PROBABILIDAD. Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento ó en el orden de colocación de éstos.

Transcripción

1 PROBABILIDAD CPR. JORGE JUAN Xuva-Naró Para determar la catdad de grupos que se puede formar que cumpla determadas codcoes exste los sguetes métodos de recueto: Dagrama de árbol Varacoes ordaras Dados, m elemetos, tomados de,, e,, m, so los dsttos grupos que se puede formar co los, m, elemetos de maera que: E cada grupo etre,, elemetos dsttos. Dos grupos so dsttos s se dfereca e algú elemeto ó e el orde de colocacó de éstos. El úmero de grupos que se puede formar que cumpla las codcoes aterores vee dado por Vm, Vm m.( m ).( m 2)...( m ) Cuátos úmeros de tres cfras se puede formar co los dígtos,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, s que se repta gua cfra?. V9, úmeros La badera de u país está formada por tres frajas horzotales de gual achura y dstto color. Cuátas baderas dsttas se podrá formar co los sete colores del arco rs?. V7, baderas dsttas De cuátas formas dsttas se puede setar, 2, alumos e los cuatro asetos de la prmera fla de la clase?. Y s el prmer puesto está sempre reservado para el delegado?. V2, formas V2, formas Varacoes co repetcó Dados, m elemetos, tomados de,, e,, m, so los dsttos grupos que se puede formar co los, m, elemetos de maera que: E cada grupo etre,, elemetos repetdos ó o. Dos grupos so dsttos s se dfereca e algú elemeto ó e el orde de colocacó de éstos. El úmero de grupos que se puede formar que cumpla las codcoes aterores vee dado por probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 553

2 VRm, VRm m. m. m..... m m Resolver, VR x,2 + 5.VR x-2,2 = 244 VR x,2 + 5.VR x-2,2 = x (x-2) 2 = 244 x= 8 x= 4 o tee setdo 3 E el alfabeto Morse se utlza dos símbolos, el puto y la raya. Cuátos caracteres dferetes es posble obteer tomado,, 2, 3, ó, 4, símbolos?. caracteres formados por u solo símbolo, VR 2, = 2 = 2 caracteres formados por dos símbolos, VR 2,2 = 2 2 = 4 caracteres formados por tres símbolos, VR 2,3 = 2 3 = 8 caracteres formados por cuatro símbolos, VR 2,4 = 2 4 = 6 caracteres dferetes e total: = 30 Cuátos úmeros de tres cfras se puede formar co los dígtos, 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pudédose repetr las cfras?. VR 0,3 = 0 3 = 000 úmeros de estos, 000 úmeros habrá que elmar los que empece por, 0, pues estos o sería de tres cfras VR 0,3 - VR 0,2 = = = 900 úmeros Se laza tres dados de dsttos colores u vez. Cuátos resultados dsttos se puede obteer?. VR 6,3 = 6 3 = 26 resultados Permutacoes ordaras Dados, elemetos, tomados de,, so los dsttos grupos que se puede formar co los,, elemetos de maera que: E cada grupo etre los,, elemetos. Dos grupos so dsttos s se dfereca e el orde de colocacó de éstos elemetos. El úmero de grupos que se puede formar que cumpla las codcoes aterores vee dado por P = V, =.(-).(-2)...(-+)=.(-).(-2) =! se verfca!=.(-).(-2) !=!= probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 554

