CAMPO ELÉCTRICO { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C

Transcripción

1 MPO LÉTRIO Septembe 0. Pegunta B.- Dos esfeas peueñas tenen caga postva. uano se encuentan sepaaas una stanca e cm, exste una fueza epulsva ente ellas e 0,0. alcule la caga e caa esfea y el campo eléctco ceao en el punto meo el segmento ue las une s: a) Las cagas son guales y postvas. b) Una esfea tene cuato veces más caga ue la ota. Dato: onstante e la Ley e oulomb, m. Solucón. a. La fueza ente cagas vene escta po la Ley e oulomb: u F l móulo e la fueza es: { } F,7 0, 0,0 F 7 ampo eléctco ( ). Teneno en cuenta ue las cagas son guales y el caácte vectoal e la magntu, el campo eléctco en el punto meo el segmento ue une las cagas es nulo. ( ) ( ) { } ( ) ( ) 0 b. plcano la ley e oulomb en móulo como en el apatao anteo: { } F, 0, 0,0 F 7,, 7 7 ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ),55 0,, 7 Juno 0. Pegunta.- Dos cagas puntuales, µ y µ, se encuentan stuaas en los puntos (0,0) cm y (8,0) cm. Detemne: a) l potencal electostátco en el punto (8,) cm. b) l punto el ee X, ente las os cagas, en el ue la ntensa el campo eléctco es nula. Dato: onstante e la Ley e oulomb, m. Solucón. a. Según el pncpo e supeposcón, el potencal eléctco ceao po las cagas y en el punto es: v, 0,0 0,

2 b. Se busca el punto one se cumpla: 0 plcano la ley e oulomb: ( ) x 8 x ( ) x x 8 x x 8 Despeano: x, cm Moelo 0. Pegunta.- Una caga puntual, µ, se encuenta stuaa en el ogen e cooenaas, tal y como se muesta en la fgua. Una seguna caga µ se encuenta ncalmente en el punto P (,0) m y, ecoeno la espal e la fgua, llega al punto P (0,) m. Detemne: a) La feenca e potencal ente los puntos P y P. b) l tabao ealzao paa lleva la caga el punto P al P. Datos: onstante e la Ley e oulomb; m Solucón. a. n este apatao se ebe entene ue se pe la feenca e potencal ente los puntos P y P es ebo a la pesenca e la caga. 500 v P P b. l tabao ealzao po una caga al esplazase en el seno e un campo magnétco, solo epene e las poscones ncales y fnales e la caga, y no el camno ecoo. ( ) P P W 0 0,05 J 500 W P P > l tabao lo ealza el campo sobe la caga Septembe 05. Pegunta.- Tes cagas guales, caa una e µ, están stuaas en los vétces e un tángulo euláteo e cm e lao. alcule: a) La enegía potencal electostátca e cualuea e las cagas. b) l potencal eléctco en el punto meo e cualue lao. Dato: onstante e la Ley e oulomb, m. Solucón. a. La enegía potencal electostátca (U) e una e las cagas es la caga po el potencal ue genean las otas os en el punto one esta. 0,8 J 0, 0, l l U l b. Paa calcula el potencal en el punto P, se calcula la stanca meante el teoema e Ptágoas 0,0075 0,05 0, v, 0,0075 0,05 0,05 5 P

3 Juno 05. Pegunta B.- Dos cagas e n se stúan en los vétces e la base e un tángulo euláteo e lao cm ue se encuenta stuaa sobe el ee e abscsas. l punto meo e la base está en el ogen e cooenaas y el vétce supeo en el semee postvo e oenaas. Detemne: a) l campo eléctco y el potencal eléctco ceao po las cagas en el vétce lbe. b) La fueza ue las cagas postvas eeceían sobe una caga e - n stuaa en el vétce lbe el tangulo. Dato: onstante e la Ley e oulomb, m. Solucón. a. l campo eléctco en el punto se obtene como suma vectoal e los campos ue genean las cagas stuaas en los puntos y B. Po se las cagas e gual ntensa y esta stuaas a gual stanca, los móulos e los campos ceaos po ambas seán guales. B 5000 ( ) La sposcón e las cagas y el punto, etemnan ángulos e 0º paa los vectoes campo (tángulo euláteo). cos0º sen 0º B cos0º sen 0º , B l potencal ue genean las os cagas en el punto es la suma escala e los potencales ue cean caa una e las cagas en el punto. B B 800 v b. S sobe el punto se coloca una caga, esta se vea someta a una fueza ue vene aa po la expesón: 5 F 5000,5 Moelo 05. Pegunta.- Tes cagas puntuales, µ, µ y una tecea caga esconoca, se encuentan en el vacío colocaas en los puntos (0,0), B(,0) y (0,), espectvamente. l potencal ue cean las tes cagas en el punto P(,) es 50. alcule, teneno en cuenta ue las cooenaas venen aas en metos: a) l valo e la caga. b) La fueza ue expementaía una caga e 7 µ colocaa en el punto P, ebo a la pesenca e las otas tes. Datos: onstante e la Ley e oulomb, m Solucón. a. Dao el caácte escala el potencal: P 5 50 ; µ 5

4 b. Lo mas sencllo en estos casos es calcula el campo eléctco ue cean las tes cagas (, y ) en el punto P, y a contnuacón calcula la fueza ue expementaía una caga stuaa en ese punto ( F ). l moulo el campo eléctco vene expesao po: Meante tángulos se pueen etemna las azones tgonométcas el ángulo α: senα cosα 5 5 T cosα senα ,5 00 T 8 8 5,5 00 8, La fueza ue expementa la caga es: F 7 8,,5, ( ) Septembe 0. Pegunta B.- n el plano XY se stúan tes cagas puntuales guales e μ en los puntos P (,-) mm, P (-, -) mm y P (-, ) mm. Detemne el valo ue ebe tene una caga stuaa en P (, ) mm paa ue: a) l campo eléctco se anule en el punto (0,0) mm. n esas concones, cuál seá el potencal eléctco en cho punto? b) l potencal eléctco se anule en el punto (0,0) mm. n esas concones, cuál seá el vecto e campo eléctco en cho punto? Dato: onstante e oulomb, m Solucón. a. l campo eléctco esultante en un punto ebo a una stbucón e cagas puntuales, es la suma vectoal e los campos eléctcos ue cean caa una e las cagas en el punto. Paa calcula el campo eléctco en un punto, se supone en cho punto la una e caga postva, lo cual pemte establece la eccón y sento e los campos ue cean las feentes cagas e la stbucón. La geometía e la stbucón y el hecho e ue las cagas son guales, pemte obseva en el esuema aunto, ue los campo ceaos po las cagas stuaas en los puntos P y P en el ogen e oenaas, son guales y e sgnos contaos po lo ue se anulan ente s. Po lo tanto el campo esultante ebo a las tes cagas en cho punto es. ( ) ( ) ( )

5 5 cosα α sen senα cosα senα cosα senα cosα T Paa ue el campo sea nulo, 0 T T Paa ue el campo ceao en P tenga sento contao al esultante e los otos tes, la caga en el punto ebeá se postva. S T T ( ) ; µ ste apatao, se puee explca po geometía sn necesa e ealza cálculos, llegano a la conclusón ue po smetía, los campo eléctcos ue genean las cagas stuaas en P y P en el ogen se anulan, po lo tanto ebeá pasa lo msmo ente las cagas stuaas en P y P po lo ue la caga en P ebeá se gual a la e P. l potencal (escala) ceao po la stbucón e cagas en el ogen e cooenaas es la suma escala e los potencales ue cea caa caga en el ogen e cooenaas: v 5,0 7 b. 0 µ ampo eléctco: ( ) 7 Suponeno la una e caga postva en el cento, se puee establece la eccón y sento el campo ue cean caa caga senα cosα senα cosα senα cosα senα cosα

