Análisis de respuesta en frecuencia

Transcripción

1 Análisis de espuesta en fecuencia Con el témino espuesta en fecuencia, nos efeimos a la espuesta de un sistema en estado estable a una entada senoidal. En los métodos de la espuesta en fecuencia, la fecuencia de la señal de entada se vaía en un cieto ango, paa estudia la espuesta esultante. El citeio de estabilidad de Nyquist nos pemite aveigua la estabilidad elativa y absoluta de los sistemas lineales en lazo ceado a pati del conocimiento de sus caacteísticas de fecuencia en lazo abieto. Obtención de la salida en estado estacionaio paa entada senoidal. Considee el sistema estable, lineal e invaiante con el tiempo de la figua. Supongamos que la señal de entada es. x Y X ( s) () s () s ( t) X sen t si el sistema es estable, la espuesta en estado estacionaio y ( t) es. donde y ( t) Y sen( t +φ) Y X ( j) φ ( j) pate imaginaia de tan pate eal ( j) ( j) Un sistema estable, lineal e invaiante con el tiempo, sujeto a una entada senoidal, tendá, en estado estable, una salida senoidal de la misma fecuencia que la entada. Peo, en geneal, la amplitud y la fase de la salida seán difeentes a la de la entada. Obseve que paa las entadas senoidales, CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

2 Po tanto, las caacteísticas de espuesta en fecuencia de un sistema paa una entada senoidal se obtienen diectamente de Y X ( j) ( j) ( j) La función ( j) se denomina función de tansfeencia senoidal. Es el cociente ente Y ( j) y X ( j). Es una cantidad compleja y se epesenta mediante una magnitud y un ángulo de fase con la fecuencia como paámeto. (Un ángulo de fase negativo se denomina ataso de fase y un ángulo de fase positivo se denomina adelanto de fase.) La función de tansfeencia senoidal de cualquie sistema lineal se obtiene sustituyendo s po j en la función de tansfeencia del sistema. Ejemplo Considee el siguiente función de tansfeencia, obtenga la magnitud y la fase paa difeentes valoes de fecuencia. () s s + Cambiando la s po j ( j) j + La ecuación de magnitud es ( j) 4 + El defasamiento es φ j tan ( ) ( j) ( j) Ejemplos paa obtene las ecuaciones de la magnitud y el ángulo de fase. () s s 60 4 ( s + )( s + 8) ( j) ( j) 60 j( j + 4)( j + 8) tan tan 4 ( j) 8 CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

3 () s () s () s s 00( s + 8) ( s + 4)( s + ) 4 ( s + 4s + 3)( s + ) 4 ( s + + j3)( s + j3)( s + ) ( j) 00( j + 8) ( j) ( j + 4)( j + ) ( j) ( j) tan 80 tan tan ( j) + j4 + 3 j + ( j) ( )( ) ( 3 ) + 4 ( j) tan tan 3 < 3 4 ( j) tan + 80 tan 3 > 3 4 ( j) ( j + + j3)( j + j3)( j + ) ( j) ( j) ( ) ( ) tan + 3 tan 3 tan Pesentación de las caacteísticas de la espuesta en fecuencia en foma gáfica. La función de tansfeencia senoidal, función compleja de la fecuencia, se caacteiza po su magnitud y ángulo de fase, con la fecuencia como paámeto. Po lo geneal se usan tes epesentaciones gáficas de las funciones de tansfeencia senoidales:. Las gáficas de Bode o gáficas logaítmicas. Las gáficas de Nyquist o gáficas polaes 3. Las gáficas de magnitud logaítmica conta la fase áficas de Bode Las gáficas de Bode están fomadas po dos gáficas: una es el logaitmo de la magnitud de una función de tansfeencia senoidal y la ota es el ángulo de fase. Ambas se gafican conta la fecuencia en la escala logaítmica. db, La unidad que se usa en esta epesentación del logaitmo de la magnitud es el decibel ( ) ( j) 0log ( j) db. En la epesentación logaítmica, se tazan las cuvas sobe papel semilogaítmico, con la escala logaítmica paa la fecuencia y la escala lineal paa la magnitud (en decibeles) o el ángulo de fase (en gados). (El ango de fecuencia de inteés detemina la cantidad de ciclos logaítmicos que se equieen en la abscisa.) CONTROL CLÁSICO 3 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

