EL SIGNIFICADO DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE: EVOLUCIÓN HISTÓRICA A PARTIR DE SUS CAMPOS DE PROBLEMAS 1

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1 EL SIGNIFICADO DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE: EVOLUCIÓN HISTÓRICA A PARTIR DE SUS CAMPOS DE PROBLEMAS Hugo Alvarado, Carme Bataero Uversdad Católca de la Satísma Cocepcó, Chle Uversdad de Graada halvarad@ucsc.cl, bataero@ugr.es RESUMEN E este trabajo se aalza la evolucó hstórca del teorema cetral del límte, desde la perspectva de la TFS co el f de detfcar los campos de problemas que lo orgaro. La faldad es mostrar la evolucó de sus dferetes sgfcados, car la recostruccó de su sgfcado global y compreder las dfcultades ecotradas, que puede posterormete reproducrse e el apredzaje de los estudates. Palabras claves: Teorema cetral del límte, Evolucó hstórca, Campos de problemas. INTRODUCCIÓN E ocasoes, los profesores asummos s cuestoaros los eucados matemátcos, de maera que llega a los estudates como u producto acabado. E estos casos, uestras exposcoes e el aula o muestra los coflctos del proceso hstórco creatvo la forma e que ha llegado a costrurse los coceptos y proposcoes mportates. E este trabajo camos u estudo hstórco sobre el teorema cetral del límte (TCL), desde la perspectva del marco teórco de la TFS (Godo, 003), e dode se cosdera los objetos matemátcos como emergetes de la actvdad de resolucó de campos de problemas. Es parte de u trabajo más amplo que pesamos completar y está oretado a dseñar y evaluar procesos de estudo del TCL para estudates de geería. Se scrbe e ua líea de vestgacó llevada a cabo e la Uversdad de Graada sobre sgfcado y compresó de coceptos estadístcos e etoros tecológcos el que ya se ha realzado otros trabajos, també basados e el msmo marco teórco (por ejemplo, Tauber, 00). E el marco teórco cosderado, las matemátcas se asume como ua actvdad humaa mplcada e la solucó de certa clase de stuacoes problemátcas de la cual emerge y evolucoa progresvamete los objetos matemátcos y se pretede elaborar E A. Cotreras (Ed.) (005). Ivestgacó e Ddáctca de las Matemátcas (pp. 3-36). Jaé: Uversdad de Jaé

2 u modelo de los procesos de compresó de las matemátcas que tega e cueta los factores sttucoales y sococulturales mplcados e los msmos, además de los pscológcos (Godo y Bataero, 994; 998). Dcho marco os parece especalmete adecuado, e cuato permte resaltar el sgfcado específco de los coceptos estadístcos ducdo por la tecología, los coflctos semótcos potecales y los crteros de doedad de los procesos de estudo dseñados. Partremos prcpalmete de los trabajos de Fsher (000), Mether (003), Xuyu (003), que completamos co otros trabajos sobre hstora de la estadístca y reaalzamos desde el marco teórco. Nos cetramos, precsamete e la detfcacó de los campos de problemas asocados al TCL y de su evolucó hstórca, desde su prmera forma smple cuado la teoría de la probabldad todavía o había sdo cosderada parte de la matemátca hasta llegar a la etapa actual, resaltado las práctcas matemátcas que llevaro a la solucó de los msmos, así como la cotrbucó por dferetes matemátcos. La faldad prcpal es car la recostruccó del sgfcado global del TCL, que srva como base para el dseño de procesos de estudo e strumetos de evaluacó. Asmsmo, el coocmeto de la hstora del TCL puede ser u recurso para los profesores, cotrbuyedo a erquecer su actvdad docete e el aula, favorecedo la compresó de los dversos campos de problemas asocados al teorema y mostrado alguas dfcultades que puede també estar presetes e uestros estudates.. EL TCL Y SU IMPORTANCIA EN ESTADÍSTICA El Teorema Cetral del Límte es fudametal e la eseñaza uverstara, especalmete e las carreras de geerías y cecas, dode es u strumeto que se utlza a daro e stuacoes cotdaas y profesoales. E la actualdad coocemos como Teorema (o teoremas) cetral del límte a ua sere de resultados acerca del comportameto de la dstrbucó de la suma (o meda) de varables aleatoras, que e forma smplfcada establece: la suma de u gra úmero de varables aleatoras depedetes tede a segur de maera astótca ua dstrbucó ormal, sempre que determadas codcoes quede satsfechas (Wsewsk yvelasco, 00, pp. ). Pero e el marco de la teoría de las fucoes semótcas (Godo y Bataero, 994; 998; Godo, 003), el sgfcado de u objeto matemátco o se cosdera úco, estable e el tempo y se dfereca etre el sgfcado sttucoal de u objeto matemátco, que es compartdo detro de ua sttucó (por ejemplo educatva