6 Juno 0. Pegunta B.- Un electón se popaga en el plano XY con veloca v o constante e 0 m s en el sento negatvo el ee X. uano el electón cuza el plano x 0 se aenta en una egón el espaco one exste un campo eléctco unfome e 8 en el sento negatvo el ee X, tal y como se nca en la fgua. a) Descba el tpo e movmento ue seguá el electón una vez se haya ntouco en esa egón el espaco. Dscuta cual seá la veloca fnal el electón. b) alcule la fueza eeca sobe el electón así como la aceleacón ue éste expementa. Datos: Masa el electón, m e, kg ; alo absoluto e la caga el electón, e,0 Solucón. a. l enta el electón en la egón one exste el campo eléctco, se vea someto a una fueza en sento opuesto al campo ue popoconaá al electón una aceleacón en el sento e hasta ue lo pae, una vez paao, la fueza seguá actuano haceno ue el electón se acelee en el sento postvo e hasta sal e la egón one exste el campo eléctco con la msma veloca ue ento peo con sento opuesto, ebo al caácte consevatvo el campo eléctco. (negatva) l electón escbe un movmento ectlíneo unfomemente aceleao, seno su veloca fnal v 0 m s. b. F 7 F, ( 8 ),8 F m a F,8 a m, 7 0, m s kg Moelo 0. Pegunta. l campo electostátco ceao po una caga puntual, stuaa en el ogen e cooenaas, vene ao po la expesón: u, one se expesa en m y u es un vecto untao go en la eccón aal. S el tabao ealzao paa lleva una caga ese un punto a oto B, ue stan el ogen 5 y m, espectvamente, es e J, etemne: a) l valo e la caga puntual ue está stuaa en el ogen e cooenaas. b) l valo e la caga ue se ha tanspotao ese hasta B. Dato: onstante e la Ley e oulomb, m Solucón. a. Según la ley e oulomb, el campo eléctco vene ao po la expesón: u S se entfca con la expesón ue se a en el enuncao u u Se puee obtene el valo e la caga ue genea el campo eléctco. n b. l tabao ealzao paa taslaa una caga ( ) ento e un campo eléctco cuya ntensa vaa con el ao, vene ao po la expesón: W B B o Igualano al valo el tabao el enuncao, se espea el valo e la caga ue se taslaa po el campo eléctco.

7 µ Septembe 0. Pegunta 5.- Se tene un plano nfnto con una ensa e caga supefcal postva σ. a) Deuzca, utlzano el teoema e Gauss, el vecto campo eléctco geneao po la stbucón. b) alcule la feenca e potencal eléctco ente os puntos, en el msmo semespaco, sepaaos una stanca en la eccón pepencula al plano cagao. Justfue s cambaía su espuesta s la eccón fuea paalela al plano cagao. Solucón. a. Según el teoema e Gauss, el fluo neto a tavés e una supefce ceaa cualuea es gual a la suma algebaca e las cagas eléctcas enceaas en su nteo va ente la constante eléctca el vacío. Φ ε o Paa un plano nfnto, se toma como supefce gaussana un paalelepípeo ecto como el ue muesta la fgua. Sólo hay fluo a tavés e las caas S y S paalelas al plano. Las líneas e campo sempe salen e las cagas postvas, po lo ue el campo ceao po el plano seá unfome. l fluo a tavés e las supefces lateales es nulo (nnguna línea e campo las atavesan). plcano el teoema e Gauss: Φ o S o S S cos 0 S cos 0 S S S Teneno en cuenta la ensa supefcal e caga ( σ S) S S σ ε o σ ε o b. La feenca e potencal ente os puntos vene ao po la expesón: B B B σ σ B cos 0º B εo εo εo σ εo ( ) S la línea ue une los puntos fuese paalela al plano, B 0, y la feenca e potencal ente ellos sea ceo Juno 0. Pegunta B.- Dos cagas puntuales y están stuaas en el ee X sepaaas po una stanca e 0 cm y se epelen con una fueza e. S las suma e la os cagas es gual a µ, calcule: a) l valo e las cagas y. b) l vecto campo eléctco en el punto meo e la ecta ue une las cagas. Dato: onstante e la ley e oulomb, m. Solucón. a. Po epelese y suma µ, las cagas eben tene gual sgno, y se postvas. plcano la Ley e oulomb: F u t n móulo F : ( ) 8 ( ) 7

8 8 0 : 8 S se toma como 8 b. l campo eléctco en el punto meo el segmento ue une las cagas es la suma vectoal e los campos genean caa una e las cagas. ( ) 8 5 ( ) Moelo 0. Pegunta B.- Una esfea macza no conuctoa, e ao R 0 cm, está cagaa unfomemente con una caga e. a) Utlce el teoema e Gauss paa calcula el campo eléctco en el punto R y etemne el potencal eléctco en cha poscón. b) S se envía una patícula e masa m kg, con la msma caga y veloca ncal v o 5 m s, ga al cento e la esfea, ese una poscón muy leana, etemne la stanca el cento e la esfea a la ue se paaá cha patícula. Datos: m Solucón. a. Teoema e Gauss. l fluo neto ue atavesa una supefce ceaa cualuea es gual a la suma algebaca e las cagas eléctcas enceaas en su nteo va ente la constante eléctca el vacío Φ ε o T. GUSS Φ o S s s π ε S S S o 550 * πε o ( 0 ) m * l campo eléctco se puee expesa en /m o en /m. b. La enegía cnétca ue tene la caga en un punto aleao (nfnto) se tansfoma en tabao ue ealza paa apoxmase a ota caga e gual sgno. W c c m( v vo ) mvo : mvo W ( ) ( ) mv 0, m 0 cm mv 5 ( ) 8

9 Septembe 0. Pegunta.- Dos cagas puntuales m y m están colocaas en el plano XY en las poscones (,0) m y (,0) m, espectvamente: a) Detemne en ue punto e la línea ue une las cagas el potencal eléctco es ceo. b) s nulo el campo eléctco ceao po las cagas en ese punto? Detemne su valo s pocee. Dato: onstante e la ley e oulomb, m Solucón a. Se pe calcula la poscón e punto como nca la fgua, e manea ue el potencal ceao po las os cagas en el punto sea nulo. Teneno en cuenta la efncón e potencal en un punto y su caácte escala: ( ) 0 ; 0 ; 0 x x ; 0 x x x x x ± x Resolveno una vez con caa sgno, se obtenen os posbles poscones. x x 5 ( 5, 0) x x x, 0 x b. Dao el caácte vectoal el campo eléctco, y los sentos e los campos ceaos po caa caga en el punto, el campo eléctco en él no es nulo , 5 m 5,78 m Juno 0. Pegunta.-. Un electón ue se mueve.con una veloca v ms peneta en una egón en la ue exste un campo eléctco unfome. Debo a la accón el campo, la veloca el electón se anula cuano éste ha ecoo 0 cm. alcule, especano los efectos e la fueza gavtatoa. a) l moulo, la eccón y el sento el campo eléctco exstente en cha egón b) l tabao ealzao po el campo eléctco en el poceso e fenao el electón. Datos: Masa el electón, m, kg ; e alo absoluto e la caga el electón, e,0 Solucón. a. uano una caga eléctca ente en una egón one exste un campo eléctco, se ve someta a una fueza ue es popoconal a la ntensa el campo y al valo e su caga. La eccón e la fueza seá paalela al campo eléctco y el sento seá el msmo ue el el campo s la caga es postva y opuesto s es negatva. F

