MICROSOFT EXCEL EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL

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1 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. MICROSOFT EXCEL E LA SOLUCIÓ DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LIEAL Lc. Mrels Rsú López Proesor Asstente Dpto Mtemátcs Comptcón ISMM mrs@smm.ed.c RESUME El objetvo del presente trbjo es mostrr ls posblddes qe brnd el Mcrosot Ecel pr l solcón de problems típcos del Álgebr Lnel. Prece mportnte qe el estdnte conozc qe el nverso de problems qe se peden resolver con este sotwre no se redce l mnejo de tbls l Estdístc Descrptv, sno qe ún sn sr herrments vnzds de Ecel (como ls mcros), es posble resolver Sstems de Eccones Lneles, clclr determnntes, determnr el rngo de n mtrz, resolver problems de Progrmcón Lnel Cdrátc, e nclso hllr ríces de eccones polnómcs o trscendentes. Todos los ejemplos qe se mestrn están coneccondos en Mcrosot Ecel nqe peden nconr perectmente en el Mcrosot Ecel 97. El trbjo pede consttr n medo de spercón de conslt pr proesores estdntes, sí como otros nteresdos. Se h escrto con nes ddáctcos, de modo qe reslte seqble pr qellos qenes v destndo. ITRODUCCIÓ Mchos proesores de Mtemátcs /o Comptcón cndo necestn bordr los procedmentos tomtzdos del Álgebr Lnel tlzn pqetes especlzdos de Métodos mércos (Ej. Mtm) o de Cálclo Smbólco (Ej: Mtemátc, Derve, etc.). Es posble qe lgnos de ellos reselvn de mner más cómod o ecente los problems qe serán objeto de nálss en este trbjo, pero lo certo es qe mchos de esos sstems no tenen n remotmente l mpl dsón qe tene el Ecel. Es cs posble segrr qe en el 9% de los csos, ls comptdors con qe n recén grddo se encontrrá en s vd lborl, tendrán (mentrs Mcrosot mnteng s poscón domnnte en el mercdo) nstldo el Mcrosot Oce por ende el Ecel. Por otro ldo desde el pnto de vst del proesor el so del Ecel como herrment lr en l solcón de los problems mencondos permtrí dsmnr el tempo de mlrzcón qe necestn los estdntes cd vez qe se enrentn con n nevo pqete especlzdo (Ej: Derve, MthCd, Mtm, Mtemátc) sstemtzr los conocmentos qe los msmos recben en el prmer ño de l crrer sobre el Mcrosot Oce en l sgntr Introdccón l Comptcón logrndo n mor ntegrcón horzontl vertcl en l crrer. 6

2 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Debe tenerse en cent qe l resolver problems en el ordendor no sempre se obtene l solcón ect del problem de prtd, sno cert solcón promd, A qé se debe el error qe srge?. Peden ser ndcds tres rzones prncples consecenc de ls cles srgen errores en l resolcón nmérc del problem mtemátco de prtd. Ante todo, los dtos de entrd del problem de prtd (condcones ncles de ronter, coecentes segndos membros de ls eccones) se dn sempre con cert necttd. Un error del método nmérco condcondo por l prejcón nect de los dtos de entrd sele denomnrse error nevtble. Lego, l ssttr el problem de prtd por otro problem dscreto prece n error qe se llm error de dscretzcón o, de otr orm, error del método. Fnlmente, el orden nto de los números qe se smnstrn l ordendor llev errores de redondeo qe peden cmlrse en el trnscrso de los cálclos. Todo esto debe sempre tenerlo presente el estdnte el docente, pesto qe en ocsones n problem c solcón teórc es, por ejemplo, pede qe trves del Ecel se obteng n resltdo peqeño pero derente de cero (por ejemplo,9-6 ). DESARROLLO Solcón de Sstems de Eccones Lneles. El problem ndmentl del Álgebr Lnel consste en l resolcón del sstem de eccones A () donde ( l,..., ) es el vector bscdo, ( l,,..., ) es n vector conocdo de dmensón, A ( j ) (, j,,..., ) es n mtrz cdrd de dmensón con elementos j. Se spondrá nclmente qe l mtrz A es reglr, es decr qe s determnnte es dstnto de cero, de modo qe l eccón A tene sólo n solcón trvl, el sstem () tene l únc solcón A () Vemos con n ejemplo concreto cómo resolver n sstem de eccones lneles trvés del Ecel. En esenc tlzremos l órml (), es decr, prmero clclremos l mtrz nvers lego mltplcremos l mtrz nvers por el térmno lbre. Este esqem se bs en qe en Ecel esten dos ncones propds pr esto qe comentremos ms delnte qe son MIVERSA, qe develve l mtrz nvers de n mtrz l ncón MMULT, qe develve el prodcto mtrcl de dos mtrces. Ests ncones son ejemplos de ls llmds órmls mtrcles del EUn órml mtrcl pede ejectr vrs opercones devolver n únco resltdo o vros resltdos. Ls órmls mtrcles ctún en no, dos o más conjntos de vlores denomndos rgmentos mtrcles. Ls órmls mtrcles se cren del msmo modo qe ls demás órmls, ecepto qe l conclr s ntrodccón se debe presonr l combncón de tecls CTRLMAYÚSETRAR. Cndo se ntrodce n órml mtrcl, Mcrosot Ecel nsert de orm tomátc l órml entre llves ({}). Spongmos se dese resolver el sstem: 7

