = o + o t cos = o + o t sen gt2 Po su pate, las componentes de la elocidad ienen dadas po: = o = o cos sen - g t = o g t = o - El módulo de la elocidad en cada punto se calcula (teoema de Pitágoas, obsea el gáfico anteio) según: = Y el ángulo que foma en cada instante la elocidad con el eje X se calcula como: tgα =