10 La fueza a la ue se ve someta la caga se puee calcula teneno en cuenta el seguno F m a y el tpo e movmento ue ealza la caga (M.R.U.). pncpo e la námca ( ) v v o at : o s so vot at Teneno en cuenta ue s o v 0: vo a s vo v a a o v F o m s s s MRU : v v a ( s s ) Susttuyeno en la expesón el campo eléctco: mv o mv o, ( ),5 s s 0,,0 ( ) b. l tabao ealzao po el esplazamento e una caga en el seno e un campo eléctco vene ao po: W B ( B ) l ncemento e potencal ( ) se puee obtene e la elacón exstente ente campo y potencal eléctco. : x x Teneno en cuenta ue el campo es unfome: x W B : W B ( x) x x 8 W B,,5 0, m -,8 J Tambén se puee esolve teneno en cuenta ue la caga se esta esplazano po un campo consevatvo, y ue po tanto W U, seno en este caso U el ncemento e enegía potencal. Po se consevatvo, la enegía mecánca pemanece constante. m P c m P c 0 c P mea ue aumenta la enegía cnétca, smnuye la enegía potencal P : W P c m ( v v ), 0 ( ),8 J W c o 8 o

11 Moelo 0. Pegunta 5.- Se sponen tes cagas eléctcas puntuales en los vétces e un tángulo ectángulo cuyos catetos tenen una longtu L como nca la fgua (L, m, 5 n, 5 n). a) alcule la fueza total, F, eeca po las cagas y sobe la caga, y bue el agama e fuezas e la caga. b) uál seía el tabao necesao paa lleva la caga ese su poscón actual al punto P e cooenaas x, m, y, m? Dato: onstante e la ley e oulomb m. Solucón. a. l móulo e la fueza ente os cagas se calcula meante la Ley e oulomb: F La eccón, la línea ue une las cagas, y el sento, po se e sgnos contaos, e ataccón. F L 5 5 7,5, 7 F,5 5 5 F L (,) 8 7,8 Po se un tángulo sósceles ectángulo, el ángulo en valo absoluto es e 5º 8 8 F 7,8 sen 5º 7,8 sen 5º F a la ue se ve someta la caga es la suma vectoal e F y F F F F,5 7,8 sen 5º 7,8 sen 5º La fueza ( ) 8 F 7,8 sen 5º ( ) 7 8 (,5 7,8 sen 5º ) 8 7 F 5,5, F ( 5,5 ) (, ),8 F 7 y, α actg actg F 8 x 5,5 b. Po se un campo consevatvo: W P ( ) 75º Seno el potencal ceao po y en el punto P y el potencal ceao po y en la poscón ncal e. ; L L L L Teneno en cuenta ue, po lo tanto 0 y el tabao es nulo.

12 0 0 W Septembe 0. Poblema B.- n el punto e cooenaas (0, ) se encuenta stuaa una caga, 7,l0 y en el punto e cooenaas (, 0) se encuenta stuaa ota caga,,0. Las cooenaas están expesaas en metos. a) alcule la expesón vectoal e la ntensa el campo eléctco en el punto (, ). b) alcule el valo el potencal eléctco en el punto (, ). c) Inue el valo y el sgno e la caga ue hay ue stua en el ogen paa ue el potencal eléctco en el punto (, ) se anule. ) Inue el valo y el sgno e la caga ue hay ue stua en el ogen e cooenaas paa ue la ntensa el campo en el punto e cooenaas (, ) sea 0. Dato: onstante e la ley e oulomb m claacón: o es necesao, peo s se esea ue en el punto (, ) el campo eléctco en el apatao ) sea un ceo exacto, hay ue consea el valo e como un númeo peóco, (/). Solucón. a. l campo eléctco en el punto (, ) es la suma vectoal e los campos eléctcos ue genean caa una e las cagas en ese punto. T b. l potencal eléctco en el punto (, ) es la suma algebaca e los potencales ue genean caa una e las cagas en el punto T 5 T c. 0 T Smplfcano la constante. 0 ; ; 5 5. Paa ue el campo eléctco en el punto (, ) sea nulo, la caga stuaa sobe el punto (0, 0) ebeá genea un campo eléctco e gual moulo y eccón ue el geneao po las cagas y peo e sento opuesto. Paa ue el campo geneao po la caga este go haca el punto (0, 0), la caga ha e se negatva. 0 T ( )

13 ( ) ( ) 5 : ; 5 5 Juno 0. Poblema B.- onséese un conucto esféco e ao R cm, cagao con una caga 5 n. a) alcule el campo electostátco ceao en los puntos stuaos a una stanca el cento e la esfea e 5 y 5 cm. b) ué potencal se encuentan los puntos stuaos a cm el cento e la esfea? c) Y los stuaos a 5 cm el cento e la esfea? ) ué tabao es necesao ealza paa tae una caga e n ese el nfnto a una stanca e cm el cento e la esfea? Dato: onstante e oulomb /(π ε o ) m. Solucón. a. l campo eléctco ceao po un conucto esféco se calcula meante el teoema e Gauss. Teneno en cuenta ue la eccón el campo eléctco es aal y ue la eccón el campo es pepencula a la supefce esféca y su móulo es constante en toa la supefce, el fluo a tavés e la supefce es: Φ S S S πr S Según el teoema e Gauss el fluo es gual a la caga enceaa va po ε o. Φ ε o Igualano ε πr ; o n un conucto esféco, la caga se encuenta en la supefce y po tanto la caga en el nteo e una esfea e ao meno al e la esfea conuctoa es ceo, po lo ue el campo seá nulo. Paa 5 cm: 0; 0 Paa 5 cm: 5 5 ; 000 0,5 πε 5 b. Paa cm: 50 R 0, 5 c. Paa 5 cm: 00 R 0,5. Po se un campo consevatvo: W o R 7 ( ( 0,) ( ) ) ( 50 0) J p Se ebeá hace un tabao e 7 J paa taslaa la caga. Moelo 0. Poblema.- Se sponen os cagas eléctcas sobe el ee X: una e valo en la poscón (,0) y ota e valo en (,0). Sabeno ue toas las cooenaas están expesaas en metos, etemne en los casos sguentes:

14 a) Los valoes e las cagas y paa ue el campo eléctco en el punto (0,) sea 5 / seno el vecto untao en el sento postvo el ee Y. b) La elacón ente las cagas y paa ue el potencal eléctco en el punto (,0) sea 0. Dato: onstante e la ley e oulomb m. Solucón a. l campo eléctco geneao po ambas cagas en el punto (, 0) es la suma vectoal e los campos ue genean caa una e las cagas en el punto. Las os cagas han e se guales paa ue se anulen las componentes x e los campo ue cean caa una e las cagas, aemás, eben se postvas paa ue el campo esultante tenga la eccón y sento e. Teneno en cuenta ue las os cagas tenen el msmo valo y están a gual stanca el punto, los móulos e los campos ceaos po ambas son guales. : T x y x ( ),5 y cosθ senθ cosθ senθ senθ 5,5 5,,5 b. l potencal en un punto ebo a una stbucón e cagas puntuales, es la suma algebaca e los potencales ue cean caa una e las cagas en el punto. T 0 0 ; Septembe 0 F.G. uestón.- Dos cagas puntuales guales, e valo, están stuaas espectvamente en los puntos (0, 8) y (,0). S las cooenaas están expesaas en metos, etemne: a) La ntensa el campo eléctco en el ogen e cooenaas (0, 0). b) l tabao ue es necesao ealza, paa lleva una caga ese el punto P (, ), punto meo el segmento ue une ambas cagas, hasta el ogen e cooenaas. Dato: onstante e la ley e oulomb m Solucón. a. T T ,5 8 T T ( 500) ( 8,5 ) 57,7 b. l tabao necesao paa esplaza una caga ente os puntos e un campo eléctco es el poucto e la caga po la feenca e potencal ente los os puntos.