3 V, = m! ( m )! P =! PC = P - Las permutacoes crculares s se desplaza e u msmo setdo los elemetos el grupo que resulta es détco al ateror. De cuátas formas dsttas puede setarse ocho persoas e u baco?. P 8 = = formas La prmera dvsó de fútbol de la lga española la compoe, 20 equpos. Ce cuátas formas se puede clasfcar al fal del campeoato?. P 20 = = formas Cuátas palabras se puede formar co ocho letras de forma que dos de ellas esté sempre jutas y guardado el msmo orde?. P 7 = = 5040 palabras De cuátas formas se puede setar ocho persoas e ua mesa crcular?. hay que teer e cueta que ua vez setadas, s se traslada cada persoa u aseto a la zquerda se obtee ua poscó détca a la ateror. Por ello se fja ua persoa y se permuta al resto de todas las formas posbles P 7 = = 5040 formas Permutacoes co repetcó Dados, elemetos, dode el prmer elemeto se repte, a, veces, el segudo elemeto se repte, b, veces,..., el últmo elemeto se repte, k, veces, de forma que a+b+c+...+k= so los dsttos grupos que se puede formar de maera que: E cada grupo de,, elemetos, el prmer elemeto está, a, veces, el segudo elemeto está, b, veces,... Dos grupos so dsttos s se dfereca e el orde de colocacó de éstos elemetos. El úmero de grupos que se puede formar que cumpla las codcoes aterores vee dado por a, b,..., k! P a!. b!... k! probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 555

4 De cuátas formas se puede alear ocho sgos, +, y ses sgos, -. 8,6 4! P !.6! U jugador habtual de quelas tee la corazoada de que la próxma jorada gaará, 9, equpos e casa, empatará, 3, y gaará e campo cotraro, 2. Cuátas quelas deberá de rellear para asegurarse u pleo de, 4?. el elemeto,, aparece, 9 veces el elemeto, x, aparece, 3 veces el elemeto, 2, aparece, 2 veces 9,3,2 4! P quelas 9!.3!.2! Combacoes ordaras Dados, m elemetos, tomados de,, e,, m, so los dsttos grupos que se puede formar co los, m, elemetos de maera que: E cada grupo etre los,, elemetos dsttos. Dos grupos so dsttos s se dfereca e algú elemeto pero o e el orde de colocacó de éstos. El úmero de grupos que se puede formar que cumpla las codcoes aterores vee dado por C V m.( m )...( m ) m.( m )....( m ). ( m )! m! m, m, Cm P!!. ( m )! ( m )!.! m Como respuesta a u auco de trabajo se preseta, 2, persoas para cubrr tres plazas de admstratvo. Cuátos grupos de tres persoas se puede formar?. C V ,3 2,3 220 grupos P Cuátos trágulos se puede formar co ocho putos e el plao st res de ellos uca está aleados?. C V ,3 8,3 P Resolver la ecuacó, 3.C x,3 5.C x-2 = 8.C x, x.( x ).( x 2) x.( x ) x 6 2 x x 8x 9x 0 x.( x 8x 9) 0 x 9 solucó, x= 9, pues ha de ser postva x probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 556

5 A la expresó, m, se le cooce como úmero combatoro y tee las sguetes propedades referdas al trágulo de Tartagla : Todas las flas empeza y acaba e,. m 0 m m Todas las flas so smétrcas. m m m Cada úmero de cada fla se obtee sumado los dos que tee ecma de la fla aeror, excepto los extremos que so,. m m m La suma de todos los umerous de la fa, es, 2. m m m m m m U expermeto aleatoro es aquel que repetdo e détcas codcoes produce resultados dferetes. E u expermeto aleatoro es mposble saber de atemao el resultado del msmo. E otro caso se drá que es determsta. Se defe los sguetes coceptos: Prueba Es toda realzacó de u expermeto aleatoro. Muestra Es u cojuto de pruebas de u expermeto aleatoro. Uverso o espaco muestral Es el cojuto de todos los resultados posbles a que puede dar lugar u expermeto aleatoro. Este cojuto se desga por, E, y a sus elemetos se les llama putos muestrales. La catdad de elemetos que cotee este cojuto se le cooce por cardal de E, Card (E). probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 557