3 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. 9 7 () c solcón es obvmente:,,,, () Pr ello ntrodzcmos l mtrz del sstem () el vector lbre como n bloqe rectnglr de ls 6 colmns en n hoj de Ecel tl como se mestr contncón: Ahor procederemos clclr l mtrz nvers de l mtrz del sstem. Pr ello: selecconremos n bloqe vcío de donde se bcrá l mtrz nvers con el rngo de celds seleccondo se oprme el sgno (sgnc qe se ntrodcrá n órml); 8

4 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Lego mednte el sstente de ncones selecconmos l ncón MIVERSA; Est órml tene n rgmento qe es l mtrz qe se dese nvertr. Por ello el Ecel nos pde qe ntrodzcmos dcho rgmento en el dálogo qe se mestr contncón. Observe qe qí podemos sencllmente ntrodcr el rngo de celds correspondentes l mtrz orgnl oprmr el botón qe permte selecconr este rngo de celds mednte el rtón. Pede precrse qe escrbmos el rngo A:E qe corresponde l mtrz orgnl del Sstem (). Un vez estblecdo el rngo se oprme el botón ceptr se obtene el sgente resltdo: 9

5 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Aprentemente, no se h obtendo l respest esperd pes sólo se h clcldo el vlor de l prmer celd de l mtrz nvers. Relmente el problem es qe qed n pso mportnte qe es convertr l órml n órml mtrcl. Pr ello bst con hcer clc con el rtón en l brr de órmls oprmr CTRLMAYÚSETRAR. Un vez qe se hce esto se obtene: ótese qe l órml prece hor encerrd entre llves, lo qe ndc qe es n órml mtrcl. En el rngo G:K prece l mtrz nvers l mtrz del sstem bst con mltplcr est mtrz por el vector lbre pr obtener l solcón del sstem (). Pr ello selecconemos el rngo de celds donde depostremos el prodcto (qe debe ser n vector colmn), por ejemplo podrímos selecconr el rngo L:L reptendo los psos nterores mednte el sstente de ncones selecconmos l ncón MMULT lego de lo cl prece n dálogo pr qe determnemos los rgmentos de est órml:

6 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Aqí evdentemente debemos ntrodcr en Mtrz el rngo G:K qe es donde se loj l mtrz nvers clcld en Mtrz el rngo F:F qe es donde está lmcendo el vector lbre del sstem (). Un vez ceptdos los prámetros convertd l órml mtrcl obtendremos: Observe qe se obtvo en el rngo L:L l solcón correct (). S no este segrdd de qe l mtrz del sstem se no degenerd es convenente cheqer est condcón prmero. Pr ello el Ecel soport l ncón MDETERM qe clcl el determnnte de n Mtrz. S el determnnte es dstnto de cero, podemos prosegr con el proceso descrto nterormente, s es gl cero se necestrín otros métodos pr clclr ls solcones (s esten) del sstem. L ncón MDETERM no es n ncón mtrcl. Ell tene n solo rgmento qe es l mtrz l qe se le dese clclr el determnnte. A modo de ejemplo spongmos desemos vercr qe l mtrz:

7 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. A es no degenerd. Pr ello clclmos el determnnte en el Ecel. Introdzcmos l mtrz A como n bloqe rectnglr de ls colmns en n hoj de Ecel tl como se mestr contncón: lego selecconmos n celd en l cl colocremos el resltdo del determnnte (por ejemplo F) mednte el sstente de ncones ntrodcmos l órml MDETERM lego de lo cl prece n dálogo pr qe precsemos el rgmento de est órml: En nestro ejemplo l mtrz se encentr en el rngo A:E ese es el rngo qe debemos ntrodcr en el rgmento. Un vez qe se oprme ceptr se obtene el resltdo sgente:

8 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. con lo qe obtenemos qe el determnnte de l mtrz A es gl cero ell es por tnto degenerd. Usndo el msmo esqem pr l mtrz: B se obtendrí de lo cl se desprende qe l mtrz B es no degenerd qe s determnnte es gl 87. Solcón de Sstems de Eccones Lneles por el método de Gss. H vrs vrntes de cálclo del método de Gss bsdo en l de de elmncón scesv. El proceso de resolcón del sstem de eccones lgebrcs lneles () o

9 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. j j j,,,,, por el método de Gss, const de dos etps. En l prmer etp (procedmento drecto) el sstem () se redce n sstem con mtrz trnglr en l segnd etp (procedmento nverso) se reselve el sstem trnglr. o es dícl resolver el sstem () en el cso prtclr en qe l mtrz del sstem A es n mtrz trnglr speror, es decr s j pr j< (,j,,..., ), A, en eecto en este cso el sstem () tene por epresón:,, los componentes del vector (,,..., ) se peden determnr scesvmente, según ls órmls: () ( ),, ;,, n ( n nkk ), n,,,,. () nn k n lo qe reqere promdmente opercones. Por ello el pso crcl en el método de Gss es l trnsormcón del sstem en n sstem con mtrz trnglr speror. Un vez relzdo este pso el sstem resltnte pede resolverse por ls órmls () s reslt ser no degenerdo. Psemos l eposcón detlld del método. El prmer pso del método de Gss consste en l elmncón de l ncógnt de tods ls eccones con ecepcón de l prmer. Spongmos qe, escrbmos el sstem () en l orm, () Mltplqemos l eccón () por l / l, donde,,...,, sstrendo l eccón obtend de l -ésm eccón ():

10 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. ) ( ),,,,, ( Introdcendo ls desgncones () j j, j, j,,,, (6) rescrbmos el sstem de eccones obtendo (qe es eqvlente l sstem ()) en l orm, () () (),,,,. L prmer colmn de l mtrz de este sstem se compone de ceros, ecepcón del prmer elemento pr, j. El pso segndo consste en l elmncón de del sstem () () () () (7) Pr ello, mltplqemos l prmer eccón por () ( / ) smemos con l eccón () () () (),,,,, Contnndo los rzonmentos, obtendremos trs el (-)-ésmo pso (es decr, l hber ecldo,,....., - ) (8) ( ) ( ) Llegmos en n l sstem () con l mtrz trnglr speror b, b b b ϕ b, b b ϕ (9) b ϕ,, b, b ϕ.