3 o de estadístcos profesoales) y el sgfcado persoal adqurdo por cada membro de la sttucó. Los autores preseta el objeto matemátco como u emergete de u sstema de práctcas lgadas a la evolucó de campos de problemas específcos lgados al objeto. Las práctcas socales depederá de la sttucó (por tato del mometo hstórco). Tato los campos de problemas como las práctcas so elemetos del sgfcado (Godo, 00) de u objeto matemátco y cotrbuye a caracterzarlo, además de otros elemetos, como los procedmetos lgados a la resolucó de problemas, el leguaje, coceptos y propedades y argumetos. La mayor parte de aplcacoes actuales de la estadístca e la ceca y la geería, se basa e obtecó de coclusoes sobre ua poblacó, a partr de los datos dspobles de ua muestra (fereca estadístca). La compresó del TCL, es fudametal e los procedmetos ferecales de estmacó putual de parámetros, estmacó por tervalos de cofaza y prueba de hpótess, cuado o se cooce la dstrbucó exacta del estadístco e el muestreo, ya que permte determar las dstrbucoes astótcas de la meda y otros parámetros. Medate el TCL podemos també obteer dstrbucoes aproxmadas de otras dstrbucoes cláscas, tales como la Bomal, Posso, Ch-Cuadrado, medate la cosderacó de la suma de varables aleatoras, ya que el teorema se cumple, depedetemete de la dstrbucó de partda de la poblacó. Esto explca també que muchos métodos estadístcos requere la codcó de ormaldad para su correcta aplcacó y que se haya desarrollado muchos métodos basados e dcha dstrbucó. Falmete, desde el puto de vsta ddáctco el teorema reúe elemetos dversos cuya compresó debe adqurr el estudate ates de abordarlo, tales como: varable aleatora, dstrbucó ormal, muestra aleatora, estadístco, dstrbucoes muestrales, lo que hace rco y complejo su estudo. 3. DESARROLLO HISTÓRICO Desde el puto de vsta hstórco, el TCL es uo de los resultados más otables de la teoría estadístca, debdo al esfuerzo sostedo de varos matemátcos destacados, que fue establecdo por prmera vez e 738 por Abraham De Movre, bajo codcoes muy restrgdas. A prcpos del sglo XIX, Laplace lo formuló de maera más geeral; pero hasta 90 o se pudo establecer por Lapouov e codcoes geerales proporcoar ua demostracó rgurosa, empleado herrametas matemátcas sofstcadas. 3

4 E lo que sgue aalzamos este desarrollo. Las otacoes que usamos e adelate so las sguetes: X, X,... : varables aleatoras (v.a.); v. a...d. : v. a. depedetes e détcamete dstrbudas; S = X : suma de varables aleatoras; = σ = tx E( e ) σ = : suma de varazas, dode X tee varaza σ < ; ϕ ( t ) = : fucó característca de X; X B(, p) : la v.a. X tee dstrbucó bomal de parámetros y p; N( µ,σ ) : dstrbucó ormal de meda µ y desvacó típca σ ; E ( X ) : la esperaza o meda de la v. a. X ; 3.. IDEAS PRECURSORAS El orge del TCL surge de la ecesdad de ecotrar fórmulas de cálculo para la dstrbucó Bomal y otras dstrbucoes dscretas, e las que tervee los térmos factorales. U problema es que, al aumetar el valor de estos térmos crece muy rápdamete, por lo que el cálculo de las probabldades de los valores de la varable e las dstrbucoes exactas es demasado laboroso, cluso hoy día. Mucho ates de la aparcó de los ordeadores, este problema llevó a dsttos matemátcos a tratar de ecotrar valores aproxmados de estas probabldades para valores de grades y a estudar las codcoes e que estas aproxmacoes podría utlzarse co u error acotado. Estos estudos ca el terés haca los teoremas de límte y da orge al prmer campo de problemas relacoados co el msmo: CP: E qué codcoes y medate qué fucoes o dstrbucoes de probabldad puede aproxmarse otras dstrbucoes, cuado aumetamos progresvamete el valor de certos parámetros de las msmas, y, e partcular, tamaño de ua muestra? U problema partcular detro de este campo sería la búsqueda de ua aproxmacó de la dstrbucó bomal B (, p) para valores de grades. Segú Xuyu (003), Abraham De Movre ( ) publcó cometaros sobre este tópco e 730 e su Mscellaea Aalytca y publca la solucó e su Doctre of Chaces (733), dode mostró e otacó modera, el sguete resultado: x x Sea X B(, p), P( x) = p ( p) x, etoces, para valores grades de, X sgue ua dstrbucó aproxmadamete ormal N ( µ, σ ) de meda µ = p y desvacó x p típca σ = pq ; es decr la varable Z = sgue ua dstrbucó ormal N (0,). pq 4

5 De Movre vestgó los límtes de la dstrbucó bomal cuado el úmero de esayos aumeta, ecotrado ua relacó co la fucó e X, pero o lo relacoa co la dstrbucó ormal. Itetó determar, para valores grades del úmero de esayos, la probabldad de ocurreca del valor cetral ( es el total de esayos), aproxmadola a la expresó ( K ). James Strlg descubró que K es gual a π. 3.. SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS IDENTICAMENTE DISTRIBUIDAS CON MEDIA Y VARIANZAS FINITAS Puesto que la dstrbucó bomal B (,p) puede cosderarse como la suma de varables aleatoras détcamete dstrbudas B (, p) o varables de Beroull, la demostracó que la dstrbucó bomal se aproxmaba medate la dstrbucó ormal es u caso partcular de lo que sería posterormete el teorema cetral del lmte. La suma de varables aleatoras depedetes fue estudada para dferetes dstrbucoes partculares de errores desde 776, y daría lugar a u segudo campo de problemas: CP: Ecotrar la dstrbucó de la suma de varables aleatoras dscretas depedetes e détcamete dstrbudas (o de la meda de varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas). U prmer caso de este problema sería aquél e que las varables fuera uformes dscretas (CP.). El trabajo probablístco de Laplace sobre la suma de varables aleatoras jugó u rol mportate e lo que sería posterormete el TCL. E u artículo publcado e 776, estuvo trabajado e calcular dstrbucoes de probabldad de la suma de águlos de clacó de meteoros. Afrotó el problema de la desvacó etre la meda artmétca de los datos (obtedo co errores observacoales) y los valores teórcos, supoedo que todos estos águlos dstrbudos aleatoramete sgue ua dstrbucó rectagular etre 0º y 90º. Puesto que la dstrbucó de la meda es equvalete a la de la suma (excepto u factor costate, que es el valor por el que se dvde), el problema se cetró e hallar la dstrbucó de la suma de los datos, todos los cuales tee la msma dstrbucó y so depedetes. Debdo a la cosderable magtud de dchas desvacoes, o fue capaz de represetar u cálculo exacto y así 5

