Incertidumbre en las mediciones directas e indirectas

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1 Icertdumbre e las medcoes drectas e drectas Comezaremos por dstgur dos dferetes tpos de medcoes: Medcoes drectas: La medda de la cota se obtee e ua úca medcó co u strumeto de lectura drecta. Medcoes drectas: El valor de la magtud que se desea medr se obtee a partr de los valores de otras magtudes, relacoados etre sí medate ua certa fucó matemátca. La dstaca etre cetros de agujeros o ejes (dstaca L, etre agujeros e la fgura) es u claro ejemplo de ua medcó drecta. L U caso partcular de las drectas, so las medcoes por comparacó, e dode las medcoes se realza co comparadores patroes. Icertdumbre e la medcó drecta Supoedo que todos los errores dervados del ambete el operador so cotrolados (o sgfca que sea ulos), queda como úca causa de error la certdumbre del strumeto de medcó que se utlce. Por lo tato, el valor de cada cota que se determa por medcó drecta, estará dado por: ±, dode: L, es el valor verdadero de la cota L l, es el valor leído I, es la certdumbre de medcó S expresamos la certdumbre de medcó como: / dode: I st, es la certdumbre del strumeto de medcó el valor verdadero de la cota es determado podrá tomar cualquer valor compreddo etre u máxmo L + u mímo L : Icertdumbre e la medcó drecta + / / Como se vo más arrba, e las medcoes por métodos drectos, el valor de la magtud que se desea medr, se obtee a partr de los valores de otras magtudes, relacoados medate ua certa fucó matemátca. E metrología dmesoal, las magtudes x suele ser, e la maoría de los casos, de tpo dmesoal (leal o agular) o geométrco. Además, las fucoes de relacó so sempre matemátcamete mu secllas, por lo que puede expresarse fáclmete e forma explícta. INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága de 0

2 E la cátedra de Físca Expermetal se do ua expresó geeral para el cálculo de propagacó de certezas e meddas drectas. Para el caso de ua magtud q que depede de dos varables depedetes (x e ), se puede escrbr la sguete expresó para la certdumbre de q:, +, dode: q, es la certdumbre de la magtud q x, so las certdumbres de las varables x e Esta expresó dca que la certdumbre total e las medcoes drectas está dada sempre por la suma de las certdumbres de cada ua de las medcoes parcales realzadas (afectadas por u factor de poderacó) está asocada a u vel de cofaza maor al 99%. Es decr, que más del 99% de los valores obtedos para la magtud q estará compreddos e el tervalo dado por su certdumbre. E este capítulo se determará la certdumbre de medcó para el caso más geeral teedo e cueta ormas teracoales de metrología, aplcado las fucoes matemátcas de rgor utlzado los parámetros de certdumbre estádar, combada expadda. La Guía para la expresó de la certdumbre de medcó (ISO/TAG 4/WG 3, 993) defe los sguetes tpos de certdumbres: - Icertdumbre estádar (). Icertdumbre del resultado de ua medcó expresada como ua desvacó estádar (vel de cofaza del 68%). La certdumbre estádar se obtee a partr de ua dstrbucó de posbles valores de ua magtud x. La dstrbucó de probabldad puede basarse e ua sere de observacoes de x o puede ser coocda a pror. - Icertdumbre combada ( c ). Icertdumbre estádar del resultado de ua medcó cuado este resultado es obtedo a partr de los valores de otras magtudes (como e el caso de las medcoes drectas). E geeral: c c + c + K + c c () dode los c so coefcetes de poderacó las so las varazas /o covarazas de las magtudes x. - Icertdumbre expadda (I). Itervalo de valores alrededor del resultado de ua medcó dode se espera esté cluda ua fraccó cosderable de ellos. Se obtee multplcado la certdumbre combada por u factor de cobertura k que represeta, para ua determada dstrbucó de probabldad de ocurreca, el vel de cofaza requerdo. I k c E geeral, el factor de cobertura toma valores etre 3 que correspode a veles de cofaza etre 95 99%, respectvamete. Cálculo de la certdumbre de ua medda drecta Se platea las sguetes hpótess de partda: INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága de 0

3 . El valor de la magtud que se desea medr, se obtee a partr de los valores de otras magtudes x, relacoados medate ua certa fucó matemátca de la forma: ( x, x, ) f, K. Las certdumbres estádar de todas las magtudes x que tervee e la fucó de relacó so coocdas. 3. Las varables x so depedetes etre sí, lo que elma las covarazas e la expresó de la certdumbre combada. Resulta, x x ± I x x ± I x x ± I La varacó de la fucó cuado se produce varacoes aleatoras de las varables x a partr de sus valores meddos x, puede formularse a partr de ua aproxmacó e sere de Talor. Para el caso de ua varable: La sere de Talor permte aproxmar ua fucó dervable e u etoro reducdo alrededor de u puto a, medate u polomo cuos coefcetes depede de las dervadas de la fucó evaluadas e ese puto. x f ( x) f ( a) + ( a) ( ) f ( a) ( ) f ( a) ( ) f! x a +! x a + K +! x a E el etoro de a, el térmo (x-a) se hace mu pequeño. Por lo tato, la fucó aproxmada se puede reducr a ua sere de Talor de prmer orde: f ( x) f ( a) + f ( a)( x a) +, dode: f ( a) f ( a)( x a) Geeralzado para el caso de varas varables queda: ( x, x, ) f, K x f x x ( x, x, x ) K, ( x ) La varaza de la fucó está dada por: [( ) ] E, dode el operador E es la esperaza o valor esperado. Como +, se puede escrbr: INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 3 de 0

