TEMA 4: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES. MÉTODOS ITERATIVOS.

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1 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. TEA 4: ESLUCIÓ DE SISTEAS DE ECUACIES LIEALES Y LIEALES. ÉTDS ITEATIVS AS VECTIALES Y ATICIALES Tnto en el estudo del condconmento de un sstem de ecucones lneles cundo se resuelve mednte métodos drectos, como en el estudo de l convergenc de los métodos tertvos pr l resolucón de sstems lneles, es necesro el concepto de norm de un mtrz. Del msmo modo, cundo se construye un sucesón de vectores promcón de l solucón de un sstem lnel, pr estudr l convergenc nteres medr l dstnc entre ls dos últms promcones, y pr medr est dstnc es necesro utlzr el concepto de norm de un vector. orm vectorl. Este concepto se present en Álgebr y y es conocdo. Se pueden defnr dstnts norms en un espco vectorl de dmensón n. Ls más utlzds son: n n norm euclíde) mm r norm del mámo) n Est últm es l que más se utlz l estudr un sucesón de vectores. do espectrl de un mtrz cudrd A: se represent A) y se defne como donde son los utovlores de A. A) = m{ } orm mtrcl. Este concepto consste en generlzr el correspondente ls norms vectorles. Consderndo el espco vectorl de ls mtrces cudrds, trtmos de sgnr cd mtrz A un vlor rel y postvo que se represent como A. Del msmo modo que en el cso nteror, se pueden defnr dferentes norms. Ls más utlzds son ls relconds con ls norms vectorles comentds nterormente y en especl por su sencllez, y. Se defne l norm nturl de un mtrz A socd un norm vectorl como: A m A Se puede demostrr que: n ) A m ST U j VW j,..., n t ) A A A ) n 3) A m ST U j VW,..., n j 39

2 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. L prmer sgnfc en térmnos sencllos que nos quedmos con l column cuyos elementos en vlor bsoluto tenen l myor sum. L últm es lo msmo, pero con ls fls. Además se puede demostrr que pr culquer norm nturl de A se verfc: A) A 4..- SISTEAS AL CDICIADS Y ÚE DE CDICIÓ Tl y como se ndcó en el tem nteror lgunos sstems son muy sensbles los errores de redondeo y el vector solucón puede ser bstnte necto. En este cso se dce que el sstem es nestble o que está ml condcondo. En este tpo de sstems lo que suele ocurrr es que pequeños cmbos en los coefcentes o en los térmnos ndependentes dn lugr cmbos precbles en l solucón. Cundo l solucón obtend está fectd por los errores de redondeo no es ect. Se l solucón ect y, l solucón promd debdo los errores de redondeo). Pr medr el error resultnte se defne el resduo del vector solucón. Defncón. esduo y resduo reltvo del vector solucón. Se el sstem A b, y el vector solucón promd, entonces el resduo de dcho vector solucón es : r b A Pr medr el resduo del vector solucón se utlzrá l norm del msmo. El resduo reltvo se defne como el cocente de l norm del resduo entre l norm del vector de térmnos ndependentes: resduo reltvo r b Un crcterístc de los sstems ml condcondos es que un solucón muy dferente de l ect puede dr lugr un resduo pequeño. Se e. En un sstem ml condcondo puede ocurrr que l norm de r no se un buen medd de l norm de e. Esto se puede comprobr en el sguente ejemplo en el que, pr poder ver mejor el efecto del error de redondeo, se hn relzdo los cálculos con redondeo tres cfrs sgnfctvs. Ejemplo : Se el sstem A b, donde A , b L solucón ect es: Tomndo como solucón promd un vector clrmente erróneo : 4