4 La ventaja pincipal de usa la taza de Bode es que la multiplicación de magnitudes se conviete en adición. Además, cuenta con un método simple paa taza una cuva apoximada de magnitud logaítmica. Se basa en apoximaciones asintóticas. Esta apoximación, mediante asíntotas (líneas ectas), es suficiente si sólo se necesita infomación geneal sobe la caacteística de la espuesta en fecuencia. Ejemplo Paa la siguiente función de tansfeencia, el logaitmo de la magnitud y la fase paa difeentes valoes de fecuencia. () s s + Cambiando la s po j ( j) j + La ecuación de la magnitud en decibeles es El defasamiento es ( ) 0log 0log 4 + j db ( ) tan φ j ( j ) db ( j) ( j ) db ( j) () s s + CONTROL CLÁSICO 4 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

5 Las azones de fecuencia se expesan en téminos de octavas o décadas. Una octava es una banda de fecuencia de a. Una década es una banda de fecuencia de a 0. La distancia hoizontal de a 0 es igual a la de 3 a 30. La ganancia K. Un númeo mayo que la unidad tiene un valo positivo en decibeles, en tanto que un númeo meno que la unidad tiene un valo negativo. La cuva de magnitud logaítmica paa una ganancia constante K es una ecta hoizontal cuya magnitud es de 0 log K decibeles. El ángulo de fase de la ganancia K es ceo. El efecto de vaia la ganancia K en la función de tansfeencia es que sube o baja la cuva de magnitud logaítmica de la función de tansfeencia en la cantidad constante coespondiente, peo no afecta la cuva de fase. ( K 0) 0 log K 0 ( K 0.) 0 log K 0 0 log + 0 log áfica de Bode paa difeentes valoes de ganancia () s s + CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

6 Relación ente el tipo de sistema y la cuva de magnitud logaítmica. Considee el sistema de contol con ealimentación unitaia. Las constantes estáticas de eo de posición, velocidad y aceleación desciben el compotamiento de baja fecuencia de los sistemas de tipo 0, tipo y tipo, espectivamente. Paa un sistema definido, sólo es finita y significativa una de las constantes de eo estático. (Ente mayo es el valo de la constante finita de eo estático, más alta es la ganancia de lazo confome tiende a ceo.) El tipo de sistema detemina la pendiente de la cuva de magnitud logaítmica en fecuencias bajas. Po tanto, la infomación elacionada con la existencia y la magnitud del eo en estado estable de un sistema ante una entada definida se detemina a pati de la obsevación de baja fecuencia de la cuva de magnitud logaítmica. Considee el sistema de contol con ealimentación unitaia de la figua. Suponga que la función de tansfeencia en lazo abieto se obtiene mediante () s K s ( T s + )( T s + ) L( T s + ) N a b m p + ( T s + )( T s + ) L( T s ) Deteminación de las constantes de eo estático de posición. Paa un sistema tipo 0 K p lim 0 ( j) Deteminación de las constantes de eo estático de velocidad. La intesección del segmento inicial 0 log K v Esto se obseva del modo siguiente: 0 db década (o su extensión) con la línea tiene la magnitud de Paa un sistema de tipo K j v ( j) paa << 0 log K 0 log v K v j CONTROL CLÁSICO 6 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

7 La intesección del segmento inicial 0 db década (o su extensión) con la línea 0 db tiene una fecuencia cuyo valo numéico es igual a K v Paa ve esto, defina la fecuencia en esta intesección como ; así, 0 log K v 0 log 0 j K v K v Deteminación de las constantes de eo estático de aceleación. Paa un sistema tipo La intesección del segmento inicial -40 db/década (o su extensión) con la línea tiene una magnitud de 0 log K a. Esto se obseva del modo siguiente: en un sistema de tipo ( j) K a paa << ( j) 0log K a ( j ) a 0log K a La fecuencia poduce numéicamente la aíz cuadada de a de la intesección del segmento inicial -40 db/década (o su extensión) con la línea Ka 0log 0 log 0 ( j ) ( ) a K a. Esto se obseva a pati de lo siguiente: K a a a K a 0 db CONTROL CLÁSICO 7 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