6 S a cada uo de los elemetos del espaco muestral, E, se le asga u úmero real etoces lo que se ha hecho ha sdo defr ua fucó, X, deomada varable aleatora desde el espaco muestral, E, sobre el cojuto de los úmeros reales, R, de forma que se escrbe X: E R Depededo del úmero de elemetos que cotee el cojuto mage, Im(X), de esta fucó las varables aleatoras puede ser: Dscreta ó Fta La varable aleatora, X, ta solo puede tomar uos certos valores reales. Card (E)= N E u expermeto aleatoro e el que la varable aleatora, X, es dscreta se defe los sguetes coceptos: Suceso aleatoro Es cada uo de los posbles resultados que se puede obteer e u expermeto aleatoro. Suceso elemetal Es aquel que está formado por u solo resultado. Suceso compuesto Es aquel que está formado por más de u resultado. Está formado por dos ó más sucesos elemetales. Suceso seguro Es aquel que ocurre ó se preseta sempre. Se represeta por, E. Suceso mposble Es aquel que o ocurre ó o se preseta uca. Se represeta por,. Suceso cotraro ó complemetaro, A, del suceso, A Dado el suceso, A, el suceso cotraro, A, es aquel que está formado por todos los sucesos elemetales del espaco muestral que o está cludos e el suceso, A. El suceso cotraro, A, se realza sempre que o se presete el suceso, A. Dado el expermeto aleatoro que cosste e lazar u dado y aotar la putuacó obteda. Espaco muestral y defr sus sucesos elemetales. Idcar dos sucesos compuestos. E={,2,3,4,5,6} los sucesos elemetales so: {}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} dos sucesos compuestos so: obteer u úmero par, A= {2,4,6} obteer u dvsor de, 6, B= {,2,3,6} probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 558

7 Co los sucesos se puede realzar las sguetes operacoes: Dfereca de sucesos Se llama dfereca, A - B, de dos sucesos, A, y, B, al suceso obtedo por la terseccó del prmer suceso, A, co el suceso cotraro al segudo suceso, B A - B= A B Uó de sucesos, A B Dados dos sucesos, A, y, B, de u msmo expermeto aleatoro, se llama suceso uó de, A, y de, B, y se represeta por, A B, al suceso formado por los sucesos elemetales que hay e el suceso, A, y e el suceso, B. El suceso uó se realza cuado se realza el suceso, A, ó el suceso, B. Cualquer suceso compuesto se puede expresar como uó de sucesos elemetales. Iterseccó de sucesos, A B Dados dos sucesos, A, y, B, de u msmo expermeto aleatoro, se llama suceso terseccó de, A, y de, B, y se represeta por, A B, al suceso formado por los sucesos elemetales comues que hay e el suceso, A, y e el suceso, B. El suceso terseccó se realza cuado se realza smultáeamete los sucesos, A, y, B. Sucesos compatbles Dos sucesos, A, y, B, de u msmo expermeto aleatoro so compatbles s o puede ocurrr smultáeamete. Se caracterza porque su terseccó es el cojuto vacío. A B= Sucesos compatbles Dos sucesos, A, y, B, de u msmo expermeto aleatoro so compatbles s puede ocurrr smultáeamete. Se caracterza porque su terseccó o es el cojuto vacío. A B La operacó co sucesos tee las sguetes propedades: A B A B A B A B A A probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 559

