3.11 Intervalos de confianza basados en una población con distribución normal pero con muestras pequeñas

Transcripción

1 3. Itervalo de cofaza baado e ua poblacó co dtrbucó ormal pero co muetra peueña Cuado < 30 o e poble uar el teorema cetral del límte ha ue hacer ua upocó epecífca acerca de la forma de la dtrbucó (gamma, Webull, etc) luego dervar u tervalo de cofaza para ea dtrbucó e partcular. E el preete curo o cetraremo e el cao de dtrbucoe ormale (ue o la má comue e la medcoe epermetale). S e peueña, a o e ta probable ue ea cercaa a la varable aleatora etadarzada Z preeta aleatoredad tato e el umerador como e el deomador. Eto mplca ue la dtrbucó de la varable etadarzada X µ Z S / etará má dpera ue la dtrbucó ormal etádar. Eta ueva dtrbucó e la famla de dtrbucoe t. Teorema: Cuado X e la meda de ua muetra aleatora de tamaño, de ua dtrbucó ormal co meda µ, la varable aleatora: X µ T (3.38) S/ tee ua dtrbucó de probabldad llamada dtrbucó t-studet co - grado de lbertad. Ua dtrbucó t-tudet etá regda por u olo parámetro llamado úmero de grado de lbertad de la dtrbucó. Ete parámetro e repreeta co la letra grega ν puede tomar como valor lo etero potvo. Cada valor dferete de ν correpode a ua dtrbucó t dferete S repreetamo co t v la curva fucó de dedad para ν (ν - ) grado de lbertad, reulta ue:

2 . Cada curva t v tee forma de campaa co cetro e 0.. Cada curva t v etá má dpera ue la curva ormal etádar 3. A medda ue ν aumeta, la dperó de la curva t v correpodete dmue. 4. A medda ue ν, la ecueca de la curva t v e aproma a la curva ormal etádar. Fgura 3.0: Curva t-tudet para dferete grado de lbertad (ν 5, 5). La curva z repreeta la curva ormal etádar t α/,- e -α El área bajo la curva de dedad t, co - grado de lbertad, etre t α/,- Área ombreada - α -t α/ 0 t α/ Fgura 3.: Dtrbucó de probabldad t. El área ombreada repreeta la probabldad P(-t α/,- < T < t α/,- ) - α Eto mplca ue: ± t α /, (3.39)

3 e el tervalo de cofaza aocado a la magtud medda, co vel de cofaza de 00(- α)%. Ejemplo: Ua ageca de proteccó ambetal hzo medcoe de CL50 (cocetracó letal ue mata al 50% de lo amale de epermetacó) para certo producto uímco ue e puede ecotrar e río lago. Para certa epece de pece, la medcoe de CL50 para DDT e epermeto arrojaro lo guete dato (epreado e parte por mlló) Obteer u tervalo de cofaza del 90 % % ( α)% 0.9 α α 0. α / 0.05 IC( 90%) 9.0 ± t0.05, 9.0 ± (.7960) 9 ± 3 3. Comparacó de valore determado epermetalmete para muetra peueña. E ete cao el procedmeto de prueba e euvalete al egudo e la eccó 3.0, pero e lugar de uar la varable etadarzada Z, e hace uo de la varable etadarzada T. Por lo tato ueremo realzar u procedmeto de prueba ue o permta decdr el valor meddo e gual o dtto al valor µ o aceptado uveralmete, e debe platear la hpóte ula la hpóte alteratva correpodete: Hpóte ula: H o : µ µ o Hpóte alteratva: H a : µ µ o Etadítco de prueba: t µ o (3.40) Que urge de coderar ue e ha trabajado co ua muetra peueña de ua poblacó co dtrbucó ormal. La regó de rechazo correpodete (do cola) reulta e ete cao:

4 RR { t t o t t α /, α /, para u vel de gfcaca α. Aí para u vel de gfcaca del 5%, α 0.05, α/ 0.05, etoce e debe determar t α/,- tal ue P( t > t α/,- ) 0.05, reultado t α/, { t.00 o.00 RR t De eta maera el etadítco de prueba calculado co lo dato muetrale cae e la regó de rechazo, e debe rechazar la hpóte ula a favor de la alteratva, coclur ue uetra medcoe o aceptable tratar de ecotrar el orge de la dcrepaca. Ete otra do poble hpóte alteratva cua repectva regoe de rechazo co u vel de gfcaca α o: Hpóte alteratva: H a : µ < µ o RR { t tα, Hpóte alteratva: H a : µ > µ o { t t RR α, Ejemplo: De ua muetra de 0 lete para ateojo e determa ue el groor promedo muetral e de 3.05 mm ue la devacó etádar muetral e de 0.34 mm. Se deea ue el groor promedo de la lete ue e fabrca ea de 3.0 mm. Sugere lo dato muetrale ue el groor promedo de la lete e dferete al deeado? Pruebe co α 0.05 º: Etablecer la hpóte ula la hpóte alteratva adecuada Hpóte ula: H o : µ 3.0 mm Hpóte alteratva: H a : µ 3.0 mm º: Calcular el etadítco de prueba t µ o / 0.395

5 3º: Etablecer la regó de rechazo para el vel de gfcaca eleccoado. E ete cao α 0.05 por lo tato RR { t t o t 0.05,9 t 0.05,9 { t.6 o.6 RR t Como el etadítco de prueba t. 395 o perteece a la regó de rechazo, o e rechaza la hpóte ula. Veremo ahora como e procede cuado e deea comparar do valore de ua magtud determado a partr de muetra peueña de poblacoe ormale,, E ete cao, ha ue dtgur do cao depededo la varaza o o o homogéea, e decr, e puede o o coderar guale. Varaza homogéea S la varaza o homogéea, el procedmeto de prueba e el guete: Hpóte ula H o : µ - µ 0 Etadítco de prueba: t p co p ( ) ( ) Co el úmero de grado de lbertad defdo por: ν

6 Hpóte alteratva: Regó de rechazo para prueba de vel α H a : µ - µ <0 RR { t t α, v H a : µ - µ >0 { t t RR α, H a : µ - µ 0 { t t o t t v RR, α/, v α/ v Varaza o homogéea: prueba: S la varaza o o homogéea, e debe realzar el guete procedmeto de Hpóte ula H o : µ - µ 0 Etadítco de prueba: t Co el úmero de grado de lbertad defdo por: ν ( / ) ( / ) Hpóte alteratva: Regó de rechazo para prueba de vel α H a : µ - µ <0 RR { t t α, v H a : µ - µ >0 { t t RR α, H a : µ - µ 0 { t t o t t v RR, α/, v α/ v La preguta ue urge etoce e cuado e puede coderar ue la varaza o homogéea cuado o. Para repoder eta preguta ha ue comparar la varaza.

7 3.3 Ifereca e relacó co do varaza poblacoale Para el cao de la poblacoe ormale, lo procedmeto de prueba etá baado e ua ueva famla de dtrbucoe de probabldad: la Dtrbucó F Eta dtrbucó tee do parámetro ue la caracterza: ν ue e el úmero de grado de lbertad del umerador ν ue e el úmero de grado de lbertad del deomador. Como la fucó e complcada o la uaremo eplíctamete, omtmo la fórmula. F Curva de dedad F co ν ν grado de lbertad F α, ν, ν f Fgura 3.: Curva de dedad F E forma aáloga a la otacó t α, ν, uamo F α, ν, ν para el puto obre el eje de la abca ue dca ue el área bajo la curva de dedad F co grado de lbertad ν ν e la cola uperor vale α. La curva o e métrca, por lo ue podría parecer ue debe calculare tato el valor crítco de cola uperor, como el de cola feror. S embargo eto o e ecearo debdo a la guete propedad: F α, ν, ν (3.4) F α, ν, ν