15 .. W. B. ( ) B. 5 B B. B..B.B J ( ) 5,85 J W B. 700 J..B.B { } Juno 0 F.M. uestón B.- a) nunce y expese matemátcamente el teoema e Gauss. b) Deuzca la expesón el móulo el campo eléctco ceao po una lámna plana, nfnta, unfomemente cagaa con una ensa supefcal e caga σ. Solucón. a. Teoema e Gauss. l fluo neto ue atavesa una supefce ceaa cualuea es gual a la suma algebaca e las cagas eléctcas enceaas en su nteo va ente la constante eléctca el vacío. φ o S S εo b. n un plano nfnto e caga constante la supefce gaussana elega tene foma e un paalelepípeo como el ue muesta la fgua, y po lo tanto habá fluo a tavés e las supefces S y S (S S ) paalelas al plano cagao. plcano el teoema e Gauss y teneno en cuenta ue el campo es constante y paalelo al vecto e supefce: φ S o S S S Sε S S S S S' S ε S' σ o S xpesón e la ue se euce ue el campo e un punto el plano cagao es nepenente e la stanca. σ ε o o Juno 0 F.G. Poblema B.- Tes cagas puntuales n, 5 n y n están stuaas, espectvamente, en los puntos e cooenaas (0, ), (, ) y (, 0) el plano XY. S las cooenaas están expesaas en metos, etemne: a) La ntensa e campo eléctco esultante en el ogen e cooenaas. b) l potencal eléctco en el ogen e cooenaas. c) La fueza eeca sobe una caga n ue se stúa en el ogen e cooenaas. ) La enegía potencal electostátca el sstema fomao po las tes cagas, y. Dato. onstante e la ley e olulomb m Solucón. n una stbucón e cagas puntuales, como la ue se pe, lo pmeo ue hay ue hace es supone la caga una postva en el punto one se pe calcula el campo eléctco y establece los vectoes e campo eléctco ue genea caa una e las cagas en ese punto. 5

16 a. La ntensa e campo eléctco geneao po la stbucón e cagas en el ogen e oenaas es el móulo el campo eléctco geneao po ellas. ( ) ( x y ) ( ) ( x ) ( y ) l móulo el campo eléctco geneao po una caga a una stanca vene ao po la expesón: plcano a la stbucón popuesta: 5 x cos α : y sen α Susttuyeno en la expesón el campo eléctco: ( x ) ( y ) , b. l potencal en un punto ebo a una stbucón e cagas es la suma (escala) e los potencales e caa caga en el punto c. F 8,, 0 5 F ( 8, ) (, ), ( ) v. 8 ( 5) ( 5) 8 U 7, J... 5 Moelo 0. Poblema.- Se sponen os cagas eléctcas sobe el ee X: una e valo en la poscón (,0), y ota e valo en (,0). Sabeno ue toas las cooenaas están expesaas en metos, etemne en los os casos sguentes: a) Los valoes e las cagas y paa ue el campo eléctco en el punto (0,) sea el vecto 5 /, seno el vecto untao en el sento postvo el ee Y.

17 b) La elacón ente las cagas y paa ue el potencal eléctco en el punto (,0) sea ceo. Datos: onstante e la ley e oulomb k m Solucón. a. POR SIMTRÍ: Paa ue el campo esultante sea en la eccón el ee OY, las os cagas han e se e gual sgno y móulo, po se en la eccón postva el ee, las cagas seán postvas. Po smeta T y y x x Po efncón: y k sen 5º k : y k sen 5º T T y y k sen 5º k sen 5º T k sen 5º k sen 5 T k sen 5º 5 ' { } k sen 5º b. l potencal eléctco en el punto P, es la suma escala e los potencales ue genea caa una e las cagas en cho punto. 0 5 P Po efncón: k P k k 0 k k Tenen ue se e stnto sgno, y e tple valo ue. k k Septembe 00. uestón.- Una supefce esféca e ao R tene una caga eléctca stbua unfomemente en ella. a) Deuzca la expesón el móulo el vecto campo eléctco en un punto stuao en el exteo a cha supefce haceno uso el teoema e Gauss. b) uál es la azón ente los móulos e los vectoes campo eléctco en os puntos stuaos a las stancas el cento e la esfea R y R? Solucón. a. Según la ley e olumb, el campo eléctco ceao po un caga en un punto e una supefce esféca vale, y es pepencula a la supefce. l fluo a tavés e esta supefce seá: Φ o S S π S S ε o seá: S aplcamos el teoema e Gauss a cha supefce esféca, el fluo a tavés e la supefce Φ o S S S π S S S 7

18 Teneno en cuenta ue el fluo según el teoema e Gauss es: Φ π : ε o πεo Resultao ue es éntco al encontao po la Ley e oulomb paa una caga puntual. b. Según la expesón euca en el apatao a: R : : R : ( R) R R R ompaano los móulos e los campos eléctcos: R : R ε o ( ) Juno 00. Poblema.- Dos cagas puntuales e µ y µ se encuentan stuaas en el plano XY, en los puntos (,0) y (,0) espectvamente. Detemne el vecto campo eléctco: a) n el punto e cooenaas (,0). b) n el punto e cooenaas (0,). ota: Toas las cooenaas están expesaas en metos. Dato: onstante e la ley e oulomb m Solucón. Según el pncpo e supeposcón, el campo eléctco ceao po una stbucón e cagas puntuales en un punto e espaco, es la suma vectoal e los campos eléctcos ceaos po caa caga e la stbucón en ese punto. T l campo eléctco () ceao po una caga en un punto vene ao po la expesón: u Done es la constante eléctca, es la caga (), es la stanca (m) y u es un vecto untao en la eccón e la ecta ue une la caga al punto, y sento haca la caga s es negatva, y en sento opuesto s es postva. a. n este apatao la stbucón e cagas y los campos ceaos po ambas en el punto O(, 0), ofece una geometía unmensonal, tal como muesta la fgua.,, T,,, b. La fgua epesenta la stbucón e cagas y los campos ceaos po ambas en el punto O(0, ). Paa ue la epesentacón uee más claa se ha tomao stnta escala en los ees. omo el valo absoluto e las cagas y las stancas ue las sepaan al 8

