VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES.

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1 CONTENIDOS: VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES. Orgazacó de dato: tabla de frecueca de doble etrada. Frecueca margale. Dagrama de dperó. Regreó leal: recta de regreó. Coefcete de correlacó leal. Iterpretacó. Predccó leal. Orgazacó de dato. La varable etadítca bdmeoale la repreetaremo por el par (X,Y), dode X e ua varable udmeoal que toma lo valore 1,,... e Y e otra varable udmeoal que toma lo valore 1,,.... S repreetamo eto pare ( 1, 1 ), (, )...e u tema de eje carteao e obtee u cojuto de puto obre el plao que e deoma dagrama de dperó o ube de puto. Lo dato puede er preetado e do tpo de tabla: tabla mple tabla de doble etrada. Eta últma tabla e puede traformar e ua tabla mple. Cálculo de parámetro. Coderemo ua varable etadítca bdmeoal (X,Y) recordemo la defcoe de meda varaza para dtrbucoe de varable etadítca udmeoal: MEDIA Varable X Varable Y p 1 1 p VARIANZA 1 1 A la raíz cuadrada potva de la varaza e la llama devacó típca e repreeta por por. Se llama covaraza de ua varable bdmeoal (X,Y) a la meda artmétca de lo producto de la devacoe de cada varable repecto a u meda repectva. La covaraza e repreeta por p 1 Correlacó. Se llama correlacó a la teoría que trata de etudar la relacó o depedeca que ete etre la do varable que tervee e ua dtrbucó bdmeoal. La correlacó e leal o curvlíea egú que el dagrama de puto e codee e toro a ua líea recta o a ua curva. La correlacó e potva o drecta cuado a medda que crece ua varable la otra també crece. La correlacó e egatva o vera cuado a medda que crece ua varable la otra decrece. 1

2 La correlacó e ula cuado o ete gua relacó etre amba varable; e ete cao lo puto del dagrama etá eparcdo al azar, formar gua líea, e dce que la varable o etá correlacoada. La correlacó e de tpo fucoal ete ua fucó que atface todo lo valore de la dtrbucó. El procedmeto má frecuete utlzado para agar valore a la dtta correlacoe e a partr del coefcete de correlacó de Pearo. Dcho coefcete e defe medate la guete epreó: r El go del coefcete r vee dado por el go de la covaraza, a que la devacoe típca o empre potva. El go de la covaraza decde el comportameto de la correlacó: S la covaraza e potva, la correlacó e drecta. S la covaraza e egatva, la correlacó e vera. S la covaraza e ula, o ete correlacó. Veamo que tpo de depedeca ete etre la varable X e Y egú el valor de r 1. S r-1, todo lo valore de la varable (X,Y) e ecuetra tuado obre ua recta; e coecueca, atface la ecuacó de ua recta. Etoce e dce que etre la varable X e Y ete ua depedeca fucoal.. S 1<r<0, la correlacó e egatva erá tato má fuerte a medda que r e aprome a 1, tato má débl a medda que e aproma a 0. E ete cao e dce que la varable X e Y etá e depedeca aleatora. 3. S r0 o ete gú tpo de relacó etre la do varable. E ete cao e dce que la varable o aleatoramete depedete 4. S 0<r<1, la correlacó e potva erá tato má fuerte a medda que r e aprome a 1, tato má débl a medda que e aproma a 0. E ete cao e dce que la varable X e Y etá e depedeca aleatora 5. S r1, todo lo valore de la varable (X,Y) e ecuetra tuado obre ua recta; e coecueca, atface la ecuacó de ua recta. Etoce e dce que etre la varable X e Y ete ua depedeca fucoal Regreó leal. S etre do varable ete ua fuerte correlacó, el dagrama de puto e codea e toro a ua recta. Sea X la varable depedete e Y la varable depedete de X, etoce el problema cote e ecotrar la ecuacó de la recta que mejor e ajute a la ube de puto. La ecuacó bucada erá de la forma a( ) dode a e el coefcete de regreó e gual a: a Luego la ecuacó de la recta de regreó de obre e: ( ) Suttuedo e eta ecuacó lo valore de podemo obteer, co certa apromacó, lo valore eperado para la varable, que llamamo etmacoe o prevoe. La ecuacó de la recta de regreó de obre e: ( ) Qué fabldad podemo coceder a eto cálculo obtedo a travé de la recta de regreó? Será tato mejor cuato maor ea el coefcete de correlacó leal e valor aboluto.