11 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. qe pede ser reselto como se eplcó nterormente. Uslmente pr el cálclo mnl es cómodo relzr ls trnsormcones elementles por el método de Gss sobre l mtrz mpld del sstem qe es l sgente mtrz: () El concepto esencl pr tlzr el Ecel en l resolcón de sstems por el método de Gss prte de qe ls trnsormcones elementles qe se relzn pr llevr l mtrz n mtrz esclond eqvlen l mltplccón de ést por l zqerd por mtrces de orm especl, en cert medd elementles. Por ejemplo pr hcer cero los elementos de l mtrz () qe están por debjo de l dgonl prncpl bst con mltplcrl por l zqerd por l mtrz elementl : ote qe los elementos de l mtrz resltnte se determnn tmbén por ls órmls (6). Vemos n ejemplo concreto. Spongmos se dese esclonr l mtrz: A qe es l mtrz mpld del sstem: en el prmer pso mltplcremos l mtrz A por l zqerd por l mtrz elementl 6

12 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. es ácl ver qe: 9 Pr contnr el proceso de esclonmento bst con mltplcr l mtrz resltnte con l mtrz elementl: Est mtrz elementl concde con l mtrz ntr en tods ls celds ecepcón de qells en qe desemos hcer cero los elementos de l mtrz esclonr. Como hor necestmos hcer cero el elemento de l mtrz, colocmos en es poscón de l mtrz elementl el vlor qe como se pede precr es gl. Eectndo el prodcto 9 de donde áclmente se obtene. ; ; L relzcón de este esqem en Ecel es m propdo debdo ls clddes qe posee pr l mltplccón de mtrces. El prmer pso es colocr l mtrz mpld del sstem en n bloqe de celds: 7

13 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. en este cso se tomó el rngo A:D. Lego, l derech de l mtrz mpld (dejndo n colmn de seprcón) escrbmos l mtrz elementl necesr pr elmnr los elementos de l prmer colmn de l mtrz mpld qe están por debjo de l dgonl prncpl: Debe recordrse qe l mtrz elementl concde con l ntr ecepcón de ls celds en ls cles deben nlrse los elementos de l Mtrz mpld. Los vlores en ests celds son correspondentemente. Ahor eectmos l mltplccón de l mtrz elementl por l Mtrz Ampld colocremos el resltdo en el rngo A6:D8, es decr, dejndo n l de seprcón drectmente debjo de l mtrz mpld. Pr ello debemos tlzr l ncón mtrcl MMULT psndo como prmer rgmento el rngo F:H (mtrz elementl) como segndo rgmento l mtrz trnsormr (rngo A:D). Despés de eectr l opercón mtrcl obtendremos: 8

14 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. donde se prec clrmente el prmer pso del esclonmento. Debemos hor escrbr l mtrz elementl del segndo pso eectr de nevo l mltplccón por ell de donde se obtene: Al termnr el segndo pso se obtene l mtrz esclond pede resolverse áclmente el sstem. Clro está qe el método de l mtrz nvers es menos trbjoso en Ecel qe el Método de Gss, pero est últm vrnte orece certs ventjs qe permte l estdnte ver comprender los psos qe se sgen, demás de qe posblt enrentr otros problems como l determncón del rngo de n mtrz l solcón de sstems degenerdos. En l sgente tbl se mestr como determnr el rngo de l mtrz: 9

15 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. A de donde se prec qe el número de ls no nls en l mtrz esclón resltnte es gl por ello rng. ) ( A

16 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Solcón de Sstems de Eccones Lneles por el método de Gss-Jordán. El método de Gss-Jordán es smlr l método de Gss sólo qe en vez de plcr l elmncón scesv pr redcr el sstem no trnglr speror se trt de redcr el sstem otro c mtrz se l mtrz ntr. Psemos l eposcón detlld del método. El prmer pso del método de Gss-Jordán consste en l elmncón de l ncógnt de tods ls eccones con ecepcón de l prmer. Spongmos qe, escrbmos el sstem () en l orm,,, Mltplqemos l prmer eccón por l / l, donde es clqer de los números,,...,, sstrendo l eccón obtend de l -ésm eccón se obtene : ) ( ),,,,, ( por lo qe ntrodcendo ls desgncones () j j j,, j,,,, podemos rescrbr el sstem de eccones obtendo (qe es eqvlente l sstem ()) en l orm, () () (),,,,. L prmer colmn de l mtrz de este sstem se compone de ceros, ecepcón del prmer elemento pr, j. El segndo pso consste en l elmncón de de tods ls eccones del sstem (nclendo l prmer, derenc del método de Gss en qe sólo se elmn en ls ls j > ). S escrbmos el sstem despés de l prmer elmncón en l orm: () () () (),

