DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA Y EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

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1 Smposo de Metrología 4 al 7 de Octubre DISTRIBUCIÓ DE LA MEDIA Y EL TEOREMA DEL LÍMITE CETRAL Wolfgag A. Schmd Cetro acoal de Metrología Tel.: (44) 4, e-mal: wschmd@ceam.mx Resume: De acuerdo al Teorema del Límte Cetral, la dstrbucó de la meda de ua sere de medcoes repetdas (,, ) se aproxma a ua dstrbucó ormal, depedetemete de la dstrbucó de los datos orgales x. Este resultado mportate para la estmacó de la certdumbre e medcoes se prueba co datos aleatoros proveetes de dferetes dstrbucoes. E partcular, se aalza el caso de datos meddos co u strumeto co resolucó burda y la teraccó etre la dspersó de los datos cuatfcada por su desvacó estádar y la resolucó del strumeto e la certdumbre combada. Se observa u cremeto de la dspersó de los datos como efecto del redodeo, que co los coceptos de metrología se terpreta como ua combacó de las certdumbres por repetbldad y resolucó.. ITRODUCCIÓ El mejor estmado de ua magtud co u error asocado que varía de forma aleatora geeralmete es la meda de u úmero de medcoes depedetes realzadas bajo las msmas codcoes: = = La certdumbre u de se estma medate la desvacó estádar expermetal de la meda: ( ) s( = = ) ua( ) s( ) = () ( ) = dode s( ) es la desvacó estádar expermetal de las medcoes dvduales. El ídce A dca que se trata de u método tpo A para estmar la certdumbre. Para determar el vel de cofaza relacoado co la certdumbre de ua magtud, es ecesaro coocer su dstrbucó. Del Teorema del Límte Cetral resulta que la dstrbucó de la meda de ua sere de medcoes repetdas e depedetes (,, ) se aproxma a ua dstrbucó ormal, depedetemete de la dstrbucó de los. Para resaltar esto, véase por ejemplo [], G...: S Y = c + c +... c = c y todas las se caracterza medate dstrbucoes ormales, etoces la dstrbucó resultate de la = covolucó Y també será ormal. S embargo, aú s las dstrbucoes de o so ormales, la dstrbucó de Y frecuetemete se puede aproxmar medate ua dstrbucó ormal debdo al Teorema del Límte Cetral. Este teorema establece que la dstrbucó de Y será aproxmadamete ormal co esperaza () E( Y ) = = c E( ) y varaza V ( Y ) = c V( ) = dode E( ) es la esperaza de y V ( ) es la varaza de, s las so depedetes y V (Y ) es mucho más grade que cualquer compoete dvdual c V( ) de ua cuya dstrbucó o es ormal. E el caso de ua sere de medcoes repetdas (,, ), el Teorema del Límte Cetral es aplcable a la meda dode c = E( = = ) = µ y varaza V ( ) =. = () co la partculardad que todas las provee de la msma dstrbucó co la msma esperaza Para la esperaza y varaza de resulta: E ( ) = E( ) = µ V( ) = V( ) = = (4) ()

2 Smposo de Metrología 4 al 7 de Octubre. DESARROLLO Co smulacoes umércas se muestra para dferetes tpos de dstrbucó de los la aproxmacó de la dstrbucó de la meda de medcoes repetdas a ua dstrbucó ormal. E hojas de cálculo de Excel se geera juegos de datos aleatoros k, ( =,... ; k =,... ) smulado de esta maera cclos de la medcó. Después se calcula las medas para cada uo de los cclos (co ídce k) ) k = k = ( (6) -, -, -,9 -, -,7 -,,,,7, -, -, -,9 -, -,7 -,,,,7, Fg. : Hstograma los ~ (, ),9,9 para =,, y y se geera hstogramas de frecueca para ver las dstrbucoes de los. Las desvacoes estádar de los ( ( ) ) ( ) = k = k s µ (7) se compara co los valores teórcos que se espera de acuerdo a (): -, -, -, -, -, -, -, -, -,9 -,9 -,9 -,9 -, -, -, -, -,7 -,7 -,7 -,7 -,, -,, -,, -,,,,,,,7,7,7,7,,,,,9,9,9,9 V( ) = (8) dode es la desvacó estádar de los. Frecuec a. DISTRIBUCIÓ ORMAL: ~ (, ) E el prmer ejemplo se cosdera datos proveetes de ua dstrbucó ormal co µ = y =. La fgura muestra la dstrbucó de los datos geerados, la fgura las dstrbucoes de y y la de y ua comparacó co ua ormal. Como se espera, las dstrbucoes de las se parece a dstrbucoes ormales. U cremeto e geera dstrbucoes más estrechas, lo cuál se observa de forma cuattatva medate las desvacoes estádar s ) calculadas co los ( datos de los, que sgue la expresó s( ) (9) , -, -, -, -,9 -,9 -, -, -,7 -,7 -, -,,,,,,7,7,,,9,9 -, -, -,9 -, -,7 -,,,,7,,9 -, -, -,9 -, -,7 -,,,,7,,9 -, -,,,, Fg. : Dstrbucó de las medas, y y comparacó co ua dstrbucó ormal co = =,6 (líea).