6 ecestó de ua aproxmacó (Fsher, 000). Fue e el proceso de ecotrarla, que Laplace evetualmete vo a formular la prmera versó del TCL. La dstrbucó de la meda artmétca había sdo estudada por muchas dstrbucoes de rago fto, por ejemplo, para ua varable aleatora dscreta uformemete dstrbuda etre los eteros a y a, co resultados de fórmulas complcadas (véase Xuyu, 003, pág. 5). Laplace logró ua aproxmacó más smple para P ( S = 0) e 785, usado la fucó característca para calcularla ( S es la suma de los posbles errores) y llegado a la sguete aproxmacó: 3 P( S = 0) πa( a + ) Laplace geeralzó e el año 809, el trabajo de De Movre referdo a la dstrbucó bomal a la suma de varables aleatoras dscretas détcamete dstrbudas co meda y varaza fta (CP.). Podemos ver e Feller (975, pp. 9) ua extesó de la aproxmacó a la bomal geeral co p ; e la cual el procedmeto de cálculo es más complcado. E 80, publcó ua memora, dode establecó y probó más formalmete la sguete versó del TCL: Sea X ua varable aleatora valorada etera que toma valores eteros { a,...,0,... a } co probabldad S = X = y desvacó típca partda. x P( X = x) =, etoces para ua muestra grade, la suma a está dstrbuda aproxmadamete e forma ormal N( µ,σ ) de meda µ σ sedo µ,σ la meda y desvacó típca de la dstrbucó de Laplace do ua demostracó rgurosa para el caso dscreto del TCL usado la fucó característca ( t) tx ϕ = ( e ) E que desarrolla e sere de potecas hasta el segudo térmo e verte para hallar a qué dstrbucó correspode (técca de la probabldad versa). La dea prcpal de su demostracó puede ecotrarse e Fsher (000). Laplace tetó argumetar dos geeralzacoes, o logrado demostracoes rgurosas: Debdo a que la dstrbucó límte es depedete de a (sólo depede de a a través de la meda y la varaza), el resultado es váldo també para ua dstrbucó dscreta co rago fto, e el caso de que exsta los mometos ftos (Podemos cosderar este otro caso partcular del campo de problemas CP.3). 6

7 Los resultados també se cumple para varables aleatoras co dstrbucó cotua y acotada. Cosderaremos éste u uevo campo de problemas (CP4) ya que se troduce uevos coceptos como el de varable cotua, fucó de desdad, etc. y se utlza uevas herrametas, tal como la tegral. x Gauss dervó e 809 la fucó de desdad ormal f ( x) = e e su π trabajo Teoría motus corporum celestum. Su descubrmeto estuvo aberto a muchas crítcas, s embargo tuvo u mpacto grade e Laplace. Stgler (986) sugere que o hay dcos que Laplace haya pesado e que esta fucó pudese represetar ua fucó de desdad para ua dstrbucó de probabldad, so que ecotró el trabajo de Gauss de 80 y se basó e el msmo SUMA DE VARIABLES NO IDÉNTICAMENTE DISTRIBUIDAS Y VARIABLES CONTINUAS Cotrbucó de Posso De todos los que aportaro al TCL e el sglo XIX, la cotrbucó más decsva fue la de Sméo Des Posso, que publcó dos artículos (84 y 89) dode dscutó el TCL. La dea de Posso fue que todos los procedmetos e el mudo físco está goberados por leyes matemátcas claras. E este espírtu, tetó sumstrar u aálss matemátco más exacto al teorema de Laplace. Las cotrbucoes de Posso al TCL fue doble (Fsher, 000): Mejoró y geeralzó la demostracó de Laplace. Comeza establecedo ua demostracó del TCL para varables depedetes dstrbudas détcamete; prmero para ua suma de éstas y luego para ua combacó leal de ellas. Luego geeralzó su demostracó a la suma de varables aleatoras co dstrbucoes dferetes (CP3). E esta geeralzacó, la demostracó cosdera las varables cotuas, que da orge a otro campo de problemas (CP4). Dscutó la valdez del TCL, prcpalmete dado alguos cotraejemplos, e el TCL o se cumple para la dstrbucó de Cauchy. De este modo ca u uevo campo de problemas, esta vez estrctamete matemátco que cosstrá e ecotrar codcoes sufcetes y ecesaras para su valdez (CP6). E 84, Posso da ua demostracó más rgurosa para ua varable cotua (de este modo sembró la semlla para el cocepto de varables aleatoras). Los 7

