División de Estadísticas y Proyecciones Económicas (DEPE) Centro de Proyecciones Económicas (CPE)

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1 Comsó Ecoómca para Amérca Lata y el Carbe (CEPAL Dvsó de Estadístcas y Proyeccoes Ecoómcas (DEPE Cetro de Proyeccoes Ecoómcas (CPE Estmacó Putual de Parámetros Chrsta A. Hurtado Navarro Mayo, 006 Estmacó Putual. Itroduccó E u problema estadístco, dode los datos fuero geerados a partr de ua dstrbucó de probabldad F(x descoocda, los métodos de Ifereca Estadístca permte señalar algo respecto de esta dstrbucó. E preseca de ua muestra, se supoe que la dstrbucó de dode provee o es totalmete descoocda - por ejemplo perteece a ua determada famla de dstrbucoes teórcas - etoces solamete uo o varos parámetros que defe la famla de dstrbucoes so descoocdos. E este caso, la teoría de estmacó, tee por objetvo dar valores a estos parámetros a partr de los valores muestrales. La eleccó de la famla de dstrbucoes se hace a partr de cosderacoes teórcas o be de la dstrbucó de frecuecas empírca. Los parámetros descoocdos so costates que toma valores e u espaco Ω llamado espaco de parámetros, por ejemplo: ( μ, N Ω = R ( μ, N Ω = R ] 0, + [ Exp ( β Ω = ] 0, + [ Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

2 ( 0 p Ω = [ 0,] B, Sea x,x,,x valores muestrales obtedos sobre ua muestra aleatora smple de ua v.a. x de fucó de desdad f ( xθ, e que θ es descoocdo. La estmacó putual, busca elegr u valor para θ a partr de los valores muestrales. Es decr se tee que defr ua fucó δ : R Ω, que es u estadístco llamado estmador de θ. El valor tomado por esta fucó sobre ua muestra partcular de tamaño es ua estmacó. Otra forma de estmar u parámetro cosste e buscar o u sólo valor para θ, so u cojuto de valores, u tervalo e geeral, e el cual se tee alta probabldad de ecotrar. Es el método de estmacó por tervalo. Procededo así, tratamos de estmar el valor de los parámetros, que so cosderados como costates, a partr de estadístcos que so aleatoros. Para elegr etre varos estmadores de u msmo parámetro hay que defr crteros de comparacó. Los métodos de estmacó so: el método de los mometos y el método de máxma verosmltud.. Método de los Mometos. Recordemos que el mometo o cetrado de orde de ua v.a. x, se defe como E[ ] m =, y el mometo cetrado de orde de dcha x [ ] v.a. se defe como μ = E x E( x. Para defr estmadores para estos parámetros se sgue el sguete procedmeto: Dado que la formacó que teemos acerca de la v.a. x procede de ua muestra aleatora smple x,x,,x, se supoe etoces que x es ua v.a. dscreta que toma úcamete dchos valores co ua probabldad gual a la frecueca relatva observada (evdetemete se trata sólo de ua aproxmacó que será mejor o peor e fucó del tamaño de la muestra y de las característcas de x. Para estmar u mometo de x se calcula el mometo teórco correspodete a la v.a. dscreta defda e el paso ateror. A los estmadores de los mometos que resulta de aplcar este procedmeto los deomaremos mometos muestrales. De este modo, los mometos muestrales correspodetes a los mometos o cetrados se defe de acuerdo co la sguete expresó: Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

3 Mometos de orde respecto al orge, m. m [ x ] = x f ( x + = E dx Mometos de orde respecto a la meda. m [( x μ ] = ( x μ f ( x + = E dx. Método de Máxma Verosmltud. Sea x,x,,x los valores muestrales de ua muestra aleatora smple de ua v.a. de desdad o fucó de probabldad f ( xθ e que θ Ω, el espaco de parámetros. Se llama fucó de verosmltud a la desdad cojuta o fucó de probabldad del vector aleatoro formado de los valores muestrales (x,x,,x, se deota f ( x, x,, θ K x. Como los valores muestrales so depedetes, se tee, f ( x, x, x θ f ( x θ, K. U estmador del parámetro θ basado e ua muestra de tamaño es ua fucó δ de los valores muestrales x,x,,x a valores e el espaco de parámetro Ω. El valor que toma el estmador δ sobre ua muestra x,x,,x se llama estmacó o valor estmado. El estmador de Máxma Verosmltud es el estmador que hace la fucó de verosmltud f ( x, x,, θ K x máxma. Tal estmador puede etoces o ser úco, o be o exstr. Propedades del Estmador de Máxma Verosmltud No es fácl ecotrar bueos estmadores - sesgados, de varaza mmal; de hecho estas dos propedades puede ser atagócas e Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