4 f E[ ( ) ] E x x ( x, x, K x ), ( x ) Teedo e cueta que: [ cz] ce[ Z ] E, dode c es ua costate Z ua varable aleatora, se puede escrbr: f E ( x, x,, x ) x K [( x ) ] x Por defcó teemos que: Etoces: E [( x ) ] x f x ( x, x,, x ) K La desvacó estádar de la fucó se defe como la raíz cuadrada postva de su varaza, etoces: f x ( x, x,, x ) K () La expresó () es equvalete a la defcó de la certdumbre combada de la Guía para la expresó de la certdumbre de medcó [expresó ()] podrá ser aplcada a la determacó de la certdumbre de las medcoes drectas, para cualquer aplcacó. Comparado las expresoes () () puede verse que:! f c x ( x, x,, ) K x INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 4 de 0

5 Ejemplos de aplcacó. Determacó de la dstaca etre cetros de agujeros U caso típco de medda drecta e metrología dmesoal es la determacó de la dstaca etre cetros de agujeros, como se esquematza e la sguete fgura. La dstaca etre cetros L puede obteerse, a partr de la cota m de los dámetros de los agujeros D D, medate la sguete ecuacó: L m D D Supoemos que las dmesoes omales de las cotas L, D D so 98 mm, 7 mm 47 mm, respectvamete. Por lo tato, la dmesó omal de m es 35 mm. Para medr las cotas m, D D se utlza mcrómetros de teror cuas certdumbres expaddas está dadas por las sguetes expresoes: Campo 5 50 mm [ m] Campo 5 50 mm [ ] [ mm] ) S los resultados de las medcoes so los sguetes: L I µ ± (4 +, factor de cobertura 5 L[ mm] I µ m ± (6 + ), factor de cobertura 50 m 36,3 mm, I m ± 8,746 µm, m ± 4,363 µm D 7,34 mm, I D ± 5,0936 µm, D ±,5468 µm D 47,39 mm, I D ± 5,8956 µm, D ±,9478 µm La dstaca etre cetros resulta: L 98,865 mm La certdumbre combada de L está dada por la sguete expresó: L f x ( x, x,, x ) K m + ( ) + ( ) D D INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 5 de 0

6 Falmete, la certdumbre combada de L resulta: L ± 4,7774 µm Este valor correspode a u vel de cofaza del 68%, es decr, el 68% de los valores obtedos de L va a caer detro del tervalo dado por su certdumbre combada. S queremos aumetar el vel de cofaza, debemos multplcar este valor por u determado factor de cobertura.. Determacó del dámetro medo de ua rosca exteror U segudo caso es la medda del dámetro medo de ua rosca exteror, de acuerdo co el método de los alambres calbrados. E este método se tercala los alambres etre la rosca a cotrolar u mcrómetro de exterores co el que se efectúa la medcó, como se muestra e la sguete fgura. Supogamos que se trata de ua rosca métrca (águlo del perfl de 60º) de paso mm. El dámetro requerdo para que los alambres calbrados sea tagetes al flete e el dámetro medo de la rosca, vee dado por la sguete expresó: p dr 0,577 mm cosα Los alambres calbrados dspobles e el laboratoro tee u dámetro omal de 0,5 mm. Por lo tato, el cotacto o se va a producr por debajo del dámetro medo. E este caso, el dámetro medo de la rosca Dm queda determado por la sguete expresó: p Dm m d + + seα tgα Para medr el paso p el semágulo α del flete se utlzó u proector de perfles cua certdumbre expadda es de 0 µm para logtudes para águlos, co u factor de cobertura. Para medr el dámetro de los alambres calbrados d la cota m se utlzó u mcrómetro de exterores cua certdumbre está dada por: [ mm] ) L I [ µ m] ± ( +, factor de cobertura 75 INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 6 de 0

7 S los resultados de las medcoes so los sguetes: m 0,69 mm, I m ±,45 µm, m ±,075 µm d 0,5 mm, I d ±,0069 µm, d ±,00345 µm p 0,98 mm, I p ± 0 µm, p ± 5 µm α 9º54, I α ± ± 5, rad, α ± ±, rad El dámetro medo resulta: Dm mm La certdumbre combada de Dm está dada por la sguete expresó: Dm m + d cosα p d + p + α seα tgα se α se α Cabe aclarar que e la expresó ateror la certdumbre del águlo α debe expresarse e radaes para que la certdumbre combada de Dm de e udades de logtud. Falmete, la certdumbre combada de Dm resulta: Dm ± 5,399 µm Este valor també correspode a u vel de cofaza del 68%. 3. Medcó de águlos medate regla de seos La regla de seos es u strumeto que se utlza para medr águlos exterores por u método drecto co la auda de bloques patró u comparador. La fgura muestra como ejemplo la medcó del águlo de u coo utlzado la mecoada regla de seos dos plas de bloques patró. La expresó para calcular el águlo del coo es: " #$%&'( ) * h, A su vez, la certdumbre combada del águlo α está dada por la sguete expresó: -./ / / , dode: " * * " #$%&'( )* h, 7 3 * h 3 #$%&'( )* h, 7 3 * h 3 h h " h #$%&'( )*, * h 7 3 * h 3 INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 7 de 0

