UN VIAJE POR EL MUNDO DE LA PROBABILIDAD

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1 UN VIAJE POR EL MUNDO DE LA PROBABILIDAD AUTORÍA JUAN JOSÉ LEÓN ROMERA TEMÁTICA PROBABILIDAD ETAPA BACHILLERATO Resume E el presete artículo se trata los cotedos relacoados co Probabldad. Se hace u acercameto, co relatvamete profuddad, al mudo de este amplo cocepto tegrado detro de las Matemátcas, llegado a desarrollarse alguos teoremas matemátcos co sus correspodetes demostracoes. Además, el desarrollo de esta temátca se acompaña de ejemplos que clarfca los cotedos a eseñar e relacó a Probabldad. Palabras clave - Expermeto aleatoro. - Suceso. - Probabldad. 1. EXPERIMENTO ALEATORIO. ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO: Defcó: U feómeo o expereca se dce aleatoro cuado al repetrlo e codcoes aálogas o se puede predecr el resultado. S por el cotraro, se puede predecr el resultado de ua expereca aú ates de realzarla, se dce que el expermeto es determsta. So feómeos aleatoros: - Extraccó de ua carta de la baraja. - Lazameto de u dado. - Respuestas a ua ecuesta. C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 1

2 Defcó: El cojuto de todos los posbles resultados de u expermeto se llama espaco muestral, y se represeta por E o be por. Ejemplo: El espaco muestral del expermeto que cosste e lazar ua moeda al are tres veces es: E = {(c,c,c),(c,c,x),(c,x,c),(x,c,c),(x,x,c),(x,c,x),(c,x,x),(x,x,x)} Cada elemeto del espaco muestral E se llama suceso elemetal o puto muestral Sucesos. Suceso mposble o ulo. Suceso cotraro: Defcó: Sea E el espaco muestral de u expermeto aleatoro. Se llama suceso a todo subcojuto del espaco muestral E. U suceso puede determarse por extesó (eumerado los elemetos) o dado ua propedad que se verfca por, y sólo por, los elemetos de dcho subcojuto. Dremos que u suceso A se verfca cuado al realzar el expermeto se obtee como resultado uo de los putos muestrales de A. El cojuto formado por todos los sucesos del espaco muestral se llama espaco de sucesos (S). Es decr, el espaco de sucesos está formado por todos los subcojutos del espaco muestral. S la expereca aleatora es, por ejemplo, lazar ua moeda: E= {c,x} y el espaco de sucesos S= {,{c},{x},{c,x}} Los sucesos defdos por los cojutos y E se llama suceso mposble y suceso seguro respectvamete. El suceso mposble es aquel que uca se realza, y el suceso seguro es el que se realza sempre. Dado u suceso A, se llama suceso cotraro o complemetaro de A, y se represeta por A, al suceso que se realza cuado o se realza A y recíprocamete. El suceso cotraro de E es y recíprocamete. C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 2

3 U suceso A se dce que está cotedo o ducdo e otro B s sempre que se verfca A se verfca B. Se represeta AB Operacoes co sucesos: Uó de sucesos. Dados dos sucesos A y B se llama uó de A y B, y se represeta por AB, al suceso que se realza cuado se realza alguo de ellos, A o B. Iterseccó de sucesos. Dados dos sucesos A y B, se llama suceso terseccó de A y B, y se represeta por AB, al suceso que se realza s y sólo s se realza smultáeamete A y B. Dos sucesos A y B cuya terseccó es el suceso mposble se llama sucesos compatbles. Obsérvese que u suceso y su cotraro so sempre compatbles. Dfereca de sucesos. Dados dos sucesos A y B, se llama suceso dfereca de A y B, y se represeta por A\B, al suceso A B. O sea, A\B está formado por todos los putos muestrales de A que o está e B. C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 3

4 Propedades de la uó e terseccó de sucesos. UNIÓN INTERSECCIÓN Asocatva (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) Comutatva AB=BA AB=BA Idempotete AA=A AA=A Smplfcatva Dstrbutva A(BA)=A A(BA)=A A (BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB) (AC) Además: A A=E A A= Cosecuecas: ) A=A, A= ) AE=A, AE=E ) Leyes de De Morga: 2. PROBABILIDAD: A B A B, A B A B 2.1. Frecueca absoluta y relatva de u suceso. Se llama frecueca absoluta de u suceso A al úmero de veces que se verfca A al realzar el expermeto u úmero determado de veces. Se llama frecueca relatva de u suceso A al cocete etre su frecueca absoluta y el úmero de veces que se realza el expermeto. f a (A) f r (A) sedo el úmero de veces que se repte el expermeto. C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 4

