TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS

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1 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 1 TEMA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS UTILIZACIÓN DE LA TABLA DE LA NORMAL N() E la dstrbucó N(), a la varable se le suele represetar por la letra z. La tabla os da las probabldades P[z k] para valores de k de 0 a 4, de cetésma e cetésma. A estas probabldades se las llama φ (k) : φ (k) P[z k] z se dstrbuye N() φ(k) es la fucó de dstrbucó de esta varable aleatora. El valor de k se busca así: - Udades y décmas e la columa de la zquerda - Cetésmas e la fla de arrba - El úmero que os da la tabla es el valor de : φ (k) P[z k] Ejemplo 1: Sea Z N() calcula: a) P[z 0,83] φ(0,83) 0,7967 b) P[z,3] φ(,30) 0,9893 c) P[z 1] φ(1,00) 0,8413 Ejemplo : Sea Z N() calcula e valor de k : a) P[z k] 0,7190 k 0,58 b) P[z k] 0,8645 k 1, c) P[z k] 0,5537 k 0, 135 Ejercco 3 : Sea Z N() calcula: a) P[z 0,45] φ(0,45) 0,6736 b) P[z 1,] φ(1,) 0,8849 c) P[z 7] 1 Ejercco 4 : Sea Z N() calcula e valor de k : a) P[z k] 0,5040 k 0,01 b) P[z k] 0,6 k 0,31 1,93 + 1,94 c) P[z k] 0,9735 k 1, 935 CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN N() - S k 0, las probabldades φ (k) P[z k] P[z < k] se ecuetra drectamete e la tabla. - P [z k] 1 P[z < k] 1 - φ (k) - Para abscsas egatvas: P[z -k] P[z k] 1 - φ (k) - P[a z b] P[z b] P[z a] Ejemplo 5 : Sea Z N() calcula: a) P[z 1,86] 1 P[z < 1,86] 1 - φ(1,86) ,0314 b) P[8 < z 1,9] P[z 1,9] P[z 8] φ(1,9) - φ(8) 0,9015 0,5714 0,3301 c) P[-0,56 < z 1,9] P[z 1,9] P[z -0,56] φ(1,9) P[z 0,56] φ(1,9) [1 - P[z < 0,56]] φ(1,9) 1 + φ(0,56) 0, ,713 0,6836 d) P[-1,83 < z < -1] P[z < -1] P[z -1,83] P[z > 1] P[z > 1,83] [1 P[z 1]] [1 P[z 1,83] 1 - φ(1) φ(1,83) - φ(1) + φ(1,83) -0, ,

2 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato Ejemplo 6 : Sea Z N() calcula k a) P[z < k] 0,8365 k 0,98 b) P[z > k] 0,8365 P[z k] 635 (No está e la tabla, k es egatvo) k -s P[z > -s] 0,8365 P[z < s] 0,8365 s 0,98 k -0,98 c) P[z < k] 894 (No está e la tabla, k es egatve) k -s P[z < -s] P[z > s] 894 P[z s] 0,9106 s 1,34 k -1,34 Ejercco 7 : Halla las sguetes probabldades e ua dstrbucó N() a) P[z >,8] 1 P[z,8] 1 - φ(,8) 1 0,9974 0,006 b) P[z -1,8] P[z 1,8] 1 P[z < 1,8] 1 - φ(1,8) 1 0,9641 0,0359 c) P[z > -1,8] P[z < 1,8] φ(1,8) 0,9641 d) P[1,6 z <,3] P[z <,3] P[z < 1,6] φ(,3) - φ(1,6) 0,9893 0,9474 0,0419 e) P[1 z ] P[z < ] P[z < 1] φ() - φ(1) 0,977 0, f) P[-0,61 z 1,4] P[z < 1,4] P[z < -0,61] φ(1,4) P[z > 0,61] φ(1,4) [1 P[z 0,61] φ(1,4) 1 + φ(0,61) 0, ,791 0,6483 g) P[-1 z ] P[z ] P[z < -1] φ() P[z > 1] φ() [1 P[z 1] φ() 1 + φ(1) 0, ,8413 0,8185 h) P[-,3 < z <-1,7] P[z <-1,7] P[z < -,3] P[z > 1,7] P[z >,3] [1 P[z 1,7] [1 P[z,3] 1 - φ(1,7) 1 + φ(,3) -0, ,9893 0,0339 ) P[- z -1] P[z <-1] P[z < -] P[z > 1] P[z > ] [1 P[z 1] [1 P[z ] 1 - φ(1) 1 + φ() -0, , Ejercco 8 : Calcula el valor de k (exacta o aproxmadamete) e cada uo de los sguetes casos: a) P[z k] 0,5 k 0 b) P[z k] 0,879 k 1,14 c) P[z k] 0,9 k 1,8 d) P[z k] 0,33 (0,33 o está e la tabla, k es egatvo) k -s P[z -s] 0,33 P[z s] 0,33 P[z < s] 0,67 s 0,44 k -0,44 e) P[z k] 0, (0, o está e la tabla, k es egatvo) k -s P[z -s] 0, P[z s] 0, P[z < s] 0,8 s 0,84 k -0,84 f) P[z > k] P[z k] 0,88 k 1,175 g) P[z k] 0,9971 P[z < k] 0,009 (o está e la tabla, k es egatvo) k -s P[z -s] 0,9971 P[z s] 0,9971 s,76 k -,76 h) P[z k] 0,6 P[z < k] 0,4 (o está e la tabla, k es egatvo) k -s P[z -s] 0,6 P[z s] 0,6 s 0,5 k -0,5 CALCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN N( μ, ) Como ya sabemos, las probabldades e dos dstrbucoes ormales cualesquera se reparte de forma aáloga. Por tato, para calcular probabldades e ua dstrbucó N( μ, ), la relacoaremos co la N() para la cual dspoemos del recurso de las tablas. S x es N( μ, ), para calcular la probabldad P[b < x < k] se procede del sguete modo: P[b < x < b μ k μ k μ k] P < z <. El cambo k se llama tpfcacó de la varable. La varable ya tpfcada sgue ua dstrbucó N()