19 punto O son guales, el móulo el campo ceao po ambas cagas en O tambén lo es. : 7,7 ( ) omo en el apatao a, teneno en cuenta el pncpo e supeposcón: T Teneno en cuenta las componentes tgonométcas e α y el cuaante e caa ángulo: ( cos α) ( sen α) cos α sen ( cos α) sen α cos α sen x y α x y α Sumano los vectoes se obtene el campo en O. T cos α,7 5, ota: Po smetía se poía habe etemnao ue las componentes y e los campos se anulaban ente s. Moelo 00. Poblema B.- n el plano x 0 exste una stbucón supefcal nfnta e caga cuya ensa supefcal e caga es σ / m a) mpleano el teoema e Gauss etemne el campo eléctco geneao po esta stbucón e caga en los puntos el espaco e cooenaas (, 0, 0) y (, 0, 0). Una seguna stbucón supefcal nfnta e caga e ensa supefcal σ se stúa en el plano x. b) mpleano el teoema e Gauss etemne el valo e σ paa ue el campo eléctco esultante e ambas stbucones supefcales e caga en el punto (, 0, 0) sea / ota: Toas las cooenaas están expesaas en unaes el SI Dato: Pemsva eléctca el vacío ε m Solucón. a. Teoema e Gauss. l fluo neto ue atavesa una supefce ceaa cualuea es gual a la suma algebaca e las cagas eléctcas enceaas en su nteo va ente la constante eléctca el vacío. φ o S S εo n un plano nfnto e caga constante la supefce gaussana elega tene foma e un paalelepípeo como el ue muesta la fgua, y po lo tanto habá fluo a tavés e las supefces S y S (S S ) paalelas al plano cagao. plcano el teoema e Gauss y teneno en cuenta ue el campo es constante y paalelo al vecto e supefce: φ S o S S S Sε S S S' σ o S S S S' S ε xpesón e la ue se euce ue el campo e un punto el plano cagao es nepenente e la stanca.. plcano al caso ue se popone: σ 5.5 ε 8.85 o b. Según el pncpo e supeposcón, el campo en un punto es la suma vectoal e los campos geneaos po caa una e las stbucones σ ε o o

20 5. ( ),5 plcano la expesón obtena en el apatao a: σ σ ε o,5 8.85,8 ε o m ( ) Septembe 008. uestón. Se sponen tes cagas e n en tes e los vétces e un cuaao e m e lao. Detemne en el cento el cuaao: a) l móulo, la eccón y el sento el vecto campo eléctco. b) l potencal eléctco. Dato: onstante e la ley e oulomb m Solucón. a. La epesentacón el sstema puee hacese en la oentacón ue más nos nteese, en este caso como apaece en la fgua aunta. La stanca ente el cento y cualue vétce (R) es: R R : R : R l móulo el campo eléctco ceao po una caga a una stanca es: k n el cento el cuaao, po se las tes cagas guales y las stancas a los vétces guales, los móulos e los tes campos son guales: k 80 R ( ) l vecto ntensa el campo eléctco total es la suma vectoal e los vectoes ntensa e campo ceaos po caa una e las cagas. T b. l potencal eléctco es la suma escala e los potencales ceaos po caa una e las cagas, ue son tambén guales: k 7, oltos T 7, 8, oltos Septembe 008. Poblema B.- Una caga e n se stbuye homogéneamente en la egón ue elmtan os esfeas concéntcas e aos l cm y cm. Utlzano el teoema e Gauss, calcule: a) l móulo el campo eléctco en un punto stuao a cm el cento e las esfeas. b) l móulo el campo eléctco en un punto stuao a cm el cento e las esfeas. Dato: Pemtva eléctca el vacío ε o 8,85 m. Solucón. Teoema e Gauss: l fluo neto ue atavesa una supefce ceaa cualuea es gual a la suma algebaca e las cagas eléctcas enceaas en su nteo va ente la constante eléctca el vacío. Daa la smetía el sstema, en toos los puntos ue eustan el cento el campo eléctco seá aal y el msmo valo, po lo ue nteesa coge como supefce e ntegacón una esfea centaa en el ogen. 0

21 paalelo S Φ o S S cos 0 Ley e oulomb S S S π π S εo a. l fluo a tavés e una supefce esféca es: Φ o S S S π S S S Según el teoema e Gauss, el fluo tene un valo: Φ ε o De ambas expesones se euce: π : ε o π εo Utlzano los atos el enuncao: 0,0 m. enceaa 77 π 8,85 0,0 b. l pocemento es éntco al el apatao anteo peo ahoa la supefce gaussana es una supefce esféca e cm e ao, esta supefce no encea nnguna caga y po tanto el fluo es nulo y el campo eléctco tambén es nulo. 0,0 m enceaa 0 0 π 8,85 0,0 Juno 008. Poblema.- Dos cagas fas,5 n y -,7 n se encuentan stuaas en los puntos el plano XY e cooenaas (,0) y (-,0) espectvamente. S toas las cooenaas están expesaas en metos, calcule: a) l potencal eléctco ue cean estas cagas en el punto (-,). b) l campo eléctco ceao po y en el punto. c) l tabao necesao paa taslaa un ón e caga negatva gual a -e el punto al punto B, seno B (,), ncano s es a favo o en conta el campo. ) La aceleacón ue expementa el ón cuano se encuenta en el punto. Datos: alo absoluto e la caga el electón e, - onstante e la ley e oulomb m - Masa el ón M,5 - kg Solucón. a. Según el pncpo e supeposcón, el potencal en un punto el campo ceao po vaas cagas puntuales es la suma algebaca e los potencales ebos a caa una e las cagas puntuales. Paa calcula el potencal en un punto hay ue tene en cuenta ue es un escala, epene e la caga ue cea el campo, e la stanca el punto a la caga y el sgno seá el e la caga. 0,5 m,5 5m,7 m 8, m ( 8, ),,5

22 b. l campo eléctco ceao po vaas cagas puntuales en un punto, es la suma vectoal e los campos ue ceaos po caa una e las cagas en ese punto. l móulo el campo eléctco se puee obtene el potencal. :,5 8,,5 5m m Las componentes vectoales se obtenen e las azones tgonométcas e los ángulos ue foman los vectoes. ( cos α sen α ),5,,7 5 5 c. W ( ) B Potencal en B: B ( 0 ( ) ),7 ( 0 ),7 T (,,7 ) (,7), T, B.B.B,7,5.B m 7,5 m.b,7.b m,8 5m.B (,8), 7,5 Susttuyeno en la expesón el tabao: W B,,, ( ) ( ) 5,8 J Po se postvo el tabao es a favo el campo.. plcano el seguno pncpo e la námca: F m a La fueza a la ue se ve someto el ón en un punto el campo es: F ón Igualano y se espea la aceleacón: ón ón móna a m,, 7 a, m,5 s Moelo 008. uestón.- a) nunce el teoema e Gauss y escba su expesón matemátca. b) Utlce cho teoema paa euc la expesón matemátca el campo eléctco en un punto el espaco ebo a una caga puntual. Solucón. a. l fluo neto ue atavesa una supefce ceaa cualuea es gual a la suma algebaca e las cagas eléctcas enceaas en su nteo va ente la constante eléctca el vacío.