3 Smposo de Metrología 4 al 7 de Octubre ,,,, ,,,,,4,,6,7,8,9,6,7,8,9 4. DISTRIBUCIÓ UIFORME: ~ U(, ) A cotuacó se desarrolla el ejercco co datos de los proveetes de ua dstrbucó uforme etre y. La fgura 4 muestra la dstrbucó de, la fgura las dstrbucoes de,, y y ua comparacó co ua dstrbucó ormal (e el caso de ). Se observa cómo las dstrbucoes de las, cremetado se acerca cada vez más a dstrbucoes ormales. Igual que e el caso ateror, las desvacoes estádar s ) resulta de acuerdo a la expresó ( (9): s( ), ,,,,4,,6,7,8,9 Fg. 4: Hstograma los proveetes de ua dstrbucó uforme U(, ) 7,,,,4,,6,7,8,9. DISTRIBUCIÓ BEROULLI: ~ B(, ) Como sguete ejemplo se desarrolla el ejercco co ua dstrbucó Beroull, que geera los valores y co la msma probabldad de %. 6 4,,,4,,6,7,8 Fg. :.Dstrbucó de las medas,, y e el caso de ~ U(,) y la comparacó co -,,,,,4,,6,7,8,9 ua ormal co =,89 =, 9 (líea). Fgura : Hstograma los ~ B(, ).

4 Smposo de Metrología 4 al 7 de Octubre 6 4 La fgura muestra la dstrbucó de y la fgura 6 las de,, y. També e este caso se observa como las dstrbucoes de las se acerca a ua ormal y que las desvacoes estádar sgue la expresó (9): s( ),. -, 4 -,,,,,4,,6,7,8,9,,,,4,,6,7,8,9 6. DISTRIBUCIÓ ORMAL CO RESOLUCIÓ FIITA: ~ rd[(,,,)] Como últmo ejemplo se desarrolla el caso de datos proveetes de ua dstrbucó ormal y redodeados a eteros ~ rd[(µ, )], smulado de esta forma la medcó de datos co errores aleatoros ormalmete dstrbudos, utlzado u strumeto co resolucó de udad. Co la seleccó de los parámetros de µ =, y =, para la dstrbucó ormal y el úmero lmtado de datos geerados resultó e el ejemplo aalzado que la geeracó de los datos se lmta a los valores -,,, y co ua dstrbucó asmétrca a cero. E medcoes reales co u strumeto de medcó co ua resolucó burda ua stuacó como está es comú ,,,,,4,,6,7,8, Fg. 7: Dstrbucó de los proveetes de ua dstrbucó ormal redodeada ~ rd[(,,,)] y la fucó de dstrbucó de la cuál provee los datos orgales (líea).,,,,4,,6,7,8,9 Fgura 6: Dstrbucó de las medas,, y e el caso de ~ B(, ) y la comparacó co ua ormal co =, =, 8 (líea) La fgura 7 muestra la dstrbucó de, la fgura 8 las dstrbucoes de,, y. També e este caso se observa que las dstrbucoes de los se acerca a ua dstrbucó ormal. Se usa la otacó rd para redodear a eteros. 4

