Aplicación de los Residuos al cálculo de Integrales Reales

Transcripción

1 Aplicación de los Residuos al cálculo de Integales Reales A continuación, se haá un estudio sobe cietos tipos de integales eales que pesentan una equivalencia con las integales complejas sobe caminos ceados, y que pueden calculase aplicando el teoema de los esiduos. Integales eales de la foma: (,cos ) acional en senos y cosenos. Si consideamos el contono: se tiene que: jθ C: z = e, θ F sennθ mθ dθ donde F es una función dz = j je θ d θ dz dθ = jz jnθ jnθ n n n e e z z z sen nθ = = = n j j jz jmθ jmθ m m m e + e z + z z + cos mθ = = = m z () () po lo tanto, la integal eal es equivalente a la integal compleja sobe z =, esto es: n n m m z z z z dz F( sen( nθ),cos( mθ) ) dθ = F, j jz z = (3) El integando en 3 es una función acional de z; si la función no tiene polos en z =, la integal la calculamos aplicando el teoema de los esiduos consideando

2 solo a los polos z k tales que z k <. Cabe ecoda que el esultado de esta integal debe se un númeo eal. Ejemplo : Calcula: dθ + sen θ Aplicando la fómula anteio: dθ = + z + jz sen θ z = dz jz simplificando: 4 dz θ = ) dθ = 4 + sen z j( z 6z + Ahoa esolvemos la integal compleja aplicando el teoema de los esiduos: Las singulaidades son: z 3 4 = + z < z = z <,polo simple z = + z <,polo simple z = z < Aplicando la fómula de los esiduos paa polos simples tenemos: 4z 4 4 Re s[ f, z = z ] = = = = j(4z z) j(4z ) j( 8 ) 3 z= z 4 4 Re s[ f, z = z ] = = = j(4z ) j( 8 ) 4 j j

3 Finalmente: dθ = j sen + = 4j 4j + θ Ejemplo : Demosta que: dx ( a+ cos x) ( a ) a =, ( a > ) 3 Como el intevalo de la integal no es de longitud, no podemos aplica diectamente la fómula 3, sin embago, obsevando que se cumple que F x = F x (simetía especto del eje x = ), ó de manea equivalente F( x) = F( x) entonces: (debido a la peiodicidad de las funciones sen y cos, ve figua ), I dx = = dx ( a+ cos x) ( a+ cos x) Figua Aplicando la fómula : I = dz z = + z jz a + z dz 3

4 luego de simplifica el integando nos queda: I zdz = j ( z + az+ ) z = dz las singulaidades son: z = a+ a, (polo doble), z z < z = a a, (polo doble), z z < calculando esiduos: z z( z z) z z = = Res, lim z z ( z + az+ ) ( z z ) ( z z) z ( z z ) 4z ( z z ) z + z Res, z = z = = ( z + az+ ) ( z z) z z 3 4 z 4a Res, z = z = = ( z + az+ ) 3 8 a ( a ) a 3 finalmente: dx z dz a a = = j = 3 3 ( a+ cos x) j ( ) j z = z + az+ ( a ) ( a ) 4

5 Ejecicios Popuestos Calcula las siguientes integales eales:.- dθ, a > a + cosθ.- dθ ( a+ bcosθ ), a > b > 3.- cos (3θ) dθ asenθ + a, (a, a ±) dx + sen x dx 3+ cosx Puebe que: 6.- ( n)! n ( n ) n cos θdθ =, n =,,! (Fómula de Wallis) dθ 7.- = + cos θ cos d ac osθ + a a a θ θ = < a < n sen θ dθ n n, ( ) ( n)! =, ( =,, ) ( n!) 5

