CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II. Figura 1

Transcripción

1 TEMA (Últma modcacó CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II DERIVABILIDAD Recordemos el cocepto de dervadas para ucoes de ua varable depedete = (. Para lo cual ormamos el cremeto de la ucó = ( + - ( El cocete cremetal será : = ( + - ( = Fgura =+ e el lmte lm lm ( + - ( S este límte este, es por decó, la dervada de co respecto a e el puto = Grácamete, la dervada de = ( e el puto = represeta la pedete de la tagete geométrca a la curva = ( e el puto correspodete a =, e la gura es la tg (. S e lugar de u puto jo = se toma u puto geérco, la dervada de = ( es a su vez ua ucó de. d = d ( = ' ( d d Veamos ahora el cocepto de dervada para ucoes de varas varables. Comecemos co ucoes de dos varables z = (, ucó de las varables e Cosderemos u puto jo (a, b perteecete al domo de la ucó. Formaremos los cremetos de z respecto de e z = ( a +,b - (a,b z = ( a,b + - (a,b

2 El prmero es el cremeto parcal que tee la ucó cuado se cremeta la varable, metras que la varable permaece costate e =b El segudo es el cremeto parcal que tee la ucó cuado se cremeta la varable, metras que la varable permaece costate e = a. Cosderamos los cocetes cremetales. z (a +, b- (a, b z (a, b + - (a, b Cosderado el lmte de estos cocetes cremetales cuado los cremetos de las varables e tede a cero tedremos : z lm lm ( a +,b - ( a, b z lm lm (a,b + - (a,b S estos lmtes este, se llama dervadas parcales de la ucó co respecto a co respecto a e el puto (a, b. Se represeta de la sguete maera : lm z ( a +,b - ( a, b (a,b lm (a,b = (a,b. a b z (a,b + - (a, b (a, b lm lm (a, b = (a,b. a b que so úmeros, a que (a, b es u puto jo. S se cosdera u puto geérco (, tedremos : lm z lm ( +, - (, (, (, Z (, lm z lm (, + - (, (, (, = Z (, Que so uevas ucoes de (, No debe terpretarse los símbolos (, represeta los lmtes dcados. (, como cocetes pues so símbolos que E detva para calcular la dervada parcal de z = (, co respecto a se cosdera a como ua costate se derva como ucó de solamete.

3 Para calcular la dervada parcal de z = (, co respecto a se cosdera a como ua costate se derva como ucó de solamete. INTERPRETACION GEOMÉTRICA La ecuacó z = (, tee como represetacó gráca ua superce e el espaco z Al mateer = o costate, metras que vara, la ecuacó z = (, o es la ecuacó de la curva Ro que resulta de la terseccó de la superce z = (, el plao = o Por lo tato la dervada parcal de la ucó respecto de os represeta la pedete de la tagete a la curva e el puto (, o. Por ejemplo cuado = o la tagete de es gual a Z ( o,o Para otro valor costate de = obteemos otra curva R cua ecuacó es z=(, que se obtee como terseccó de la superce z = (, co el plao =. Es decr al varar se obtee las dsttas curvas que so paralelas al plao z.

4 La terpretacó geométrca de la dervada parcal co respecto a, es la msma que e el caso ateror, dode las curvas que se obtee so las terseccoes de la superce z = (, co los putos = Cte. Así por ejemplo, la curva correspodete a = o es z = (o, la dervada de la ucó ( o, os da el valor de la pedete de la recta tagete geométrca a la curva z = (o, e u puto de la msma. DERIVADAS PARCIALES PARA FUNCIONES DE N VARIABLES. Sea = ( ; ; ;... ua aplcacó R R sea hj el cremeto de la varable j. Formemos el cremeto de la ucó cuado la varable j se cremeta e hj: j = ( ; ; ;... j + hj;... - ( ; ;... El cocete cremetal será: j ( ; ;... j hj;... ( ; ;... j hj hj Cosderado el límte para hj será: lm j hj hj hj j j lm h ( ; ;... ;... ( ; ;... ( hj j j Habrá dervadas parcales prmeras, correspodetes a los valores que puede tomar j. DEFINICION: Ua ucó es dervable cuado este las dervadas parcales co respecto a cada ua de las varables depedetes. 4