8 E el expermeto aleatoro cosstete e lazar u dado y observar la putuacó obteda, hallar dos sucesos compatbles, dos sucesos compatbles, u suceso seguro y u suceso mposble. sea los sucesos: sacar úmero par, A= {2,4,6} salr múltplo de, 3, B= {3,6} salr poteca de, 2, C= {,2,4} salr úmero meor que, 0, D salr, 7, F los sucesos, A, y, B so compatbles porque s sale el úmero, 6, se verfca ambos. los sucesos, B, y, C, so compatbles porque guo de esos úmeros puede ser al msmo tempo múltplo de, 3, y poteca de, 2. el suceso, D, es u suceso seguro. el suceso, F, es u suceso mposble. Ua técca muy utlzada para obteer el especo muestral de u expermeto aleatoro es: Dagrama de árbol a (,a) S u suceso se puede obteer por más de u camo del dagrama b (,b) de árbol, su probabldad se obtee sumado las probabldades de a (2,a) todos los camos de ese suceso. 2 b (2,b) a (3,a) 3 b (3,b) Producto cartesao Dados dos cojutos, A, y, B, se deoma producto cartesao de A por B, AxB, al cojuto de todos los pares ordeados, (a,b), defdo de la forma: AxB= (a,b) / aa, bb Se verfca: (a,b) (b,a) Gráfcamete el producto cartesao, AxB, de los cojutos, A, y, B, se puede represetar medate el dagrama rectagular f (,f) (2,f) (3,f) e (,e) (2,e) (3,e) d (,d) (2,d) (3,d) c (,c) (2,c) (3,c) b (,b) (2,b) (3,b) a (,a) (2,a) (3,a) 2 3 S e u expermeto aleatoro se realza, -pruebas, y de ellas, r-veces, se preseta el suceso, A, se defe: probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 560

9 Frecueca absoluta del suceso, A Al úmero de veces que se preseta dcho suceso. F(A)= r Frecueca relatva del suceso, A Al cocete etre la frecueca absoluta y el úmero de veces que se realza el expermeto aleatoro. r f ( A) Las frecuecas relatvas tee las sguetes propedades: La frecueca relatva de u suceso, A, es u úmero compreddo etre, 0, y,. F(A)= r es evdete que, r <, por lo que se deduce 0 < r < dvdedo todos los térmos por, 0 r de dode, 0 < f(a) < La frecueca relatva del suceso seguro, E, es, f ( E) La frecueca relatva del suceso mposble,, es, 0 0 f ( ) 0 La frecueca relatva de la uó de dos sucesos compatbles es gual a la suma de las frecuecas relatvas de estos sucesos. A, B compatbles AB= f(a)= A f(b)= B se verfca f(ab)= A + B dvdedo los dos membros por el úmero de veces que se reptó el expermeto aleatoro,, se probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 56

10 tee f ( A B) A B A B f(ab)= f(a) + f(b) Cuado u expermeto aleatoro se realza u úmero muy grade de veces, tato su frecueca absoluta como su frecueca relatva tede a aproxmarse a certos úmeros fjos, que se asoca co la probabldad del suceso. Esta tedeca se cooce como ley del azar. Se defe la probabldad como ua aplcacó que asoca a cada suceso, A, de u expermeto aleatoro u úmero etre, 0, y,, que mde la facldad de que ocurra ese suceso. 0 P(A) Cuato más se acerque la probabldad del suceso, A, al valor,, mayor es la facldad de que éste ocurra. Recíprocamete, cuato más se acero la probabldad del suceso, A, al valor, 0, más dfícl es que ocurra. La probabldad del suceso seguro, E, vale,. P(E)= La probabldad del suceso mposble,, vale, 0, P()= 0 La fucó probabldad así defda P: P(E) R verfca los sguetes axomas: La probabldad de u suceso, A, es u úmero compreddo etre, 0, y, AP(E), 0 P(A) La probabldad del suceso seguro, E, es la udad P(E)= Para todo par de sucesos, A, y, B, compatbles Dos sucesos so compatbles cuado u suceso está formado por otros varos de modo que: Se excluya mutuamete. S se presete uo de ellos se preseta el suceso orgal. etoces la probabldad del suceso orgal es la suma de las probabldades de los sucesos que lo forma. P(AB)= P(A) + P(B) La aplcacó probabldad así defda tee las sguetes propedades: La probabldad de la uó de sucesos compatbles dos a dos P(A A 2...A )= P(A ) + P(A 2 ) P(A ) probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 562