8 Teorema: Sea X, X..X M ua muetra aleatora de ua dtrbucó ormal co varaza, ea Y, Y..Y ua muetra aleatora de ua dtrbucó ormal co varaza, ea S, S la varaza muetrale. Etoce, la varable aleatora: F S S (3.4) tee ua dtrbucó F co ν M - ν - grado de lbertad. Debdo a ue F mplca u cocete, el etadítco de prueba e el cocete de la varaza muetrale. La hpóte e rechazada el cocete dfere demaado de. E ete cao la prueba de hpóte e realza de la guete maera: Hpóte ula H o : Etadítco de prueba: f Hpóte alteratva: Regó de rechazo para prueba de vel α H a : H a : H a : > { f F RR α, M, < { f F RR α, M, RR { f F o f F α /, M, α /, M, De ete modo el etadítco de prueba cae e la regó de rechazo, e rechaza la hpóte ula a favor del hpóte alteratva. Ejemplo: E u epermeto realzado para etudar lo umbrale de dolor provocado por decarga eléctrca e hombre mujere, reveló lo dato de la guete tabla:

9 Mujere() Hombre () Muetra eto dato ufcete evdeca para dcar ue la varabldad de lo umbrale de dolor e hombre mujere dfere gfcatvamete co u vel de gfcaca de 0.? Supoedo ue lo umbrale de dolor tato e hombre como mujere tee dtrbucoe apromadamete ormale, ueremo probar: H o : H a : Dode o la varaza de lo umbrale de dolor e mujere hombre repectvamete. El etadítco de prueba e ete cao e: f E eta prueba a do cola co α 0. reulta RR RR { f F0.05,9,3 o f F0.95, 9, 3 { f F o f F 0.05,9,3 / 0.05, 3, 9 { f.7 o / RR f Como f o perteece a la regó de rechazo, e puede decr ue o ha evdeca ufcete para decr ue la varabldade de lo umbrale e hombre mjere dfere coderablemete.

10 3.4 Covaraza Se etablecó, gua demotracó, ue cuado la varable o depedete aleatora, la mejor etmacó para la certdumbre de u valor calculado (,,. ) e la uma cuadrátca:... També e djo ue a ea ue la certdumbre ea o o depedete aleatora, empre e cumple ue:... (3.43) E decr empre ete ua cota uperor para la certdumbre. E eta etapa vamo a dervar ua certdumbre para ue valga a ea ue la certdumbre ea o o depedete aleatora demotraremo ue e cumple (3.43) Supogamo por mplcdad ue la catdad a medr depede de ólo do varable () ue medmo e mucha vece, obteedo pare de dato (, ). A partr de eta medda podemo calcular lo valore medo de e la devacoe etádare muetrale:,,,. També podemo calcular valore de la catdad de teré: ( ),,..., por lo tato també e poble calcular. Supoedo ue toda la certdumbre o peueña ue todo lo valore o prómo a u valore medo, e puede ecrbr: (, ) ( ) ( ) ( )

11 Por otro lado e tee ue: a ue: ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) 0 Por lo tato la devacó etádar aocada a etá dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) El tercer térmo de la umatora recbe el ombre de covaraza etá defdo de la guete maera: Co eta defcó: ( )( ) (3.44)

12 Eta epreó e válda a ea ue la medda de e ea o o depedete eté o o ormalmete dtrbuda. Oberve ue puede er egatva por lo tato o e tee e cueta la correlacó e etaría obrevaluado la certdumbre. Se puede demotrar ue la covaraza atface la degualdad de Schwarz por lo tato a partr de la ecuacó (3.44) e obtee: Por lo tato e cumple ue: Co lo ue e demuetra la eteca de ua cota para la certdumbre de ea o o depedete aleatora la medda de e. S (,,.. ), la forma má geeral para u varaza e: j j dode el ubdce j e empre maor ue el ubdce