8 resultados geerales de la últma parte del artículo puede ser resumdos de la sguete forma (Mether, 003): Sea X,..., X varables aleatoras depedetes co fucoes de desdad que desaparece más allá del tervalo fjo [a, b]. S la fucó característca está acotada para valores etre 0 y, etoces X X se dstrbuye aproxmadamete como ua ormal N ( µ, σ ), sedo µ E( X ) y σ E( X ). Esta aproxmacó es = = mejor cuado es grade y los valores del tervalo dode se calcula la aproxmacó se aproxma a la meda (Fsher, 000). Parece que el propósto prcpal del TCL para Posso fue ser ua herrameta e el cálculo de probabldades cláscas, más que ser u teorema matemátco e sí msmo. Por lo tato, Posso o formuló explíctamete algua codcó para el TCL. Parece claro desde su demostracó y ejemplos, que él asumó que las varazas de las compoetes de la suma está acotadas para que la varaza de la suma sea de orde. Auque o dca explíctamete esta dea, s embargo, dscutó uos pocos cotraejemplos dode el TCL o se cumple. Uo de estos ejemplos es la llamada varable dstrbuda- Cauchy dode la desdad de probabldad toma la sguete forma: f ( x) =, que o puede aproxmarse medate ua dstrbucó ormal. π ( + x ) Cotrbucó de Drchlet y Bessel Drchlet y Bessel sguero prcpalmete los pasos de Laplace y Posso, pero trodujero el llamado factor de dscotudad e la demostracó, que les permtó establecer el resultado de Posso para valores arbtraros de. Ellos sguero camos dferetes para lograr la demostracó, pero la regla es la msma. Bessel además hzo hcapé e que Posso usó el msmo factor de dscotudad, auque e ua forma lgeramete dferete, cuado establecó la fórmula para =. CP5: Ecotrar estmacoes para el error cometdo e las aproxmacoes de las sumas de varables aleatoras medate la dstrbucó ormal Drchlet fue el prmero e tetar estmar el error de la aproxmacó, auque o fue muy afortuado y su técca fue dferete de la modera. Drchlet ates había estmado los errores para otras aproxmacoes o probablístcas, y mostró que estas msmas téccas puede ser aplcadas para la teoría de probabldad ta be como lo había sdo para la matemátca pura. Cotrbucó de Cauchy 8

9 Cauchy fue uo de los prmeros matemátcos que cosderó seramete la teoría de probabldad como matemátca pura. Su demostracó del TCL sgue ua líea dferete comparada co las demostracoes prevas. Cauchy e su demostracó usó la fucó característca para varables depedetes e détcamete dstrbudas X,...,, X X co fucó de desdad smétrca y de rago fto. Sguó la líea de la demostracó de Posso pero cosderó la dstrbucó de la fucó w x aproxmada astótcamete a la dstrbucó ormal de meda cero y varaza σ, = w = bajo la codcó que la fucó leal es el mejor estmador leal sesgado de u parámetro, es decr, w =. Prmero establecó ua cota superor para la dfereca = etre el valor exacto y la aproxmacó y luego especfcó codcoes para esta cota cuado tede a cero (Hald, 998) DISTRIBUCIONES CON RANGO INFINITO Co la demostracó de Cauchy falzó el llamado prmer período (80-853) del TCL. La demostracó presetada e este período fue satsfactora e tres aspectos (Hald, 998): El teorema sólo fue probado para dstrbucoes de rago fto. No se explctaro las codcoes, e térmos de los mometos, bajo el cual el teorema se cumple. La razó de covergeca para el teorema o fue estudada. Estos problemas fuero evetualmete resueltos por matemátcos rusos, etre 870 y 90, usado dos solucoes: el método de los mometos (Chebyshev y Markov) y la fucó característca (Lapouov). Nos cetraremos e los probablstas Chebyshev, Markov y Lapouov, recoocdos e el grupo de la escuela de Sa Petersburgo, auque otros matemátcos rusos como Nekrosov y Sleshsky se mplcaro e el trabajo co el msmo problema (Seeta, 984). Cotrbucó de Chebyshev y Markov El artículo de Chebyshev e 887, usualmete es cosderado el prmer teto (o cosegudo) de demostracó rgurosa del TCL. E él establecó lo sguete (Seeta, 984): 9

10 Sea X, X, X 3,..., varables aleatoras depedetes co desdad de probabldad dada. S ) E( X ) = 0, la meda de estas varables es cero y ) E( X k ) C, k los mometos de orde superor a dos está acotados; Etoces cuado la dstrbucó de la suma es aproxmadamete ormal X = N ( µ, σ ), sedo µ = y σ = Var( ). = X Chebyshev usó el método de los mometos, tempraamete desarrollado por él y smplfcado y completado más tarde por Markov, que també completó la demostracó de Chebyshev del TCL e 898. Markov establecó que: se ecesta añadr codcoes para que el teorema se cumpla. Prmero propuso la codcó de que la suma de varazas está uformemete acotada lejos de 0. Después reemplazó la codcó co la de que las esperazas ( ) E X esté acotadas cuado teda a fto. Después de la demostracó dada por Lapouov del TCL utlzado la fucó característca e 90, Markov tetó lograr el msmo vel de geeraldad co el método de los mometos. Lo logró e 93 cuado do ua demostracó rgurosa del TCL bajo la codcó de Lapouov usado el método de los mometos. Teorema de Lapouov La demostracó de Lapouov, publcada e 90, es cosderada la prmera demostracó rgurosa del TCL. Demos ua mrada al teorema establecdo por Lapouov (Uspesky, 937): Sea X,...,, X X varables aleatoras depedetes co las sguetes propedades: k E( X ) = 0 y E X, k, etoces usado el teorema de cotudad y ucdad de la fucó característca cocluyó que la dstrbucó de la suma es aproxmadamete ormal. La demostracó de Lapouov sgue la dea de Laplace usado la fucó característca e troduce u lema fudametal que es la clave a la smplcdad y rgurosdad de su demostracó: Sea S ua varable que depede del etero, co meda o y varaza. S la fucó característca de la varable S coverge uformemete a la fucó característca de la dstrbucó ormal e algú tervalo fto, etoces la fucó dstrbucó de la varable S tede uformemete a la dstrbucó ormal. 0

