Módulo Teórico Estadística Básica Prof. Dr. Juan Ignacio Pastore. Unidad N

Transcripción

1 Udad N Varables aleatoras. Defcó de varable aleatora. Varable aleatora dscreta: fucó de probabldad y de dstrbucó acumulada. Varable aleatora cotua. Fucó de desdad de probabldad. Fucó de dstrbucó acumulada. Valor esperado. Varaza. Mometos. Medaa. Modo. Varables aleatoras depedetes.

2 Varable aleatora. Al descrbr el espaco muestral de u expermeto o especfcamos que u resultado dvdual ecesaramete tee que ser u valor umérco. E umerosas stuacoes expermetales deseamos asgar u úmero real x a cada uo de los elemetos s del espaco muestral S. Ejemplo: Cosderemos el expermeto: de ua ura que cotee todos los ombres de los empleados de ua empresa se extrae u ombre al azar. S={ombre de los empleados de la empresa} X: úmero de hjos del empleado. X : S RX, X() s x Y: atgüedad e el cargo del empleado. Y : S RY, Y() s y X e y so varables aleatoras. Defcó: Sea u expermeto y S el espaco muestral asocado al expermeto, Ua fucó X que asga a cada uo de los elemetos del espaco muestral S u úmero real, se llama varable aleatora. Gráfcamete: S: espaco muestral asocado a u expermeto. R X : valores posbles de X (recorrdo de la v.a). Observacó: S X () s s, es decr la fucó detdad, etoces RX S. E este caso el resultado del expermeto es ya la característca umérca que queremos estudar.

3 Ejemplo: Cosderemos el expermeto. 5 : Se arroja ua moeda tres veces y se observa la sucesó de resultados (cara (c), cruz (X)). S5 ccc,ccx,cxc, xcc, xxc, xcx,cxx, xxx Cosderemos la varable aleatora X: úmero de caras que se obtee e los tres lazametos. R,,,3, X La v.a. X : S5 RX queda defda de la sguete maera: Xccc 3 X ccx X xcc X cxc X xxc X xcx X cxx X xxx Ejemplo: Se laza dos dados ormales y se aota los resultados el resultado observado e el -ésmo dado,. x, x,6,6 S, x x dode x es Sobre este expermeto podemos estar teresados e certas característcas umércas. Por ejemplo: a) X: suma de los valores observados. R,3,, X La v.a. X : S RX X s x x queda defda de la sguete maera: b) Y: valor máxmo de los valores observados R,, 3,, 6 Y La v.a. Y : S RY queda defda de la sguete maera: max x, x Y s

4 c) Z: promedo de los valores observados R Z, 6 La v.a. Z: S R queda defda de la sguete maera: x x Z s z Cómo podemos calcular la probabldad de evetos asocados a daremos la defcó de evetos equvaletes. R X? Para esto Defcó: Sea u expermeto y S el espaco muestral asocado al expermeto. Sea X ua varable aleatora defda e S y sea R X su recorrdo. A S y B RX so evetos equvaletes s : A ss X s B A y B so evetos equvaletes sempre que ocurre jutos, esto es, sempre que A ocurre B ocurre y vceversa. S A ocurró, etoces se obtuvo u resultado s para el cual X s B y, por lo tato, ocurró B. Recíprocamete, s B ocurró, se observó u valor X s para el cual s A y por lo tato A ocurró. Defcó: Sea B u eveto e el recorrdo PA P B, dode y A S R X, etoces defmos PB como sgue. es u eveto equvalete a B, : A ss X s B Ejemplo: Cosderemos el expermeto. 5 : Se arroja ua moeda tres veces y se observa la sucesó de resultados (cara (c), cruz (X)). Supogamos que la moeda o está cargada. Por lo tato S5 ccc,ccx,cxc, xcc, xxc, xcx,cxx, xxx P C P X Cosderemos la varable aleatora X: úmero de caras que se obtee e los tres lazametos. RX,,,3, y cosderemos el eveto B RX defdo por B