4 el setdo que a buscar elmar el sesgo se aumeta la varaza. Por otro lado la búsqueda de estmadores sesgados de míma varaza es relacoada co la exsteca de estadístcos sufcetes. Cuado exste, el estmador de Máxma Verosmltud tee alguas propedades teresates: Geeralmete es cosstete; Es astótcamete ormal; No es sempre sesgado, pero lo es astótcamete; Es fucó de u estadístco sufcete, cuado exste uo; Etre todos los estmadores astótcamete sesgados, tee la varaza astótcamete más pequeña (es efcete. S el E.M.V. es u estadístco sufcete, etoces es u estadístco sufcete mmal. Tee la propedad de varaza: S θˆ es el Estmador de Máxma Verosmltud del parámetro θ y s g : Ω Ω es byectva, etoces g ( θˆ es el Estmador de Máxma Verosmltud de g(θ. E resume, al cosderar x dstrbuda de acuerdo a f(x;θ dode es θ u parámetro (o vector de parámetros descoocdo. El método de máxma verosmltud es ua técca para estmar los valores de θ dada ua muestra fta de datos. Supogamos meddas de x, x, x,,x. Puesto que las meddas so depedetes, la probabldad de que x esté e [x,x +Δx ], x e [x,x +Δx ], s la pdf y el (los parámetro(s descrbe realmete los datos, esperamos alta probabldad para los datos que hemos meddo. Aálogamete u parámetro cuyo valor se desvíe mucho del autétco resultará e baja probabldad para las meddas observadas. La probabldad máxma para la pdf y parámetros correctos, es: L ( θ = f ( ;θ = x Se defe los estmadores de máxma verosmltud de los parámetros como aquellos que maxmza la fucó de verosmltud: L = 0 θ Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

5 La defcó o garatza que los estmadores MV sea óptmos e absoluto! E geeral, s embargo, suele ser la aproxmacó más aceptable al problema de estmar parámetros. Ejemplo. El úmero(x de gretas que preseta los tesores de cocreto se dstrbuye Posso, co parámetro θ. Se toma ua muestra aleatora de 40 tesores de cocreto y se regstra el úmero de gretas que preseta cada tesor, obteedo la sguete formacó: N de gretas Catdad de tesores Determe el EMV de θ. Calcule la estmacó máxma verosíml co los datos de la tabla. Solucó: Para calcular el estmador máxmo verosíml debemos calcular la fucó de verosmltud y la fucó de logverosmltud. Para el modelo Posso la fucó de X θ e θ verosmltud es L( θ =, y la fucó de log- X! = verosmltud es l( θ = X l( θ + θ l( X!. Se puede mostrar = = que el estmador de máxma verosmltud es X ˆ = θ MV = = X. La estmacó máxmo verosíml es ˆ θ =. MV Ejemplo. Calcular los Estmadores de Máxma Verosmltud de la meda y varaza de ua dstrbucó ormal. Solucó. La fucó de dstrbucó ormal tee la forma: f ( x μ, ( μ x, = e π La fucó de verosmltud es por tato gual a: Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

6 ( x μ, ( μ x, = e = π ( x μ, = ( π = ( μ x, e x =, e ( x μ, = ( π ( μ dode el logartmo de la fucó de verosmltud es: ( x, μ, = l( π l( x = ( μ Dervado co respecto a μ e gualado a cero se tee: ( ( x μ x, μ, = = μ = ( x μ = 0 = 0 μ = = ( x = x Dervado co respecto a e gualado a cero se tee: ( ( x μ x, μ, = = + 4 = 0 = = ( x μ 3. Método de Mímos Cuadrados. Supogamos que hemos meddo u cojuto de pares de datos (x,y e ua expereca, por ejemplo, la poscó de u móvl e certos states de tempo. Queremos obteer ua fucó y=f(x que se ajuste lo mejor posble a los valores expermetales. Se puede esayar muchas fucoes, rectas, polomos, fucoes potecales o logarítmcas. Ua vez establecdo la fucó a ajustar se determa sus parámetros, e el caso de u polomo, será los coefcetes del Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

7 polomo de modo que los datos expermetales se desvíe lo meos posble de la fórmula empírca. La fucó más seclla es la fucó leal y=ax+b que hemos tratado e la pága ateror. El procedmeto de ajustar los datos expermetales a ua líea recta se deoma regresó leal. Polomo aproxmador. Queremos aproxmar u polomo de grado, a u cojuto de m pares de datos (x,y de modo que m. Sea el polomo P(x=a 0 +a x +a x + +a x Se calcula la catdad: Para obteer los valores de los coefcetes del polomo aproxmador se tee que determar los valores de los coefcetes a 0,a,a,,a de forma que la catdad S tome u valor mímo. Tomado dervadas parcales de S respecto de a 0,a,a,,a guales a cero: Segudo grado y=a 0 +a x+a x ( x x0 x x x3 y y0 y y y3 Las ecuacoes ( se escrbrá Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

8 Agrupado térmos Itroduzcamos las expresoes Se obtee el sguete sstema de ecuacoes co cógtas ( S todos los putos so dsttos, el sstema de ecuacoes tee ua solucó úca. (3 Materal de docete de uso exclusvo de los alumos del curso de Ecoometría Básca, CEPAL.

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