3 Ejemplo Se ha realzado ua prueba de habldad (putúa de 0 a 5) e u grupo de alumo. La guete putuacoe correpode a la obteda por e alumo e do de ella: Calcula la covaraza el coefcete de correlacó. Cómo e la relacó etre la varable? Meda: 3 3,83 0 3,33 Devacoe típca: 95 σ 3,83 1,1 1,08 70 σ 3,33 0,58 0,7 Covaraza: 77 σ 3,83 3,33 0,079 σ 0,079 Coefcete de correlacó: 0,079 r 0,09 1,08 0,7 r 0,09 La relacó etre la varable e práctcamete ula. Ejemplo- E e ttuto de la mma zoa e ha etudado la ota meda de lo etudate de 1º de bachllerato e Matemátca e Iglé, obteédoe la formacó que e recoge e la guete tabla: a) Halla la recta de regreó de obre. b) Calcula ˆ 5,5. E fable eta etmacó? (Sabemo que r ( ) 0,87). 3

4 a) Meda: 37,, 35,5 5,9 Varaza de :+ 3,54 σ, 0,3 Covaraza: 3 σ, 5,9 0,4 Coefcete de regreó: σ 0,4 m 1,44 σ 0,3 Ecuacó de la recta de regreó de obre : 5,9 + 1,44, 1,44 ( ) 3 ( 5,5) 1,44 5,5 3 4, 9 b) ˆ Sí e fable la etmacó, pueto que la correlacó e fuerte, r 0,87, 5,5 etá detro del tervalo de valore que etamo coderado. Por tato, etmamo que la ota de Matemátca e 5,5, la de Iglé erá mu probablemete 4,9. Ejemplo- Se ha pregutado e e famla por el úmero de hjo el úmero medo de día que uele r al ce cada me. La repueta ha do la guete: a) Halla la do recta de regreó repreétala. b) Obervado el grado de promdad etre la do recta, cómo cree que erá la correlacó etre la do varable? 4

5 a) Meda: 15, Devacoe típca: σ 43,5 σ 3 Covaraza: 44 σ,5 0,9 0,9 1,33 1,15 3 0,17 Coefcete de regreó: 0,17 obre m 0,18 0,9 0,17 obre m 0,13 1,33 Recta de regreó: obre 3 0,18,5 0,18 + 3, obre,5 0,13 0,13 +,89 0,13, 89 ( ) 45 ( 3) +,89 0,13 7,9 +,3 Repreetacó: b) La correlacó e práctcamete ula; la recta o ca perpedculare. 5

6 EJERCICIOS. 1. La guete tabla ofrece lo reultado de pare de obervacoe, realzada para aalzar el grado de relacó etete etre do varable X e Y: X Y Obteer: a) Recta de regreó de Y obre X. b) Repreetacó gráfca de la mma, aí como de lo pare de obervacoe aterore. c) Qué grado de relacó leal ete etre amba varable?. Dada eta dtrbucó bdmeoal: X 5, Y 4,5 7 7,5 5 3,5 a) Calcular el coefcete de correlacó leal, terpretado el reultado. b) Determar la recta de regreó de Y obre X. c) Hallar el puto dode e corta la do recta. 3. Cco ña de,3,5,7 8 año de edad pea, repectvamete, 14,0,3,4 44 klo. a) Hallar la ecuacó de la recta de regreó de la edad obre el peo. b) Cuál ería el peo apromado de ua ña de año? 4. La ota obteda por cco alumo e Matemátca Múca o: Matemátca ,5 Múca,5 4, Determar la recta de regreó calcular la ota eperada e Múca para u alumo que tee 7,5 e Matemátca. 5. La meda de lo peo de ua poblacó e de 5 kg la de la etatura 170 cm, metra que la devacoe típca o de 5 kg 10 cm, repectvamete, la covaraza de amba varable e 40. Calcular la recta de regreó de lo peo repecto de la etatura Cuáto e etma que peará u dvduo de 180 cm de etatura?. La tabla guete o da la ota del tet de apttud (X) dada a depedete a prueba veta del prmer me de prueba (Y) e ceto de peeta: X Y a) Hallar el coefcete de correlacó e terpretar el reultado obtedo. b) Hallar la recta de regreó de Y obre X. Predecr la veta de u vededor que obtega 47 e el tet. 7. Se ha obervado ua varable etadítca bdmeoal e ha obtedo la guete tabla: X Y Se pde: a) Calcular la covaraza. b) Obteer e terpretar el coefcete de correlacó leal.

7 c) Ecuacó de la recta de regreó Y obre X. 8. Lo valore de do varable X e Y e dtrbue egú la tabla guete. Determar el coefcete de correlacó la recta de regreó Y obre X. Cometar lo fable que o la predccoe baada e ea recta. X 0 4 Y La putuacoe obteda por u grupo de alumo de COU e ua batería de tet que mde la habldad verbal X el razoameto abtracto Y o la guete: X (5,35) Y (35,45) (45,55) (55,5) Se pde: a) Ete correlacó etre amba varable? b) Segú lo dato de la tabla, uo de eto alumo obtee ua putuacó de 70 puto e razoameto abtracto, e cuáto e etmará u habldad verbal?. 10. Lo valore de do varable aleatora X e Y e dtrbue egú la tabla: X Y a) Determa el coefcete de correlacó la recta de regreó de Y obre X b) Cometa la fabldad de la predccoe baada e ea recta. 7