23 φ S ε o c b. Paa faclta el cálculo el fluo, suponemos una supefce ue encee a la caga puntual con una smetía senclla y aecuaa, en este caso una esfea como la e la fgua, e moo ue el campo ( ) en cualue punto e la supefce es un vecto con eccón aal y e móulo constante : R ao e la esfea, y S es R el vecto epesentatvo e la supefce feencal a estuo, pepencula a ella. l fluo a tavés e too la esfea vena ao po la expesón: φ o S Scosα c c α es el ángulo ue foman y S, ue es 0º po se vectoes paalelos. φ S cos 0º S k S πr c c c R π εo R εo φ εo Septembe 007. Poblema B.- Se sponen os cagas eléctcas sobe el ee X: una e valo en la poscón (, 0), y ota e valo en (, 0). Sabeno ue toas las stancas están expesaas en metos, etemne en los os casos sguentes: a) Los valoes e las cagas y paa ue el campo eléctco en el punto (, 0) sea el vecto 5 /, seno el vecto untao en el sento postvo el ee Y. b) La elacón ente las cagas y paa ue el potencal eléctco en el punto (, 0) sea ceo. Datos: onstante e la ley e oulomb k m Solucón. a. POR SIMTRÍ: Paa ue el campo esultante sea en la eccón el ee OY, las os cagas han e se e gual sgno y móulo, po se en la eccón postva el ee, las cagas seán postvas. Po smeta T y y x x Po efncón: y k sen 5º k : y k sen 5º T T y y k sen 5º k sen 5º T k sen 5º k sen 5 T k sen 5º 5 ' { } k sen 5º 5

24 b. l potencal eléctco en el punto P, es la suma escala e los potencales ue genean caa una e las cagas en cho punto. 0 P Po efncón: k P k k 0 k k Tenen ue se e stnto sgno, y e tple valo ue. k k Juno 007. Poblema B.- Dos patículas con cagas e µ y e µ están stuaas en los puntos el plano XY e cooenaas (,0) y (,0) espectvamente. Sabeno ue las cooenaas están expesaas en metos, calcule: a) l campo eléctco en el punto (0,). b) l potencal eléctco en los puntos el ee Y. c) l campo eléctco en el punto (,0). ) l potencal eléctco en el punto (,0). Dato: onstante e la ley e oulomb m Solucón. a. Po el pncpo e supeposcón: ( 0,) ( 0,) ( 0,) Teneno en cuenta el sgno e las cagas: x y x y cosα senα cosα senα cosα cosα senα senα ( ) ( ) sen α cos α ( ) ( ) 0, 5, ( ) b. l potencal en un punto es la suma escala e los potencales ue cean caa una e las cagas en ese punto. ( ) ( ) ( ) 0, y 0, y 0, y Teneno en cuenta ue en cualue punto el ee e oenaas ( 0, y) 0 c. l gual ue en el apatao a, el campo eléctco en el punto (, 0) se calcula como suma vectoal e los campos eléctcos ue genean caa una e las cagas. Daa la geometía el poblema, solo exste campo eléctco en la componente.

25 (,0) (,0) (,0) Teneno en cuenta el sgno e las cagas:,0 87,5 ( ),0,0,0. ( ) ( ) ( ) ( ) 50,0 Moelo 007. Poblema B.- Una caga postva e µ se encuenta stuaa nmóvl en el ogen e cooenaas. Un potón movénose po el semee postvo e las X se ge haca el ogen e cooenaas. uano el potón se encuenta en el punto, a una stanca el ogen e x m lleva una veloca e 00 m/s. alcule: a) l campo eléctco ue cea la caga stuaa en el ogen e cooenaas en el punto. b) l potencal y la enegía potencal el potón en el punto. c) La enegía cnétca el potón en el punto ) l cambo e momento lneal expementao po el potón ese ue pate e y po efecto e la epulsón vuelve al msmo punto. Solucón. p m Datos: onstante e la ley e oulomb m 7 Masa el potón m,7 kg; aga el potón, p a) ampo eléctco es la egón el espaco ue se ve afectaa po la pesenca e una caga eléctca. Según la Ley e oulomb: m 80 m. b) l potencal en un punto e un campo eléctco, es el tabao necesao paa esplaza la caga una postva ese ese punto al nfnto. F m 800 ( J ) m l potencal en un punto se puee expesa en funcón e la enegía potencal en ese punto. p J p 800 ' '88 J p c m v 7 m s c) '7 kg ( ) 8'5 J ) p pf p m v m v m ( v ) p p o p v o ( ) ( 00 m 7 v v '7 kg ( 00 m ) p o p ' kg m s s s p 5

26 Septembe 00. Poblema B.- Dos cagas eléctcas postvas e guales e valo están stuaas en los puntos (0,) y B (0,-) el plano XY. Otas os cagas guales están localzaas en los puntos (,) Y D (,-). Sabeno ue el campo eléctco en, el ogen e cooenaas es, seno el vecto untao en el sento postvo el ee X, y ue toas las cooenaas están expesaas en metos, etemne: a) l valo numéco y el sgno e las cagas. b) l potencal eléctco en el ogen e cooenaas ebo a esta confguacón e cagas. Datos: onstante e la ley e oulomb m Solucón. a. Po el pncpo e supeposcón, el campo eléctco ( ) es la suma vectoal e los campos ue genean toas las cagas en ese punto. Los campos eléctcos y ceaos po las cagas y espectvamente en el ogen se anulan po smetía. Teneno en cuenta ue el T en el ogen tene eccón y sento, las cagas y han e se guales en móulo y sgno (negatvas), paa ue e esta foma, las componentes e ambos vectoes se anulen po smetía y las componentes se sumen, tal y como se obseva en la fgua. l campo eléctco ceao po una caga según la ley e oulomb es: u Seno u un vecto untao en la eccón ue une el punto a la caga ue cea el campo. ( 0,0) x ( ) x ( ) cosα 0 ( 0 ) 8 ( 0,0) 8,05,7,7µ,7 µ 5 b. l potencal en un punto ebo a una stbucón e cagas es la suma escala el potencal ue genea caa una e las cagas en ese punto. T T,7,7 T 0 0

27 Juno 00. uestón.- Una caga puntual e valo ocupa la poscón (0,0) el plano XY en el vacío. n un punto el ee X el potencal es y el campo eléctco es 80 / seno el vecto untao en el sento postvo el ee X. S las cooenaas están aas en metos, calcule: a) La poscón el punto y el valo e. b) l tabao necesao paa lleva un electón ese el punto B (,) hasta el punto. Datos: alo absoluto e la caga el electón e, onstante e la ley e oulomb en el vacío m Solucón. a. l campo ceao po una caga a una stanca sobe el ee X es k y el potencal en ese punto es k Po tanto aplcano a caa uno e los atos tenemos: a. : 80 k 80 k b. : k k Igualano las expesones: 80 Smplfcao y oenano se calculan las posbles solucones 0 ( 80 ) 0 : 8 0 : '5 m La solucón 0 no tene sento poue en ese caso, y, po lo tanto, solo uea la solucón '5 m caga. Sabeno ue k m y susttuyeno en la ecuacón el potencal se espea la k 8 b. l tabao paa lleva una caga ese B hasta es gual al poucto e la caga po la feenca e potencal ente los puntos y B W p ( B ) l potencal en B con la expesón: B k B xpesón e la ue lo únco ue esconocemos es la stanca al punto B ue se calcula po el teoema e Ptágoas onoca la stanca B se calcula el potencal. m B, m y con el potencal en y en B y el valo e la caga ue se esplaza se calcula el tabao. 8 ( ' v ( v) ),0 J 8 W, 7

