Electricidad y Magnetismo Curso 2010/2011

Transcripción

1 lectcdad y Magnetsmo Cuso / lectostátca Defncón Los conductoes en electostátca. Campo de una caga puntual. Aplcacones de la Ley de Gauss Integales de supeposcón. Potencal electostátco Defncón e Intepetacón. Integales de supeposcón. cuacones de Posson y Laplace. Condcones de Intefase.Condcones de eguladad. Teoema de uncdad, teoema del valo medo. Campo y potencal eléctco en puntos aleados: dpolo, momento dpola, polazacón de mateales. Método de las mágenes. stemas de conductoes. Condensadoes. negía y Fuezas. J.L. Fenández Jambna ym h- negía lectostátca A pat del teoema de Poyntng la enegía asocada al campo eléctco es: Dd La enegía eléctca es una magntud postva ya ue D ólo puede se nula s el campo eléctco tambén lo es. sta expesón asoca la enegía al campo y, aunue este enfoue es ventaoso, convene obtene una expesón ue elacone la enegía con las cagas: Utlzando ( ΦD) Φ DΦ D DΦ Dd Φd ( ΦD) d Los cambos de medo plantean poblemas al ntenta tansfoma la segunda ntegal medante del teoema de Gauss. J.L. Fenández Jambna ym h- lectostátca: negía y Fuezas ym F-

2 lectcdad y Magnetsmo Cuso / J.L. Fenández Jambna negía lectostátca () Dd Φd ( ΦD) d uponendo una stuacón como la de la fgua, y utlzando los sentdos de las nomales ndcados esulta: N ( ΦD) d ( ΦD ) d ( ΦD) d N N ΦD d ΦD d ΦD d 44 4 N N $n N N N Φ( D D ) d Φ d N $n N La ntegal ue se cancela lo hace debdo a las condcones de eguladad en el nfnto. Tambén se ha aplcado la condcón de fontea del vecto desplazamento. esultado: Dd Φd Φ d ym h- negía electostátca () Dd n la expesón en funcón de los campos la ntegal debe extendese a todo el volumen en exstan campos, lo ue euvale a dec cas sempe todo el espaco. n la expesón en funcón las cagas y el potencal, la ntegal volumétca puede estngse al volumen en ue exste caga. Φd Φ d No tene sentdo desaolla expesones paa cagas lneales o puntuales ya ue la enegía asocada es nfnta: ambos tpos de dstbucón dan luga potencales nfntos en los puntos en ue se encuentan stuadas. J.L. Fenández Jambna ym h-4 lectostátca: negía y Fuezas ym F-

3 lectcdad y Magnetsmo Cuso / lectostátca: negía y Fuezas ym F- J.L. Fenández Jambna emplo: negía de una bola de caga l campo debdo a la dstbucón de la fgua es: La enegía: Donde s se mantene la caga total,, y el ado tende a, caga puntual, la enegía se hace nfnta. ; ˆ ; ˆ d d d d d d d d d d Dd ϕ ϕ ϕ ϕ sen sen ym h-5 J.L. Fenández Jambna negía de un sstema de conductoes n un sstema de conductoes toda la caga está en sus supefces: n el caso de un condensado: Φ Φ Σ C d d d ( ) ( ) C C ym h-6

4 lectcdad y Magnetsmo Cuso / negías de Fomacón e Inteaccón se suponen dos dstbucones de caga, y : ΦΦΦ Φ,, D Φ,, D D D D u enegía total puede escbse como: Fomacon Fomacon Inteaccon ( ) Dd D d D d D D d Φd 4 Φ d Φ d Φ d Φ d Fomacon Fomacon Inteaccon La enegía de fomacón es la popa de cada dstbucón. La enegía de nteaccón es la coeccón ue hay ue hace a la suma de las enegías de fomacón paa obtene la enegía total. epesenta la nteaccón enegétca ente las dstbucones. J.L. Fenández Jambna ym h-7 negías de Fomacón e Inteaccón () La enegía total y de fomacón no pueden se negatvas. La enegía de nteaccón puede se negatva. mplfcacones de las expesones de la enegía de nteaccón: D D, Dd d D Dd De foma smla a como se obtuvo la expesón de la enegía en funcón de las cagas se obtene:, Dd D d Φ d Φ d J.L. Fenández Jambna ym h-8 lectostátca: negía y Fuezas ym F-4

5 lectcdad y Magnetsmo Cuso / negías de nteaccón de cagas puntuales Consdeando una caga puntual como el límte al ue tende una dstbucón de caga cuando el volumen ue la contene tende haca ceo: I e d e( ) d e( ) e lm :, Φ Φ Φ Φ esultado de acuedo con la ntepetacón físca del potencal escala electostátco. el potencal exteno es debdo a ota caga puntual: I: ( ), Φ 4 La enegía de nteaccón en un sstema de N cagas puntuales es: N N N N I :... N 4 4 J.L. Fenández Jambna n la últma expesón se han omtdo los témnos ue coesponden a la enegía de fomacón de las cagas puntuales ( ). d ym h-9 negía de nteaccón de dstbucones de caga nula. uponendo una dstbucón de caga total nula en pesenca de un potencal exteno cas constante (~campo constante): el potencal es cas constante: Φ Φ Φ Φe( ) Φe( ) ( x x) ( y y) ( z z) x y z Φe( ) ( ) Φe( ) Φe( ) ( ) ( ) Aplcando esta apoxmacón: I :, Φ Φed Φe( ) d ( ) ( ) d 44 O ( ) d ( ) d p e puede se cualue punto de la dstbucón p La enegía de nteaccón depende del valo y oentacón con especto al campo exteno del momento dpola de la dstbucón. J.L. Fenández Jambna ym h- lectostátca: negía y Fuezas ym F-5