8 aficas Polaes La gáfica pola de una función de tansfeencia senoidal ( j) es una gáfica de la magnitud de ( j) conta el ángulo de fase de ( j) en coodenadas polaes, confome vaía de ceo a infinito. Po tanto, la gáfica pola es el luga geomético de los vectoes ( j) confome vaía de ceo a infinito. Obseve que, en las gáficas polaes, los ángulos de fase son positivos (o negativos) si se miden en el sentido contaio de las manecillas del eloj (en el sentido de las manecillas) a pati del eje eal positivo. La gáfica pola se denomina, con fecuencia, gáfica de Nyquist. La figua contiene un ejemplo de dicha gáfica. Todos los puntos de la gáfica pola de ( j) epesentan el punto teminal de un vecto en un valo deteminado de. En la gáfica pola, es impotante mosta la gaduación de la fecuencia del luga geomético. Las j en los ejes eal e imaginaio son sus componentes eal e imaginaia. La magnitud poyecciones de ( ) ( j) y el ángulo de fase deben calculase diectamente paa cada fecuencia con el popósito de constui tazas polaes. Una ventaja de usa una gáfica pola es que epesenta, en una sola gáfica, las caacteísticas de la espuesta en fecuencia de un sistema en el ango de fecuencia completo. Una desventaja es que la gáfica no indica en foma claa la contibución de todos los factoes individuales de la función de tansfeencia en lazo abieto. CONTROL CLÁSICO 8 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

9 Ejemplo Considee el siguiente sistema, cuya función de tansfeencia es () s Cambiando la s po j s + ( j) j + La magnitud es ( j) + 4 El defasamiento es φ j tan ( ) ( j) ( j) CONTROL CLÁSICO 9 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

10 áficas polaes paa difeentes funciones de tansfeencias m Factoes de pime oden ( ) + j /( + j) ( + j) m [ ] Factoes cuadáticos + ζ ( j ) + ( j ) n n [ ( ) ( ) ] ζ j + j + ζ ( j n ) + ( j n ) + n n [ ] áficas polaes según el tipo del sistema CONTROL CLÁSICO 0 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

11 áficas polaes paa difeentes sistemas CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

12 áficas de magnitud logaítmica conta fase La gáfica de la magnitud logaítmica conta la fase, es una gáfica de la magnitud logaítmica en decibeles conta el ángulo de fase en gados. La cuva se gadúa en téminos de la fecuencia. Estas gáficas de la magnitud logaítmica conta la fase se denominan gáficas de Nichols. Ejemplo Paa la siguiente función de tansfeencia, el logaitmo de la magnitud y la fase paa difeentes valoes de fecuencia. () s s + Cambiando la s po j ( j) j + La magnitud en decibeles es El defasamiento es ( ) 0log 0log 4 + j db ( ) tan φ j ( j ) db ( j) ( j ) db ( j) CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

13 áfica paa difeentes valoes de ganancia áficas de magnitud logaítmica conta fase paa difeentes funciones de tansfeencia CONTROL CLÁSICO 3 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

14 CONTROL CLÁSICO 4 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ Fecuencia de esonancia y Pico de Resonancia M. La magnitud de ( ) + + n n j j j ζ es ( ) + n n j ζ Pico de esonancia M es el máximo valo de la magnitud ( ) ( ) > ζ ζ ζ ζ Paa M Paa j j M máx Fecuencia de esonancia es la fecuencia en la cuál se pesenta el pico máximo ζ ζ paa n