5 Puesto que X ccx X xcc X cxc A ccx,cxc, xcc es equvalete al eveto B. Por lo tato: PX PAPccxPxccPcxc 8 Ejercco: Calcular PX, P X, P X 3 Ejemplo: Se laza dos dados ormales y se aota los resultados el resultado observado e el -ésmo dado,. x, x,6,6 S a) X: suma de los valores observados. RX,3,, La v.a. X : S RX queda defda de la sguete maera: X s x x Determar PX para RX Veamos el caso partcular de 8 x, x dode x es 5 PX 8 P ss: X s8 P,6, 6,, 4,4, 5,3, 3,5. Dado que 36 los 36 elemeto del espaco muestral so gualmete posbles o probables. De la msma maera podemos realzar el cálculo para todo,, P X

6 b) Y: máxmo de los valores observados. Y R,,, 6 La v.a. Y : S RY queda defda de la sguete maera: max x, x Y s Determar P X para RX Veamos el caso partcular de 3 PX P ss: X s P,,,,,. Dado que los elemeto del espaco muestral so gualmete posbles o probables. De la msma maera podemos realzar el cálculo para todo,, P X

7 Varables aleatoras dscretas Defcó: Sea X ua varable aleatora, s su rago o recorrdo R X es fto o fto umerable dremos que X es ua varable aleatora dscreta. Es decr podemos escrbr 3 R x, x, x,. X Defcó: Sea X ua varable aleatora dscreta co recorrdo R X. x RX asocamos u úmero PX x llamado probabldad de x tal que: : P x P X x ss X s x P x x R a) b) Px X La fucó así defda se llama fucó de probabldad de la v. a. X. El cojuto de x, P x se llama dstrbucó de probabldades de la v. a. X. pares ordeados Iterpretacó gráfca:

8 Ejemplo: U lote de 8 calculadoras cotee 3 defectuosas. Cosderemos el sguete expermeto: Se seleccoa ua calculadora al azar y se la prueba, reptédose la operacó hasta obteer ua calculadora o defectuosa. Hallar la dstrbucó de probabldades de la v.a. X: úmero de extraccoes que se realza hasta obteer ua claculadora o defectuosa.,,,,,3,4 S D DD DDD DDDD R X x P X x P X x ) Sea X ua v. a. dscreta cuyo recorrdo es,,3. a) Probar que es ua legítma fucó de probabldades. P x se cumple por defcó x? j P X a q PX xj j b) Calculas PX es par sere geométrca de razó a 4 P X es par j j 4 3 q 4 P X x j j RX y además

9 Expermeto Beroull: es dcotómco, sólo so posbles dos resultados: éxto o fracaso. S éxto, fracaso. Podemos Su espaco muestral asocado puede defrse como: defr ua v.a. X : S, tal que X éxto y X fracaso. S la probabldad de éxto es p ( p podemos costrur la sguete dstrbucó de probabldades : ) y la probabldad de fracaso es p x p x p p p p La ateror dstrbucó de probabldades se deoma dstrbucó de Beroull. Ejemplos: a) El lazameto de ua moeda co probabldad p de cara y probabldad p de cruz. b) Que u artículo extraído al azar de ua líea de produccó sea defectuoso o o defectuoso. c) Obteer u úmero par o mpar al arrojar u dado. Fucó de dstrbucó acumulada (FDA) s x Fx p s x s x

10 Dstrbucó Bomal Ua varable aleatora Bomal puede cosderarse como ua suma de varables aleatoras Beroull depedetes, esto es, ua v. a. Bomal aparece cuado estamos teresados e el úmero de veces que u suceso A acurre (éxto) e pruebas depedetes de u expermeto de tpo Beroull. Cosderemos u expermeto y sea A u eveto o suceso asocado a. Cosderemos també que la probabldad de que A ocurra e u teto es p (probabldad de éxto), etoces la probabldad de que A o ocurra es p. Defmos la v. a. X cómo: X s A ocurre s A o ocurre X tee ua dstrbucó Beroull co dstrbucó de probabldades dada por: x p x p p Cosderemos repetcoes depedetes del expermeto. Por lo tato el espaco muestral queda defdo por S a : A,o a a A (el cardal de este cojuto es ). Defmos la v. a. X: úmeros de veces que ocurre el eveto A e las repetcoes depedetes RX,,,,, X X Cosderemos u elemeto partcular del espaco muestral del expermeto que satsfaga la codcó X, es decr, el úmero de veces que ocurre el suceso A es.