6 Integales impopias de la foma f ( xdx ), con f z sin polos eales Si se considea el valo pincipal de Cauchy paa la integal impopia f ( xdx ), se obtiene que: f ( xdx ) = lim f( xdx ) Cuando f ( x ) es una función impa la integal vale ceo, y en caso contaio, la integal tendá un valo eal si la misma convege. En algunos poblemas, es posible utiliza el teoema de los esiduos paa calcula el valo de la integal, como se veá a continuación. Consideemos el contono ceado C = C C donde C : z = e j C : z = x, x θ θ y, mostado en la figua ( lo suficientemente gande de tal foma que todas las singulaidades de f ( z ) en el semiplano supeio queden en el inteio de C ). Entonces, aplicando el teoema de los esiduos sobe el este contono tendemos: f () zdz= f() zdz+ f() zdz= j Re( sf(), z zk ) C C C Im( zk ) > C C Figua Se obseva que: C f ( z) dz = f( x) dx 6

7 po lo que: k Im( zk ) > C f ( xdx ) = j Re sf ( ( z), z) f( zdz ) haciendo que, nos queda: f ( xdx ) = j Re sf ( ( z), z) lim f( zdz ) Im( zk ) > k C Ahoa bien, si: lim f( z) dz = C (4) entonces: f ( xdx ) = j Re s( f( z), zk ) (5) Im( zk ) > La condición 4 ocue cuando se cumple que: lim jθ Max. ( f( e ), ) θ = Debido a que de acuedo con la desigualdad M.L., se tiene: C ( ) j θ lim f( z) dz lim Max f e. = y en consecuencia: lim f( z) dz = C 7

8 Si consideamos la función acional f ( z) = p( z) q( z), entonces podemos escibi: n p( z) anz + a z + + a f( z) = = m qz bz + b z + + b m n n m m donde suponemos que el gado m del denominado es mayo al gado n del numeado. Si z tiende hacia infinito, los téminos de mayo gado pedominan sobe los demás, po lo que podemos intui que: n p( z) anz k =, l = m n m l qz bz z m Así, sobe z =, ( gande) podemos escibi: pz qz k = M l si l, tenemos al menos: C f( z) dz k k = con estas condiciones, nos queda: lim f( z) dz = C Como altenativa, podemos considea como camino auxilia paa cea el contono y aplica el teoema de los esiduos a la tayectoia jθ C : z = e, θ, (figua 3), de tal manea que si se cumple que: B lim f( z) dz = C B 8

9 entonces: f ( xdx ) = j Re s( f( z), zk ) Im( zk ) < el signo menos se debe a que el contono ceado está ecoido en el sentido hoaio. C B Figua 3 9

10 Integales impopias de la foma f ( xdx ) simples, tal que f Consideemos ahoa el caso en el que exista un polo simple ( valo pincipal de Cauchy en este caso vendá dado po: w ε f x dx = lim f ( zdz ) + lim f ( zdz ) w + ε ε ε De acuedo al contono ceado de la figua 4, se tiene: z pesenta polos eales w ) en el eje eal. El w ε lim f ( zdz ) + lim f( zdz ) + lim f( zdz ) + lim f( zdz ) ε w + ε ε Cε ε C = j Re s( f( z), z ) Im( zk ) > k Si consideamos a f ( z ) tal que: entonces: lim f( z) dz = CA w ε lim f ( zdz ) + lim f ( zdz ) = j Re s( f ( z), z ) lim f ( zdz ) k w + ε ε ε ε Im( zk ) > Cε C C ε w Figua 4

11 paametizando C ε : jθ Cε : z = w + εe, θ El desaollo en seie de Lauent en un entono de siguiente foma: w (polo simple), tiene la k b f ( z) = ak( z w) +,< z w <δ ( z w ) k = Sustituyendo f ( z ) po su desaollo de Lauent dento de la integal, y sustituyendo a z po ( w + ε e jθ ), nos queda: b f z dz a e j e d j a e d jb dθ k jθ jθ k+ jθ = iε + = j i C k= e ε θ ε θ ε θ k= ε y tomando el límite cuandoε, ε θ θ k+ jθ lim f ( zdz ) = lim j ai e d jb d ε ε C k = ε f zdz j aε e dθ jb dθ k+ jθ lim lim i lim ε = ε ε C k = ε ε Cε lim f ( zdz ) = jb= jre s( f z, w) R finalmente se obtiene: = + f x dx j Re s( f ( z), zk) j Re s( f z, wr) Im( zk ) > En geneal, si tenemos vaios polos simples sobe el eje eal tendemos: = + f x dx j Re s( f ( z), z ) j Re s( f z, wm) (6) k Im( zk) > Im( wm) =