11 Regla de Laplace S el espaco muestral, E, está compuesto por los putos muestrales a, a 2,..., a que da lugar a los sucesos elemetales A, A 2,..., A y s todos estos sucesos tee la msma probabldad, se dce regulares P(A )= P(A 2 )=... = P(A )= p etoces se verfca = P(E)= P(A A 2...A )= P(A ) + P(A 2 ) P(A )= p + p p=.p la probabldad, p, de u suceso elemetal es pues p S u suceso, A, es uó de sucesos compatbles A= A A 2...A k se tee etoces P(A)= P(A ) + P(A 2 ) P(A k )= k k expresó de la que se deduce la Regla de Laplace: Cuado los resultados de u expermeto aleatoro tee todos la msma probabldad de ocurrr, la probabldad de u suceso, P(A), vee dada por el cocete etre el úmero de casos favorables al msmo, y el úmero de casos posbles úmeroodeecasossfavorablessallsucesooa P( A) úmeroodeecasossposbles Probabldad del suceso cotraro, A, al suceso, A Sea A, Ā sucesos cotraros e compatbles E= A Ā = A Ā se verfca = P(E)= P(A) + P(Ā) probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 563

12 de dode P(Ā)= - P(A) La probabldad del suceso mposble,, es cero E, so sucesos cotraros compatbles E= E = E se verfca = P(E)= P(E) + P()= + P() de dode P()= = 0 Probabldad de la uó de sucesos compatbles Sea A, B sucesos compatbles, AB A B se verfca: A-B AB B-A AB= (A-B) (AB) (B-A) A= (A-B) (AB) B= (B-A) (AB) como los cojutos, A-B, B-A, y, AB, so compatbles se verfca P(AB)= P(A-B) + P(AB) + P(B-A) esto msmo ocurre por u lado co los cojutos, A-B, y, AB, y por otro co los cojutos, B-A, y, AB, por lo que se puede escrbr P(A)= P(A-B) + P(AB) P(B)= P(B-A) + P(AB) expresoes de las que se puede despejar respectvamete P(A-B)= P(A) - P(AB) P(B-A)= P(B) - P(AB) resultados que susttudos e la expresó de la probabldad de la uó de los sucesos P(A B)= P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(A B)= P(A) + P(B) - P(AB) probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 564

13 La probabldad de que ua persoa use letes es, 0 6, la probabldad de que tega los ojos claros es, 0 6, y la probabldad de que use letes y tega los ojos claros es, Hallar la probabldad de que elegda ua persoa al azar: No use letes. Use letes ó tega los ojos claros. No use letes y o tega los ojos claros. se cosdera los sguetes sucesos: A, usar letes A, o usar letes B, teer los ojos claros B, o teer los ojos claros A B, usar letes y teer los ojos claros P( A )= -P(A)= -0 6= 0 4 P( A B) P( A) P( B) P( A B) = 0 68 la probabldad de o usar letes ó o teer os ojos claros es P( A B) P( A B) P( A B) = 0 48 Probabldad codcoada La probabldad de u suceso, B, cuado se sabe que ocurre el suceso, A, se deoma probabldad del suceso, B, codcoada al suceso, A, y se escrbe, P(B/A). Al usar la regla de Laplace para determar el valor de esta probabldad se ha de teer e cueta que el uevo espaco muestral, E, cocde co el suceso, A. E úmeroodeecasossdesb P( B) úmeroodeecasossdeee B AB A Cuado esta probabldad está codcoada a, A B/A A= E úmeroodeecasossdesbeee ' úmeroodeecasossesa B P( B / A) úmeroodeecasosseee ' úmeroodeecasosseee ' E ua clase hay,, ños y, 4, ñas. De ellos, 7, ños y, 0, ñas utlza teret habtualmete. S se escoge u estudate al azar, hallar la probabldad de los sucesos: Ser ña sabedo que utlza teret No utlzar teret sedo ño. dado que todos los alumos tee la msma probabldad de ser escogdos el expermeto es regular y se puede aplcar la regla de Laplace. se cosdera los sguetes sucesos: A, ser ña B, ser ño C, utlzar teret D, o utlzar teret ser ña codcoada a utlzar teret, A/C probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 565