28 8 Juno 005. Poblema.- Tes patículas cagaas µ, µ y e valo esconoco están stuaas en el plano XY. Las cooenaas e los puntos en los ue se encuentan las cagas son : (, 0), : (, 0) y : (0, ). S toas las cooenaas están expesaas en metos: a) ué valo ebe tene la caga paa ue una caga stuaa en el punto (0,) no expemente nnguna fueza neta? b) n el caso anteo, cuánto vale el potencal eléctco esutante en el punto (0,) ebo a las cagas, y? Dato: onstante e la ley e oulomb m Solucón. a. Paa ue una caga stuaa en el punto (0, ) no expemente fueza neta, el campo ceao po las tes cagas en (0, ) ebe se nulo. n el punto (0, ) el campo ceao po las cagas y es: T ( ) ( ) ( ) ( ) k sen 5 cos 5 k 0, k sen 5 cos 5 k 0, l campo total es la suma vectoal e los campos ceaos po ambas cagas. ( ) ( ) k k k 0, 0, T ( ) m v k T. l campo geneao n l punto (0, ) seá: ( ) k 0, ) ) ecto untao en la eccón el campo ( ) ( ) ( ) : 0, 0, 0, v ) v ) m susttuyeno en la expesón el campo ( ) k 0, v v Paa ue el campo ceao po las tes caas en (0, ) sea nulo se ebe cumpl: 0. T ( ) 0 v expesón e la ue se puee espea la caga.

29 µ b. l potencal k ceao po las tes cagas en el punto (0, ) es la suma e los potencales ceaos po caa caga. 8 k 8 k ( v) ( v) k ( v) T Moelo 005. uestón.- Dos cagas puntuales e µ y - µ están stuaas en el ee X, en os puntos y B stantes ente sí cm. Detemne: a) l vecto campo eléctco en el punto P e la línea B, s P cm. y PB 8 cm. b) l potencal eléctco en el punto petenecente a la meatz el segmento B y stante 8 cm. e cho segmento. Datos: onstante e la ley e oulomb m Solucón. a. l campo eléctco en P, es la suma vectoal e los campos ue genean caa una e las cagas en cho punto: ( v) p() p p() p(b) k U ( 0'0) susttuyeno po los valoes: 7 p () '8 ( c) B p(b) k U 7 p (B) 0'8 ( 0'08) ( ) l campo total en P, es la suma vectoal e os vectoes e la msma eccón y sento: p '8 0'8 ' La eccón e los vectoes untaos u se euce suponeno en el punto P, la una e caga postva. b. l potencal, a efeenca el campo eléctco, se tata e una magntu escala, po tanto sumamos escalamente los potencales poucos po ambas cagas en ese punto :

30 k () () (B) ' plcano la msma expesón paa la caga B: cb k B ( ) ' Po tanto: ( 5000) 0 c 5000 c l potencal eléctco en es nulo. Septembe 00. Poblema B. Dos cagas eléctcas en eposo e valoes µ y µ, están stuaas en los puntos (0, ) y (0, ) espectvamente, estano las stancas en metos. Detemne: a) l campo eléctco ceao po esta stbucón e cagas en el punto e cooenaas (,0) b) l potencal en el ctao punto y el tabao necesao paa lleva una caga e µ ese cho punto hasta el ogen e cooenaas. Solucón. a. l campo eléctco ceao po una caga puntual en un punto a stanca R e la caga vene ao po el vecto: U R en one es constante e ulomb y U es un vecto untao en la eccón e la ecta ue une la caga con el punto en el ue se uee calcula el campo, epeneno el sento el sgno e la caga, epulsvo s es postva y atactvo s fuese negatvo. l campo ceao po una stbucón e cagas, es la suma vectoal e los campos ceaos po caa caga. escomponeno los campos ceaos po las cagas en sus componentes catesanas: x y x y susttuyeno x Teneno en cuenta la geometía e la stbucón x x y y la expesón el campo se euce a: y sen α R l sen α se calcula po tángulos ectángulos sen α susttuyeno toos los atos en la expesón: y x y ( ) ( ) x x ( ) y y 0

31 5 b. l potencal eléctco ceao po una caga puntual en un punto a stanca R e la caga vene ao po: R en one es la constante e ulomb. l potencal eléctco es una magntu escala. Paa un sstema e cagas el potencal eléctco el sstema se calcula como la suma algebaca e los potencales ceaos po caa una e las cagas en el punto. n nuesto caso, el potencal en el punto seá: T R R Teneno en cuenta ue, el potencal en el punto es nulo T 0 v R R po: l tabao necesao paa lleva la caga ese el punto al ogen e oenaas vene expesao ( ( 0, 0) ( ) ) W p l potencal en el ogen e oenaas es: ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) { } 0 T susttuyeno en el tabao W ( 0 0) 0 l tabao necesao paa esplaza una caga ente os puntos con gual potencal es nulo Moelo 00. uestón.- Se cea un campo eléctco unfome e ntensa x / ente os lámnas metálcas planas y paalelas ue stan ente s 5 cm. alcule: a) La aceleacón a la ue esta someto un electón stuao en cho campo. b) S el electón pate el eposo e la lamna negatva, con ue veloca llegaa a la lamna postva? ota: Se especa la fueza gavtatoa. Datos: alo absoluto e la caga el electón e Masa el electón m kg Solucón. ente os placas paalelas: Se cea un campo eléctco ( ) a. La aceleacón e un electón stuao ente las placas, sí especamos la fueza gavtatoa, seá la pouca po la únca fueza ue actúa sobe el e ue es la fueza electomagnétca: F ue seá e sento contao a la eccón el campo, ya ue la caga es negatva. Igualamos esta fueza, a la expesón e la fueza según la seguna ley e ewton: F m a Despeano la aceleacón: a y susttuyeno valoes numécos: m a '055 m / s b. S pate el eposo ese la lámna negatva, la tayectoa seá ecta y con MRU. plcano la ecuacón e este movmento: vf v 0 a t vf '055 t

32 Puesto ue se conoce la stanca ente placas '5cm y utlzano la ecuacón: vf vo a s teneno en cuenta ue la veloca ncal es nula, se obtene, susttuyeno los valoes numécos: 7 vf a s vf '055 '5 ' m s l vecto veloca: 7 vf ' (ya ue solo exste movmento en este ee) Septembe 00. uestón. a) Defna las supefces eupotencales en un campo e fueza consevatvo. b) ómo son las supefces eupotencales el campo eléctco ceao po una caga puntual? c) ué elacón geométca exste ente las líneas e fueza e un campo consevatvo y las supefces eupotencales? ) Inue un eemplo e campo e fuezas no consevatvo. Solucón. a. Son auellas supefces cuya caacteístca pncpal es el valo constante el potencal ceao po un campo consevatvo en cualue punto e cha supefce. b. n el caso el campo eléctco ceao po una caga puntual, el potencal tene la foma:. s ec, su valo solo epene el ao (stanca e la caga al punto el campo), po tanto las supefces eupotencales son supefces esfécas e ao, con la caga en el cento e toas ellas. c. Las líneas e fueza e un campo consevatvo, son las tayectoas ue seguía una patícula (con caga, s es un campo eléctco), abanonaa en un punto el campo consevatvo. Dcha línea e fueza, sguen la eccón el gaente el potencal, e moo ue eben se pepenculaes a las supefces eupotencales, ya ue esa eccón es la e máxma vaacón el potencal. onsttuye un campo aal, e la foma:. Un eemplo sea el campo gavtatoo teeste, s tuvéamos en cuenta el ozamento con el ae, como no especable. n este caso, la enegía e un cuepo en este campo, ya no epeneía sólo e la poscón (campo consevatvo), sno e la tayectoa segua en un movmento po cho campo. Juno 00. Poblema B. Se tene tes cagas stuaas en los vétces e un tangulo euláteo cuyas cooenaas (expesaas en cm) son: ( 0,), B(, ), (, ) Sabeno ue las cagas stuaas en los puntos B y son éntcas e guales a µ y ue el campo eléctco en el ogen e cooenaas (cento el tángulo) es nulo, etemne: a) l valo y el sgno e la caga stuaa en el punto. b) l potencal en el ogen e cooenaas. Datos: onstante e la ley e oulomb x m / Solucón. a. Paa halla el valo e, se tená en cuenta ue (0,0)0. el campo ceao en el cento el tángulo po la caga vene expesao po: α k

