Dada una sucesión x1, x2, x3,... x n dos a dos independientes, con una misma distribución de probabilidad y con esperanza µ y varianza σ

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1 TEOREMA DE BERNOULLI GENERALIZADO > 0 Dada ua sucesó x1, x, x3,... x dos a dos depedetes, co ua msma dstrbucó de probabldad y co esperaza µ y varaza lím Se verfca que P x µ = 1 ó lím P x µ > = 0 El límte, e probabldad, de la meda muestral para es gual a su esperaza matemátca

2 x 1, x, x 3,... x Demostracó So varables aleatoras depedetes de ua varable X co esperaza y varaza guales. E( x ) = y V( x ) = x x = Es ua fucó de 1 3 = 1 µ x, x, x,... x Por lo tato es otra varable aleatora. x 1 1 E ( x ) = E E ( x ).. µ µ = 1 = = = = 1 x 1 1 V ( x ) = V V ( x ).. = 1 = = = = 1

3 Aplcado la desgualdad Aplcado la desgualdad de Tchebyshev de Tchebyshev Cosderamos. k k = = 1 P x k. 1- k µ 1 P x k. 1- µ k P x k. 1- µ < ó P x µ >

4 Aplcado Límte para tededo a fto límp x µ lím 1 lím P x µ = 1 ó > 0 límp x µ > = 0 El teorema se puede geeralzar a varables aleatoras co dsttas esperazas y varazas.

5 SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS

6 Teorema del límte cetral El teorema afrma que, co certas restrccoes leves, la dstrbucó de la suma de u gra úmero de varables aleatoras, tee aproxmadamete ua dstrbucó ormal. El valor de este teorema es que o requere codcoes para las dstrbucoes de las varables aleatoras dvduales que se suma.

7 Eucado del TLC S S es la suma de u gra úmero de varables aleatoras, etoces, bajo certas codcoes, la fucó de desdad de probabldad de la varable aleatora S se dstrbuye ormalmete, para tededo a fto. Observar que z = = 1 S µ = 1 = 1 E( s ) µ N ( 0,1) = ( S) = Esta geeralzacó es válda cuado las varables aleatoras dvduales sólo hace ua cotrbucó relatvamete pequeña a la suma total = 1

8 E partcular, s las x está détcamete dstrbudas, es decr, tee la msma meda y la msma varaza, E ( x ) = µ E( S) = E x = E ( x ) =. µ ( ) V x = = 1 = 1 V( S) = V x = V ( x ) =. = 1 = 1 Por ser las x depedetes. Etoces el teorema afrma que la fdp de la varable S se dstrbuye ormalmete S µ z = N Luego. ( 0,1)

9 Ejemplo 1 Supógase que u proceso de fabrcacó produce lavadoras de las cuales, alrededor del 5% so defectuosas. S se speccoa 100 lavadoras Cuál es la probabldad de que haya etre y 6 lavadoras defectuosas? ( ) ( ) P < x < 6 = P x = 3 + P ( x = 4) + P ( x = 5) = 0,05.0,95 + 0,05.0,95 + 0,05.0,95 = 0,4977 Comparemos el resultado del cálculo drecto co el cálculo aproxmado, es decr, aplcado el TCL:

10 Calculamos Aplcamos el TCL E(x)=p=100.0,05=5 V(x)= p(1-p)=100.0,05.0,95= 4, P ( < x < 6) = Φ Φ = Φ ( 0,46) Φ ( 1,38 ) = 4,75 4,75 = 0,677 0,0838 = 0,5934 Comparamos co el resultado exacto 0,4977. No es ua buea aproxmacó. Por ser x ua varable dscreta, calculemos P(3 x 5) = Φ Φ = 4,75 4,75 ( ) ( ) = Φ 0 Φ 0,9 = 0,5 0,1788 = 0,31 Tampoco es buea aproxmacó

11 La dstrbucó Bomal coverge a la ormal cuado tede a (teorema de de Movre, caso partcular del teorema cetral del límte) 1 1 S a x b a x b + p(x) a -0.5 a b b + 0.5

12 Correccó por cotudad Para varables dscretas, cosste e amplar el tervalo e ua udad, es decr: S a 1 1 x b a x b + 5,5 5,5 5 P (,5 x 5,5) = Φ Φ = 4,75 4,75 = Φ 0,3 Φ 1,15 = 0,591 0,151 = 0,4659 ( ) ( ) Es ua buea aproxmacó

13 Ejemplo Ua fábrca de productos almetcos produce care elatada, co u peso medo de 50 grs y ua varaza de 900 grs cuadrados por lata. S los pesos de las latas so estadístcamete depedetes. Las cajas cotee 60 latas. Se elge ua al azar, hallar la probabldad de que: x a) El peso de la caja sea a lo sumo 14,5 kg. b) El peso de la caja sea al meos 15,3 kg. : es el peso de cada lata C: es el peso de la caja E( x ) = 50 grs. V ( x ) = 30 grs C = x E ( C) = E x = E( x ) = = grs = 15 kg. = 1 = 1 = V ( C) = V x = V( x ) = = grs = 1 = 1 ( C) = = = 3,38grs = 0,338kg

14 Calculamos las probabldades peddas 14,5 15 a) P ( C 14,5) = Φ = Φ (,15 ) = 0,0158 0,338 15,3 15 b) P ( C 15,3) = 1 Φ 1 ( 1,9 ) 0,338 = Φ = = 1 0,9015 = 0,0985

15 Cosderacoes fales El que se requere para aplcar el teorema cetral del límte e gra parte depede de la forma de la dstrbucó de las varables aleatoras dvduales que se suma S los sumados está ormalmete dstrbudos, al aplcar el teorema cetral del límte, las probabldades obtedas so exactas. No mporta. S o se cooce la dstrbucó de los sumados, para mayor o gual que 5, se obtee bueas aproxmacoes. S las varables aleatoras se dstrbuye bomalmete, >10 s p 0,5 tambe s p 0 ó 1, debe ser bastate mayor.

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