11 Tal resultado aparecería, por ejemplo, s las prmeras repetcoes del expermeto resulta e la ocurreca de A, metras que las últmas repetcoes resulta A. AAAAAA Puesto que todas las repetcoes so depedetes la probabldad de esta secueca partcular es: p p De cuatas maeras puedo elegr poscoes para A e? Cuátos resultados P X? está asocados co Número combatoro, os permte determar el úmero de formas de escoger elemetos a partr de u cojuto de elemetos. Formalmete:!!( )! PX p p,,, Defcó: X es ua varable aleatora co dstrbucó Bomal, X B, p dstrbucó de probabldades está dada por: PX p p,,, dode p ( p costate) y es u úmero etero postvo. Característcas: s su Mde el úmero de éxtos e ua secueca de esayos depedetes de Beroull co ua probabldad fja p de ocurreca del éxto etre los esayos. Para usar el modelo se requere que haya: a) N repetcoes depedetes. b) el resultado de cada prueba es dcotómca. c) PA p, p costate, e las pruebas depedetes.

12 Veamos que P así defda es ua legítma dstrbucó de probabldades. a) PX,, por defcó. b) PX, se prueba fáclmete a partr del teorema del bomo de Newto x y x y. P X p p p p x y Ejemplo: Se sabe por experecas aterores que la probabldad de que ua máqua produzca u artículo defectuoso es.. E ua hora ua máqua produce artículos. a) Cuál es la probabldad de que ua máqua produzca algú artículo defectuoso e ua hora de produccó? Solucó/ Sea X: úmero de artículos defectuosos producdos por ua máqua durate ua hora de X B,. produccó. Al meos u artículo defectuoso, debemos calcular PX ( ) PX ( ) PX ( )...8 b) S la fábrca posee máquas, cuál es la probabldad de que a lo sumo de ellas produzca algú artículo defectuoso durate ua hora de produccó? Solucó/ Sea Y: úmero de máquas que produce al meos u artículos defectuosos durate ua Y B,.8 hora de produccó. A lo sumo dos produzca al meos u artículo defectuoso, debemos calcular PY ( ) PX ( ) PX ( ) PX ( )

13 Aálss de la gráfca de la dstrbucó bomal a partr del y p Smétrca: S p.5 la dstrbucó bomal será smétrca depedetemete del tamaño de la muestra. Sesgada a derecha: S p la dstrbucó bomal tedrá sesgo haca la derecha. Sesgada a zquerda: S p la dstrbucó bomal tedrá sesgo haca la zquerda.

14 Dstrbucó Hpergeométrca: Cuado estudamos la dstrbucó Bomal la probabldad p de éxto permaecía costate para cada ua de las pruebas depedetes. Cosderemos el sguete caso: De ua caja que cotee N bolas de las cuales a so rojas ( a N ) se escoge al azar ua bola s reemplazo o susttucó y defmos la varable aleatora: X: úmero de bolas rojas extraídas e las repetcoes, R,,, a Cuál será la probabldad de obteer bolas rojas? a X Número de casos posbles P X N de casos favorables de casos posbles dferetes formas de tomar bolas de las N. Para calcular el úmero de casos favorables observemos que N an a. De las a bolas rojas queremos y de las N a bolas o rojas queremos a dferetes formas de tomar bolas rojas de a. N a dferetes formas de tomar bolas o rojas de las N a. Por lo tato los casos favorables so an a Por lo tato: an a PX,,,, a N