3 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 3 Ejemplo 9 :E ua dstrbucó N(66,8), calcular: μ a) P[x < 70] P < 8 P[z < 0,5] φ(0,5) 0,6915 μ b) P[x > 80] P > 8 P[z > 1,75] 1 P[z < 1,75] 1 - φ(1,75) 1 0,9599 0, x μ c) P[70 < x < 80] P < < 8 8 P[0,5 < z < 1,75] P[z < 1,75] P[z 0,5] φ(1,75) - φ(0,5) 0,9599 0,6915 0,684 Ejemplo 10 :E ua dstrbucó N(66,8), calcula k para que se de las sguetes gualdades: μ 6 6 a) P[x k] 0,9788 P 8 0,9788,3 k 8., ,4 8 μ 6 6 b) P[x k] 5 P 8 5 (5 o está e la tabla s 8 6 P[z -s] 5 P[z s] 5 P[z < s] 0,85 s1,04 1, 04 k-1, ,68 8 μ 6 6 c) P[x k] 0,6808 P[x<k]0,319 P < 8 0,319 (o está e la tabla) s 8 6 P[z<-s]0,319 P[z s]0,319 P[z<s]0,6808 s0,47 0, 47 k-0, ,4 8 Ejercco 11 : E ua dstrbucó N(18,4), halla las sguetes probabldades: μ 0 18 a) P[x 0] P 4 P[z 0,5] φ(0,5) 0,6915 μ 16,5 18 0, ,6480 b) P[x 16,5] P 4 P[z -0,375] P[z 0,375] 0,64615 μ c) P[x 11] 4 P[z -1,75]P[z 1,75]1 P[z < 1,75]1 - φ(1,75)1 0,95990, x μ 3 18 d) P[19 x 3] 4 4 P[0,5 z 1,5] P[z 1,5] P[z < 0,5] φ(1,5) - φ(0,5) 0,8944 0,5987 0, x μ 5 18 e) P[11 x < 5] 4 4 P[-1,75 z 1,75] P[z 1,75] P[z < -1,75] φ(1,75) P[z 1,75] φ(1,75) [1 + P[z < 1,75]] φ(1,75) 1 + φ(1,75) 0, ,9198 Ejercco 1 : E ua dstrbucó N(6;0,9), calcula k para que se de las sguetes gualdades: μ a) P[x k] 0,977 P 0,977 k 7,8 0,9 0,9 μ b) P[x k] 0,8 P 0,8 0,84 k 8,756 0,9 0,9 μ c) P[x k] 0,3 P 0,3 (No está e la tabla) -s 0,9 0,9 P[z -s] 0,3 P[z s] 0,3 P[z < s] 0,7 s 0,5-0,5 k 5,53 0,9