12 Si consideamos como camino auxilia paa cea el contono a la jθ semicicunfeencia C : z = e, θ, en el semiplano infeio, y B jθ C : z = w + εe, θ, como se muesta en la figua 5, se obtiene el ε B siguiente esultado: = f x dx j Re s( f ( z), z ) j Re s( f z, wm) (7) k Im( zk ) < Im( wm) = Figua 5 Ejemplo 3: Calcula: x ( x + ) ( x+ ) dx En pime luga, se veifican las condiciones establecidas paa aplica la fómula 6 y como el gado del denominado es mayo al menos en al gado del numeado, entonces la integal de f ( z ) sobe el contono C es cuando : Polos con Im( z ) > : z = j (polo doble) Polos simples en el eje eal: z =

13 Calculo de los esiduos: Residuo en z = j. ( z )( z j ) z Re s[ f, z = j] = lim = lim! z j ( z ) ( z ) z + + j ( z+ j) ( z+ ) calculando peviamente los téminos de la deivada del cociente: queda: z = j, ( z ) =, z+ j z+ = 4 4j z= j z= j z= j z= j z= j ( z+ j) ( z+ ) = ( z+ j)( z+ ) + ( z+ j) = 8+ 4j ( 4 4j) 4 4j j 8+ 4j 8+ 8j Re s [ f, z = j] = = = + j 3 j 4 4 Residuo en z =. finalmente: z Re s[ f, z = ] = = ( z + ) ( z+ ) ( x + ) ( x+ ) z = x dx = jre s f, j + jre s f, y simplificando esulta: [ ] [ ] = j( + j) j 4 4 x ( x + ) ( x+ ) dx = 3

14 Ejemplo 4: Calculemos 6 ( x + ) dx Esta integal no tiene límites de integación de - a, sin embago, como el integando es una función pa podemos calcula la integal oiginal como: dx = 6 6 ( ) x + ( x + ) Las singulaidades de la función integando son las seis aíces sextas de -. dx j 6 3 z = e = + j,im ( z ) > j z = e = j,im z > j = = z e j,im ( z ) > j z = e = j,im ( z ) < 4 j z = e = j,im z < 5 j z = e = j,im ( z ) < Podemos considea paa esolve el poblema, tanto a la fómula 6 como la 7. El númeo de singulaidades que consideamos en cualquiea de los dos casos es igual a tes, y en el caso geneal de polinomios con coeficientes eales, las aíces complejas se pesentan siempe como paes conjugados, po lo que tendemos igual númeo de singulaidades tanto en el plano supeio como en el infeio. 4

15 Los esiduos en las singulaidades coespondientes al semiplano supeio son: 4 z 3 Re s, z = z 6 z = = = + 6 6z 6 j ( z + ) z= z Re s, z = z = = = j z z z ( z + ) z= z 4 z 3 Re s, z = z 6 3 z = = = + 6 6z3 6 j ( z + ) z= z3 Aplicando la fómula 6, se tiene que: simplificando: ( ) dx j 6 j x 6 j 6 j = ( x + ) dx = 3 Nótese que el esultado es un númeo eal debido a que coesponde a una integal eal. 5

16 Ejecicios Popuestos Calcula las siguientes integales eales aplicando el Teoema de los Residuos: dx.- 3 x + x + x xdx ( x + 4x+ 3) xdx ( x )( x 4) + xdx x + 7x dx n x +, n N 6.- ax dx = bx + c + 4ac b, ( a,b,c R, b < 4ac ) 6

