Series de Polinomios Ortogonales

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1 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies Seies de Polinomios Otogonales Enunciaemos un teoema debido a Weiestass el cual gaantiza que una función contínua en un intevalo [a, b puede se apoximada unifomemente po una seie de polinomios. Po lo tanto, cualquie función contínua podá se apoximada po combinaciones lineales de potencias. El Teoema de apoximación polinómica de Weienstass queda enunciado como sigue. Cualquie función contínua f(x) en un intevalo ceado x [a, b podá se apoximada unifomente po polinomios en ese mismo intevalo si, paa un n suficientemente gande y un ɛ suficientemente pequeño siempe se tiene que P n (x) f(x) < ɛ x [a, b Aceptaemos este teoema sin demostación, sin embago este teoema nos pemitiá desaolla las secciones siguientes.. Polinomios de Legende El pimeo de los ejemplos de una base otonomal de polinomios en la cual podemos expesa cualquie función contínua en el intevalo ceado x [, seán los Polinomios de Legende. Estos vienen constuidos a pati de la Fómula de Rodígues con P 0 (x) =. Es deci P n (x) = n! n d n n (x ) n, n = 0,,,... P 0 (x) = P (x) = x P (x) = (3x ) P 3 (x) = (5x3 3x) P 4 (x) = 8 (35x4 30x 3) P 5 (x) = 8 (63x5 70x 3 5x).. Consulta: Byon, F.W. y Fulle W.F. (970) Mathematics of Classical and Quantum Physics y Cushing, J. (975) Applied Analytical Mathematics fo Physical Sciences. Hécto Henández / Luis Núñez Univesidad de Los Andes, Méida

2 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies.. Genealidades de los Polinomios de Legende Es fácil compoba que los polinomios de Legende son mutuamente otogonales paa un poducto inteno definido de la siguiente manea P n (x)p m (x) = n δ nm. Donde la función delta de Konecke es δ αβ = 0 si α β; y δ ββ =. La noma es definida po Pn(x) = n nótese que los polinomios de Legende, calculados a pati de la Fómula de Rodigues no están nomalizados. Ejemplos:. P (x) P (x) =. P (x) P (x) = [ ( [x 3x ) = ( 3 x3 ) x = 0. [ ( 3x ) [ ( 3x ) ( 9 = 4 x4 3 x ) = 4 5. Al se los Polinomios de Legende un conjunto completo de funciones, ellos expanden el espacio de funciones contínuas en el intevalo ceado x [,. Po ello cualquie función en el intevalo [, puede se expesada en esa base. los pimeos téminos son: f(x) = f(x) = f(t)dt 3 7 [ 4 [ k k=0 (5t 3 3t)f(t)dt f(t)p k (t) dt } {{ } a k [ tf(t)dt P (x) 5 [ 4 P 3 (x) 9 [ 6 P k (x), (3t )f(t)dt (35t 4 30t 3)f(t)dt P (x) P 4 (x) Hécto Henández / Luis Núñez Univesidad de Los Andes, Méida

3 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies Ejemplos. Si f(x) es un polinomio f(x) = m b n x n = a n P n (x), entonces, no se equiee hace ninguna integal po cuanto los coeficientes a n se deteminan a tavés de un sistema de ecuaciones algebaicas. Paa el caso de f(x) = x tendemos f(x) = x = a 0 P 0 (x) a P (x) a P (x) = a 0 a x a (3x ) ( = a 0 ) a a x 3 a x a 0 = 3, a = 0, a = 3 = 3 P 0(x) 3 P (x).. En el caso de una función mas complicada f(x) =, po un lado f(x)p k (x) = P k (x) la expansión en seies de Legende quedaía como = [ t dt 3 [ t t dt P (x) 5 t (3t ) 4 dt P (x) [ 7 [ t (5t 3 3t) 4 dt P 3 (x) 9 t (35t 4 30t 3) 6 dt P 4 (x) = 3 P 0(x) 5 P (x) P (x) 45 P 3(x) 77 P 4(x) 7 P 5(x) = 3 P P n (x) 0(x) (n ) (n 3). Hécto Henández / Luis Núñez 3 Univesidad de Los Andes, Méida

4 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies Antes de enta en el detalle de las popiedades de estos polinomios, hay que enfatiza que los Polinomios de Legende constituyen la única base otogonal paa un espacio de Hilbet con un poducto inteno definido como el poducto simple de funciones en el intevalo ceado. Al otonomaliza mediante Gam Schmidt la base {, x, x, x 3,, x n, } del espacio de polinomios, P n, de gado n en el intevalo [,, con el poducto inteno definido po f (x) g (x) se obtienen los polinomios de Legende. Los polinomios de Legende sugen, oiginalmente, como soluciones a la ecuación difeencial odinaia del tipo d o de manea equivalente a ecuaciones como ( ) d P n (x) [ ( ) x dy λ y = 0, x. x dp n(x) n(n ) P n (x) = 0, donde y = P n (x) y λ = n(n ). La siguiente tabla muesta algunas ecuaciones difeenciales con sus espectivas soluciones n Ecuación de Legende Solución 0 ( ) d P 0 (x) ( ) d P (x) ( ) d P (x) 3 ( ) d P 3 (x) 4 ( ) d P 4 (x) x dp 0(x) = 0 P 0 (x) = x dp (x) P (x) = 0 P (x) = x x dp (x) 6 P (x) = 0 P (x) = 3x x dp 3(x) P 3 (x) = 0 P 3 (x) = x 5 3 x3 x dp 4(x) 0 P 4 (x) = 0 P 4 (x) = 0x 35 3 x4.. Relación de Recuencia Supongamos que conocemos todos los polinomios de Legende hasta P n (x) y queemos genea el póximo. Obviamente ese polinomio seá de gado n. Nos plantemos genealo a pati de xp n (x). Como estos polinomios son base del espacio de funciones, entonces xp n (x) = n k=0 k [ P k (t)tp n (t) dt P k (x), Hécto Henández / Luis Núñez 4 Univesidad de Los Andes, Méida