8 Reemplazado queda: * h * h S: H 85,6 mm (la logtud de la combacó de bloques) h 5,4 mm (ídem ateror) L 00 mm (la dstaca etre ejes de los cldros de la regla de seos) : u H ± 0,0003 mm (la certdumbre estádar de la pla de bloques) u h ± 0,000 mm (ídem ateror) u L ± 0,00 mm (la certdumbre estádar de la dstaca etre ejes de los cldros) Resulta: " #$%&'( ) * h, , ) * h * h 3, 5 3 7,5 0? $#@,55 El cálculo ateror es ua smplfcacó del caso real, pues o ha sdo cosderados: Los errores de las dos lecturas del comparador su correccó cuado la logtud de la peza es dferete a la de la regla de seos. La correccó del error de paralelsmo de la regla de seos. Medcoes por comparacó Como a se djo, so u caso partcular de las drectas. El strumeto (comparador) se calbra (poscó cero e la escala) co u patró de refereca de cota omal a (ver fgura). A cotuacó se reemplaza el patró por la peza a cotrolar se lee e la escala la dfereca de medda (postva o egatva) etre la cota que se mde la cota omal del patró. Para determar la medda de la cota se suma la cota omal de valor a más el valor leído e la escala del comparador (co su sgo), es decr: L a + c dode, c es el valor leído e la escala del comparador Sguedo el cálculo efectuado para los ejemplos dados, la certdumbre de medcó estará dada por: c ( L) a c + S la cota omal resulta de la combacó de dsttos bloques patró, se debe calcular la certdumbre combada c (c) que troduce la combacó. Se deduce la mportaca que tee la precsó co que se fabrcó el patró de refereca. INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 8 de 0

9 IMPORTANTE: La seleccó del método los strumetos de medcó para las medcoes drectas també debe teer e cueta la Regla de Oro de la metrología, es decr: I k c 0, T Como resultado de ello, los valores requerdos para las certdumbres puede resultar mu pequeños dfícles de satsfacer. La solucó está e la revsó del método de medcó, reducedo el úmero de determacoes, accesoros úmero de strumetos, a efectos de dsmur la certdumbre total de la medda drecta. Además, aalzar la aplcabldad de la Regla geeralzada de la Metrología. Cotroles de medda e ua peza durate u proceso de mecazado Otra aplcacó de medcoes de tpo drectas so los cotroles de medda de las dversas cotas que forma parte de ua peza durate el proceso de mecazado, las cuales se vcula etre sí segú ua determada secueca. Ejemplo: Toreado de ua peza. De ua barra clídrca de dámetro D se obtee por toreado los sectores de logtudes L L (ó L3), respectvamete (ver fgura). Ua secueca posble es: a) Mecazar el tramo 0-. Se mde L desde el plao 0. (El plao 0 se adopta como refereca) b) Mecazar el tramo -. Se verfca la poscó del plao mdedo desde el plao 0 ó desde el plao. D Las certdumbres resulta: 5A <. 5C E el ejemplo, las dmesoes posbles de acotar e el plao so tres (L, L L3), s embargo será solo dos las que correspode acotar, pues sempre ua de ellas surge de la suma (o dfereca) de las otras dos. De la fucoaldad de la peza, partcularmete de cada ua de sus partes, depederá cuales so las cotas a dcar e el plao, sus toleracas. Formas de acotacó e los plaos Se tee de dos tpos: cremetal o absoluta: Acotacó cremetal Acotacó absoluta INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 9 de 0

10 La forma de acotacó codcoa el modo de medr tato para el cotrol durate la produccó como e el cotrol fal de la peza, dcado a su vez el plao de refereca. Para el tpo cremetal habrá más de u plao de refereca para cada cota. E el ejemplo so los plaos 0, metras que para el absoluto es úco (plao 0). E el tema Ajustes toleracas e cadeas dmesoales se aalza la flueca de la forma de acotacó sobre la precsó obteda e las pezas Bblografía Gude To The Expresó Of Ucertat I Measuremet (ISO/TAG 4/WG 3), 993. Sáchez Pérez A.M. Carro J.: La determacó de la certdumbre de meddas, Novamáqua, Nº09, 985, pp Sáchez Pérez A.M. Carro J.: cálculo de la certdumbre de ua medda drecta e metrología dmesoal, Novamáqua, Nº4, 985, pp INCERTIDUMBRE DE MEDICIÓN POR MÉTODOS INDIRECTOS Pága 0 de 0