3 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos Los vectores error y resduo y sus norms, elgendo l norm del mámo, son:..48 e 4.34 e 4.34 y r r.48 Defncón. úmero de condcón. El número de condcón de un mtrz A se defne como : K A) A A y srve pr tener un medd del condconmento de un mtrz. Su cálculo supone muchs opercones, y demás, como pr obtener A - es necesro resolver n sstems lneles, dch mtrz nvers puede ser bstnte nect, y por lo tnto, el número de condcón tmpoco será muy precso. Sn embrgo, esto no mport, y que pr poder decr que l mtrz está ml condcond bst con ver s el número de condcón es grnde o no. Un número de condcón mucho myor que l undd ndc que l mtrz está ml condcond. L mtrz undd tene como número de condcón l undd. Cundo un mtrz está ml condcond los elementos de A - son grndes en comprcón con los de A, pero esto tmbén puede suceder, unque A no esté ml condcond, por ejemplo, s los elementos de A son pequeños. Por este motvo, en el cálculo del número de condcón, se normlz multplcndo ls norms de A y de su nvers. Teorem Error reltvo ) Defnendo el error reltvo de l solucón de un sstem lnel como: error reltvo e dcho error está cotdo por el número de condcón de l mtrz multplcdo por el resduo reltvo. Demostrcón: r b A A A A A e e A r e A r A b b A ultplcndo térmno térmno ls desgulddes ) y ) se obtene: e r A A b es decr, que el error reltvo e A b ) ) está cotdo por KA) r b. Del msmo modo se puede demostrr que 4

4 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. e En resumen, el error reltvo puede ser tn pequeño como el resduo reltvo dvddo por el número de condcón y tn grnde como el resduo reltvo multplcdo por el número de condcón. S KA) es grnde el resduo reltvo no se puede utlzr pr estmr el error reltvo, mentrs que un número de condcón prómo l undd es un buen medd del error reltvo. A A r b ÉTDS ITEATIVS PAA SISTEAS LIEALES étodos de tercón de Jcob y de Guss-Sedel Ejemplo. Consderemos el sstem de ecucones 4 y z 7 4 8y z y 5z 7 Ests ecucones se pueden escrbr como 7 y z 4 7 ; z y ; z y lo que sugere el sguente proceso tertvo: 7 y z 4 z 7 y ; y ; z ) ) ) ) ) ) ) ) ) S empezmos con P ) = ), y ), z ) ) =,, ), entonces l tercón prece converger l solucón, 4, 3). En efecto, susttuyendo ) =, y ) = y z ) = en el membro derecho de l relcón obtenemos: ) 7 ) 4 ) 7.75 ; y ; z El nuevo punto P ) =.75, 3.375, 3.) está más cerc de, 4, 3) que P ). Este proceso se conoce como método de tercón de Jcob y puede usrse pr resolver lgunos tpos de sstems de ecucones lneles. En l resolucón numérc de ecucones en dervds prcles suelen precer sstems de ecucones lneles con ncluso ncógnts; en estos sstems l mtrz de los coefcentes es dspers, es decr, un lto porcentje de los elementos de l mtrz son gules cero. S hy lgún tpo de ptrón en l dstrbucón de los elementos dstntos de cero ejemplo: los sstems trdgonles), entonces un método tertvo puede resultr muy efcz en l resolucón de estos sstems tn enormes. Fnlmente convene señlr que en lguns ocsones el método tertvo de Jcob no funcon. Alguns veces podemos celerr l convergenc. Puesto que +) es, probblemente, mejor promcón l límte que ), serí rzonble usr +) en vez de 4

5 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. ) l hor de clculr y +) y, de form semejnte, serí mejor usr +) e y +) en el cálculo de z +). Ejemplo 3. Consderemos el sguente proceso tertvo pr el msmo sstem de ecucones: 7 y z 4 z 7 y ; y ; z ) ) ) ) ) ) ) ) ) A este proceso tertvo se conoce como método de Guss-Sedel. Susttuyendo y ) = y z ) = en l prmer ecucón obtenemos: 7 ) Susttuyendo hor ) =.75 y z ) = en l segund obtenemos: y ) ) Fnlmente, susttuyendo ) =.75 e y ) = 3.75 en l tercer: ) 7.75) 3.75 z.95 5 Del msmo modo pr clculr ) se utlzrán y ) y z ) ; pr clculr y ) se usrán ) y z ) ; pr clculr z ) se usrán ) e y ) ; y sí sucesvmente. Vmos consderr hor los procesos tertvos de Jcob y Guss-Sedel con myor generldd. Supongmos que tenemos un sstem de n ecucones lneles b j j b j j b j j jj j j j b j j Se P = ), ),..., ) j,..., ) ) el vector que prom l solucón en l etp, de mner que en l sguente etp se obtendrá P + = +), +),..., +) j,..., +) ). El superíndce ) de ls coordends de P nos permte dentfcr l etp l que pertenece el vector de solucones promds. Ls fórmuls de tercón usn l fl +) j-ésm pr despejr j como un combncón lnel de los vlores prevmente obtendos: étodo tertvo de Jcob: ) ) ) b,,, ),, pr =,,...,. ) ), j j j j b, 43