5 Propedades. a) 0 f r (A) 1 b) f r (E) = 1 c) S AB=, etoces f r (AUB) = f r (A) + f r (B) 2.2. Ley de los grades úmeros. La frecueca relatva de u suceso tede a establzarse haca u úmero a medda que el úmero de pruebas del expermeto aleatoro crece defdamete. A este hecho se le cooce como ley de los grades úmeros. Este úmero al que la frecueca relatva se acerca a medda que es mayor el úmero de pruebas realzadas, lo llamaremos probabldad del suceso Defcó axomátca de probabldad. Sea E el espaco muestral de u expermeto aleatoro. Ua probabldad e E es cualquer fucó P que asga a cada suceso A u úmero real P(A) que cumple las sguetes propedades: 1. 0 P(A) 1 2. P(E) = 1 3. S A y B so compatbles (AB=), etoces: P(AUB) = P(A) + P(B) Estas tres codcoes recbe el ombre de axomas de probabldad Propedades de la probabldad. 1. P() = 0 Demostracó: Sea AS. Sabemos que A =A y A=. Etoces por el axoma 3: P(A) = P(A ) = P(A)+P() P() = 0 2- P(A) = 1 - P( A ), AS Demostracó: Sea AS. Sabemos que A A =E y A A =. Etoces por l axoma 3: P(E)=P(A A )=P(A)+P( A ), C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 5

6 Además, por el axoma 2: P(E)=1. Etoces: 1=P(A)+P( A ) P(A)=1-P(A) 3- S A y B so sucesos tales que AB, etoces P(A)P(B) Demostracó: Sea A, BP(E) tal que AB, etoces exste u CS tal que A C=B y AC=, por el axoma 3: P(B)=P(A)+P(C) Como P(C)0, por el axoma 1, etoces: P(A)P(B) 4- S A y B so dos sucesos o ecesaramete compatbles, etoces : P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) Demostracó: P(A B)=P(AB)+P( B A)+P( A B) P(A)=P(AB)+P(A B ) P(B)=P(BA)+P( A B) Restado de la prmera gualdad las dos últmas: P(A B)-P(A)-P(B)=-P(AB) P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) Geeralzado esta propedad, obteemos: P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 5.- P(A\B)=P(A)-P(AB) Demostracó: P(A)=P((A\B) (AB))=P(A\B)+P(AB) C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 6

7 2.5. Eucado de la Regla de Laplace. S los resultados de ua expereca aleatora so casos equprobables, la probabldad de u suceso A es: P(A) º de casos favorables º de casos posbles 3. PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES: 3.1. Defcó de probabldad codcoada. Para troducros e este cocepto, veamos prmero el sguete ejemplo: Los resultados de ua ecuesta sobre la acttud polítca de 334 persoas es el sguete: VARONES MUJERES TOTAL DERECHAS IZQUIERDAS TOTAL Sea A: ser varó y B: ser de derechas. Se elge ua persoa al azar, cuál es la probabldad de que se a de derechas sabedo que es varó? Evdetemete la probabldad pedda es: 145 pues hay 196 varoes de los cuales so de derechas. Esta probabldad es la que llamaremos Probabldad codcoada del suceso B respecto al suceso A. Dcho de otro modo, la probabldad codcoada de u suceso B respecto de otro A es la probabldad del suceso B sabedo que prevamete ha ocurrdo el suceso A. Defcó: Se llama Probabldad codcoada del suceso B respecto del suceso A, y la deotaremos por P(B/A), al cocete : P( A B) P(B/A)= P( A) s P(A)O Aálogamete podemos defr P(A/B). De lo ateror se deduce claramete las relacoes sguetes: P(AB)=P(A) P(B/A) P(AB)=P(B) P(A/B) C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 7

8 Ejemplo: De ua ura que cotee 9 bolas rojas y 5 egras, se extrae sucesvamete 2 bolas. Calcular la probabldad de los sguetes sucesos: a) Que las dos sea egras. b) Que las dos sea rojas. c) Que la prmera se roja y la seguda egra. d) Que la seguda se roja sabedo que la prmera fue egra. Solucó: a) Sea N 1 : sacar la 1ª Negra N 2 : sacar la 2ª Negra Teemos: P(N 1 N 2 ) = P(N 1 ) P(N 2 /N 1 ) = 5/14 4/13 b) Sea R1: sacar la 1ª Roja R 2 : sacar la 2ª Roja Teemos: P(R 1 R 2 ) = P(R1) P(R 2 /R 1 ) = 9/14 8/13 c) Sea R 1 : Sacar la 1ª Roja N 2 : Sacar la 2ª Negra Teemos: P(R 1 N 2 ) = P(R 1 ) P(N 2 /R 1 ) = 9/14 5/13 d) Sea N 1 : La 1ª es Negra R 2 : La 2ª es Roja Teemos: P(R 2 /N 1 ) = 9/13 (queda 13 bolas de las cuales 9 so rojas) 3.2. Cocepto de sucesos depedetes. Defcó: Dos sucesos A y B se dce depedetes s P(B) = P(B/A). Ejemplo: Cosderemos el expermeto de extraer cartas de ua baraja Cuál es la probabldad de extraer dos reyes? a) S devolver la 1ª carta. b) Co devolucó. C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 8