15 Confome el facto de amotiguamiento elativo ζ tiende a ceo, la fecuencia de esonancia tiende a n. Paa ζ > no hay un pico de esonancia. Confome ζ tiende a ceo, infinito. M tiende a El ancho de banda b. Es la fecuencia en la cual la magnitud de espuesta en fecuencia en lazo ceado está 3 db debajo de su valo de fecuencia ceo. C R ( j) ( j) ( j0) db paa > b ( j0) C < 3 R La especificación del ancho de banda se detemina mediante los factoes siguientes:. La capacidad de epoduci la señal de entada. Un ancho de banda gande coesponde a un tiempo de levantamiento pequeño o a una espuesta ápida. En téminos geneales, puede decise que el ancho de banda es popocional a la velocidad de espuesta.. Las caacteísticas de filtado necesaias paa el uido de alta fecuencia. CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

16 áficas de Bode, pola y de magnitud logaítmica conta fase de un sistema de [ ] segundo oden de la foma ( j ) + ( j ) + ζ n n mostando la magnitud de esonancia y la fecuencia de esonancia. CONTROL CLÁSICO 6 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

17 Estabilidad Magen de fase: El magen de fase es la cantidad de ataso de fase adicional en la fecuencia de cuce de ganancia equeida paa lleva el sistema al bode de la inestabilidad. La fecuencia de cuce de ganancia es la fecuencia en la cual ( j), la magnitud de la función de tansfeencia en lazo abieto, es unitaia. El magen de fase MF es de 80 más el ángulo de fase φ de la función de tansfeencia en lazo abieto en la fecuencia de cuce de ganancia Magen de ganancia: MF 80 + φ El magen de ganancia es el ecípoco de la magnitud ( j) en la fecuencia a la cual el ángulo de fase es -80. Si definimos la fecuencia de cuce de fase como la fecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de tansfeencia en lazo abieto es igual a -80, se poduce el magen de ganancia M : M ( j ) En téminos de decibeles ( ) M db 0 log M -0 log j Magen de fase y de ganancia paa sistemas estables e inestables a) gaficas de Bode, b) gaficas polaes, c) gaficas de la magnitud logaítmica conta fase. CONTROL CLÁSICO 7 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

18 CONTROL CLÁSICO 8 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

19 Coelación ente la espuesta tansitoia a escalón y la espuesta en fecuencia en el sistema estánda de segundo oden. Sistema de contol El sobepaso máximo en la espuesta escalón unitaio del sistema estánda de segundo oden, se coelaciona en foma exacta con la magnitud del pico de esonancia M en la espuesta en fecuencia. Po tanto, la espuesta en fecuencia contiene, en esencia, la misma infomación de la dinámica del sistema que la espuesta tansitoia. La ecuación pesenta la elación ente el facto de amotiguamiento elativo ζ y el magen de fase MF. (Obseve que el magen de fase MF es sólo una función del facto de amotiguamiento elativo ζ.) MF tan ζ + 4ζ 4 ζ La figuas muestan una gáfica del magen de fase MF como una función del facto de amotiguamiento elativo ζ. Y una gáfica M conta ζ y M conta ζ paa el sistema de segundo oden p CONTROL CLÁSICO 9 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

20 Paa sistemas de oden supeio, lineales e invaiantes con el tiempo, que tienen un pa de polos dominantes en lazo ceado complejos conjugados, po lo geneal existen las siguientes elaciones ente la espuesta tansitoia a escalón y la espuesta en fecuencia:. El valo de M indica la estabilidad elativa. Po lo geneal se obtiene un desempeño tansitoio satisfactoio si el valo de M está en el ango de.0 < M <.4 ( 0 db < M < 3dB), que coesponde a un facto de amotiguamiento elativo efectivo de 0.4 < ζ < Paa valoes de M mayoes que., la espuesta tansitoia a escalón puede pesenta vaios sobepasos. (Obseve que, en geneal, un valo gande de M coesponde a un sobepaso gande en la espuesta tansitoia a escalón. Si el sistema está sujeto a señales de uido cuyas fecuencias están ceca de la fecuencia de esonancia, el uido se amplifica en la salida y pesenta poblemas seios.). La magnitud de la fecuencia de esonancia indica la velocidad de espuesta tansitoia. Ente más gande es el valo de, más ápida es la espuesta en tiempo. En otas palabas, el tiempo de levantamiento vaía invesamente con especto a. En téminos de espuesta en fecuencia en lazo abieto, la fecuencia natual amotiguada d en la espuesta tansitoia está en algún punto ente la fecuencia de cuce de ganancia y la fecuencia de cuce de fase. 3. La fecuencia del pico de esonancia y la fecuencia natual amotiguada d paa la espuesta tansitoia a escalón están muy cecanas ente sí paa sistemas ligeamente amotiguados. CONTROL CLÁSICO 0 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