6 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. En el método tertvo de Jcob se usn todos los vlores promdos de l etp nteror en l obtencón de los nuevos vlores promdos, mentrs que en el método tertvo de Guss-Sedel se emplen ls últms promcones obtends conforme se vn generndo: étodo tertvo de Guss-Sedel: ) ) ) ) b,,,, ), j j j b, j, j, ) j ),,..., ) CVEGECIA DE LS ÉTDS ITEATIVS Al utlzr un método tertvo pr resolver un sstem de ecucones lneles convene tener en cuent los sguentes spectos: - El error de redondeo producdo en cd tercón no tene tnt mportnc como en los métodos drectos: mport más el error de truncmento del propo método. - Los métodos tertvos son propdos pr resolver sstems grndes pero en los que l mtrz de coefcentes es dspers. - o se pretende obtener l solucón ect en teorí serí necesro relzr nfnts tercones) sno un solucón promd. - El crtero de prd es que l dstnc bsolut o reltv entre los resultdos obtendos en ls dos últms tercones se sufcentemente pequeñ. Pr cuntfcr est dstnc se utlz l norm vectorl de su dferenc ) ). Con est defncón de l dstnc entre dos vectores, el crtero de prd se puede representr en térmnos de: el error bsoluto: el error reltvo: +) ) +) ) +) Volvendo l convergenc de los métodos tertvos, l myorí de ellos nvolucrn un proceso que converte un sstem A = b en un sstem equvlente de l form = T + c. Elegdo el vector ), l sucesón { ) } de vectores de solucones promds se gener clculndo +) = T ) + c A l mtrz T se l denomn mtrz de pso, y c vector corrector. L sucesón que se v construyendo es: 44

7 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. ) promcón ncl) ) ) T c d b g d b g c h ) ) ) ) T c T T c c T T I c 3) ) ) 3 ) T c T T T I c c T T T I c Pr que l sucesón { ) } converj será necesro que est el límte ) lm T T T T I c c Este límte v depender de l promcón ncl ), que nteres que se sufcentemente próm l solucón ect, y de l mtrz T. L sum T + T T + I) converge I-T) - s y sólo s el rdo espectrl de l mtrz T es menor que : T) <. Bst por lo tnto que lgun norm nturl de l mtrz T que se tome se menor que uno pr segurr que T) < y que el método converge. trz de pso de los métodos de Jcob y Guss-Sedel Se A L n n n n nn l mtrz de los coefcentes del sstem lnel A = b. D L Se defnen prtr de A ls mtrces: Q P L L,, nn n n Q P Q P h U L n con lo que el sstem A = b se puede epresr como D L U) = b, o lo que es gul: b g b g D L U b D L U D b Entonces l tercón de Jcob se puede escrbr: b g ) ) D L U D b y por tnto l mtrz de pso y el vector corrector en el método de Jcob son: b g ; T D L U c D b L tercón de Guss-Sedel, del msmo modo, se puede obtener como: b g b g ) ) D L U D L b L mtrz de pso y el vector corrector en el método de Guss-Sedel son: b g b g T D L U ; c D L b Defncón: Se dce que un mtrz A de orden n es estrctmente dgonl domnnte s: n Q P 45