4 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 4 μ d) P[x k] 0,6331 P[x < k] 0,3669 P 0,3669 (No está e la tabla) 0,9 -s P[z -s]0,3669 P[z s]0,3669 P[z < s]0,6331 s0,34-0,34 k5,694 0,9 0,9 1. INTERVALOS CARACTERÍSTICOS S la varable x tee ua dstrbucó de meda μ, se llama tervalo característco correspodete a ua probabldad p a u tervalo cetrado e la meda, (μ - k, μ + k) tal que la probabldad de que x perteezca a dcho tervalo es p: P[μ - k < x < μ + k] p INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EN DISTRIBUCIONES N() E ua dstrbucó ormal N(), s (-k,k) es el tervalo característco correspodete a ua probabldad p, es decr, s P[-k < z < k] p 1 - P[z > z / ] / P[z z / ] 1 - / Itervalo característco (-z /, z / ) Ejemplo 13: S Z N () calcular el tervalo característco co ua probabldad del 90% 1 p 1 0,9 /] 1 - /] 1-0,95 Z TablaN() / 1,645 (-Z /, Z /) Itervalo característco (-1,645, 1,645) Sgfcado: Z está e el tervalo (-1,645, 1,645) co ua probabldad del 90% Ejercco 14: S Z N () calcular el tervalo característco co ua probabldad del 99% 1 p 1 0,99 0,01 /] 1-0,01 /] 1-0,995 Z TablaN() /,575 (-Z /, Z /) Itervalo característco (-,575,,575) Sgfcado: Z está e el tervalo (-,575,,575) co ua probabldad del 99% (Lógcamete el tervalo es mayor que el obtedo e el ejemplo 1) INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EN DISTRIBUCIONES N(μ,) E ua dstrbucó ormal N(μ,), s (μ - k, μ + k) es el tervalo característco correspodete a ua probabldad p, es decr, s P[μ - k < X < μ + k] p 1 - P[z > z / ] / P[z z / ] 1 - / Itervalo característco (μ - z /., μ + z /.) Ejemplo 15: S X N (173,6) calcular el tervalo característco co ua probabldad del 90% 1 p 1 0,9 /] 1 - ] 1-0,95 Z 1,645 μ μ+ ( -Z / TablaN() / /., Z /. ) Itervalo característco (173-1,645.6,173 +1,645.6) (163,13; 18,87) Sgfcado: X está e el tervalo (163,13; 18,87) co ua probabldad del 90%

5 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 5 Ejercco 16: S X N (173,6) calcular el tervalo característco co ua probabldad del 95% 1 p 1 0,95 0,05 /] 1-0,05 /] 1-0,975 Z TablaN() / 1,96 ( -Z /., Z /. ) μ μ+ Itervalo característco (173-1,96.6,173 +1,96.6) (161,4; 184,76) Sgfcado: X está e el tervalo (161,4; 184,76) co ua probabldad del 95% Ejercco 17: El peso de las cajas de leche sgue ua dstrbucó ormal de meda 1 Kg y desvacó típca 50 gr. Hallar el tervalo característco co ua probabldad del 95% X N(1; 0,05) 1 p 1 0,95 0,05 /] 1-0,05 ] 1-0,975 Z 1,96 ( -Z / TablaN() / /., Z /. ) μ μ+ Itervalo característco (1-1,96.0,05,1 +1,96.0,05) (0,90; 1,098) Sgfcado: Ua caja de leche pesa etre 0,90 y 1,098 Kg co ua probabldad del 95% 1.3 DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES Dada ua poblacó de meda μ y desvacó típca, o ecesaramete ormal, la dstrbucó de las medas de las muestras de tamaño : - Tee la msma meda, μ, que la poblacó. - Su desvacó típca es / y, por cosguete, desmuye al aumetar. - Cuado 30 es práctcamete ormal. S X N( μ, ) ó X N(μ, S > 30 ) P[z z / ] 1 - / Itervalo característco (μ - z /., μ + z/. ) Ejemplo 18: E ua dstrbucó N(0,6), tomamos muestras de tamaño 64. a) Cuál es la dstrbucó de las medas de la muestra? 6 Como X N(0,6) X N( μ, ) N(0, ) N(0; 0,75) 64 Es decr, es ua Normal de meda 0 y desvacó típca 0,75 b) Cuál es la probabldad de extraer ua muestra cuya meda esté compredda etre 19 y 1? P 19 X 1 P Z P[ 1,33 Z 1,33] X N(0;0,75) Tpìfcamos 0,75 0,75 P[Z 1,33] P[Z < -1,33] P[Z 1,33] P[Z>1,33] P[Z 1,33] (1 - P[Z 1,33]) 0, ,908 0,8164 Mramos e la tabla de la N()

