Resolución de sistemas de congruencias

Transcripción

1 Resolucó de sstems de cogruecs E este prtdo veremos cómo utlzr l rtmétc modulr pr resolver u problem muy tguo, coocdo como problem cho de los restos, que reformulremos hor utlzdo el leguje modero de ls cogruecs. Se trt de determr s exste solucó eter u sstem de cogruecs como el sguete y, e cso frmtvo, ecotrr tods ls solucoes posbles: pr () m Vmos descrbr u procedmeto, bsdo e el lgortmo de Eucldes, llmdo lgortmo cho de los restos, que ofrece solucó l problem e el cso prtculr de que los módulos m se prmos reltvos. El método se bs e r resolvedo ls cogruecs de dos e dos. Así pues, vemos e prmer lugr cómo resolver el sguete problem smplfcdo: m x b co ( m, ) = Posterormete veremos e qué csos se puede evtr l restrccó de trbjr co módulos prmos reltvos y ecotrremos u codcó ecesr y sufcete pr l exstec de solucó. Por hor, vemos que, co módulos prmos reltvos, u solucó se puede cosegur sí: x= + mt, co t Z es l solucó geerl de l prmer cogruec. Por tto, el sstem es comptble sólo s exste lgú t verfcdo + mt b Como ( m, ) =, exste c tl que [ m][ c ] = [] e Z, es decr, mc. Por tto, bst tomr t = cb ( ) o culquer otro represette de este clse e

2 Z, como por ejemplo, t = cb ( )mod. E resume, u sstem de cogruecs co dos módulos prmos reltvos se puede resolver e tres psos:. Clculr c= m mod (quí etr el lgortmo de Eucldes). Defr t = cb ( )mod (l reduccó módulo es opcol). x= + mt es u solucó prtculr. Cosderemos hor el problem de cogruecs co módulos prmos reltvos:, m j ( m, m ) = j Nos quedmos e prmer lugr co ls dos prmers cogruecs: x m m Como ( m, m ) =, podemos hllr u solucó prtculr de este sstem utlzdo el procedmeto de tres psos que hemos descrto tes. Llmremos est solucó. Co ell formmos u uevo sstem: mm m Como comprobremos esegud, ( mm, m ) =, luego podemos volver plcr el procedmeto teror pr clculr u uev solucó prtculr, que llmremos. Reterdo este proceso, supuesto defdo, e u estdo termedo os ecotrrímos ls dos cogruecs sguetes:

3 mm m m+ + Igul que tes, ( mm m, m + ) =, lo que permte obteer +. E el últmo pso, obtedrímos como solucó del sguete sstem: mm m x m L sguete proposcó segur l vbldd del lgortmo pr cosegur u solucó prtculr del sstem orgl., = PROPOSICIÓN. E ls codcoes terores, se = m, > =. (, m ) =,.. es u solucó del sstem m,. E prtculr, es u solucó prtculr del sstem de prtd. Demostrcó.. S exste lgú rreducble p tl que p (, m ), l tl que p m, pero etoces p ( m, m ), <, lo cul es u cotrdccó. codcó de prmo de p llev que {,, }. Iduccó sobre. Pr = es evdete, por l defcó de. Supogmos m pr., luego + + m pr + ; por trstvdd, m pr + ; por otro ldo, por defcó, m, luego m pr +. +

4 Resumedo todo lo teror, el sguete lgortmo cho de los restos, permte ecotrr u solucó prtculr u sstem de cogruecs co módulos prmos reltvos: = = (mod m) (l reduccó es opcol) Pr =,, : m = + c = mod m t = c ( ) (mod m ) (reduccó opcol) = + t L sld del lgortmo es, que es u solucó prtculr del sstem. El sguete lem técco permte obteer fáclmete l solucó geerl del sstem de cogruecs, prtr de u solucó prtculr obted, por ejemplo, medte el lgortmo teror. LEA. Ddos eteros, V, m,, m prmos reltvos, se Etoces, V pr s y sólo s V. m = m. = Demostrcó. Iduccó sobre. Pr =, supogmos V y m V. Se tee etoces m, m V y ( m, m ) =. L fctorzcó úc * permte deducr que mm V, es decr, mm V. Supoedo hor V pr, tedrímos, por u ldo, V y, por otro, m m V, co (, m ) = ; es decr, estmos de uevo e el cso = y coclumos que V. m 4

5 * NOTA. El teorem de Bezout tmbé permte probr este hecho, uque co ello utlzmos u hpótess más fuete. m V V = m, =,; ( m, m) = = ms + mt. ultplcmos por V pr obteer V = mms + mmt, es decr, mm V. PROPOSICIÓN. El sstem { m,,( m, mj) = pr j} equvle l cogruec, sedo u solucó prtculr del sstem. E prtculr, l solucó geerl de dcho sstem es l clse de módulo, [ ] = { + t: t Z }. Demostrcó. S V es solucó de l cogruec smple, V m, luego V pr. Por otro ldo,, tmbé pr ; l propedd trstv llev que V m m, es decr, V es solucó del sstem. Recíprocmete, s V es solucó del sstem de cogruecs, V pr ; como m, ls propeddes smétrc y trstv llev que V m pr y, por el lem prevo, V, y V es solucó de l cogruec smple. EJEPLO. Vemos u plccó práctc del lgortmo cho de los restos pr el sguete sstem de cogruecs: m Aplcdo el lgortmo podemos costrur l sguete tbl:

6 m c t Como vemos e l tbl, 4 = 868 es u solucó prtculr. L solucó geerl serí, e este cso, S= [868] = { t: t Z }. 55 Hemos vsto que l solucó que devuelve el lgortmo e este cso es l mím postv. No es u csuldd, so u cosecuec de relzr l reduccó (opcol) de cd t + módulo m +. LEA. S se relz e cd pso l reduccó de t módulo m, se verfc 0 < +. E prtculr, el lgortmo devuelve l solucó del sstem mím postv. Demostrcó. = mod m, es decr, 0 <. Por otro ldo, es clro que = t + t + + t (hcedo t = ), luego ( m ) + ( m ) m+ ( m ) mm + + ( m ) mm m = mm m = +. 6