5 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies Obsevando con algo más de detalle xp n (x) = tp n (t)dt 3 [ t P n (t)dt P (x) 5 [ (3t 3 t)p n (t)dt P (x) 4 7 [ (5t 4 3t )P n (t)dt P 3 (x) 9 [ (35t 5 30t 3 3t)P n (t)dt P 4 (x). 4 6 Notemos que P n (t)tp n (t)dt = tp n(t)dt, po lo tanto, el integando es una función impa. Consideemos algunos casos: Paa n = 0 xp 0 (x) = 3 [ t dt P (x) = P (x) Paa n = xp (x) = [ t dt 5 [ (3t 4 t )dt P (x) = P (x) Paa n = xp (x) = 3 [ (3t 4 t )dt P (x) 7 [ (5t 3 3t)(3t 3 t)dt P 3 (x) 4 6 Paa n = 3 Se puede apecia que = 5 P (x) 3 5 P 3(x). xp 3 (x) = 3 7 P (x) 4 7 P 4(x). P n (x)xp k (x) = 0, paa k < n. Esto implica que sobeviven únicamente tes téminos Desaollando con la fómula de Rodígues x n! n d n n (x ) n = x dn n (x ) n = xp n (x) = AP n (x) BP n (x). A d n (n )! n n (x ) n B d n (n )! n n (x ) n, A d n (n ) n (x ) n nb dn n (x ) n. Hécto Henández / Luis Núñez 5 Univesidad de Los Andes, Méida

6 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies Igualando coeficientes esulta A = n n, B = n n La elación de ecuencia se puede obtene entonces de: (n ) P n (x) = (n ) xp n (x) np n (x)..3. Noma de los Polinomios de Legende Conociendo que la otogonalidad de los polinomios de Legende y la elación de ecuencia, pocedemos enconta el valo de su noma P n(x) = n De la elación de ecuencia cambiando n n se tiene np n (x) = (n ) xp n (x) (n ) P n (x), (n ) P n (x)np n (x) = (n ) P n (x) [(n ) xp n (x) (n ) P n (x), () ahoa multiplicamos la elación de ecuencia po (n ) P n (x) paa obtene (n ) P n (x) (n ) P n (x) = (n ) P n (x) [(n ) xp n (x) np n (x), () estando miembo a miembo () - () obtenemos : (n ) [ np n(x) (n ) P n (x)p n (x) (n ) [ (n ) P n (x)p n (x) np n(x) = 0, lo que es igual a: (n ) [ npn(x) (n ) P n (x)p n (x) = (n ) [ (n ) P n (x)p n (x) npn(x), Pn(x) (n ) P n (x)p n (x) = n [ (n ) P n (x)p n (x) P n n n n(x), integando y consideando la otogonalidad Pn(x) = n [ P n n(x) ( ) [( ) n n 3 Pn(x) = n n ( ) [( n n 3 Pn(x) = n n Pn (x) ) ) ( n 5 n 3 Pn 3(x) Hécto Henández / Luis Núñez 6 Univesidad de Los Andes, Méida

7 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies continuando con este poceso P n(x) = 3 n P n(x) = n. P (x) [ = 3 n [ 3.4. Función Geneatiz de los Polinomios de Legende Se puede enconta una función geneatiz P(t, x) de los polinomios de Legende, es deci una función que tenga la foma: P(t, x) = t t = P 0(x) P (x) t P (x) t = P n (x) t n, t <, x, paa la cual los P n (x) son los coeficientes de su desaollo en seies de potencias. Esta seie convege paa xt t <. Paa demosta que el desaollo en seie de la función G(t, x) tiene como coeficientes a los P n (x) patimos de que: P(t, x) = t t P(t, x) t = t x (t t ) 3/ combinando estas dos expesiones, esulta y, consecuentemente (t x) P(t, x) ( t t ) P(t, x) t = 0 (t x) P n (x) t n ( t t ) np n (x) t n = 0. Multiplicando y acomodando queda (t x) P 0 (x) (t x) P n (x) t n np n (x)t n xnp n (x)t n np n (x)t n = 0, (t x) P 0 (x) P n (x) t n np n (x)t n = 0, xp n (x) t n np n (x)t n xnp n (x)t n Hécto Henández / Luis Núñez 7 Univesidad de Los Andes, Méida