6 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 6 Ejercco 19 : Los parámetros de ua varable so μ 16,4 4,8. Nos dspoemos a extraer ua muestra de 400 dvduos. a) Halla el tervalo característco para la meda muestral correspodete a ua probabldad p 0,99. 1 p 1 0,99 0,01 / ] 1 0,01 μ μ + ] 1 0,995 Z,575 ( Z, Z ) / / / / TablaN() Itervalo característco (16 -,575.4,8, 16 +,575.4,8) (3,64; 8,36) b) Calcula P [16 < x < 17] 4,8 Como 400 > 30 X N( μ, ) N(16, ) N(16; 0,4) X 17 P Z P 0 Z 4,17 x N(16;0,4)Tpfcamos 0,4 0,4 φ(4,17) - φ(0) 1 0,5 0,5 Mramos e la tabla de la N() P [ ] [ ] P[Z 4,17] P[Z < 0] DISTRIBUCIÓN DE LA SUMA DE TODOS LOS INDIVIDUOS DE LA MUESTRA Puesto que x 1 S X N( μ, ) ó S > 30 x 1, sabemos que x se dstrbuye ormal de meda μ y desvacó típca 1 x N(μ, ) P[z z / ] 1 - / Itervalo característco (μ - z /., μ + z /. ) Ejemplo 0 : Los sueldos, e euros, de los empleados de ua fábrca se dstrbuye N(100, 400). Se elge al azar ua muestra de 5 de ellos. Cuál es la probabldad de que la suma de sus sueldos sea superor a euros? S X N(100,400) 1 x N(5.100, ) N(30.000,000) P x > PZ > P[Z >,5] 1 P[Z,5] 1 - φ(,5) 1 0, ,006 Halla el tervalo característco para las sumas de 5 dvduos, correspodetes a ua probabldad del 0,9. 1 p 1 0,9 / ] 1 / ] 1 0,95 Z / 1,645 (μ Z.,μ + Z ) TablaN() / / Itervalo característco ( , , , ) (6710; 3390) Sgfcado: La suma de los sueldos de 5 empleados está etre 6710 y 3390 euros co ua probabldad del 90%

7 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 7 Ejemplo 1: Las bolsas de azúcar evasadas por ua certa máqua tee de meda 500 gr y desvacó típca 35 gr. Las bolsas se empaqueta e cajas de 100 udades. a) Calcular la probabldad de que la meda de los pesos de las bolsas de u paquete sea meor que 495 gr. X N(500, 35) P[ X < 495] 35 Como X N(500,35) X N( μ, ) N(500, ) N(500;3,5) Tpfcamos 100 P[Z < P[Z > 1,43] 1 P[Z 1,43] 1 0,936 0,0764 Mramos e la tabla de la N() ,5 ] P[Z < -1,43] b) Hallar el tervalo característco de la meda muestral para ua probabldad del 95% /] 1-1 p 1 0,95 0,05 0,05 /] 1-0,975 Z TablaN() / 1,96 ( -Z /., Z /. ) μ μ+ 35 Itervalo característco (500 1, ; , ) (493,1; 506,9) 100 Sgfcado: La meda de los pesos está e el tervalo (493,1;506,9) co ua probabldad del 95% c) Calcular la probabldad de que ua caja de 100 bolsas pese más de 51 Kg. P[ X > ] P[Z > Como X N(500,35) X N( μ,. ) N( , ) N(50.000;350) Tpfcamos ] P[Z >,86] 1 P[Z,86] 1 0,9979 0, Mramos e la tabla de la N() d) Cuál es la probabldad de que ua caja pese más de 550 gr? P[X > 550] P[Z > ] P[Z > 1,43] 1 P[Z 1,43] X N(500,35) Tpfcamos 35 Mramos e la tabla de la N() 1 0,936 0,0764 Ejercco : Los pesos e klogramos de los soldados de ua promocó sgue ua dstrbucó ormal N(69,8). Las guardas e u regmeto está formadas por 1 soldados. a) Hallar la probabldad de que la meda de los pesos de los soldados de ua guarda sea superor a 71 Kg. Como X N(69,8) X N( μ, ) N(69, P[ X > 71] P[Z > 8 ) N(69;,31) ] P[Z >0,87] 1 P[Z 0,87] 1 - φ(0,87) 1 0,8078 9,31 b) Obteer el tervalo característco para x correspodete a ua probabldad de 0,9 / ] 1 1 p 1 0,9 ( μ Z μ + ] 1 0,95 Z 1,645, Z ) / / / / TablaN() 8 8 Itervalo característco (69-1,645., 69 +1,645. ) (65,; 7,8) 1 1 Sgfcado: La meda de los pesos está e el tervalo (65,; 7,8) co ua probabldad del 90%