33 l campo ceao en el msmo punto po la caga B( B ) es: B k { } S sumamos vectoalmente estos os campos, solo nos uea componente y, ya ue las componentes x se anulan po smétca. La componente y es la suma e B B y y y y B senα y, ue son el msmo moulo, y e valo: Sumamos las os componentes y : B y y sen0º sen0º c La caga en el punto, tene ue genea un campo en (0,0) e moo ue el campo esultante sea nulo. Po tanto, el campo pouco po la caga, ebe se: pat el valo el campo, hallamos la caga: '5 k '5 el sgno tene ue se postvo. s ec, una caga gual a la ue tenemos en B y. b. Se calcula el potencal ceao po caa caga en (0,0) y se suma escalamente. k : B : T B v v v 7 c Septembe 00. Poblema B.- Se tenen os cagas puntuales sobe el ee X, 0 µ está stuaa a la eecha el ogen y sta e él m; 0, µ está a la zuea el ogen y sta e él m. v

34 a. n ué puntos el ee X el potencal ceao po las cagas es nulo? b. S se coloca en el ogen una caga 0, µ etemne la fueza eeca sobe ella po las cagas y. Datos: onstante e la ley e oulomb en el vaco m Solucón. a. Paa ue el potencal en un punto el ee x se anule tene ue ocu ue: ( ) ( ) 0 p p Stuano el punto P a la eecha e : k x susttuyeno en la concón e potencal nulo 0' k k 0 k x x x Opeano y smplfcano la expesón anteo: esolveno la ecuacón e º gao k x 0' k x ( x ) ( 0' ) x ( 0' ) x m S suponemos ue el punto P se encuenta ente las cagas: 0 esolveno 0' k x conce con el ogen e cooenaas, P (0, 0) 0' k x x m 0 Repetmos el msmo pocemento mponeno un punto a la zuea e la caga postva: esolveno la ecuacón 0' k x 0' k x

35 x m o valo ya ue x es una stanca y no puee se negatva. o hay nngún punto a la zuea e la one T 0. b. S colocamos una caga 0 µc en (0, 0) calcula la fueza sobe ella. alculamos el campo total en el ogen e cooenaas: 0' k k 0' '8 La eccón y sento es (suponemos colocaa en el ogen una una e caga postva) 800 alculamos el campo ceao po la caga : 0' k 0' 00 Puesto ue ambos vectoes tenen la msma eccón y sento numeamos sus móulos: T 700 La fueza sobe la 0' c : F F 0' F, 700 Juno 00. Poblema B. Tes cagas postvas e guales e valo η caa una se encuentan stuaas en tes e los vétces e un cuaao e lao cm. Detemne: a) l campo eléctco en el cento el cuaao, efectuano un esuema gáfco en su explcacón. b) Los potencales en los puntos meos e los laos el cuaao ue unen las cagas y el tabao ealzao al esplazase la una e caga ente chos puntos. Datos: onstante e la ley e oulomb en el vacío m Solucón. a. omo se obseva en la fgua, el campo esultante en el ya ue po smetía los campos geneaos po las caga B y se anulan ente s. cento el cuaao es el geneao po la caga ( ) La stanca e cualue vétce al cento el cuaao se calcula po teoema e Ptágoas 0'05 0'05 0'05 Los móulos e los campos ceaos po B y po son guales ya ue están ceaos po la msma caga y están a gual stanca el cento. B k ' 0'05 m ( ) Los vectoes e campo geneaos po las cagas B y ( B, ) eccón y sento contao, po lo ue se anulan. l campo esultante es po tanto el geneao po la caga. Móulo: k ' ( 0'05 ) l ángulo ue foma el con la hozontal es: tenen gual móulo, 5

36 0'05 tg α tg α α 5º 0'05 Poyeccones el vecto campo sobe los ees cooenaos: el campo esultante es: x cosα senα y ( 0'05, 0'05) '8 '8 T b. l potencal en los puntos meos: 5 k k k 7' 5 B k k k 7' los potencales son los msmos y ue están ceaos po la msmas caga y a gual stanca. Po tanto : W ( f ) 0 ya ue ambos puntos tenen el msmo potencal Septembe 000. Poblema.- Los puntos, B y son los vétces e un tángulo euláteo e m e lao. Dos cagas guales postvas e m están en y B. a) uál es el campo eléctco en el punto? b) uál es el potencal en el punto? c) uánto tabao se necesta paa lleva una caga postva e 5 m ese el nfnto hasta el punto s se mantenen fas las otas cagas? ) Respone al apatao anteo c) s la caga stuaa en B se susttuye po una caga e m. Datos: Pemtva el vacío ε o 8,85 m Solucón. a. Se calcula el móulo el campo ceao po caa caga en, y se suman vectoalmente: k '5 R π ε R π 8'85 o k B '5 R π ε R π 8'85 o Po smétca, y puesto ue los móulos e ambos campos son guales, las componentes x se anulan, ueano úncamente las componente y: y sen 0º By sen 0º T c T c b. Se calcula el potencal ceao po caa caga en y se suman escalamente B T k k k '8 R R R π 8'85 J ( v) c. l W paa lleva una caga ese el nfnto hasta el punto se calcula como: W ( ) Sí 5, 0, 8, susttuyeno en la ecuacón anteo W 5 ( 0 '8 ) J Tabao ue se ealza conta el campo.. S la caga en B fuea B, el potencal en seá: B c c k k 8'85 π π8'85 Po tanto, el W necesao paa tae el nfnto la caga en este caso, seá nulo: ( ) 0

37 ( ) W 0 W c Juno 000. uestón. Dos cagas puntuales e guales e valo m caa una, se encuentan stuaas en el plano XY en los puntos (0, 5) y (0, 5), espectvamente, estano las stancas expesaas en metos. a) n ué punto el plano el campo eléctco es nulo? b) uál es el tabao necesao paa lleva una caga una ese el punto (l, 0) al punto (, 0)? Solucón. a. l campo es funcón e la caga ue lo genea y e la stanca ente la caga ue lo genea y el punto one se calcula. nte os cagas guales, el campo es nulo en el punto meo el segmento ue une ambas cagas. l campo es nulo en el ogen, ya ue y son os vectoes en la msma eccón y sentos contaos, y e móulos guales, e valo: c k T( ) 0 0, 0 b. W ( ) ( ) B B Hay ue calcula el potencal en los puntos (,0) y (-,0) (,0 ) k k { } k (,0) J epteno el cálculo paa el punto (, 0) (,0) k k k J W W paa la una e caga( ): { } 0 B B Lo ue mplca ue se puee move la caga el punto (, 0) al punto (, 0) sn ealza nngún tpo e tabao, ya ue ambos puntos tenen el msmo potencal. 7