17 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. () () () () entonces el prómo pso serí mltplcr l segnd eccón por con cd n de ls eccones () () () () (),,,,,, () ( / () ) smrl Contnndo los rzonmentos, obtendremos trs el (-)-ésmo pso (es decr, l hber ecldo,,....., - ) ( ) ( ) llegremos en n n sstem con mtrz dgonl b, ϕ b, ϕ b ϕ. mltplcndo hor l eccón por / b se redce el sstem n sstem con mtrz ntr: /, ϕ b ϕ b. /, ϕ / b en el cl l solcón es sencllmente el térmno lbre. Uslmente pr el cálclo mnl es cómodo relzr ls trnsormcones elementles por el método de Gss-Jordán sobre l mtrz mpld del sstem qe es l sgente mtrz: El concepto esencl pr tlzr el Ecel pr resolver sstems por el método de Gss- Jordán prte de qe ls trnsormcones elementles qe se relzn pr llevr l mtrz n mtrz dgonl eqvlen l mltplccón de ést por l zqerd por mtrces

18 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. elementles. Por ejemplo, pr hcer cero los elementos de l mtrz () qe están por debjo de l dgonl prncpl bst con mltplcrl por l zqerd por l mtrz elementl : Vemos n ejemplo concreto. Spongmos se dese resolver el sstem, reselto por el método de Gss nterormente, c mtrz es: A Obvmente est es l mtrz mpld del sstem: en el prmer pso mltplcremos l mtrz A por l zqerd por l mtrz elementl es ácl ver qe: 9 Pr contnr el proceso de conversón del sstem n sstem dgonl bst con mltplcr l mtrz resltnte con l mtrz elementl:

19 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Est mtrz elementl concde con l mtrz ntr en tods ls celds ecepcón de qells en qe desemos hcer cero los elementos de l mtrz dgonlzr. Como hor necestmos hcer cero el elemento el elemento de l mtrz colocmos en es poscón de l mtrz elementl los vlores qe como se pede precr son gles. Eectndo el prodcto 9 Ahor debemos hcer cero los elementos qe no están en l dgonl prncpl de l tercer colmn. Pr ello sencllmente mltplcmos por l mtrz elementl: 6 Eectemos el prodcto 6 por últmo mltplcremos l mtrz mpld por l homotec: / / qe corresponde l dvsón de cd eccón por b /

20 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Obsérvese qe l mtrz del sstem es hor l mtrz ntr de hí áclmente se obtene. L relzcón de este esqem en Ecel es m propdo debdo ls clddes qe posee pr l mltplccón de mtrces. El prmer pso es colocr l mtrz mpld del sstem en n bloqe de celds: En este cso se tomó el rngo A:D. Lego l derech de l mtrz mpld (dejndo n colmn de seprcón) escrbmos l mtrz elementl necesr pr elmnr los elementos de l prmer colmn de l mtrz mpld qe estén er de l dgonl prncpl:

21 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. debe recordrse qe l mtrz elementl concde con l ntr ecepcón de ls celds en ls cles deben nlrse los elementos de l Mtrz mpld. Los vlores en ests celds son correspondentemente. Ahor eectmos l mltplccón de l mtrz elementl por l Mtrz Ampld colocremos el resltdo en el rngo A6:D8 es decr dejndo n l de seprcón drectmente debjo de l mtrz mpld. Pr ello debemos tlzr l ncón mtrcl MMULT psndo como prmer rgmento el rngo F:H (mtrz elementl) como segndo rgmento l mtrz trnsormr (rngo A:D). Despés de eectr l opercón mtrcl obtendremos: donde se prec clrmente el prmer pso del proceso de conversón n mtrz dgonl. Debemos hor escrbr l mtrz elementl del segndo pso eectr de nevo l mltplccón por ell de donde se obtene: 6