8 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 8 c) Cuál es la probabldad de que la suma de los pesos de los soldados de ua guarda sea meor que 800 Kgs? S X N(69,8) 1 x N(1.69, 8 1 ) N(88,7,71) P x < 800 PZ < P[Z < -1,01] P[Z > 1,01] 1 P[Z 1,01] 1 - φ(1,01) 1 7, , d) Cuál es la probabldad de que u membro de la guarda, elegdo al azar, pese más de 93 Kg? P[X > 93] P Z > 8 P[Z > 3] 1 P[Z 3] 1 - φ(3) 1-0,9987 0, EN QUÉ CONSISTE LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Los parámetros de la poblacó se puede estmar a partr de los de la muestra. Así: La meda muestral, x, srve para estmar la meda poblacoal, μ. La desvacó típca muestral, s, es u estmacó de la desvacó típca poblacoal, La estmacó putual (el valor de μ es aproxmadamete x ), srve de poco metras descoozcamos cuál es el grado de aproxmacó de x a μ. La estmacó por tervalos: A partr de ua muestra de tamaño podemos estmar el valor de u parámetro de la poblacó del sguete modo: - Dado u tervalo detro del cual cofamos que esté el parámetro. Se llama tervalo de cofaza. - Hallado la probabldad de que tal cosa ocurra. A dcha probabldad se le llama vel de cofaza. Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, mayor efcaca tedremos e uestra estmacó. La efcaca de esta estmacó se mafesta de dos formas: - E el tamaño del tervalo (cuato más pequeño, más precsos estamos sedo) - E el vel de cofaza (más vel de cofaza sgfca más segurdad e la estmacó). Tamaño de la muestra, logtud del tervalo y vel de cofaza so tres varables estrechamete relacoadas. Coocdas dos de ellas obtedremos la tercera. 1.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Se desea estmar la meda, μ, de ua poblacó cuya desvacó típca,, es coocda. Para ello se recuerde a ua muestra de tamaño e la cual se obtee ua meda muestral, x. S la poblacó de partda es ormal, o s el tamaño de la muestra es 30, etoces el tervalo de cofaza de μ co u vel de cofaza de (1-).100% es: x z /, x + z /

9 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 9 Ejemplo 3 : Deseamos valorar el grado de coocmetos e hstora de ua poblacó de varos mles de alumos. Sabemos que la desvacó típca es,3. Nos propoemos estmar la meda poblacoal pasado ua prueba a 100 alumos. a) Calcular el tervalo característco para la meda muestral correspodete a ua probabldad de 0,95. Como 100 > 30 /] 1-1 p 1 0,95 0,05 0,05 /] 1-0,975 Z TablaN() / 1,96 ( -Z /., Z /. ) μ μ+,3 Itervalo característco (μ 1, ; μ + 1,96.,3 ) (μ-0,45; μ+0,45) 100 Sgfcado: La meda muestral dsta meos de 0,45 de la poblacoal co ua probabldad del 95% b) Ua vez realzada la prueba a 100 alumos cocretos, se ha obtedo ua meda de 6,3. Hallar el tervalo de cofaza co u vel de sgfcacó del 95% /] 1-1 p 1 0,95 0,05 0,05 /] 1-0,975 Z TablaN() / 1,96 (X-Z /.,X Z /. ) +,3 Itervalo de cofaza (6,3 1, ; 6,3 + 1,96.,3 100 ) (5,87;6,77) Sgfcado: La meda poblacoal está e el tervalo (5,87;6,77) co u vel de cofaza del 95% Ejemplo 4 : Para estmar la meda de los resultados que obtedrá al resolver u certo test los alumos de 4º de ESO de toda ua comudad autóoma, se les pasa dcho test a 400 de ellos escogdos al azar. Los resultados obtedos vee recogdos e la sguete tabla x f A partr de ellos, estma co u vel de cofaza del 95% el valor de la meda poblacoal. Como 400 > 30 El tervalo de cofaza μ (X-Z /.,X + Z /. ) Hallamos al meda y la desvacó típca de la muestra: x f x.f x.f x.f 199 X 3, N x.f 473 X 3,475 1,6 1, N 400 N /] 1-1 0,95 0,05 0,05 /] 1-0,975 Z TablaN() / 1,96 (X-Z /.,X Z /. ) + 1,1 1,1 μ (3, 475 1,96. ;3, ,96. ) (3,14; 3,36) Sgfcado: Teemos ua cofaza del 95% de que la ota meda de la poblacó total esté compredda etre (3,14; 3,36).