6 lectcdad y Magnetsmo Cuso / Accones Mecáncas ecodando la defncón del campo eléctco: F La fueza sobe una dstbucón volumétca ígda seá: F d se consdean dos dstbucones y, las fuezas ue eecen una sobe la ota son guales y de sentdo contao (pncpo de accón y eaccón): ( ) d F, ( ) d d 4 ( ) d d ( ) d F, 4 J.L. Fenández Jambna Consecuenca : una dstbucón no eece fueza sobe sí msma.» Basta con toma F, F, F, Consecuenca : Paa calcula la fueza sobe una dstbucón da gual utlza el campo total o el campo debdo al esto de cagas. d d F F F T( ) ( ) esto( ) [ ] esto esto { F,,, ym h- Fuezas sobe conductoes Campo en la supefce de un conducto: stctamente no está defndo ya ue es dscontnuo. e acostumba a denomna como tal el campo ue exste usto fuea del conducto. e puede descompone en dos componentes:» La del elemento de supefcal de caga: es dscontnua y po smetía: nˆ d, e d,» La del esto de las cagas: esto Paa ue el campo sea nulo dento del conducto: Luego el campo total usto fuea es: T esto d, e v La fueza sobe el d utlzando el campo del esto: df esto La fueza total sobe el conducto: J.L. Fenández Jambna Td v F d d, e esto esto d, La mtad de lo ue se podía habe pensado! nˆ esto d d d, esto σ d T ym h- lectostátca: negía y Fuezas ym F-6

7 lectcdad y Magnetsmo Cuso / elacón fueza enegía: se modfca la poscón elatva de dos dstbucones de caga con la lenttud sufcente paa ue los estados ntemedos se puedan consdea como stuacones estátcas, las fuezas eléctcas ealzaán un tabao a costa de la enegía eléctca del sstema. n el caso de una caga puntual en el seno de un campo exteno:» Paa ue el desplazamento se haga de foma lenta debe exst una fueza extena, F m,ue cancele en todo momento el efecto de la fueza eléctca. Fm F» l tabao ealzado po la fueza eléctca seá gual a la dsmnucón de la enegía eléctca: [ ( ) ( )] I d F dl dl Φ Φ Φ» La vaacón de enegía eléctca es ndependente del camno: I F dl dl d I nˆ F I n» e deva especto del vecto de poscón de la caga. l esultado es aplcable a otos tpos de dstbucones. ym h- J.L. Fenández Jambna Fueza ente conductoes los conductoes se consdean aslados, caga constante, es nmedato. emplo: la fueza ente las amaduas de un condensado plano es» Dectamente: x x x x Φ( x ) ( ) ( x x) x x C x x xˆ v F, d» A pat de la enegía: T xˆ x x x d J.L. Fenández Jambna I F, C I xˆ ( x x ) X ym h-4 lectostátca: negía y Fuezas ym F-7

8 lectcdad y Magnetsmo Cuso / Fueza ente conductoes () los conductoes se encuentan a potencal constante, deben consdease los geneadoes: Los geneadoes mantenen la tensón a base de apota la caga ue sea necesaa, po lo tanto tambén apotan enegía en foma eléctca. emplo: l condensado anteo. g se supone un desplazamento dx :» La capacdad aumenta un - dx C m dc d dx x x ( x x) J.L. Fenández Jambna» La caga aumenta un: C d dc dx» La enegía eléctca vaía un C C d dc dx» l geneado entega... x x x d X ym h-5 J.L. Fenández Jambna Fueza ente conductoes () C l geneado entega: d dx C u enegía aumenta: d g d l tabao ealzado po la fueza extena es: La enegía extena aumenta un: d ˆ ˆ m F xdx F xdx Como la enegía total no puede vaa: - C C d dg dm F xˆ dx C F xˆ xˆ l msmo esultado ue a caga constante. x Paa ambas stuacones las fuezas son déntcas... Consdee la stuacón más cómoda!!! dx C C dc dx d dx C d dx F xdx ˆ ˆ F x dx g m x x d X ym h-6 lectostátca: negía y Fuezas ym F-8

9 lectcdad y Magnetsmo Cuso / negía y paes de fueza Las fuezas eléctcas tambén pueden da luga a paes de fuezas sobe las dstbucones de caga. ecodando la defncón de pa de fuezas: M F La expesón paa el pa de fuezas de ogen eléctco es: M M d M u se puede consdea constante el campo en el volumen de la dstbucón: α M d p 44 p $u - l pa seá pependcula al campo y al momento. u componente en esa deccón seá: // α α I ( p ) uˆ p senα p cosα ; uˆ p p J.L. Fenández Jambna ym h-7 lectostátca: negía y Fuezas ym F-9