Espacios con producto interior

Transcripción

1 Espacos co producto teror [Versó prelmar] Prof. Isabel Arrata Z. Algebra Leal

2 E esta udad, todos los espacos ectorales será reales Sea V u espaco ectoral sobre. U producto teror (p..) e V es ua fucó <, : V x V (u, ) < u, que satsface lo sguete: ) < u + u, < u, + < u, ; u, u ) < αu, α < u, ; α R; u, V ) < u, <, u ; u, V ) 0 <, es posto, < u, se lee producto teror (o producto escalar) etre los ectores u y. R R V Algebra Leal

3 Obseracoes: U espaco co producto teror es u espaco ectoral V co u p.. defdo e él. () Cuado el espaco V es complejo, las codcoes exgdas para que ua fucó sea p.. so dferetes. A saber, < u, <, u ; u, V. () S (V, <, ) es u espaco co p.., etoces ) < u, + < u, + < u, ; u,, ) < u, α α < u, ; α R; u, V V Algebra Leal

4 Más aú, < u, α α u, α < u,,..., α V, α () S (V, <, ) es u espaco co p.., etoces <, 0 0,..., α < u, R ; (4) E u espaco ectoral V puede estar defdos aros p.. Por ejemplo, las sguetes fucoes costtuye p.. e R f( (x, y), (a, b) ) xa + yb g( (x, y), (a, b) ) xa ya xb + 4yb Algebra Leal 4

5 Ejemplos de espacos co p.. Para úmero atural, los espacos R, M ( R ) y P [x] so espacos co p.., s se cosdera: < (x,..., x respectamete. < ), < p(x), (y A,,..., y B q(x) ) tr(b 0 t A) p(x) x q(x) Ejercco: Demuestre que efectamete las fucoes <, defdas ates so p.. e los respectos espacos. y dx Algebra Leal 5

6 E lo que sgue, sempre que o se dga algo e cotraro, los espacos R, M( R) y P [x] se cosderará co los productos terores defdos ates que so llamados p.. caócos o usuales. Ejercco: Calcule a) < (, -5,, -), (7, 4, -, b) <, c) < x + 5, x + Algebra Leal 6

7 Defcoes: Sea V u espaco co p.. <,. ) La orma o logtud del ector de V es el úmero real <, ) La dstaca etre los ectores u y de V es d (u, ) u - ) El ector de V se dce utaro s. S el ector de V, 0, o es utaro, etoces lo es. Por ejemplo, el ector (, 0, 4) o es utaro puesto que 5, pero 4, 0, lo es. 5 5 Algebra Leal 7

8 Ejercco: Calcule la orma de u y la dstaca etre u y u + s u (-, 0, 4, 0) y (, -5,, 6) 4 so ectores de. R 4 7 Ejercco: S A, B 5 calcule la logtud de A y de A B. M( R), Ejercco: Muestre ejemplos de ectores utaros u, u, u de los espacos R, M( R) y P [x] que o sea los de la base caóca de esos espacos. Algebra Leal 8

9 Obseracoes: S x R, x < x, x x x S (x, y ) R, <, x + y Cocde co lo apreddo: dstaca etre dos putos del plao y (x, y) x Algebra Leal 9

10 S (x, y, z) R, <, x + y + z (x, y, z) Algebra Leal 0

11 S (V, <, ) es u espaco co p.., se puede demostrar que: ) ) ) ) α + 0 ; 0 u α ; V 0 α R, + u ; V, u V Algebra Leal (Desgualdad tragular) No es dfícl demostrar ), ) y ) aterores. La demostracó de ) es cosecueca de otro teorema coocdo como la Desgualdad de Cauchy-Schartz: <, u u ;, u dádose la gualdad s y sólo s y u so lealmete depedetes. V

12 S (V, <, ) es u espaco co p.., las propedades eucadas para la orma permte demostrar lo sguete para la dstaca etre ectores: d(, ) ) ) ) ) d(, u) d(, u) d(, u) d(, u) 0 ; 0 d(u, d(, ); ), + u u, V d(, u u) Algebra Leal ; V, u, V (Desgualdad tragular)

13 La Desgualdad de Cauchy-Schartz le da setdo a la sguete defcó: Defcó: Sea V u espaco co p.. <,. El águlo ϑ etre los ectores u y de V es tal que cos ϑ < u, u ϑ ϑ < u, cos u Algebra Leal

14 Ejemplo: Calculemos el alor del úmero real k para que el águlo formado por los ectores u (, k, ) y (,, 0) sea π radaes. ϑ cos k + + k π k + k 0 k + 4 Ejercco: Calcule el águlo etre los ectores a) u (, -4, ) y u (-5,, -) b) (, -,, -) y (, 0,, 5) Algebra Leal 4