10 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 10 Ejercco 5 : De ua varable estadístca, coocemos la desvacó típca 8, pero descoocemos la meda. Para estmarla, extraemos ua muestra de tamaño 60 cuya meda es 37. Estma la meda poblacoal medate u tervalo de cofaza del 99%. Como 60 > 30 / ] 1 1 p 1 0,99 0,01 (X Z /., X + Z /. / ] 1 0,01 0,995 TablaN() Z /, Itervalo de cofaza (37,575. ; 37+,575. ) (34,34;39,66) Sgfcado: La meda poblacoal está e el tervalo (34,34;39,66) co u vel de cofaza del 99% 1.6 RELACIÓN ENTRE NIVEL DE CONFIANZA, ERROR ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA El valor E z / se llama error máxmo admsble. Depede de y de del sguete modo: - Cuato mayor sea el tamaño de la muestra, meor es E (más estrecho es el tervalo, es decr, más afaremos e la estmacó). - Cuato mayor sea 1 a (es decr, cuato más seguros queramos estar de uestra estmacó), mayor es E. Cuato mayor es 1 -, mayor es z / y, por tato, mayor es E. E, y so tres varables estrechamete relacoadas. Coocdas dos de ellas obtedremos la tercera despejado de la fórmula: E z / Ejemplo 6 : La desvacó típca de los resultados de las dsttas medcoes que se realza para calcular la duracó de u proceso es 0,5 sg. Cuál es el úmero de meddas que hay que realzar para que co u 99% de cofaza, el error de la estmacó o exceda de sg.? 0,5 E Z /.? 1 0,99 0,01 / ] 1 1 0,995 Z/,575 E <,575. 0,5 1, , Debemos tomar 166 meddas Ejemplo 7 : Al medr el tempo de reaccó, u pscólogo sabe que la desvacó típca de las dsttas medcoes del msmo es 0,5 sg. Desea estmar el tempo medo de reaccó co u error máxmo de sg, para lo cual realza 100 experecas. Dí co que vel de cofaza podrá dar el tervalo ( X -; X +) 0,5 E Z /. Z /. Z/ 0, /] 1 1? E P[Z ] 0,977 Mramos e la tabla de la N() 1 0,977 0, , ,44% El vel de cofaza es del 95,44%

11 Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 11 Ejemplo 8 : U gaadero de reses bravas quere estmar el peso medo de los toros de su gaadería co u vel de cofaza del 95%. Para ello toma ua muestra de 30 toros y los pesa. Obtee ua meda de 507 Kg y ua desvacó típca de 3 Kg. Cuál es el error cometdo? 3 E Z / ,95 0,05 / ] 1 1 0,975 Z/ 1,96 E? 3 E 1,96. 11,45 Kg El error es de 11,45 Kg. 30 Ejercco 9: U coroel desea estmar la estatura meda de todos los soldados de su regmeto co u error meor que 0,5 cm utlzado ua muestra de 30 soldados. Sabedo que 5,3 cm. Cuál será el vel de cofaza co el que se realza la estmacó? 5,3 E Z /. 0,5 Z /. Z / 0,5 5, P[ Z Z / ] 1 1? E 0,5 P[ Z 0,5] 0,6985 MramoslatabladeN() , 0, ,397 39,7% El vel de cofaza es del 39,7% Ejercco 30 : El cocete telectual de u certo colectvo tee ua meda μ descoocda y ua desvacó típca 8. De qué tamaño debe ser la muestra co la cual se estme la meda co u vel de cofaza del 99% y u error admsble E 3? 8 0,01 P[ Z Z / ] 1 1 0,995 Z /,575? 1 0,99 0,01 8 E Z /. 3,575. 6,87 47,15 E 3 El tamaño de la muestra debe ser de 48. EJERCICIOS REPASO (Lbro págas 94-97)