8 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. Se puede demostrr que:,,..., n) n j j j - S en el sstem de ecucones lneles A = b l mtrz A es estrctmente dgonl domnnte, entonces pr culquer promcón ncl, los métodos de Jcob y de Guss-Sedel son convergentes. Tenendo esto en cuent, en muchs ocsones, pr obtener l convergenc bstrá con reordenr el sstem colocndo en l dgonl prncpl los coefcentes de myor vlor bsoluto. - El método de Guss-Sedel tmbén converge cundo l mtrz A es defnd postv. En generl el método de Guss-Sedel converge más rápdmente que el de Jcob ÉTDS ITEATIVS PAA SISTEAS LIEALES. CCEPTS PEVIS. Pr resolver sstems de ecucones no lneles es precso trbjr con funcones de vrs vrbles, y hy que usr ls dervds prcles y l mtrz jcobn. Se el sstem no lnel: S T f f, y), y) Defncón. trz jcobn). Sen f,y) y f,y) funcones de dos vrbles ndependentes e y. Entonces su mtrz jcobn J,y) es: L f f y J, y) f fp y L dferencl Cundo tenemos un funcón de vrs vrbles, l dferencl es un mgntud que podemos usr pr mostrr cómo fectn los cmbos de ls vrbles ndependentes ls vrbles dependentes. Consderemos ls funcones: u = f,y,z), v = f,y,z) y w = f 3,y,z) Supongmos que los vlores de ls funcones nterores se conocen en el punto,y,z ) y que queremos estmr sus vlores en un punto cercno,y,z). S denotmos por du, dv y dw los cmbos dferencles en ls vrbles dependentes y por d, dy y dz los cmbos dferencles en ls vrbles ndependentes, entonces estos cmbos se pueden epresr: QP 46

9 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. du f y z d fy y z dy f z y z dz,, ),, ),, ) dv f y z d fy y z dy f,, ),, ), y, z) dz z dw f y z d fy y z dy f 3 3 3,, ),, ), y, z) dz z Usndo notcón vectorl, puede escrbrse de form más compct utlzndo l mtrz jcobn. S representmos du, dv y dw mednte l funcón vectorl df y ls dferencles d, dy y dz por dx, entonces: df L du P Q L d dv J y z dy J y z dx dwp,, ) dzp,, ) EL ÉTD DE EWT-APHS PAA SISTEAS LIEALES Vmos construr el método de ewton-phson en el cso bdmensonl. Est construccón se generlz fáclmente dmensones myores. u f, y) Consderemos el sstem: v f, y) que puede nterpretrse como un trnsformcón del plno XY en el plno UV. S estmos nteresdos en el comportmento de est trnsformcón cerc del punto,y ), cuy mgen es el punto u,v ), y s ls dos funcones tenen dervds prcles contnus, entonces podemos usr l dferencl del sstem pr escrbr un sstem de promcones ncrementles lneles válds cerc del punto,y ) en cuestón: u u f y f y y y y, ) b g, ) b g v v f y f y y y y, ), ) P Q b g b g El sstem nteror es un promcón lnel locl que nos d un de del efecto que pequeños cmbos en ls vrbles ndependentes producen en ls vrbles dependentes. S usmos l mtrz jcobn J,y ), est relcón se escrbe de form más cómod como: L u u f y f L y y, ), ) J y v v QP L L f y f P y y y y QP, ) y yqp, ), ) Usremos est promcón pr desrrollr el método de ewton bdmensonl. Consderemos el sstem de ecucones que result de gulr u y v cero en: f, y) QP f, y) 47

10 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. Supongmos que p,q) es un solucón de este sstem, es decr, f p, q), y f p, q). S consdermos pequeños cmbos de ls funcones cerc de un punto ncl p,q ) prómo l solucón p,q): u u u ; p p entonces v v v ; q y q u u f p, q) f p, q ) f p, q ) v v f p, q) f p, q ) f p, q ) Epresndo en form mtrcl el sstem lnel cuys ncógnts son p y q: L f p q f y p q, ), ) Lp P QP L f p, q) Q P f p q f y p q q f p q, ), ), ) S l mtrz jcobn Jp,q ) es nvertble, entonces podemos despejr t QP P p q = p q p q t de mner que P J p, q ) F p, q ) Esto nos proporcon l sguente promcón P l solucón P = [p q]: P P P P J p, q ) F p, q ) Hgmos notr que l fórmul nteror es l generlzcón de l fórmul de tercón del método de ewton-phson pr funcones de un vrble que, como vmos, es: p p f p ) f p ) Esquem del método de ewton-phson Supongmos que hemos obtendo P. Pso. Evlumos l funcón F P ) L f p, q ) f p, q ) Pso. Evlumos l mtrz jcobn L f p q f y p q, ), ) J P ) f p q f y p q, ), ) Pso 3. Clculmos P resolvendo el sstem lnel: J P ) p F P ) Pso 4. Clculmos el sguente punto: P P P Y se repte el proceso. Q P t QP 48

