APÉNDICE 1 1. Sistemas de coordenadas

Transcripción

1 APÉNDICE. Sstemas de coodenadas El naldad de un sstema de coodenadas es la de consegu una adecuada descpcón de un punto de una cuva o de una supece en el espaco. De los dstntos tpos de sstemas de coodenadas que esten vamos a consdea tes: sstema de coodenadas ectangula o catesano sstema de coodenadas esécas 3 sstema de coodenadas clíndcas. La eleccón más adecuada del tpo de coodenadas a utla depende de la natualea del poblema a esolve. Como cteo geneal demos que el sstema de coodenadas debe se elegdo de tal oma que las ecuacones matemátcas que descban el poblema a esolve esulten lo más cllas posble. Natualmente el esultado numéco del poblema obeto de estudo debe se ndependente del sstema de coodenadas elegdo. En detemnados poblemas de mecánca cuántca a menudo se equee evalua ntegales de volumen sobe todo el espaco. Paa ello debemos conoce en cada sstema de coodenadas el elemento de volumen d τ los límtes de ntegacón adecuados. Coodenadas catesanas P P / d τ d d d Coodenadas esécas P cos cos tg P / d τ d d d 0 0 π 0 π

2 Coodenadas clíndcas Pρ ρ cos ρ tg ρ ρ / d τ ρ dρ d d 0 ρ 0 π. Númeos compleos Un númeo compleo es aquel que contene o que es como nomalmente smbolaemos la aí cuadada de -. La oma más habtual de petase un númeo compleo es a b a es la pate eal b la magnaa. S c a b el númeo compleo conugado de c seá c * a b. El módulo o valo absoluto del númeo compleo c a b seá c b * / c c a b a b a nótese que El módulo de un númeo compleo sempe es un númeo eal.. Paa que dos númeos compleos c a b c a b sean guales necesaamente debe cumplse que a a b b. La suma esta de númeos compleos c sguente oma: c c a a b c c a a b a b c a b se dene de la b b Una dentdad que seá utlada con ceta ecuenca es la llamada ómula de Eule: α e cos α α A. La ómula de Eule puede se compobada ealando un desaollo de Mc Laun a α e cos α α. 3. peadoes Como su nombe ndca un opeado es una nstuccón paa eectua una opeacón d matemátca sobe una uncón. Po eemplo en la epesón el opeado es d d / d e ndca que ha que eectua la devada especto a.

3 En geneal los opeadoes seán epetados con un sgno de ntecalacón ^; así po eemplo P Q seán símbolos epetatvos de opeadoes. El álgeba de los opeadoes consttue un conunto de pocedmentos matemátcos con los que el estudante de mecánca cuántca debe esta amlaado. Po eemplo s entonces P Q PQ QP Debe tenese mucho cudado con el oden en que se aplcan los opeadoes cuando oman pate de un poducto a que el poducto de opeadoes no sempe es conmutatvo. Así en P Q pmeo aplca Q es dec devada especto a a contnuacón aplca P devada especto de. EJERCICI d Sea P Q el opeado multplca po. Compueba que d PQ QP. Quén seá el opeado PQ QP? Solucón 3 PQ PQ P{ } P{ 3 4 QP QP Q Po tanto PQ QP. Veamos quen es el opeado PQ QP. PQ QP PQ QP P Q P Q QP PQ QP opeado undad El conmutado de dos opeadoes P Q se epeta po [ P Q ] se dene como [ P Q] PQ QP A. S [ P Q ] 0 los opeadoes P Q conmutan es dec PQ Q P ; en cambo s se tene [ P Q ] 0 los opeadoes no conmutan PQ Q P. Un opeado puede se un vecto o ncluso un compleo. Como eemplo de opeado vectoal tenemos el opeado nabla que smbolamos po : 3

4 4 A.3 El opeado da luga a tes opeadoes dstntos según el tpo de uncón sobe la que actúe la oma en que lo haga. Así podemos tene: peado gadente. Cuando actúa sobe una uncón escala A.4 Como puede obsevase el gadente de un escala da como esultado un vecto. peado dvegenca. Hablamos de opeado dvegenca cuando actúa sobe una uncón vectoal a modo de poducto escala. A.3 ec. A.5 La dvegenca de un vecto según vemos en la ecuacón A.5 da un escala. peado otaconal. Hablamos de opeado otaconal cuando actúa sobe una uncón vectoal a modo de poducto vectoal. El esultado al gual que en el caso del gadente es un vecto. / / / A.6 Un opeado de nteés especal en mecánca cuántca es el opeado laplacano puede consdease como el opeado nabla multplcado escalamente po sí msmo : A.7 Como veemos más adelante el opeado laplacano está elaconado con la enegía cnétca. Paa detemnados poblemas de mecánca cuántca las coodenadas esécas seán más apopadas que las catesanas. Po tanto necestaemos epesa el opeado laplacano en coodenadas esécas : A.8 Asmsmo en coodenadas clíndcas el opeado laplacano esulta

5 ρ ρ ρ ρ ρ A.9 S un opeado P * es compleo el opeado compleo conugado P se obtene sn más d que eemplaa po. Po eemplo s P su compleo conugado seá d d P *. d En mecánca cuántca úncamente utlaemos opeadoes lneales. Un opeado P se dce que es lneal s cumple: P λ μg λ P μ Pg A.0 sendo λ μ dos constantes. 5