15 Formalmete: Defcó: Se dce que X es ua varable aleatora co dstrbucó hpergeométrca, co parámetros Na,, s su dstrbucó de probabldades está dada por: an a PX,,, a N Dode: : Tamaño de la muestra. N: Tamaño de la poblacó a: úmero de éxtos e la poblacó. N-a: úmero de fracasos e la poblacó. : úmero de éxtos e la muestra. Observacoes: Ua varable Hpergeométrca es geerada segú las sguetes codcoes ) N pruebas o depedetes. ) El resultado de cada prueba es dcotómco. 3) PA o se matee costate, es decr, varía co cada prueba. Ejemplo: La produccó dara de 85 partes cotee 5 que o cumple co los requermetos del clete. Se toma 4 partes al azar, s susttucó, de la produccó del día, cuál es la probabldad de que gua de las partes cumpla co los requermetos del clete? X: úmero de partes que o cumple co los requermetos del clete PX ( 4)

16 Varable aleatora de Posso. Muchos hechos o ocurre como resultado de pruebas de u expermeto, so e putos de tempo, espaco o volume, es decr, estamos teresados e el úmero de ocurrecas (defectos) por udad de medda. Sea X ua varable aleatora que toma los valores posbles,,,. S su fucó de probabldades está dada por: e P X,,! decmos que X tee ua dstrbucó de Posso co parámetro, y se ota Po. Iterpretacó: La dstrbucó de Posso expresa, a partr de ua frecueca de ocurreca meda, la probabldad de que ocurra u determado úmero de evetos durate certa udad de medda. Veamos que P así defda es ua legítma dstrbucó de probabldades. a) P X, por defcó. P X, b)? e P X e e e!! e escte. e portaylor Observacoes: Ua varable de Posso es geerada segú las sguetes codcoes: ) El úmero de ocurrecas es depedete de ua udad a otra, es decr los sucesos ocurre depedetemete. ) La frecueca de ocurreca meda, es proporcoal al tamaño de la udad. 3) La probabldad de más de ua ocurreca e ua udad cada vez más pequeña tede a cero, es decr es desprecable.

17 Ejemplo: El sstema de estacoameto meddo mpulsado por la mucpaldad de Gral. Pueyrredo está % formatzado. Esto permtó modelar el úmero de fraccoes medate u modelo de Posso co ua tasa de cco fraccoes por hora. a) Cuál es la probabldad de que exactamete cuatro fraccoes se expda durate ua hora e partcular? Solucó: X: úmero de fraccoes e hora. X P, e.5 PX ! b) Cuál es la probabldad de que por lo meos cuatro fraccoes se expda durate ua hora e partcular? Solucó: X : úmero de fraccoes e hora. X P, 5 PX 4PX P X P X P X e.5 e.5 e.5 e.5 PX !!! 3! c) Cuátas fraccoes se espera expedr durate u período de 45 mutos? Solucó: Y P, debemos ajustar el al Y: úmero de fraccoes e 45 mutos. uevo tervalo EY 3.75 La dstrbucó de Posso como aproxmacó a la Bomal. Cuado e ua dstrbucó bomal el úmero de tetos ( ) es grade y la probabldad de éxto ( p ) es pequeña, la dstrbucó bomal coverge a la dstrbucó de Posso co parámetro p. Qué sucede co las probabldades Bomales PX p p y p de maera tal que p permaezca costate, es decr, p. cuado

18 Cosderemos la expresó geeral para ua v. a. co dstrbucó Bomal co X B, p. parámetros y p, es decr,! P X p p p p!!! p!! p p! p Lamemos p, etoces p y p. Susttuyedo todos los térmos que cotee a p por su expresó equvalete e fucó de, obteemos: PX!!! S hacemos teder PX!! e!! e Es decr e el límte obteemos la dstrbucó de Posso co parámetro p. E la práctca podemos aproxmar la dstrbucó Bomal por la dstrbucó de Posso s se verfca que 5 y p 5.