11 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos TEA 4. EJECICIS.. esolver los sguentes sstems utlzndo el método de Jcob ) y z 3t 5 y z t ) ; ; y z 6 3y z 8t 5 b) 4 y z F G HG I J KJ 3 Sol. ter. =., y=.99977, z= , t= y z 6 ; ; 5 4 y 5 F H G ) I K J c) 4 y z y 3 ; ; y 4z 6. elzr 5 tercones del método de Jcob pr: Sol. 5 ter. =.67, y=.36, z=.6 ) Sol. 5 ter. =.367, y=.593, z= y 5z 5 y 5z 5 5y z Es convergente? Justfcr l respuest. Sol. =36, y=36, z=36. o. 3. elzr 5 tercones pr resolver los sguentes sstems mednte el método de Guss-Sedel, consderndo como vector ncl el vector nulo. Indcr el error bsoluto y reltvo: ) b) 4 y 4y z 6 y 4z y z t 3y z 8t 5 y z 6 y z 3t 5 Sol. ) =.9998, y=.9999, z=.99998; e =.8;e r =.64 b) =.9, y=., z=-.3, t=.99999; e =.77, e r = ) esolver el sguente sstem por el método de elmncón gussn: y y z y z t z t b) elzr 4 etps del método de Guss-Sedel prtendo de los vlores ncles 49

12 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. ) b. 7, 5.,. 3,. g t Sol. ) =-4/5, y=-3/5, z=-/5, t=-/5 b) = -.674, y= , z=-.6699, t= elzr 4 tercones del método de Guss-Sedel, redondendo los cálculos cutro cfrs decmles, pr resolver el sstem. 7y. 3z y. z y z 74. con ) F H G I K J Sol. = 3., y=-.5, z=7. 6. elzr cutro tercones del método de Guss-Sedel pr resolver el sstem y 4. 88z y. 7z y 4. 78z con ) F H G Sol. =.5989, y=.997, z= esolver el sguente sstem mednte el método de Jcob, con precsón -3 : 8. Ddo el sstem y z y z y z Sol. 6 ter.;= , y= , z= y z 4z 4 estudr l convergenc del método de Guss-Sedel. Utlzándolo, clculr el resultdo obtendo después de l segund etp de tercón prtendo del vector 9. Ddo el sstem no lnel I K J ) t b,, g. Sol. =.5, y=.5, z= y y 3 utlzr l promcón ncl p,q ) =.,.) pr clculr ls tres prmers tercones del método de ewton-phson.. Ddo el sstem no lnel 3 y y y y Sol. =.65, y=

13 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. utlzr l promcón ncl p,q ) =.3,.3) pr clculr ls tres prmers tercones del método de ewton-phson.. Ddo el sstem no lnel y y.. 3 clculr ls tres prmers tercones del método de ewton-phson ) prtendo de p,q ) =.,.) b) prtendo de p,q ) =.,.) Sol. =-.78, y=-.356 Sol. ) 3 ter.; =.93, y=.6 b) ) 3 ter.; =-.863, y=

14 Tem 4: esolucón de sstems de ecucones lneles y no lneles. étodos tertvos. TEA 4: ESLUCIÓ DE SISTEAS DE ECUACIES LIEALES Y LIEALES. ÉTDS ITEATIVS orms vectorles y mtrcles Sstems ml condcondos y número de condcón étodos tertvos pr sstems lneles étodos de tercón de Jcob y de Guss-Sedel Convergenc de los métodos tertvos trz de pso de los métodos de Jcob y Guss-Sedel étodos tertvos pr sstems no lneles. Conceptos prevos L dferencl El método de ewton-phson pr sstems no lneles Esquem del método de ewton-phson Tem 4. Ejerccos. 49 5