11 Lapouov o separó explíctamete este lema fudametal e su demostracó, e la que está cotedo mplíctamete. Este lema fue usado por Lderberg y Lévy e su mejora del TCL (Uspesky,937). Podemos observar que e este período se trabajó el TCL bajo el supuesto sólo de varables depedetes, a dfereca del prmer período cuyo supuesto fue demostrar el teorema para varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas. E partcular, ua aplcacó de la demostracó del TCL dada por Lapouov al caso de varables depedetes e détcamete dstrbudas es la sguete: Sea X, X, X 3,..., varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas co meda fta µ y varaza S µ σ N( 0,) cuado. 0 < σ <, etoces La demostracó de este teorema utlza la fucó característca y la expasó de Taylor (Ver Xuyu, 003, pág. 4, Parze, 987, pág També ver Meyer, 99, pág. 60 dode se demuestra medate la fucó geeradora de mometos) ESTUDIO DE CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES PARA EL TEOREMA (CP6) El tercer y últmo capítulo e la hstora del TCL de 90 a 937, comeza co la demostracó de Lderberg y las demostracoes de Lévy y Féller que añadero codcoes ecesaras al teorema. La Codcó de Lderberg El 9, Lderberg publcó ua demostracó elemetal que fue la base de los trabajos de Lévy y Feller sobre el msmo problema, del teorema sguete (Cam, 986): Teorema (Codcó de Lderberg) Sea X varables aleatoras depedetes co esperaza E ( X ) = 0 y varaza σ ftas. S los mometos de tercer orde está acotados, etoces la dstrbucó de la suma se aproxma a la dstrbucó ormal. La codcó ateror, es coocda como de Lderberg y su formulacó matemátca se puede ver e textos de teoría de la probabldad (Shryayev (984, pág.36, Loève 976, pág. 74), usualmete usado la fucó característca. Lderberg usó ua smple aproxmacó s cosderar la fucó característca. E su demostracó, ecotró ua cota para el sup F( x) Φ( x), dode Φ (x) es la dstrbucó de probabldad ormal, e térmos del tercer mometo. El método de X

12 demostracó de Lderberg o se usó e toda la prmera mtad del sglo XX, hasta que el TCL comezó a ser estudado para espacos de dmesó fta, dode es fáclmete trasferble por cuato o usa la fucó característca. Actualmete es usada e muchos casos dode la covergeca a la dstrbucó ormal es cosderada co varables dstrbudas o détcamete y su fuerza está prcpalmete e que puede ser aplcado e u cotexto muy geeral y cosdera la razó de covergeca e el teorema límte. Cabe señalar que el método de Lderberg o do u orde óptmo de la razó de covergeca, e el caso de sumados de valores reales depedetes e détcamete dstrbuda co tercer mometo fto para el orde (Paulauskas, 999). Lderberg do etoces ua demostracó rgurosa para la codcó sufcete del TCL, pero o probó la codcó ecesara. Esta careca fue partcularmete remedada por Lévy y Féller e 935 y 937. Por otro lado, Posso muestra, alrededor del año 84, que la aproxmacó a la dstrbucó ormal o sempre se cumple para varables depedetes arbtraras. Teorema de Feller Feller e u artículo publcado e 935 da las codcoes ecesara y sufcete para el TCL, pero el resultado es algo lmtado. Feller cosderó, e la covergeca ormal de la suma, ua secueca fta X de varables aleatoras depedetes y usó los segudos mometos ftos para cambar orígees y escala de valores de las a sumas cosecutvas de la forma ( X c ), a f de evtar que se exteda haca valores ftos. Luego do las codcoes de restrccó para cada varable x a que tede a cero e probabldad. Puesto que Feller puso esta restrccó, y porque sólo trató la suma de varables ormales, su solucó o puede ser cosderada la solucó fal al TCL. Este teorema de Feller es frecuetemete llamado el Teorema de Lderberg-Feller, al usar la codcó de Lderberg. La demostracó puede verse e Shryayev (984, pág. 33) y está basada e la estmacó de las colas de las varazas e térmos del comportameto de la fucó característca e el orge. k Cotrbucó de Lévy Lévy probó la codcó de Lderberg e 95 usado la fucó característca, cosderado esta demostracó superor a la de Lderberg, (Cam, 986). Lévy trató e prmer lugar el uevo caso de segudos mometos ftos y de prmeros mometos ftos o ftos (CP.3, que Laplace teto argumetar s éxto). Publcó alguos