5 RELACION ENTRE LA DERIVABILIDAD Y LA CONTINUIDAD Demostraremos u teorema que relacoa la cotudad de ua ucó co su dervabldad. Para demostrarlo, es coveete recordar el teorema del valor medo o de Lagrage o del cremeto to, para ucoes de ua varable. S la ucó = ( es cotua e el tervalo [a, b] co dervada úca (ta o ta e todo puto de (a, b, ha por lo meos u puto teror, / ( b ( a b a ( (Lagrage (a a ( b (b o sea: =. ( llamado = h será b - a = h ; b = a + h de dode : ( a h ( a h ( a h co < < a que está compreddo etre a b. TEOREMA S la ucó ( es dervable e u recto S además las ( dervadas parcales prmeras so acotadas e S, etoces ( es cotua e S. Aclaracó : Ua ucó ( es acotada e u recto S, cuado es posble hallar u úmero M o ulo to, tal que el valor absoluto de la ucó se matega e ese recto, sempre meor que M, o sea ( M; ( S DEMOSTRACION Demostraremos el teorema para ucoes de dos varables depedetes, dado que su geeralzacó es medata. El cremeto total de la ucó cuado e se cremeta e h k, respectvamete es: (, ( h; k ( ; Sumamos restamos ( + h, luego: ( h; k ( h; ( h; (; ( El prmer paso es cosderar que: ( h; k ( h; k. ( h;. k e dode < < ( h; ( ; h. ( h; co < < 5

6 Reemplazado estas ecuacoes e ( se tee : k ( h, k h ( h; { co ' ' o sea, cosderado valor absoluto: luego, como k ( h; k h ( h; so acotadas será: ( h; k M ( h; M e cosecueca, h k M h M o sea que cuado co lo que se demuestra que Z = (, es cotua, a que su cremeto tede a cero cuado los cremetos de las varables depedetes tede a cero. De este teorema se desprede que o basta co que ua ucó (, sea dervable e u recto, para garatzar su cotudad, so que además es ecesaro que las dervadas parcales sea acotadas e dcho recto. k DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Cosderamos ua ucó Z=(; de la cual hemos dedo las dervadas parcales de prmer orde. (; lm h ( h; (; h (; Z (; (; (; k (; lm (; Z (; h k que so e geeral uevas ucoes de,. S estas ucoes admte a su vez dervadas, las uevas ucoes así dedas se llama DERIVADAS SEGUNDAS de (, ; las dervadas de las dervadas segudas se llama dervadas terceras de (, ;etc. Dada la ucó Z = (, teemos cuatro dervadas parcales segudas: (; (; Z Z (; (; Z (; (; (; Z (; (, (; Z 6

7 Habrá ocho dervadas terceras, correspodetes a la dervacó co respecto a e de las cuatro dervadas segudas: ; ; ; ; ; ; ; E geeral para ua ucó Z = (, de dos varables depedetes ha r dervadas de orde r, pero como veremos que bajo certas codcoes puede haber alguas que so guales etre sí, podemos armar que e geeral el úmero de dervadas de orde r dsttas, es meor que el ctado. Este u teorema que determa las codcoes bajo las cuales (; (; ; úcamete eucaremos el msmo: TEOREMA DE SCHWARTZ S (; (; este e u etoro del puto (; s (; es cotua e dcho etoro, etoces (; este es gual a (; COROLARIO DE BONET S (; (; so cotuas e u etoro del puto (, etoces (; (;.Estas hpótess clue a las de Schwartz, es decr so ua cosecueca de ellas. 7

8 DIFERENCIABILIDAD Recordemos el cocepto de derecabldad para ucoes de ua varable depedete; = (. Decó: la ucó = ( es derecable e u puto s está deda e u etoro del puto su cremeto = ( +-( se puede epresar de la sguete maera: =A. +. = A. + o ( dode. = o ( es u tésmo de orde superor a, es decr que cuado mplca. = o (. Se llama derecal de la ucó a la parte leal e o sea d=a.. A depede de pero o de. Veamos que represeta A: de =A. +. = (A + o sea que A + e el límte para será: lm lm (A lm A lm A a que A o depede de cuado o sea lm A ( d d o sea d. ( Grácamete vemos que d = tg. pero la tg represeta la dervada de la ucó = ( e el puto, luego d = (. S = d =d ( =. es decr: d =. d Cosderemos ua ucó de dos varables Z= (;. Decó: Ua ucó z = (, es derecable e u puto (,, s está deda e u etoro del puto (, su cremeto total (, ( ; ( ; se puede epresar como A. B... ( dode cuado respectvamete. Sedo d ( = A. + B. Determemos ahora cuato vale A B. Como so depedetes, podemos hacer =, co lo cual obteemos el cremeto parcal de la ucó respecto de. A (A de dode A lm lm A + lm A 8

9 (; lm A (; Z (; Hacemos ahora = co lo cual obteemos el cremeto parcal de la ucó cuado se cremeta la varable, es decr: B (B B lm lm B lm B (; B (; Z (; reemplazado los valores e ( tedremos: (; (;.. o sea: (; (; d(,.. ( E partcular cuado Z = (; = dz = d =. cuado Z= (;= dz=d=. o sea: d(, (; (;.d.d Z.d Z.d (;.d (;.d ( Las epresoes ( ( recbe el ombre de Epresó aalítca de la derecal. Es mu mportate observar que z =(, depede de las varables e metras que su derecal d.d. d depede de cuatro: ; ; d ; d Por lo tato para calcular la derecal de ua ucó e u puto, o solo es ecesaro dar las coordeadas del puto (,, so també el valor de los cremetos =d =d. Cosderemos ahora ua ucó de tres varables depedetes u=(;;z. Decó: Se dce que u=(;;z es derecable e u puto P(;;z s está deda e u etoro del puto ctado su cremeto total =u=(+;+;z+z-(;;z se puede epresar: (,,z A. B. C. z... z dode A, B C depede del puto (,, z pero o de ; z ; ; co ;, z respectvamete. Se llama derecal total de la ucó a d du A. B. C. z 9

10 Se demuestra que d(,,z A (; ;z ;B (; ;z ;C (; ;z; z o sea: (; ;z.d Derecal de ua ucó de varables. (; ;z.d (; ;z;.dz z S = ( ; ;... es derecable e u puto; s está deda e u etoro del puto su cremeto total se puede epresar: A. A.... A e dode la derecal de la ucó será: d A. A.... A. co A depededo de las coordeadas del puto pero o de los los co respectvamete. A ( (; ;...; luego : d.d Relacó etre la drerecabldad, dervabldad cotudad. Demostraremos dos teoremas que relacoa la cotudad, dervabldad derecabldad de ua ucó e u puto. Haremos la demostracó para ua ucó de dos varables depedetes. Teorema S ua ucó z =(; es derecable e u puto (, etoces es cotua dervable e ese puto. Demostracó: Por ser derecable la ucó; su cremeto total se puede epresar: (; (; A. B... (4 sedo A B Por lo tato al estr las dervadas parcales prmeras la ucó es dervable co lo que se demuestra la prmera parte del teorema. E (4 vemos que s o sea que z=(; es cotua e (; a que su cremeto cuado tede a cero los cremetos de las varables depedetes. Co esto queda demostrado este teorema. El recíproco de este teorema o es certo, es decr que o basta que ua ucó sea cotua dervable e u puto, para garatzar que sea derecable. A cotuacó demostraremos u teorema que epresa las codcoes ecesaras sucetes para que ua ucó sea derecable. Teorema

11 S ua ucó z = (; es cotua dervable tee sus dervadas parcales cotuas e u etoro del puto P (;, etoces es derecable e dcho puto. Demostracó: El cremeto total de la ucó es: (, ( ; (; S sumamos restamos al segudo membro ( + ; será: ( ; ( ; ( ; (; Aplcado Lagrage. ( ;.. (. ; (5 dode: Pero por hpótess so cotuas e ; por lo tato se puede escrbr: ( ;. (; (. ; (; [ (; ]. [ (; co s co s reemplazado e (5 será: ]. (;. (;... pero esto últmo os dca que la ucó z =(, es derecable e P(, co lo cual queda demostrado el teorema. Covecó: Llamaremos: C al cojuto de ucoes cotuas. C al cojuto de ucoes cuas dervadas prmeras este so cotuas. C al cojuto de ucoes cuas dervadas segudas este so cotuas. C r al cojuto de ucoes cuas dervadas de orde r este so cotuas. Derecales Sucesvas Cosderemos el caso de ucoes de dos varables : d (;.d (;.d e la cual d depede de ; ; d; d. S damos valores jos a d d la derecal depederá úcamete de e, cosderada como ua ucó de estas dos varables, podrá teer a su vez ua derecal que llamaremos derecal seguda, la que dcamos por d d[d] Podemos eteder estos coceptos a ucoes de varables, para el caso de derecales de orde, lo que dcaremos por: d d[d ] d[d(d];d d[d ]... d d[d 4 S (; C estrá la derecal seguda (teorema. Por haber supuestos jos d d será: ]

12 d (, d[d(, ] d[ (;.d] d[ d[ (;.d] (;.d (;.d] por se d = cte d = cte será: d (, {d[ (;.d.d (; ]}.d {d[ (;.d.d (; ]}.d (;.d.d d (,. d. d. d. d (;.d.d Llamaremos operador derecacó a la epresó d.d. d Podemos calcular su cuadrado e orma smbólca: d (.d.d.d.d.d.d Aplcado el operador derecacó a ua ucó (; obteemos: d(, (.d.d. (; (; (;.d.d La derecal prmera se obtee aplcado el operador derecacó a la ucó (;. Aplcado ahora el operador al cuadrado, obtedremos la derecal seguda: d (, (. d. d. ( ;. d. d. d. d S ( ; C estrá la derecal tercera; de la msma orma ateror se verá que d se obtee aplcado el operador derecacó elevado al cubo: d (, (.d.d. (; E geeral s k (; C será:.d.d.d.d.d.d d k (.d.d k. (;

13 Para Fucoes de Tres Varables..d.dz z Sea u (;;z la du.d.d. dz el operador derecacó será: d.d z k Supoedo u C será: k d u (.d.d.dz z Para varables será: =( ; ;...; d k. (; ; z d d d ( d. S ( ; ;...; C k será: d k ( [.d ] k. ( ; ;...; DERIVADA DIRECCIONAL Cosderemos e prmer térmo el caso de ua ucó Z=(; de dos varables depedetes. Hemos dedo las dervadas de (; e u puto ( ; cuado el puto (; tede a ( ; paralelamete al eje. ( ; ( ; ( ; lm cuado el puto (; tede al ( ; paralelamete al eje : (; (; (; lm Ahora vamos a der la dervada de z = (; e ua dreccó cualquera, determada por sus coseos drectores; cos ; cos. S z = (; es derecable e el puto ( ; ; cosderado u cremeto e la dreccó de su cremeto parcal, se puede escrbr:

14 (;. (;... dode co Dvdedo por se tee: ( ;. ( ;... pero cos; cos luego: ( ;.cos ( ;.cos.cos. cos e el lím : lm lm [ cos cos.cos.cos ] Cuado ; por lo tato luego: lm cos cos e ( ; 4

15 ( ; ( ; cos cos Demostraremos que las dervadas parcales de (; respecto de e so casos partculares de las dervadas dreccoales. E eecto s = será luego: ( ; ( ; o ( ;.cos ( ;.cos ( ; ( ; ( ;. ( ;. Hacedo será = luego: ( ; ( ; ( ;. ( ;. ( ; Para varables: = ( ; ;...;.cos.cos....cos ( ;.cos INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DIFERENCIAL TOTAL PLANO TANGENTE S e lugar de cosderar la derecal de la ucó cosderamos la sguete epresó: z z (;.( (;.( obteemos la ecuacó de u plao llamado plao tagete a la superce e ;. Geométrcamete se caracterza por el hecho que e el etoro de ( ; las ordeadas de z de dcho plao dere de las de la superce e u tésmo de orde superor a Es mu mportate que quede claramete establecdo lo sguete:. La codcó ecesara sucete para que la superce z=(; admta plao tagete e u puto es que sea derecable e ese puto. La epresó aalítca de la derecal e el puto se coverte e la ecuacó cremetal 5

16 z ; ; z (.( (.( del plao tagete susttuedo las derecales por los cremetos. El plao tagete, cotee las rectas tagetes a todas las curvas plaas o alabeadas de la superce que pase por el puto cosderado admta tagete e él. H. T P. H HM=HL+LM sedo HL=H T LM = H T luego HM = H T + H T H. T ( ; Tg( H. T Tg(. d H. T Tg(. d. d d H.T H.T ( ; Tg(.d H.T Tg(.d HT Tg(.d. d H.P d ( ; ( HM.d.d dz Derecal de la ucó e el puto P( o, o = dz = HM = H T + H T 6