15 Defcó: Sea V u espaco co p.. <,. Se dce que: ) Los ectores u, de V so ortogoales o perpedculares s < u, 0. ) El cojuto S de ectores de V es u cojuto ortogoal s todos sus elemetos so ortogoales etre sí. ) El cojuto S es ortoormal s es ortogoal y todos sus elemetos so utaros. u < u, o Algebra Leal 5

16 Por ejemplo, e R los ectores u (a, b) y (-b, a) so ortogoales puesto que < u, 0. Sea B {e,...., e } la base caóca de R. Los ectores de B tee la sguete característca: s j < e, e j 0 s j E cosecueca, B es u cojuto ortogoal. Más aú, B es u cojuto ortoormal puesto que e < e, e, Algebra Leal 6

17 Obseracoes: Sea V espaco co p.. <,. El ector 0 es ortogoal a todos los ectores de V. E efecto, s es cualquer ector de V, podemos escrbr <, 0 <, <, 0 <, 0 0. S S es u cojuto ortogoal de ectores de V, <, 0 + <, 0 S o / S pues u <, u es u cojuto ortoormal <, u 0 u Algebra Leal 7

18 Ejemplo: Determemos todos los alores reales de k de modo que los ectores u (k,, k) y (k,, -7) sea ortogoales. < u, 0 k + 6 7k 0 (k )(k )(k + ) 0 k o k o k - Ejercco: Para qué alores del úmero real k los sguetes ectores so ortogoales (p.. usuales): a) u (k,,, k) y u (4, k, k + 0, k) b) p(x) x y q(x) x k c) k 4 A y B k Algebra Leal 8 k

19 Teorema de Ptágoras: Sea V u espaco co p.. <, y sea u, ectores de V tales que u. Etoces u + u + Ejercco: Sea V espaco co p.. <,. Demuestre que para todo u, ectores de V se tee que: u + + u ( u + ) (Ley del Paralelógramo) Algebra Leal 9

20 Complemeto ortogoal Resolamos el sguete problema: Sea S { (, -, ), (-, 5, -) } R. Ecotrar dos ectores utaros y ortogoales a los ectores de S. a) Queremos (x, y, z) tales que <(x, y, z), (, -, ) 0 y <(x, y, z), (-, 5, -) 0. Por lo tato debemos resoler x y + z x + 5y z 0 0 Obteemos ftas solucoes para este sstema: (, - 5, ) λ ; λ R Algebra Leal 0

21 b) Escojamos dos de estas solucoes: (-, -5, ) y (, 5, -); etoces y so ortogoales a los ectores de S. c) Pero y o so utaros puesto que 95. d) Etoces los ectores y u u satsface lo peddo. Algebra Leal

22 Defcó: Sea V u espaco co p.. <, y S V. El complemeto ortogoal de S es el cojuto, S { V / x, x S} { V / <, x 0, x S} Ejemplo: S S {(, -, ), (-, 5, -)} R (problema precedete), etoces el complemeto ortogoal de S es S {(x, y,z) R < { (-, {(x, y, z) R - 5, ) / } < < / x (x, y, z), (, -, - y + z 0 ) (x, y, z), (-, 5, - ) - x 0 0 } + 5y - z 0 } Algebra Leal

23 S V es u espaco co p.. co elemeto cero 0 V, etoces y 0 V V. { } V { } Algebra Leal 0 V Teorema: Sea V u espaco co p.. <, y S V, S Φ. Etoces S es u subespaco ectoral de V. Efectamete, como 0 es ortogoal a todos los ectores de V, e partcular 0 es ortogoal a todos los ectores de S; luego 0 S. Además u, S < u, x < u +, x 0 u + S < u, x <, x 0, + < x S, x 0, x S

24 Falmete, α R y u S < αu, x α < u, x α 0 0, x S αu S α R y < u, x 0, x S Ejercco: Cosdere el espaco M (R) co p.. usual. Determe el complemeto ortogoal del cojuto T, 5 0-4, - - Cuál es el complemeto ortogoal de T s se cosdera el p.. < A, B tr ( A t B)? Algebra Leal 4

25 Obseracoes:. Sea V espaco co p.. <, y W u subespaco de V tal que W < {,...., k }. Etoces, Efectamete, W {,..., } W Por otra parte, sea, {,..., k W,,...,k {,..., k} k} y α αkk, co α,..., αk R W, <, α <, αk <, k 0 es decr, W etoces y Algebra Leal 5