13 artículos relacoados co el TCL etre los años 95 y 930, usado prcpalmete la fucó característca e su demostracó. Después de 930, evtó usar la fucó característca. E su artículo de 935, presetado sólo uos pocos meses después de Feller, y a pesar que trató el msmo problema, ambos autores egaro teer algú cotacto prevo (Cam, 986). Establece las sguetes deas: Do las codcoes ecesaras y sufcetes para la covergeca de sumas de varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas ormales a la dstrbucó ormal. També do las codcoes ecesaras y sufcetes para el caso geeral de sumas depedetes. Por últmo, tetó dar las codcoes ecesaras y sufcetes para varables depedetes, de procesos estocástcos, caso Martgalas. Cosderamos este caso el últmo campo de problemas (CP7) e la hstora del TCL. E este últmo, Lévy tuvo alguos problemas co la demostracó para el caso martgalas, que o fue completamete satsfactora y que o susteta ua prueba de rgurosdad. Su demostracó de codcó ecesara y sufcete para el caso geeral de varables depedetes fue correcta, pero se basó e u lema hpotétco, que o había sdo probado todavía (como la demostracó de Feller). El lema es el sguete: S la suma S = X + Y de dos varables aleatoras depedetes (X e Y) tee ua dstrbucó ormal, etoces també lo so X e Y. El año sguete 936, Crámer probó el lema (como u teorema) y éste fue establecdo, mostrado la valdez del uso de sumas ormales y los teoremas de Lévy y Feller dode geeralmete se aplca. E 937, Feller y Lévy refaro la demostracó, después de usar el resultado de Crámer. El TCL fue así probado co las codcoes ecesaras y sufcetes (Cam, 986) y se llega al fal del desarrollo RESUMEN DEL ESTUDIO HISTÓRICO E las seccoes aterores se ha mostrado el terés de matemátcos y estadístcos prestgosos e el TCL, uo de los más mportate teoremas e estadístca matemátca y teoría de la probabldad. Su formulacó fal establece que s se cumple alguas codcoes, etoces la dstrbucó de la meda artmétca de u úmero de varables aleatoras depedetes se aproxma a la dstrbucó ormal segú el úmero de varables crece defdamete. Es decr, depedetemete de la dstrbucó actual de las varables, a medda que crece el úmero de sumados, la suma 3

14 de éstas puede ser tratadas como ua dstrbucó ormal. E la Tabla se preseta u resume croológco de la evolucó del Teorema Cetral del Límte, a partr de sus campos de problemas, las herrametas utlzadas y resultados obtedos e cada paso. Tabla. Desarrollo hstórco del TCL Sgfcados hstórcos Aproxmacó de dstrbucoes Suma de v.a. d dscretas Suma de v.a. depedetes Suma de v.a. cualesquera, cluso depedetes Campo de problema CP: Aproxmacó de certas dstrbucoes (e.g. bomal) para valores grades de sus parámetros CP: Suma de v.a. dscretas depedetes e détcamete dstrbudas CP3: Suma v.a. dscretas depedetes o détcamete dstrbudas. CP4: Suma v.a. cotuas CP5: Estmacoes del error de aproxmacó CP6: Codcoes de valdez del teorema CP7: Suma de varables Métodos de solucó (procedmetos y coceptos prevos) Aproxmacó de! Paso al límte e sucesoes Dstrbucó de la suma de v. a. Idepedeca y regla del producto Iversó de la fucó característca (Laplace) Desarrollo e sere Cálculo de probabldades medate fucó de desdad Itegracó Itroduccó del factor de dscotudad de Drchlet (Bessel) Acotacó de la dfereca y búsqueda de codcoes para que la cota teda a cero (Cauchy) límte Teorema de la fucó versa (Cauchy) Método de los mometos (Chebychev y Markov) Lema de Lapouov (covergeca e f. característca) Cotudad de la f. característca (Lapouov) Fucó geeradora Resultados (Coceptos y propedades) Teorema de Beroull (De Movre) CP.. v.a. uforme dscreta (Laplace) CP.. v.a. dscretas..d., meda y varaza acotadas (Laplace) Desdad ormal (Ico de estudo de teoría de los errores por Gauss y Laplace) Geeralzacó a v.a. depedetes e détcamete dstrbuda, para la suma y ua combacó leal (Posso). V.a. depedetes o.d. (Posso) V.a. cotuas..d. co desdad smétrca y rago fto (Cauchy) Búsqueda de casos dode o se cumple (Posso) Varables aleatoras co rago fto Comezo de la demostracó rgurosa del teorema (Chebychev) Codcó ecesara para el teorema de Chebyshev (Markov) Lapouov demostró el TCL co la fucó característca Demostracó rgurosa del teorema bajo la codcó de Lapouov (Markov) 4

15 Suma de varables aleatoras e certas codcoes aleatoras depedetes Espacos Euclídeos y de Hlbert Razó de covergeca Sucesoes ftas de v.a. Codcoes ecesaras y sufcetes TCL aplcado a valores eucldeaos, para vectores aleatoros y espaco de Hlbert (Lderberg) Prueba de la codcó de Lderberg usado la fucó característca (Lévy) Martgalas Covergeca e dstrbucó CP.3. TCL para v.a. co rago fto (Lévy) Codcó ecesara y sufcete del TCL co resultado lmtado (Feller) Prueba del lema (Cramer) Refameto de demostracó (Feller- Levy) Hemos segudo de cerca la hstora del TCL, detfcado dferetes campos de problemas, que podemos resumr e la forma sguete: CP: Aproxmacó de la dstrbucó bomal para valores grades de CP: Dstrbucó de la suma de varables aleatoras dscretas détcamete dstrbudas CP.. Varables co dstrbucó uforme dscreta CP.. Varables dscretas acotadas CP.3. Varables dscretas o acotadas CP3. Dstrbucó de la suma de varables aleatoras o détcamete dstrbudas CP4. Dstrbucó de la suma de varables aleatoras cotuas CP4.. Varables acotadas CP4.. Varables co mometos acotados CP5. Estmacó del error de aproxmacó e el TCL CP6. Búsqueda de codcoes ecesaras y sufcetes para el TCL CP7. Dstrbucó de la suma de varables aleatoras depedetes. Comezamos dscutedo los prmeros campos de problemas, que parte de problemas práctcos, por ejemplo, la ecesdad de aproxmar la dstrbucó de la suma de errores y la búsqueda de aproxmacoes para la suma de varables aleatoras. Segumos el razoameto de Laplace, que do ua prmera formulacó lmtada del TCL, que varos autores trataro posterormete de geeralzar, orgado campos de problemas cada vez más abstractos y lgados al método deductvo, propo de la matemátca. Posso do ejemplos de dstrbucoes que o puede ser aproxmadas por el TCL y mejora la demostracó para el caso cotuo. Drchlet y Bessel troduce el 5

