UNIDAD 14.- Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión (tema 14 del libro)

Transcripción

1 UIDAD.- Dstrbucoes bdmesoales. Correlacó regresó (tema del lbro). VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMESIOALES Vamos a trabajar sobre ua sere de feómeos e los que para cada observacó se obtee u par de meddas. Por ejemplo: Etesó e m úmero de habtates de los dsttos países de Europa. Igresos gastos de cada ua de las famlas de los trabajadores de ua empresa. Putuacoes obtedas e u test de fludez verbal por u grupo de alumos de º de E.S.O. e gresos auales de sus padres. Produccó vetas de ua fábrca. úmero de años aflados a u partdo polítco vel de satsfaccó co dcho partdo de u mltate. Edad grado de pscomotrcdad de u grupo formado por 0 musváldos metales. úmero de horas que dedca los escolares a ver televsó poscó ecoómca de sus padres. Reta acoal úmero de uverstaros de los dsttos países de Áfrca. Edad úmero de días que falta al trabajo los empleados de ua fábrca. A estas varables estadístcas resultates de la observacó de u feómeo respecto de dos modaldades se las llama varables estadístcas bdmesoales. Las varables estadístcas bdmesoales las represetaremos por el par X, Y dode X es ua varable estadístca udmesoal que toma los valores,,,..., e Y es otra varable estadístca udmesoal que toma los valores,,,..., toma estos valores:,,,,,,...,, o també. Por tato, la varable estadístca bdmesoal X, Y,,. Las tablas de frecuecas bdmesoales puede ser: smples o de doble etrada. a) Tablas de doble etrada: Para costrurla se procede así: E la ª fla se coloca todos los valores que toma la varable X e la ª columa se coloca todos los valores que toma la varable Y. A cotuacó, e el resto de casllas se va colocado las frecuecas absolutas o relatvas. Este tpo de tabla se suele utlzar cuado teemos ua gra catdad de datos, o be, cuado estos datos se ecuetra agrupados e clases. Y... p X... p... p... p Dode, j es la frecueca absoluta del dato j... p UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó

2 Ejemplo: Cosderemos los sguetes datos de ua dstrbucó bdmesoal. (,0), (,), (,), (,), (0,), (0,), (,), (,). La tabla de doble etrada correspodete es la sguete: Y/X 0 Totales Totales b) Tablas smples Para costrurlas se cosdera columas. E la ª se coloca los valores que toma la varable X, e la seguda las de Y, e la tercera las frecuecas absolutas o las relatvas. X... Y Ejemplo: Para el ejemplo ateror, teemos: E el ejemplo, hemos usado las frecuecas relatvas e la columa f 0 / / / / 0 / / / j j S e ua tabla de doble etrada sumamos las frecuecas absolutas por flas por columas, obteemos ua ueva fla ua ueva columa: so las frecuecas margales. X Y... p... p... p... p p... p p j j Estas frecuecas obtedas tee e cueta ua sola varable se puede costrur co ellas dos dstrbucoes udmesoales obteer los parámetros represetatvos. UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó

3 DISTRIBUCIÓ MARGIAL DE X. X DISTRIBUCIÓ MARGIAL DE Y. Y... p j... p La suma de las frecuecas absolutas margales cocde co la suma de las frecuecas bdmesoales de la tabla de doble etrada. Las frecuecas margales tee e cueta ua sola varable. Cuado las varables so cuattatvas se puede obteer parámetros represetatvos como meda, medaa, desvacó típca,..., pero cuado so varables cualtatvas determamos sólo el porcetaje.. DIAGRAMAS DE DISPERSIÓ O UBE DE PUTOS Los valores de ua varable estadístca bdmesoal so pares de úmeros reales de la forma,,, j p. S represetamos estos pares e u sstema de ejes cartesaos se obtee u j cojuto de putos sobre el plao. A este cojuto de putos se le deoma dagrama de dspersó o ube de putos. Ejemplo: Realzar la ube de putos correspodete a la varable estadístca bdmesoal que os da la ota de Físca Matemátcas de 0 alumos, cuos datos so: Matemátcas Físca otas de Físca otas de Matemátcas UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó

4 . DEPEDECIA O CORRELACIÓ Segú el estudo de la ube de putos se puede aprecar, de forma cualtatva, el tpo grado de relacó o depedeca etre las dos varables de la dstrbucó bdmesoal. A esa depedeca la llamamos correlacó. Esta depedeca o correlacó puede ser: Depedeca fucoal: S la ube de putos se stúa e la gráfca de ua fucó, ecepto que esta sea costate Depedeca leal: S la ube de putos se stúa sobre ua recta Correlacó o depedeca aleatora: S la ube de putos se stúa próma a la gráfca de ua fucó Idepedeca: ha ua auseca de correlacó A su vez la correlacó se clasfca e grados, que puede ser: Correlacó fuerte: S la ube de putos se aproma mucho a ua recta o curva Correlacó débl: S la ube de putos se aproma poco a ua recta o a ua curva Correlacó postva: S a medda que crece ua varable crece la otra Correlacó egatva: S a medda que crece ua varable decrece la otra UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó

5 . CORRELACIÓ LIEAL. COEFICIETE DE PEARSO Defcó: La covaraza es ua medda de la flueca del valor de ua varable e el valor de la otra se represeta por. Se obtee segú la fórmula: f. Propedad: S las varables X e Y so depedetes, etoces 0 Defcó: Se llama coefcete de correlacó leal de Pearso a u valor que mde la correlacó de tpo leal que este etre dos varables se represeta por r. Se obtee de la sguete fórmula: dode: es la covaraza es la desvacó típca de la varable X es la desvacó típca de la varable Y r. El coefcete de correlacó os proporcoa formacó acerca del tpo de correlacó que este etre las varables X e Y. Dcha formacó os la proporcoa dos hechos: el sgo del coefcete su valor. Sgo: A la vsta de como está defdo el coefcete de correlacó, al ser las desvacoes típcas sempre postvas, el sgo del coefcete vee determado por el sgo de la covaraza. Así, se tee: - S r > 0 la correlacó es drecta - S r < 0 la correlacó es versa - S r = 0 o este correlacó etre las varables Valor: Se cumple que - r. Teedo esto e cueta, depededo de cuál sea su valor, obtedremos certa formacó: - S r = - ó r = la correlacó leal es perfecta; esto es la ube de putos está sobre ua recta. (correlacó fucoal) - S - < r < 0 la correlacó es leal egatva será más fuerte cuato más cerca de - esté r. - S 0 < r < la correlacó es leal postva será más fuerte cuato más cerca de esté r - S r = 0 o este correlacó leal. Esto o eclue que haa correlacó fucoal UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó

6 Ejemplo: Ua compañía de seguros cosdera que el úmero de vehículos (Y) que crcula por ua determada autopsta a más de 0 m/h, puede poerse e fucó del úmero de accdetes (X) que ocurre e ella. Durate días obtuvo los sguetes resultados: X Y 0 0 Calcula el coefcete de correlacó leal. Solucó: Dspoemos los cálculos de la sguete forma: (Accdete s) Vehículos , ;, ; 0,,, 0 0, ;.,., =, Por tato, r 0,,. 0, Observamos que el coefcete de Pearso está prómo a, por tato, este ua correlacó leal postva fuerte etre las dos varables del problema. REGRESIÓ. RECTAS DE REGRESIÓ Teemos ua dstrbucó bdmesoal represetamos la ube de putos correspodete. La recta que mejor se ajusta a esa ube de putos recbe el ombre de recta de regresó. Su ecuacó es la sguete: ( Recta de regresó de Y sobre X: ) ( Recta de regresó de X sobre Y: ) A partr de esta recta podemos calcular los valores de X coocdos los de Y o los de Y coocdos los de X. La fabldad que podemos coceder a los cálculos obtedos vee dada por el coefcete de correlacó: - S r es mu pequeño o tee setdo realzar gú tpo de estmacoes. - S r es prómo a ó, las estmacoes realzadas estará cerca de los valores reales. - S r = o r = -, las estmacoes realzadas cocdrá co los valores reales. UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó

7 Las rectas de regresó sempre pasa por el puto (, ) Ejemplo: Ua compañía de seguros cosdera que el úmero de vehículos (Y) que crcula por ua determada autopsta a más de 0 m/h, puede poerse e fucó del úmero de accdetes (X) que ocurre e ella. Durate días obtuvo los sguetes resultados: X Y 0 0 a) Calcula el coefcete de correlacó leal. b) S aer se produjero accdetes, cuátos vehículos podemos supoer que crculaba por la autopsta a más de 0 m/h? c) Es buea la predccó? Solucó: Dspoemos los cálculos de la sguete forma: (Accdetes ) Vehículos , ;, ; 0,,, 0 0, ;.,., =,, a) r 0,,. 0, b) Recta de regresó de Y sobre X: ( ),, (,) ;,,(,), Para =, teemos que,,(,), es decr, =,0. Podemos supoer que aer crculaba vehículos por la autopsta a más de 0 m/h. c) La predccó hecha es buea a que el coefcete de correlacó está mu prómo a. Ejemplo: Las calfcacoes de 0 alumos e pscología evolutva e estadístca ha sdo las sguetes: X calf. e pscol. Y calf. e estad. úmero de alumos. UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó

8 0 Obteer la ecuacó de la recta de regresó de calfcacoes de estadístca respecto de las calfcacoes de pscología. Cuál será la ota esperada e estadístca para u alumo que obtuvo u, e pscología? Solucó: Se pde la recta de regresó de sobre : ( ) Dspoemos los datos de la sguete forma: f f f f f f, ; f, 0 0 f. (,).(,), 0,, 0 f (,), 0,, 0, Susttuedo e la ecuacó de la recta de regresó, resulta:, (,), es decr,, 0, S u alumo que tee ua ota de, e pscología, la ota esperada e estadístca será: (,) =, + 0, =, La fabldad vee dada por el coefcete de correlacó:, ;,, 0 r. (,),0 ;,0, 0, resulta r 0, (,).(,) La correlacó es postva, es decr, a medda que aumeta la ota de estadístca aumeta també la ota e pscología. Su valor está prómo a lo que dca que se trata de ua correlacó fuerte, las estmacoes realzadas está cerca de los valores reales. UIDAD.- Dstrbucoes Bdmesoales. Correlacó regresó