5 Smposo de Metrología 4 al 7 de Octubre , - -,,, E la verfcacó de la expresó (9) uo se efreta co el sguete problema: tomado como desvacó estádar de los el valor =, de la dstrbucó ormal, de la cual provee los datos orgales, se obtee valores más pequeños que las desvacoes estádar de las medas obtedas por la smulacó (ver tabla ). Para cumplr la expresó (9), hay que susttur por la desvacó estádar s() calculada a partr de los valores geerados por el redodeo. Meda ( ),46,479,49,488 -, -,,,, -, -,,,, s ( ),49,,78,84 s ( ),488,76,6,8,6,887,6,8 Tabla : Comparacó de s ) co s ( ) y ( para ~ rd[(,,,)]. =, y s() =,78 es la desvacó estádar calculada co los datos redodeados obtedos de la smulacó. Evdetemete, el redodeo de los datos proveetes de la dstrbucó ormal cremeta su desvacó estádar. Este efecto puede ser terpretado por la cotrbucó de la dscretzacó o resolucó a la dspersó de los : = µ + δ + δr () -,,,, Fg. 8: Dstrbucó de las medas, y (arrba) para ~ rd[(,,,)] y comparacó de la dstrbucó de los (abajo) co ua ormal co µ =, y =,84 (líea) δ~ (, ) es la dspersó orgal de los datos y δr la cotrbucó debdo al redodeo. S es mayor que la resolucó R, la dspersó de los abarca varos tervalos de la resolucó y la dstrbucó del error por el redodeo δr se aproxma a ua uforme δr~u(-r/, R/) co meda E( δ R) y varaza V ( δ R) = E( δr ) R. E cosecueca, la meda E() es gual a µ y la varaza s () de los se obtee medate:

6 Σε ρι ε Smposo de Metrología 4 al 7 de Octubre s() / s() /,4,,,,, 4,,,,, s ( ) = E = E = E [( µ ) ] = [( δ + δr) ] = ( δ ) + E( δ δr) + E( δr ) Amplacó de la gráfca de abajo µ = () µ =, µ =, µ =,4 µ =,,,,7,9,,,,,4,6,8 µ = µ =, µ =, µ =,4 µ =, Fg. 9: Comportameto de las desvacoes estádar s() de los datos redodeados ~rd[(µ, )] e relacó a y la comparacó co el comportameto dado por la ecuacó (). S es sgfcatvamete mayor que R la dstrbucó de (δ δr) puede ser cosderada como aproxmadamete smétrca, resultado e ua meda E( δ δr), así que falmete resulta: R s ( ) + () Este resultado se verfcó medate smulacoes umércas, geerado datos ~ rd[(µ, )]. co dferetes y µ. El resultado se muestra e la fgura 9. Se observa que para > R = (líea vertcal) las desvacoes estádar s() R sgue e buea aproxmacó +, dcado por la líea, para todos los valores de µ, s embargo para < R los valores desvía de este comportameto, debdo a que la aproxmacoes hechas e las ecuacoes () y () o so váldas. 7. COCLUSIOES Se lustró medate smulacoes co datos aleatoros que, de acuerdo al Teorema del Límte Cetral, la dstrbucó de la meda de u úmero de datos se aproxma a ua dstrbucó ormal, depedetemete de la dstrbucó de los datos orgales y que su desvacó estádar dsmuye por de acuerdo a la ecuacó (8). Se presetaro estos efectos co datos proveetes de ua dstrbucó uforme, ua dstrbucó Beroull ua dstrbucó ormal y ua dstrbucó ormal co redodeo ( resolucó ). Adcoalmete, los resultados muestra que el redodeo de los datos, smulado la resolucó de u strumeto de medcó, cremeta su desvacó estádar de acuerdo a la ecuacó (), por lo meos metras su desvacó estádar sea mayor que la certdumbre por resolucó R. Esto dca que la resolucó de u strumeto de medcó cotrbuye a la certdumbre por repetbldad. E cosecueca, cosderado la certdumbre por resolucó por separado e el presupuesto de certdumbre, lo cual es ua práctca comú, lleva a u coteo doble de ella e la certdumbre combada. Ua práctca más apropada puede cosderar e el presupuesto de certdumbre solamete la mayor de las dos certdumbres por repetbldad o resolucó, como lo propoe por ejemplo []. REFERECIAS [] Gude to the Expresso of Ucertaty Measuremats, BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, 99 [] Geometrcal product specfcatos (GPS) Ispecto by measuremet of workpeces ad measurg equpmet, Part, ISO/TR 4-6