9 Solucó: a) Sea R 1 : cosegur rey e la 1ª extraccó R 2 : cosegur rey e la 2ª extraccó Teemos: P(R 1 R 2 ) = P(R 1 ) P(R 2 /R 1 ) = 4/40 3/39 b) Por depedeca (al o flur la 1ª bola e la 2º): P(R 1 R 2 ) = P(R 1 ) P(R 2 ) = 4/40 4/ Cálculo de probabldades codcoadas y de terseccó de sucesos. De la combacó de la fórmula de la probabldad codcoada y de la defcó de sucesos depedetes se puede deducr que s dos sucesos A y B so depedetes etoces: P(AB) = P(A) P(B) Esta fórmula se extede para el caso de sucesos depedetes A 1, A 2,.., A quedado: P(A 1 A 2... A ) = P(A 1 ) P(A 2 )... P(A ). Como hemos vsto, e el caso de sucesos depedetes teíamos la expresó: P(AB) = P(A) P(B/A) que e el caso de tres sucesos sería : P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) pudedo geeralzar també esta fórmula para el caso de sucesos. Defcó: Se dce que u cojuto de sucesos A 1, A 2,...,A forma u sstema completo de sucesos para u determado expermeto aleatoro s verfca las dos codcoes sguetes : a) A 1 A 2...A = E b) A 1, A 2,...,A so compatbles 2 a 2 (A A j = ) Teorema de la Probabldad Total. Sea A 1,A 2,...,A u sstema completo de sucesos tales que la probabldad de cada uo de ellos es dstta de cero, y sea B u suceso para el que se cooce las probabldades P(B/A ), etoces la probabldad del suceso B vee dada por: P( B) P( A ) P( B / A ) Demostracó: 1 Como B = BE = B(A 1 A 2...A ) = (BA 1 )(BA 2 )...(BA ), etoces se cumple que: P(B) = P(B A ) P(A ) P(B / A ) =1 =1 C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 9

10 Teorema de Bayes. Sea A 1,A 2,...,A u sstema completo de sucesos tal que la probabldad de cada uo de ellos es dstta de cero, y sea B u suceso cualquera para el que se cooce las probabldades P(B/A ), etoces: P( A ) P( B / A ) P( A / B), 1, 2,..., P( A ) P( B / A ) Demostracó: 1 Teemos: P(A B) = P(A ) P(B/A ) = P(B) P(A /B), =1,...,. Despejado P(A /B) os queda: P(A ) P(B/A ) P(A/B) =, P( B) y por el teorema de la probabldad total: = 1,..., P(A /B) = P(A ) =1 P(A P(B/A ), = 1,..., ) P(B/A ) Ejemplo. Se tee dos uras. Ua ura A que tee 3 bolas blacas y 2 egras, y otra ura B co 2 bolas blacas y 3 egras. Se elge ua ura al azar y de ella se extrae ua bola. a) Calcular la probabldad de que la bola extraída sea egra. b) S sabemos que la bola extraída es egra, qué probabldad hay de que fuese de la ura A? La resolucó de este problema tpo es al sguete: Sea A: elegr la ura A B: elegr la ura B C: extraer bola egra a) Por el Teorema de la Probabldad Total: P(N) = P(A) P(N/A) + P(B) P(N/B) = 1/2 3/5 + 1/2 2/5 = 1/2 b) Por el Teorema de Bayes: P(A) P(N/A) P(A/N) = P(A) P(N/A) + P(B) P(N/B) C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 10

11 4. BIBLIOGRAFÍA. - Aseco, M. J., Romero, J.A. y De Vcete, E. (1999). Estadístca. Madrd: McGraw-Hll. - Colera, J., Olvera, M.J., García, R. y Sataella, E. (2008). Matemátcas I. Madrd: Aaya. - Sáchez, R. (2004). Estadístca. Graada: Rafael Sáchez. Autoría Nombre y Apelldos: Jua José Leó Romera Cetro, localdad, provca: IES Séeca, Córdoba E-mal: jjleo1979@hotmal.com C/ Recogdas Nº 45-6ºA Graada csfrevstad@gmal.com 11