26 . Sea V espaco co p.. <, de dmesó fta y W u subespaco de V. Etoces, dm W + dm W dm V Ejercco: y V W W Ejercco: Sea W el subespaco de R, W < {(,, ), (-, 0, ), (-, 4, 5)}. Determe la dmesó del complemeto ortogoal de W. Ecuetre ua base para el complemeto 4 ortogoal del subespaco de R, U {(x, y, z, u) / x + y + z u 0 y x z + u 0} Algebra Leal 6

27 Bases ortogoales - ortoormales Teorema: Sea V u espaco co p.. <,. Todo cojuto S ortogoal de ectores o ulos de V es lealmete depedete. E efecto, sea S {,...., k } ortogoal y tal que 0,. Sea α..., α R tales que α α 0 ; etoces, k k k,,...,k, < α, α α α α 0 <, <, α α 0 k k k 0 <, k 0 Luego S es l.. 0 Algebra Leal 7

28 Cosecueca del Teorema ateror es: S S es u cojuto ortogoal de ectores o ulos de V, etoces card(s) dm(v) Sea V u espaco co p.. <, de dmesó fta. Sabemos que V posee bases pero éstas o so ecesaramete ortogoales (ortoormales). La costruccó de ua base ortogoal (ortoormal) a partr de ua base del espaco V es u resultado mportate coocdo como Proceso de ortogoalzacó de Gram-Schmdt. Algebra Leal 8

29 Proceso de ortogoalzacó de Gram-Schmdt Sea B {,..., } base de V, espaco co producto teror <,. Proceda a cosderar los ectores:... < < <,,, - - Etoces B O {,..., } es ua base ortogoal de V. Algebra Leal 9 - <, <,...

30 { } Además, B o,..., es ua base ortoormal de V. Cómo fucoa este Proceso? Para compreder el proceso, defamos la proyeccó del ector e el ector u como <, u pru ( ) u u pr u () u Algebra Leal 0

31 Etoces los ectores y de la base B O so: pr () <, pr ( ) Algebra Leal

32 Ejemplo: Sea B la base de R, B {(, -, ), (, 0, ), (,, )}. A partr de la base B costruyamos ua base ortoormal para R. (, -,) < (,0,), (,-,) (, 0,) (,-,) (,, < (,,), (,, ) (, (,, ) - ) 5 (, (,,, ) ), - ) (, (,-,), (, -,) ) - (,0,) - < (,,),(,-,) (,-,) (,-,) (-,0, ) (,-,) Algebra Leal

33 Etoces, B (, -,), (,, ), (-, 0, o ) es ua base ortogoal de R. 6 Como,,, B o (,-,), (,,), (,0, ) 6 es ua base ortoormal de R. Ejercco: { } Ecuetre ua base ortogoal para R a partr de la base B {(,, ), (0,, ), ( 0, 0, )}. Algebra Leal

34 Ejercco: Aplque el Proceso de ortogoalzacó de Gram-Schmdt a las sguetes bases de R : a) B {(,, 0), (-,, ), (, 0, )} b) B {(,, 0), (, 0, ), ( 0,, )} Ejercco: Ecuetre ua base ortogoal para los 4 sguetes subespacos de R y M (R): U {(x, y, z, u) / x + y 0 y z + u 0} a b M ( R) / a 0 c 0 c d W Algebra Leal 4

35 Algebra Leal 5 Obseracó: S V es u espaco co p.. <, de dmesó fta y B o {,...., } es ua base ortogoal de V, las coordeadas del ector de V co respecto a la base B o so. E efecto, como, para cada,...,,, < α α,,....,,...., α < α < α + + < α α + + α < <

36 Proyeccó ortogoal Sea V u espaco co p.. <, y W u subespaco de V co base ortogoal {,.., k }. La proyeccó ortogoal del ector de V e el subespaco W es el ector pr ( ) k <, W W pr W () Algebra Leal 6

37 La aplcacó p : V W ; defda por p(), se llama proyeccó ortogoal de V e W. Ejemplo: E R cosderemos el subespaco W geerado por S {(, -, ), (5, -, 0)} y determemos la proyeccó ortogoal del ector (4, -, 6) e W. ) S es ua base de W pero S o es ortogoal. ) Aplcamos a S el Proceso de Gram-Schmdt y obteemos S 0 {(, -, ), (, 0, -)} base ortogoal de W. ) La proyeccó ortogoal de e W es: (, -, ) (, 0, - ) Algebra Leal 7

38 Ejercco: Ecuetre la proyeccó ortogoal del ector (,, -) de R e el subespaco U {(x, y,z) / x y z 0} Ejercco: Sea W <{(,0,,0), (,0,,0), (,,4,)}. Determe la proyeccó ortogoal de (,,,-) e W. Ejercco: Ecuetre la proyeccó 0 0 ortogoal de A e el subespaco de M (R) geerado por. y Algebra Leal 8