19 Varables aleatoras cotuas Defcó: Se dce que ua v.a. X es ua varable aleatora cotua, s exste ua fucó f :, llamada fucó de desdad de probabldades (fdp) de X que satsface las sguetes codcoes. a) f x x b) f xdx c) ab, tal que a b Iterpretacó gráfca: b P a X b f x dx a Alguas cosderacoes x P X x f x dx a) x La probabldad cero o sgfca que el suceso sea mposble, es decr s A es el cojuto vacío etoces P(A)=, pero el recíproco o es certo. Por lo tato Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b * * b) S f x x y podemos covertrla de la sguete maera: f x dx etoces o es ua legtma fdp. Pero x * f f x x c) S X toma valores e el tervalo ab, podemos defr f x x ab,. d) f x o represeta gua probabldad. Sólo cuado se la tegra etre los límtes expresa algua probabldad.

20 Ejemplo: Sea f x defda por f x s, s x, x x x Halla u valor de de maera tal que f x sea ua legítma f.d.p f xdx dx x x dx dx xx dx 3 xx dx x x Ejemplo: co la f.d.p ateror hallar: a) b) 3 P x 6 xx dx 6 x x P x 3 PA B P x x 3 4 PB 97 P x A B 4 3 Fucó de dstrbucó acumulada (FDA) Sea X ua varable aleatora dscreta o cotua. La fucó de dstrbucó acumulada F se defe como: F x P X x x ) S X es ua v.a.d etoces F x P xj j que satsface x j x. xj x x ) S X es ua v.a.c etoces Fx f sds sedo X.. La suma se toma sobre todos los ídces f s la f.d.p. asocada a la v. a.

21 Propedades de la FDA - F es o decrecete, es decr s x x F x F x - lm F x y F x x lm x ' 3- S f es la fdp de X etoces f x F x x dode F es dferecable. 4- Pa X b Fb Fa Regla de Barrow. Ejemplo: Sea X ua v.a dscreta co la sguete dstrbucó de probabldades x 3 4 p x Ejemplo: Sea Hallar la FDA. s x s x 4 Fx s x s 3 x s x 4 f x x x x F x f s ds ds - S x s x, 6x x s x, - S x Fx f sds ds x x 3- S x Fx f sds ds x x 6s s dx 6 s s 3x x 3 6s s dx ds s x Fx x x x s x 3 3 s x 3 3 x 3 6 s s 3

22 Característcas umércas de las varables aleatoras: Co cada dstrbucó de probabldades podemos asocar certos parámetros que da formacó valosa acerca de la dstrbucó. Mometos: El mometo -ésmo para ua varable aleatora dscreta respecto al orge se defe como: x px E X Defcó: Sea X ua varable aleatora dscreta co fucó de probabldades x, P x para,,. Se llama valor esperado de X o esperaza matemátca de X a: x px E X E X exste s la sere x px coverge e valor absoluto, es decr, xpx. A este úmero també se lo llama valor promedo de X. Observacoes: ) S X toma u úmero fto de valores,,, x px E X Podemos terpretar la esperaza matemátca como u promedo poderado de los valores posbles de la v.a. ) S todos los valores posbles de la varable so gualmete probables, es decr, px, la esperaza matemátca queda defda como: E X x (Promedo de los x )

23 Ejemplo: U lote de 8 calculadoras cotee 3 defectuosas. Se seleccoa ua al azar y se la prueba, reptedo la operacó hasta que aparezca ua calculadora o defectuosa. La dstrbucó de probabldades de la varable aleatora X: úmero de extraccoes que se hace está dada por,,,,,3,4 S D DD DDD DDDD R X La dstrbucó de probabldades queda defda por: x 3 4 p x Ex x px 3 4, Iterpretacó: se espera que la calculadora o defectuosa aparezca etre la prmera y seguda extraccó. Observacó: s el valor esperado de ua v.a. dscreta o es exacto, la terpretacó debe hacerse etre los extremos compreddos, ya que la varable es dscreta. Ejemplo: Cosderemos el expermeto de lazar dos dados y sea X la varable aleatora suma de los valores observados., :,,6,3,, S x x x x R X La dstrbucó de probabldades queda defda por: x p x x px E x Iterpretacó: se espera que la suma de los putos obtedos al arrojar dos dados sea 7 o que la esperaza de la suma sea 7.