17 Integales de la foma jax f ( x) e dx Este tipo de integales se denominan integales de Fouie, y son utilizadas paa j x obtene la tansfomada de Fouie de una función eal ( F ω = f x e ω dx), así como también paa la tansfomada de Fouie invesa jx ( f ( x) = F( ω) e ω dω ). Teoema Si Max f ( z) lim = sobe el contono : e jt C z t polos eales y a >, entonces: =, f jax jaz f ( x) e dx j Re s( f ( z) e, zk ) con ( k ) Demostación: = k z no tiene Im z > (8) Utilizando el valo pincipal de Cauchy paa la integal impopia, y tansfomándola a una integal compleja, se tiene: jax jaz f ( xe ) dx= lim f ( ze ) dz y según el teoema de los esiduos: jaz jaz jaz lim f ( z) e dz+ lim f ( z) e dz = j Re s( f ( z) e, zk ) C donde C es el contono mostado en la figua. k 7

18 Paa demosta el teoema basta con poba que: C lim f z e jaz dz = En efecto, aplicando la desigualdad ML al contono C : jaz jaz jaz f z e dz f z e dz M e dz C C C donde M es el Max( f ( z )) sobe C, entonces: como: ( = ( e ) = C entonces: jaz jt ja coost + jsent a sent f z e dz f e dt Me dt t sent, t y a > a sent a sent = t a Me dt M e dt M e dt = M en conclusión: CA jaz f z e dz M Si hacemos que y ( ) M = lim Max f z = 8

19 se obtiene: C y entonces: lim f z e jaz dz = jax jaz f ( x) e dx j Re s( f ( z) e, zk ) con ( k ) = Si f ( z ) tiene polos simples en el eje eal, tendemos que: k Im z > (9) jax = jaz f x e dx j Re s( f z e, z ) ( z ) Im k > ( w ) Im m = jaz + j Re s( f z e, w ), a > k m () En el caso de a <, utilizamos como camino auxilia a la semicicunfeencia en el semiplano infeio lo que nos conduciá al siguiente esultado: jax = jaz f x e dx j Re s( f z e, z ) ( z ) Im k < ( w ) Im m = jaz j Re s( f z e, w ), a< m k () 9

20 Ejemplo 5: sen at Obtene la tansfomada de Fouie de la función f () t =. t sen at sen at jωt I F ( ω ) e d t = = t t ( ω) ω ( e e ) e ( ω) ( + ω) e e jat jat j t ja t ja t F = dt = dt jt t t dt como: j, ω a ja ( ω) t < e dt = j, ω a t > y, ω = a j, ω a ja ( + ω) t < e dt = j, ω a t >, ω = a en vitud de las fómulas y, y además: dt = t po se t una función impa, entonces:, ω < a F ( ω) =, a ω a, ω > a Esta tansfomada de Fouie coesponde a un filto pasa-bajo ideal con fecuencia de cote ω = a.

21 Ejemplo 6: Calcula la tansfomada de Fouie invesa de ω + a. La tansfomada invesa viene dada po la integal: ω + a e jx ω dω Paa x >, y aplicando la fómula 9, se tiene: jxω jxω e dω = jre s e, aj ω = ω + a ω + a donde: Re s e, aj jxw ax jx ω ω = = = ω + a w aj w= aj e e po lo tanto: ω + a ax jx e e ω dω =, x > a Paa x <, y aplicando la fómula, se tiene: jxω jxω e dω = jre s e, aj ω = ω + a ω + a donde: ax e e Re s e, = aj = = aj jxw jx ω ω ω + a w w= aj

22 po lo tanto: ω + a ax jx e e ω dω =, x < a Paa x =, y aplicando la fómula 5, se tiene: d jre s, a ω ω ω a ω = = aj + + donde: Re s, ω = aj = = ω ω + a ω= aj aj po lo tanto: jx e ω dω, x = = ω + a a En esumen: ax e, x > a jx e e ω dω, x = = = ω + a a a ax e, x < a ax