8 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies (t x) P 0 (x) (t x) P 0 (x) po lo tanto P n (x) t n n= xp n (x) t n (n )P n (x)t n = 0, n= (n )P n (x)t n (n )P n (x)t n (n )xp n (x) t n tp 0 (x) xp 0 (x) P (x) P (x)t np n (x)t n = 0 n= P (x) x P 0 (x) }{{} =0 xnp n (x)t n np n (x)t n = 0, n= (n )P n (x)t n 3xP (x)t n= (n )xp n (x) t n n= P (x) 3xP (x) P 0 (x) t }{{} =0 (n ) P n (x) (n ) xp n (x) np n (x) t n = 0 }{{} =0 n= El pimeo de los téminos se cumple siempe po cuanto P 0 (x) = y P (x) = x. El tece témino confoma la elación de ecuencia paa los polinomios de Legende. Con esto queda demostado que el desaollo en seies de potencias de la función geneatiz, tiene como coeficientes a los polinomios de Legende. La función geneatiz muesta su utilidad en la expansión de f(x) =, ecodemos que po la definición del poducto inteno se tiene f(x)p k (x) = P k (x). Al foma el poducto [ = t t t n P n (x), Hécto Henández / Luis Núñez 8 Univesidad de Los Andes, Méida

9 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies e integando, se obtiene [ = t n P n (x) t t [ ( ) ( t) t t t ln t = t n P n (x). t Expandiendo el lado izquiedo en seies de potencias de t t n (4n ) (n 3) = t n P n (x) lo cual nos conduce, al iguala coeficientes a 4 3 = P 0 (x) y 4 (4n ) (n 3) = P n (x) y finalmente a la foma de la expansión en seies = 3 P 0(x) P n (x) (n ) (n 3).5. Otas popiedades de los polinomios de Legende P n () = y P n () = () n. Entonces se tiene lo que se conoce como la elación de paidad: P n ( x) = () n P n (x) paa todo n. P n (x) tiene n aíces en el intevalo (, ) Esta popiedad puede apeciase paa los pimeos 5 polinomios en la figua. Tienen una epesentación integal de la foma P n (x) = π π 0 [ x x cos ϕ n dϕ Cambios de vaiables inmediatos conllevan a ecuaciones difeenciales equivalentes Foma autoadjunta [ ( ) y λ(λ ) y = 0 Hécto Henández / Luis Núñez 9 Univesidad de Los Andes, Méida

10 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies Figua : Polinomios de Legende En coodenadas esféicas con u = P n (cos(θ)) ( d sen(θ) du ) λ(λ )u = 0 sen(θ) dθ dθ En coodenadas esféicas con u = sen θp n (cos θ) [ ( d u dθ λ ) u = 0 4 sen (θ).6. Potencial Electostático de un Dipolo Eléctico En Física el ejemplo clao es el cálculo del potencial electostático poducido po dos cagas q = q y q = q sepaadas po una distancia d en un punto P cualquiea de un plano (x, y). El potencial en ese punto genéico viene dado po ( V = q R ) R Tal y como puede apeciase de la figua Hécto Henández / Luis Núñez 0 Univesidad de Los Andes, Méida

11 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies Figua : Potencial electostático de un dipolo eláctico (R ) = d d cos(θ) y R = d d cos (π θ), po lo cual [ = cos(θ) R [ R = ( ) d cos (π θ) ( ) / d ( ) d ( ) / d y consecuentemente R = R = P n (cos(θ)) ( ) n d ( ) n d P n [cos (π θ) = P n ( cos(θ)) ( ) n d El potencial seá V = q ( ) n d [P n (cos(θ)) P n ( cos(θ)) Hécto Henández / Luis Núñez Univesidad de Los Andes, Méida

12 Semana - Clase 6 9/0/0 Tema : Seies donde todos los téminos paes de P n (cos(θ)) se anulan y finalmente tendemos la expesión del potencial paa cualquie punto del plano V = q P n (cos(θ)) ( ) n d Nos quedamos con el pime témino de la seie, si d V q d cos(θ)..7. Resumen de Popiedades Polinomios Legende Definición: P n (x) = n! n d n n (x ) n, n = 0,,,... Ejemplos: P 0 ; P = x; P = (3x ); P 3 = (5x3 3x) Relación de Recuencia: (n ) P n (x) = (n ) xp n (x) np n (x) Ecuaciones Difeenciales: ( ) y x y λ(λ ) y = 0 d sen(θ) dθ ( sen(θ) du ) n(n )u = 0; u = P n (cos(θ)) dθ Función Geneatiz: P(t, x) = = P n (x) t n t t Repesentación Integal: P n (x) = π [ x x cos ϕ n dϕ π 0 Otogonalidad: P α (x)p β (x) = δ αβ α Pacticando con Maple: > estat: > plot([legendep(0,x),legendep(,x),legendep(,x),legendep(3,x), LegendeP(4,x),x=-..); Hécto Henández / Luis Núñez Univesidad de Los Andes, Méida