16 factor de dscotudad probaro el teorema de Posso para u caso geeral, y Cauchy defe la prmera cota superor para la dfereca etre la dstrbucó de la suma y la dstrbucó ormal. Después de esta prmera etapa, los matemátcos rusos cosguero la prmera demostracó rgurosa del TCL; prmero Chebyshev y Markov co el método de los mometos; después, Lapouov usado la codcó que lleva su ombre y la fucó característca. Lderberg falzó la búsqueda de la codcó sufcete, Feller y Lévy hallaro la codcó ecesara para el TCL que fue rgurosamete demostrada por Cramer, llegado a la versó actual del TCL. La codcó de Lderberg ha sdo mejorada (Cam, 986) y se ha obtedo las codcoes ecesara y sufcete para varas varables depedetes, pero los prcpos báscos de Lderberg, Lévy y Feller aú permaece. Auque este resume es aú provsoal, e el setdo que podemos completarlo co la descrpcó del leguaje y argumetos utlzados e cada perodo, os muestra ya u esbozo de la evolucó del sgfcado del TCL, que comeza smplemete como ua herrameta de cálculo aproxmado de dstrbucoes para certos valores grades de sus parámetros y cotúa como suma de varables aleatoras dscretas depedetes e détcamete dstrbudas. Progresvamete su sgfcado se amplía, hasta el puto de aplcarse a varables aleatoras dscretas y cotuas, depedetes o o, détcamete dstrbudas o o. Por u perodo parece teer valdez geeral, hasta que se llega a ecotrar las codcoes ecesaras y sufcetes de su valdez (restrgedo, por tato su sgfcado). El estudo realzado destaca també las dsttas herrametas matemátcas empleadas, alguas de ellas de gra complejdad (como fucó característca, covergeca e dstrbucó o e fucó característca, martgalas o espacos de Hlbert). Asmsmo os muestra alguas dfcultades e el desarrollo del TCL, que podría ser compartdas por los estudates: Aceptar que ua dstrbucó dscreta (por ejemplo la bomal) puede llegar a aproxmarse medate ua dstrbucó cotua. Esto requere pasar de cosderar valores aslados de la varable a valores cotuos y de la dea de fucó de probabldad a la de fucó de desdad de probabldad. El msmo De Movre, auque halla la aproxmacó, o relacoa la fórmula obteda co la dstrbucó ormal, e el setdo de cosderar la fucó obteda (curva ormal) co la fucó de desdad de ua varable aleatora (que sería el límte de la sucesó correspodete de v.a. bomales). Usualmete e las clases de probabldad eseñamos a los alumos a dferecar etre varables dscretas y cotuas, como s la aturaleza de las varables 6

17 fuese real, más que u modelo matemátco que aplcamos para compreder ua stuacó. Esta drástca dvsó puede provocar coflctos semótcos e los alumos, al eteder que el límte de ua sucesó (e este caso covergeca e dstrbucó) de elemetos de u cojuto (e este caso dstrbucoes dscretas) ha de ser u elemeto del msmo cojuto (lo que o se cumple e el TCL). Aceptar las sucesvas geeralzacoes del TCL. Esto o ha sdo secllo y ha requerdo umerosos pasos: de la dstrbucó bomal a la uforme dscreta, de esta a varables depedetes détcamete dstrbudas dscretas, etc. Hoy día mostramos el TCL co total geeraldad, pero la compresó de esta geeraldad de aplcacó podría requerr u tempo de maduracó. Es decr el estudo ha proceddo ejemplar a ejemplar, comprobado que el TCL se cumple e cada uo de ellos y sólo bastate más tarde se ha pasado a estudar el tpo geeral (teoremas de límte geeralzado). Compreder que el TCL també se aplca cuado las varables o so détcamete dstrbudas o o so depedetes. La demostracó posteror de estos casos sugere que pueda ser más dfícl o meos medato buscar ejemplos de aplcacó. La suma de v.a...d. es atural e el cotexto del cálculo de la meda e el muestreo, al amplar el tamaño de muestra. La suma de v.a. geerales també se preseta e muchas crcustacas, cuado ua magtud puede ser explcada como la suma de u úmero grade de factores (por ejemplo, e muchas magtudes bológcas), pero la determacó de estos factores, la cosderacó de la varable como suma de ellos o es ta evdete. Pesar que se puede aplcar el TCL e cualquer codcó. La geeralzacó progresva lleva a pesar que el TCL tee ua valdez geeral, y que sólo falta su demostracó. Cauchy fue el prmero que ecotró alguos cotraejemplos y el estudo de las codcoes ecesaras y sufcetes fue largo. Esto es u problema geeral de valdez del razoameto ductvo, dode la valdez de ua proposcó para ua sere de casos partculares o muestra la valdez geeral. Los alumos podría presetar las msmas dfcultades o cofudr las codcoes ecesaras co las sufcetes. 4. IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA Y LA INVESTIGACIÓN La hstora del teorema como recurso ddáctco os da ua perspectva global que permte coocer la aparcó de dfcultades epstemológcas que preseta ua gra smltud co las que atravesa los estudates, y por tato podría facltar al profesor la compresó del proceso de apredzaje de los alumos. La abstraccó de los campos de problemas presetados y el aparato aalítco utlzado e su solucó platea la 7