24 Defcó: Sea X ua v. a. cotua co f.d.p, f, defda para todo x. Se llama valor esperado de la v. a. cotua X o esperaza matemátca de X a: E x x. f x dx E X exste s exste xf. x dx. Ejemplo: Hallar la esperaza matemátca de la v. a. cotua co f.d.p dada por: f x E x x. f x dx x.dx x s x, s x, x. xdx x. dx x dx 3 Ejemplo: Hallar la esperaza matemátca de la v. a. cotua co f.d.p dada por: f x s x, 6x x s x,.. E x x f x dx x dx x.6x x dx x. dx 3 6 x x dx La esperaza matemátca cocde, e este ejemplo, co el puto medo del tervalo. Esto se da porque la fucó etre y es smétrca.

25 Ejemplo: la duracó e horas de certo dspostvo electróco es ua v. a. co fucó desdad de probabldades dada por: f x x e s x s x Supoedo que el costo de fabrcacó de tal dspostvo es de $ y que el fabrcate vede el artículo e $5, pero garatza u reembolso total del dero s la duracó e horas es meor a. y devuelve la mtad s la duracó e horas es mayor o gual a. y meor o gual a.4. cuál es la utldad eta esperada por artículo? X: duracó e horas del dspostvo. U: utldad R,5,3 U El suceso x. es equvalete a U=- El suceso. x.4 es equvalete a U=5 El suceso x.4 es equvalete a U=3 u p u x x.. PU P x. f xdx e dxe e x x PU5 P.x.4 f xdx e dxe e e.5 x x PU3 P x.4 f xdx e dx dxe e e.67 Luego, EU ,5 Iterpretacó: S se produce u gra úmero de dspostvos electrócos, el fabrcate espera gaar 7,5 por dspostvo, ya que perderá $ el 8% de las veces, gaará $5 alrededor del 5% de las veces y gaará $3 el 67% de las veces.

26 Propedades del valor esperado: ) S X cte etoces E X c ) E cx ce X para toda costate c. 3) E X Y EX EY, (X e Y v.a.) 4) E X Y EX EY 5) E XY E X E Y s X e Y so v.a. depedetes. 6) Cosderado las propedades, y 3 teemos que E ax bae X b Demostracó: etoces E X c Por defcó de E X teemos que: ) S X cte E X x f x dx c f x dxc f x dxc por fdp ) E cx ce X Por defcó de E X teemos que: para toda costate c. E cx cx f x dx c x f x dx c x f x dx ce X E x 3) E X Y EX EY, (X e Y v.a.) 4) E X Y EX EY E X Y EX ( Y) E X EY E X EY

27 Meddas de Varabldad: Defcó: Llamaremos desvacó respecto de la meda a la v. a. Propedad de la desvacó: D X E X Demostracó: E D E X E X ED EX EX EXE EX E X E X cte Defcó: La varaza de ua v. a. X se defe como: V X E X E X E palabras, la varaza de ua v. a. X es la esperaza matemátca del cuadrado de la desvacó de X respecto de su esperaza. a) S X es ua v.a.d b) S X es ua v.a.c V X x E X p x V X x E X f x dx Defcó: La dspersó o desvacó estadar de ua v.a. X se defe como X V X. Ambos valores mde la dspersó de los datos. Observar que la dspersó lo hace co las msmas udades de los datos.

28 Otra forma de expresar la varaza es la sguete: Dem/ V X E X E X V X E X E X E X XE X E X E X E X E E X E E X E X E X E X E X E X cte cte Propedades de la Varaza: ) S X cte etoces V X ) V X c V X para toda costate c. 3) V cx c V X para toda costate c. 4) VX YVX VY, (X e Y v.a. depedetes) 5) VX YVX VY Demostracó/ ) S X cte etoces V X V X E X E X E c E c c c ) V X cvxpara toda costate c. V X c E X c E X c E X cx c E X c E X ce X c E X ce X c E X E X V X