23 Integales eales impopias de la foma: P x sen axdx, Q x cos P x Q x Gado(Q) > Gado(P), Q(x) puede tene polos eales simples, y a > axdx, con Como jax e = cosax+ jsenax, entonces: P x Q x P x jax sen axdx = Im( e dx) Q x P x Q x P x jax cos axdx = Re( e dx) Q x Si el gado del polinomio P es meno que el gado del polinomio Q se cumple que: P z lim Max = Qz y entonces aplicando la fómula se tiene: P x Q x P x Q x ( w ) ( z ) Im k > Im m = P z jaz senaxdx = Im[ j Re s( e, zk ) Q( z) P z jaz + j Re s( e, wm )], a > Qz ( w ) ( z ) Im k > Im m = P z jaz cos axdx = Re[ j Re s( e, zk ) Q( z) P z jaz + j Re s( e, wm )], a > Qz () (3) En el caso en que a <, podemos hace los siguientes cambios antes de aplica las fómulas anteioes: senax = sen( ax) cos( ax) = cos( ax) 3

24 Ota altenativa es toma la pate eal e imaginaia en la fómula, que coesponde a valoes de a <. Ejemplo 7: x cosxdx Calcula: x x+ En este caso se cumplen las condiciones establecidas paa aplica la fómula, po lo tanto: xcosxdx jaz = j s f z e zk x x+ Im( zk ) > Re[ Re (, )] Los polos del integando son: z = + 3j, (polo simple) Im(z) > z = 3j, (polo simple) Im(z) < Luego, se calcula el esiduo en z : finalmente: ze ze ( + 3 j) e Re s, z = + 3 j = = z z+ + (+ 3 j) jz jz j(+ 3 j) ( z z ) jz ze ( + 3 j) e Re s, z = + 3 j = z z+ 6j = 3+ j z=+ 3j e cos e sen je (3sen cos) xcosxdx 3e cos e sen je (3sen cos) x + + = Re j x+ 6 (cos 3sen) = 3 3e 4

25 Ejemplo 8: Calcula: sentx, con t < ( + ) x x Los límites de integación no coesponden al poblema en estudio, sin embago, debido a que el integando es una función pa, podemos calcula la integal como: sentx sentx e dx = dx = Im dx x( x + ) x( x + ), t < x( x + ) Las singulaidades de tz e z( z + ) son: w =, (polo simple en el eje eal), (polo simple con Im z > ) z = j ( ) z = j, (polo simple con Im z < ) aplicando la fómula (ya que t < ), los esiduos a considea son: jtz jtz e e Re s, z = = = z( z + ) ( z + ) z = e e e e Re s, z = j = = = z z z z + = aplicando la fómula : jtz jtz jtz t ( + ) ( ) z= j jtx z z j jtx t e e t dx = j () j = je j x x ( + ) finalmente: sentx jtx e dx = Im dx = e ( + ) x( x + ) x x t ( ) 5

26 Ejecicios popuestos Calcula las siguientes integales haciendo uso del teoema de los esiduos: x cos xdx.- x x +.- cos( tx) dx, t Z 3 x sen ax dx 3.-, a <, b > xx ( + b) 4.- xsen3x dx ( x + 4) 5.- sen x dx x 6.- sen x (( x ) + ) dx cos x dx x cos x ( x + x+ ) dx ( x + )cosx 9.- dx x + 3x +.- xsenx dx ( x + 3) 6

27 xsenx ( x + )( x ) 4 3 x senx ( x + )( x + ) 4 cos ax ( x + b ) dx dx ( < < ) dx, a, b Demueste que: sen x dx e a a 4.- = ( ), ( > ) x + a 4a sen mxsen nx dx e senh na a m n x + a a 5.- = ma, ( >, ) na 6.- =, ( >, > ) xsen mx cos nx dx e senh ma a n m x + a 7