18 preguta de s es posble eseñar este teorema a los alumos, debdo a la gra complejdad de su aparato aalítco. Actualmete es posble mostrar tutvamete el TCL e sus dversas formulacoes usado la smulacó y grafcacó. Por ejemplo, para el caso de la aproxmacó de De Movre los alumos podría utlzar algú software estadístco para represetar gráfcamete la dstrbucó B (,p) para dsttos valores de sus parámetros y p. Fgura : Aproxmacó de De Movre Por ejemplo, e la fgura se muestra valores para p = 0.3 co = 4, 8, 4 y para p = 0. co = 4, 8 y 50. Estas gráfcas sugere tutvamete la covergeca que podría ser posterormete justfcada e forma aalítca a los alumos co sufcete base de cálculo. Smlarmete es secllo geerar muestras aleatoras y estudar la dstrbucó empírca de las medas muestrales usado software estadístco, que puede descargarse de Iteret. U ejemplo es el desarrollado por delmas, Garfeld. y Chace, (999), quees també proporcoa actvdades oretadas al estudo de las dstrbucoes muestrales. Las evdecas empírcas del grado de compresó de los estudates so, s embargo muy lmtadas, lo que sugere el terés de cotuar esta líea de vestgacó. Este estudo, desde la perspectva de las TFS, debe estar basado e el aálss del sgfcado de refereca. El estudo hstórco realzado os permte comezar a recostrur el sgfcado global del cocepto, e el que, además de su dmesó 8

19 matemátca, tedríamos que clur las compoetes epstemológca, ddáctca y cogtva y será la base para el posteror dseño de la eseñaza del tema. REFERENCIAS Alvarado, H. y Bataero, C. (004). Elemetos del sgfcado del teorema cetral del límte. Actas del Octavo Smposo SEIEM, Socedad Española de Ivestgacó e Educacó Matemátca, CD ROM Comucacoes e los grupos de vestgacó. La Coruña: Socedad Española de Ivestgacó e Educacó Matemátca. Alvarado, H. y Bataero, C. (004). Elemetos del Sgfcado del teoerma cetral del límte. Graada: Socedad Adaluza de Educacó Matemátca Thales. delmas, R. C., Garfeld, J. B. y Chace, B. L. (999). A model of classroom research acto: developg smulato actvtes to mprove studets statstcal reasog. Joural of Statstc Educato, 7, 3. O le: [ Feller, W. (975). Itroduccó a la teoría de la probabldades y sus aplcacoes. Méxco: Lmusa. Fsher, H. (000). The cetral lmt theorem from Laplace to Cauchy: Chages stochastc objetves ad aalytcal methods. O le: [ Godo, J. D. (00). U efoque otológco y semótco de la cogcó matemátca. Recherches e Ddactque des Mathématques, (/3): Godo, J. D. (003). Teoría de las fucoes semótcas. U efoque semótco de la cogcó e struccó matemátca. Graada: El autor. Godo, J. D. y Bataero, C. (994). Sgfcado sttucoal y persoal de los objetos matemátcos. Recherches e Ddactque des Mathématques, 4 (3), Godo, J. D. y Bataero, C. (998). Clarfyg the meag of mathematcal objects as a prorty area of research Mathematcs Educato. E A. Serpska y J. Klpatrck (Eds.), Mathematcs educato as a research doma: A search for detty (pp ). Dordrecht: Kluwer. Godo, J. D. y Bataero, C. (998). Fucoes semótcas e la eseñaza y apredzaje de las matemátcas. Semaro de Ivestgacó e Educato Matemátca (SIEM) de la Socedad Portuguesa de Ivestgacó e Educato Matemátca. Hald, A. (998). A hstory of mathematcal statstcs from 750 a 930. New York: Joh Wley. Loève, M. (976). Teoría de la Probabldad. Madrd: Tecos. Mether, M. (003). The hstory of the cetral lmt theorem. Sovelletu Matematka erkostyöt, Mat-.08. O le: [ Meyer, P. (99). Probabldad y aplcacoes estadístca. Seguda edcó. Méxco: Addso-Wesley. Parze, E. (987). Teoría modera de probabldades y sus aplcacoes. Quta edcó. Méxco: Lmusa. Paulauskas, V. (999). J.W. Lderberg ad the cetral lmt theorem. Statstcs, regstres ad research- expereces from Flad, (pp. -). Helsk: Statstcsl Fdlad. Seeta, E. (984). The cetral lmt problem ad lear least squares prerevolutoary Russa: The backgroud. Mathematcal Scetst 9, Shryayev, A. N. (984). Probablty. New York: Sprger. 9

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