14 úmeroddeñasqqueuutlza teret 0 P( A / C) 0'59 úmeroddeestudatesqqueuutlza teret 7 o utlzar teret codcoado a ser ño, D/B úmeroddeñosqqueuutlza t eret 7 P( D / B) 0'36 úmeroddeños Probabldad de sucesos depedetes Dos sucesos, A, y, B, so depedetes cuado la realzacó del suceso, A, o fluye e la realzacó del suceso, B, y recíprocamete. Cuado u suceso depede de que se presete cojutamete otros varos que so depedetes, la probabldad a la que da lugar se deoma compuesta y es gual al producto de las probabldades de dchos sucesos. P(AB)= P(A).P(B) Como caso partcular el segudo suceso puede ver codcoado por el prmero, los sucesos se dce depedetes, e cuyo caso la probabldad fal vee dada por la regla del producto P(A B)= P(A).P(B/A) Esta regla del producto se utlzar para obteer la probabldad codcoada coocdas las otras probabldades que etra e su expresó. S los sucesos so depedetes, P(B/A)= P(B). Probabldad de u suceso, A, cotedo e otro suceso, B Dado que B A B B-A se escrbe A B= A (B-A), = A (B-A) como los cojutos, A, y, (B-A), so compatbles se tee P(B)= P(A) + P(B-A) expresó de la que se deduce que, P(A) P(B). probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 566

15 E ua clase hay, 8, ños y, 2, ñas. De ellos, 5, ños y, 8, ñas lee el joral. Elgedo u estudate al azar hallar la probabldad de que sea ño y lea el joral. Se saca dos cartas de ua baraja española, hallar la probabldad de que ambas cartas sea de oros. s el expermeto se realza co reemplazameto de la carta sacada P(0roOro)= P(Oro).P(Oro)= s el expermeto se realza s reemplazameto de la carta sacada P(0roOro)= P(Oro).P(2º Oro/º Oro)= Para hallar la probabldad de sucesos compuestos a veces se orgaza los datos e tablas de doble etrada deomada tabla de cotgeca E tres grupos de º de Bachllerato, A, B, y, C, el úmero de aprobados y suspesos e ua matera se dstrbuye segú la tabla. Hallar: La probabldad de que u alumo apruebe y sea del grupo, A. La probabldad de que u alumo apruebe s es del grupo, A. 5 P( aprobaryyggrupoaa) 0' P( aprobary / ggrupoaa) 0' Teorema de probabldad total S se tee ua sere de sucesos, A, A 2,...,A, tales que: So compatbles etre s j, A Aj Aprobado Suspeso A B C Su uó da el espaco total, E A A2... A E probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 567

16 etoces se puede hallar la probabldad de cualquer suceso, B, a través de la expresó P( B) P( A ). P( B / A ) Ua empresa elabora sus productos e tres factorías. El porcetaje de pezas defectuosas e el total de produccó de cada factoría vee dada por la tabla F F 2 F 3 Produccó 60% 25% 5% Defectuosas % 4% 2% Hallar la probabldad de que ua peza escogda al azar sea defectuosa. sea el suceso, F, peza fabrcada e la factoría,. Se verfca F F 2 F 3 = E F F j = cualquer peza se fabrca e ua de las tres factorías. cualquer peza se fabrca e ua sola de las tres factorías. sea el suceso, B, peza defectuosa. por el teorema de probabldad total se escrbe: 3 P( B) P( F ). P( B / F ) P( F ). P( B / F ) P( F ). P( B / F ) P( F ). P( B / F ) = 0 09 la probabldad de escoger ua peza defectuosa es del, 9%. Se dspoe de ua ura verde y otra azul. La verde cotee, 3, bolas blacas y, 2, bolas egras y la azul cotee, 4, bolas blacas y,, bola egra. