5.- Ajuste de curvas. para M = 2 un ajuste parabólico, etc..

Transcripción

1 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo 5.- juste de cuvs El juste de cuvs es un poceso mednte el cul ddo un conjunto de pes de puntos { } sendo l vble ndependente e l dependente se detemn un uncón mtemátc de tl mne que l sum de los cuddos de l deenc ente l mgen el l coespondente obtend mednte l uncón justd en cd punto se mínm: mn Genelmente se escoge un uncón genéc en uncón de uno o más pámetos se just el vlo de estos pmetos de l mne que se mnmce el eo cudátco. L om más típc de est uncón justd es l de un polnomo de gdo ; obtenendose p un juste lnel o egesón lnel p un juste pbólco etc.. Po oto ldo podemos tene un conjunto de dtos multdmensonles; es dec un conjunto de puntos en un espco k-dmensonl del tpo { k }. L uncón que justemos estos puntos seá un uncón de k vbles k El juste multdmensonl más sencllo es consde un dependenc lnel de l uncón especto cd un de ls vbles de que depende; es dec justndo un uncon del tpo k de tl mne que se mnmce el eo cudátco especto l conjunto de pámetos {.. k }. Es lo que se conoce como juste o egesón multlnel. k k En est seccón veemos que el juste lnel el de un polnomo de gdo el juste multlnel se pueden epes dento de un msmo omlsmo de mne que ls espectvs solucones l poblem se pueden detemn mednte lgotmos páctcmente nálogos.

2 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo 5.. Regesón lnel upongmos que tenemos un conjunto de puntos en el plno { }. El objetvo es detemn l ecucón de l ect tl que mnmz el eo cudátco clc mn mn especto los pámetos odend l ogen pendente. temátcmente: mplcndo ls ecucones nteoes vemos que se debe cumpl que o ben dvdendo mbs ecucones po el numeo totl de puntos e ntoducendo vloes medos En om mtcl podemos escb po lo que detemn los pámetos de l ect se esume esolve el sstem de ecucones lneles de dos ecucones dos ncógnts nteo.

3 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo lgotmo genel mtcl Consdeemos ho el msmo poblem desde ot pespectv. Vmos supone que los puntos pueden ps ectmente po l ect que buscmos. En este cso plnteímos el sguente sstem de ecucones con ncógnts o ben en om mtcl Como hemos vsto un mne dect de esolve los sstems de ecucones epesdos en om mtcl es l de multplc po l zqued mbos ldos de l guldd po l nves de l mtz de coecentes. sn embgo en este cso l tene ms ecucones que ncógnts l mtz de coecentes no es un mtz cudd tendá dmensón po lo que no est dend su nves. Un posble estteg segu es multplc l ecucón mtcl nteo po l tnspuest de l mtz de coecentes el poducto de un mtz po su tnspuest es sempe un mtz cudd smétc de mne que tendemos z El sstem de ecucones dos ncógnts ncl lo hemos condensdo en oto sstem de dos ecucones dos ncógnts ddo po z ho ben l mtz es un mtz cudd de dmensón smétc po lo que es nvetble sí que podemos escb po tnto el vecto que buscmos nos quedí de l om

4 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo ho ben epesent est estteg un solucón deente l poblem de l que hemos deducdo nteomente mednte mnmzcón del eo cudátco? Veemos contnucón que no es el cso. pt de l estuctu de l mtz el poducto de su tnspuest po ell msm esult en Del msmo modo el poducto de po el vecto de témnos ndependentes qued z po lo que l ecucón mtcl nteo l podemos escb ms eplctmente como. Dvdendo cd ecucón po utlzndo l notcón típc p el vlo medo llegmos que es ectmente el msmo sstem de ecucones l que hbímos llegdo nteomente mponendo l condcón de mínmo eo cudátco. sí pues podemos plnte el sguente lgotmo p el juste lnel Lectu de los pes de vloes { } constuccón de ls mtz vecto. b Constuccón de l tnspuest de l mtz : c Constuccón de l mtz mednte el poducto mtcl d Constuccón del vecto z mednte el poducto mtz po vecto e Invesón de mtz : - Poducto mtz po vecto - z p obtene el vecto de solucones nl.

5 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo po puede pece un lgotmo demsdo complcdo p un poblem tn smple como l egesón lnel p el que esten ómuls dects de mplementcón sencll. n embgo vmos ve que podemos etende este lgotmo de mne tvl oto tpo de justes. 4

6 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo juste polnómco po mínmos cuddos. De mne nálog l cso lnel el objetvo es detemn l ecucón del polnomo de gdo que mnmz el eo cudátco clc mn mn especto los pámetos pámetos. Po ejemplo p un juste pbólco l condcón de mínmo del eo cudátco llev ls ecucones sguentes: 4 Pocedendo de mne nálog l cso lnel llegmos que l detemncón de los pámetos del polnomo ps po l esolucón de un sstem de ecucones de l om: 4 P el cso genel de un polnomo de gdo podemos ntu que l solucón vendá dd po un sstem de ecucones lneles de dmensón de l om Un mne de mplement el juste polnoml genel es l de escb un

7 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo 6 subpogm uncón genel de l om q p q p q p p detemn todos los pomedos de potencs de poductos de ésts po que pecen en l mtz de coecentes de témnos ndependentes. n embgo es mucho ms sencllo plc el lgotmo genel mtcl descto nteomente p el cso lnel. ho p el juste de un polnomo de gdo plnteímos un sstem de ecucones con ncógnts ncluendo el témno ndependente o ben en om mtcl sí pues un vez constud l mtz de dmensón el vecto de coecentes pt de los pes de puntos { } smplemente plcmos los psos b desctos nteomente. Un lgotmo genel de juste de un uncón polnómc debeí solct úncmente: el numeo de totl de pes de puntos de que dsponemos b el gdo del polnomo que se petende just pt de quí debeemos den en nuesto pogm l mtz de coecentes de dmensón el vecto de coecentes de dmensón. Los deentes psos

8 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo del lgotmo equeen el uso de l mtz tnspuest de dmensón l mtz esultnte del poducto de l tnspuest de po ell msm su nves de dmensón mbs el vecto tnsomdo po l tnspuest de de dmensón sí como el vecto de solucones de dmensón. 5.. Regesón multlnel El lgotmo mtcl nteo se puede dpt de mne sencll p el cso de l egesón multlnel. En este cso dsponemos de un conjunto de dtos multdmensonles; es dec un conjunto de puntos en un espco k-dmensonl del tpo { k }. L uncón que justemos estos puntos seá del tpo k k k plntemos el sstem de ecucones ecucones con k ncógnts p l solucón ect tendemos o ben en om mtcl k k k k k k k k k k donde ls columns de l mtz de coecentes coesponden smplemente los vloes de entd de cd dmensón o ctegoí ncluendo un column et de eltv l témno ndependente. En este punto podemos plc el lgotmo mtcl genel ectmente de l msm mne que lo hímos p just un polnomo de gdo k un conjunto de pes de puntos. 7

9 écncs Computconles Cuso 7-8. Pedo lvdo 5.. Coecente de detemncón El coecente de detemncón R dendo ente nos d un de de l bondd del juste de mne que p vloes cecnos el juste es peecto ments que p vloes cecnos ceo ndc nestenc de elcón ente e con el modelo de juste popuesto. El coecente R vene ddo po l elcón ente l vnz de los dtos eplcd con el modelo l vnz de los dtos epementles. En conceto R clc donde epesent el vlo medo de los vloes de l vble ndependente e clc los vloes clculdos p cd punto usndo el modelo justdo los dtos. L mplementcón computconl de este índce es mu sencll un vez justdo el modelo ts esolve el sstem de ecucones que plnte el lgotmo mtcl genel. En el cso de l egesón lnel el coecente de detemncón tene l msm epesón que el coecente de egesón que ndc tmbén cómo de coelconds estdístcmente están ls vbles letos e. Es mpotnte ve que mbos coecentes tene sgncdos e ntepetcones deentes que slvo en el cso de l egesón lnel no concden. sí se puede compob que p el cso de l egesón lnel este índce concde con el coecente de egesón dendo pt de l elcón ente l covnz de ls vbles letos e el poducto de l íz cudd de ls vnzs ndvdules desvcón típc de mbs vbles con el n de obtene un pámeto dmensonl Cov XY σ σ Como se puede ve el vlo de este coecente es ndependente del modelo justdo que úncmente ndc l elcón estdístc ente el conjuntos de dtos. 8