22 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Al termnr el segndo pso se hn hecho cero los elementos qe están er de l dgonl prncpl en ls dos prmers colmns. Escrbendo l mtrz elementl pr l tercer colmn eectndo el prodcto se obtene: L mtrz resltnte es dgonl sólo se necest relzr l homotec pr trnsormrl en ntr. L mtrz elementl en ese cso es n mtrz dgonl cos elementos en l dgonl prncpl son los recíprocos de los correspondentes elementos de l mtrz obtend. Eectndo l opercón obtenemos: 7

23 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Por tnto l solcón del sstem es l últm colmn de l mtrz obtend. Anqe el método de Gss-Jordán necest de más opercones pr resolver n sstem lnel orece l ventj qe trvés de él se pede determnr l mtrz nvers. Solcón de Sstems de eccones lneles por métodos tertvos. Psemos l descrpcón generl del método de tercones pr n sstem de eccones lgebrcs lneles A () Con el n de resolverlo se elge cert promcón ncl R n se hlln scesvmente solcones promds (tercones) de l eccón. El vlor de n tercón kl se epres en térmnos de ls tercones precedentes conocds k, k-,... S, l clclr kl, se tlz sólo n tercón precedente k, entonces el método tertvo se denomn de n pso (o de dos cps); s, en cmbo, k se epres en térmnos de dos tercones, k k-l, el método se llm de dos psos (o de tres cps). Aqí se nlzrán solo los métodos de n pso. En los métodos eplíctos l tercón k se obtene por l órml: ( k k τ k Ak ), En los métodos tertvos mplíctos pr determnr k hce lt resolver l eccón: 8

24 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. B ( Bk τ k Ak ) Fk, k k,,, Es ntrl egr qe el volmen de los cálclos pr resolver el sstem B k F k se sstnclmente neror l volmen de los cálclos pr l resolcón drect del sstem A. L ecttd del método tertvo se crcterz por l mgntd del error z k k -, es decr, por l derenc entre l solcón promd k l solcón ect del sstem ncl de eccones lgebrcs lneles. L ssttcón k z k llev n eccón homogéne pr el error. Sele decrse qe n método tertvo converge s lm k z k, donde z ( z, z), En el cso generl se prej certo error (reltvo) ε > con el qe se debe hllr l solcón promd k, los cálclos se dn por termndos cndo qed cmpld l condcón: n ε, S n n(ε) es el mínmo de los números, pr los cles se verc l condcón nteror, entonces el número totl de opercones rtmétcs qe hn de relzrse pr hllr l solcón promd de l eccón () es gl Q n (ε) n(ε)q, donde q es el número de opercones qe se relzn pr hllr n tercón. E problem consste en mnmzr Q n (ε) elgendo de modo decdo B los prámetros {τ k }. Comencemos por nlzr los métodos tertvos más smples. Método de l tercón smple. Pr l resolcón del sstem de eccones () pede emplerse el método de l tercón smple k τ ( Ak ) k ( k τ j j ( j) k ( ) ) donde τ es el prámetro de l tercón. Al comprr con () vemos qe el método de l tercón smple se d mednte n esqem eplícto de dos cps con el prámetro constnte τ k τ. Método de Sedel Es de mplo so (en prtclr cndo es nscente l normcón sobre l mtrz A) el método tertvo de Sedel en n de ls sgentes orms: j j ( j k ) ( j) ( ) j k,,,,,, j 9

25 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. j j ( j) k j j ( j) k ( ),,,,,, Los componentes del vector k se hlln scesvmente de mbs órmls. Así por ejemplo () () ( ) de ells determnmos scesvmente,,, : k k k () ( () k j j ( j) k ), ( ) ( ) ( j) k ( j k j j j ( j) k ), Con respecto l convergenc de estos dos métodos tenen lgr los sgentes teorems: Teorem: El método de Sedel converge con l velocdd de n progresón geométrc de rzón q<, s A( j ) es n mtrz postv j j q,,,,, q < Esto sgnc qe pr el error z k k - tenemos z k k q zk q z Teorem: El método de tercón smple converge con l velocdd de n progresón geométrc de rzón q<, s A( j ) es n mtrz no negtv, con vlores propos mínmos mámos γ, γ respectvmente, tomndo como prámetro τ l vlor: en este cso: τ γ γ ξ q ξ, γ ξ γ En cso de qe no se conozcn los vlores propos de l mtrz A (como scede en mchs ocsones) se pede tomr τ, pero en este cso no se grntz l velocdd de convergenc qe se epresó en el teorem nteror. Ilstremos el método de tercón smple pr resolver el sstem:

26 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. 7 Tomemos como promcón ncl el vector. Dvdendo cd eccón por el elemento ), (, obtenemos: 7 qe en notcón mtrcl pede escrbrse como: 7 Pr l prmer tercón clclmos prmero el vector resdo z 7 7 z lego l promcón z reptendo el proceso obtenemos: ) ),8,8,, ( z, ,8, (,, ),966667,66667, (,, z

27 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. (,8, -,,,87) z (,8, -,667, -,66667) (, -,9898,, ) z (,, -,667, -,8867) (,9687, -, ,,8) z (-,667,,9, -,8) 6 (,997967, -,99898,,897) Como pede precrse, el proceso converge l solcón ect del sstem qe es evdentemente (,, ). L orgnzcón de los cálclos del proceso de tercón smple es en Ecel etremdmente sencll. En prmer lgr reservemos n bloqe pr l mtrz del sstem pr el vector lbre tl como se prec en l sgente tbl: Lego, en l colmn contg l térmno lbre colocmos l promcón ncl el prmer resdo z. Pr clclr el prmer resdo tlzmos n orml mtrcl tl como se mestr contncón: Observe qe l órml mtrcl pr el resdo es l derenc entre el prodcto de l mtrz del sstem por el vector el térmno lbre. Est órml es convenente modcrl pr qe ped srse en otrs tercones. L modccón consste en poner reerencs bsolts l mtrz del sstem (qe sempre estrá en el bloqe A:C) l térmno lbre D:D. Esto sgnc qe debemos ssttr en l órml A:C por $A$:$C$ D:D por $D$:$D$. Un vez eectdo este cmbo obtenemos:

28 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. Al hcer l modccón no podemos olvdr qe debemos conclr l ntrodccón de l órml con l combncón de tecls CTRLMAYÚSETRAR. Ahor debemos ntrodcr l órml pr el cálclo de l nev tercón. Pr el cálclo de l nev promcón sremos otr órml mtrcl: El cálclo del resdo pr ést promcón l nev tercón se obtenen áclmente s copmos ls últms colmns en l próm colmn lbre (en este cso l colmn H). Al hcer esto se obtene: Cd nev tercón se redce copr ls últms dos colmns l próm colmn lbre, por lo qe se obtenen etremdmente rápdo de mner sencll.

29 Revst Pedgogí Unverstr Vol. 8 o. COCLUSIOES El trbjo bord problems del Álgebr Lnel m relcondos entre sí. Desde el pnto de vst metodológco, los métodos nlzdos permten por prondzr en l solcón de los problems. El so del Ecel permtrí l comprobcón rápd de los resltdos obtendos por otros métodos l sstemtzcón de hblddes conceptos tles como: l conormdd de mtrces pr el prodcto, l obtencón del rngo de mtrces, l relcón entre l estenc ncdd de l solcón de n Sstem de Eccones Lneles el determnnte de l msm, etc. S logrmos qe este mterl contrb en lgo l desrrollo del proceso docente constt n motvcón qe promev el nterés hc l Comptcón, por l verdder mportnc qe en l ctldd le corresponde est dscpln, nos sentremos stsechos. BIBLIOGRAFÍA. A. A. Smrsk. Introdccón los métodos nmércos. Edtorl MIR. Moscú. George Forsthe, Cleve B. Moler. Compter Solton o Lner Algebrc Sstems.. I. S. Berezn nd.p.zhdkov. Comptng Methods. Volmen II. Mnel Alvrez Blnco otros. Mtemátc mérc. Edtorl Fél Vrel Mrí Vrgn Vrel Mrcelo otros.. Álgebr Lnel. Edtorl Peblo edccón D. Fddeev, I. Somnsk. Problems del Álgebr Speror. Edtorl MIR. Moscú 97.