29 Ejemplo: cosderemos el ejemplo de las calculadoras: U lote de 8 calculadoras cotee 3 defectuosas. Se seleccoa ua al azar y se la prueba, reptedo la operacó hasta que aparezca ua calculadora o defectuosa. La dstrbucó de probabldades de la varable aleatora X: úmero de extraccoes que se hace está obteer ua calculadora o defectuosa está dada por: S D, DD, DDD, DDDD R X,,3,4 La dstrbucó de probabldades queda defda por: x 3 4 p x V x,5,5 3,5 4,5, V x EX EX 3 4,5, EX Luego X,5357,739. Ejemplo: Calcular la varaza y la dspersó de la v.a. X cuya f.d.p está dada por: f x V X E X E X 3 8 x s x, s x, E x x. f x dx x.dx x. xdx x. dx Ejercco: calcular la varaza utlzado la otra defcó 3 4 x dx x V x x.xdx 3

30 Característcas umércas de alguas dstrbucoes teórcas Dstrbucó de Beroull. x p x p p p p Esperaza matemátca: Varaza: E X x p x p p p V X E X E X E X x p x p p p V X E X E X p p p p Esperaza y varaza de matemátca de la dstrbucó bomal EXPX p p p p p p! p p!!! pp!! p Llamemos y y,,, y teemos: E X!! y y pp p p p p p!! y! y! y

31 Otra forma: cosderemos a X como ua suma de varables aleatoras p V X p p Beroull depedetes cada ua co E X y varaza 3 X X X X X X E X E X EX X X3 X EX EXp V X V X V X X X3 X V X V X p p Esperaza y varaza de matemátca de la dstrbucó hpergeométrca E X a N p a a N V X N N N Esperaza y varaza de matemátca de la dstrbucó hpergeométrca Sea X ua v. a. tal que X P EXV X e e EXPX!! t! t t! e e e e e por Taylor De forma aáloga se prueba que V X Cuatles de ua v. a. cotua: e! E estadístca descrptva djmos, por ejemplo, que el percetl deja aproxmadamete el % de los datos a la zquerda. O equvaletemete el % de los datos so meores que el percetl. S X es ua varable aleatora cotua, su percetl es el valor que deja u área de, a la zquerda e la fdp de la varable. E geeral se llama cuatl al valor x tal que: x P X x f x dx

32 Ejemplo: la demada semaal de ua determada marca de gaseosas, medda e mles de ltros, es ua v.a. cotua co fdp dada por: x x s x, s, f x a) Determar la demada esperada semaal e terpretar... E x x f x dx x dx x. x dx x. dx 3 4 x dx x Rta: se espera que la demada semaal sea del, 6 mles de ltros. b) Cuátos ltros correspode al meos al 75% de la demada semaal? q P X q f x dx, 5 Ejemplo: La sguete fdp represeta el tempo de lleado de certo recpete, expresado e horas: 3 x x, f x x, 5 x 35 e otro caso a) Determar e forma aalítca el percetl 85. P85 P X P85 f x dx,85 Veamos e que tramo se ecuetra..5 3 x dx,8 Por lo tato el P85 está e el otro tramo. 45 P85 P85,5,5 P xdx,85 xdx.5 x Buscado las raíces de la ecuacó cuadrátca teemos que P (descartamos el valor por o perteecer al tervalo) Cómo determaría el P 85 gráfcamete? Buscamos la FDA

33 Medaa de ua v.a. cotua: La medaa de ua v.a cotua es el valor m e tal que m e e,5 o e,5 P X m f x dx P X m f x dx Ejemplo: Ua v.a. cotua X tee la sguete fdp f x 3, 4 x, x x a) Determar aalítcamete la medaa. m e 3 PX me f xdx dx 3x dx x x me me me me 4me mme, me 4 me m e m e Moda de ua v.a cotua: es el valor de X para el cual máxmo (s la fdp tee u solo máxmo) f x toma su valor S f y ' f so dervables e a, a es u máxmo relatvo o local s cumple f a ) ' ) '' f a Ejercco: determar la moda de la v.a. cotua cuya fucó desdad de probabldades está dada por: f x mo s x, 6x x s x,