21 Respuesta en fecuencia de lazo ceado Considee el sistema con etoalimentación unitaia La función de tansfeencia en lazo ceado es Definamos la magnitud de espuesta en fecuencia en lazo ceado como M y el ángulo de fase como α, o Lugaes geométicos de magnitud constante (cículos M ). Paa obtene los lugaes geométicos de magnitud constante, pimeo consideemos que ( j) es una cantidad compleja que se escibe del modo siguiente: Si M, entonces, obtenemos X Ésta es la ecuación de una ecta paalela al eje Y y que pasa po el punto (,0). Si M, la ecuación se escibe La ecuación es la de un cículo con cento en X M ( M ), Y 0 y con adio ( M ) M. CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

22 Lugaes geométicos de ángulo de fase constante (cículos N ). Obtendemos el ángulo de fase α en téminos de X y Y Dado que Ésta es la ecuación de un cículo con cento en X, Y N y adio de ( ) 4 +. N CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

23 (a) Luga geomético de ( j) (b) Luga geomético ( j) sobepuesto a una familia de cículos M. sobepuesto a una familia de cículos N. (c) Cuvas de espuesta en fecuencia en lazo ceado. CONTROL CLÁSICO 3 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

24 Cata de Nichols La Cata de Nichols. son los lugaes geométicos fase. M y N en el plano de la magnitud logaítmica conta la La cata de Nichols contiene las cuvas de magnitud en db y ángulo de fase en lazo ceado constantes. El diseñado puede detemina gáficamente el magen de fase, el magen de ganancia, la magnitud del pico de esonancia, la fecuencia del pico de esonancia y el ancho de banda del sistema en lazo ceado a pati. de la gáfica del luga geomético en lazo abieto, ( j) La cata de Nichols es muy útil paa detemina la espuesta en fecuencia en lazo ceado a pati de la de lazo abieto. La cata de Nichols es simética con especto al eje -80. Los lugaes geométicos M y N se epiten cada 360 y pesentan una simetía en cada intevalo de 80. Los lugaes geométicos M están centados con 0dB, 80. especto al punto cítico ( ) se sobepone a la cata de Nichols, los puntos en los que inteseca los lugaes geométicos M y N popocionan los valoes de la magnitud M y el ángulo de fase α de la espuesta en fecuencia en lazo ceado en cada punto de fecuencia. Si la cuva de la espuesta en fecuencia en lazo abieto ( j) CONTROL CLÁSICO 4 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

25 Ejemplo: Considee el sistema con ealimentación unitaia con la siguiente función de tansfeencia en lazo abieto: j ( j ) db j j ( ) ( ) Detemine el valo de la ganancia K tal que M.4 3dB Se taza la gáfica de la magnitud logaítmica conta fase con K Se desplaza la gafica hasta que sea tangente a la cuva de M 3dB, se mide el desplazamiento en db (+) si se desplaza la gafica hacia aiba ó (-) si se desplaza la gafica hacia abajo, en el eje de la magnitud j, este seá 0 log K ( ) 0log K K 0.79 CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

26 Considee el sistema de contol con ealimentación unitaia cuya función de tansfeencia en lazo abieto es Detemine el valo de la ganancia K tal que M. 4 Se taza la gáfica de la magnitud logaítmica conta fase con K Se desplaza la gafica hasta que sea tangente a la cuva de M. 4, se mide el desplazamiento en db (+) si se desplaza la gafica hacia aiba ó (-) si se desplaza la gafica hacia abajo, en el eje de la magnitud j, este seá 0 log K ( ) CONTROL CLÁSICO 6 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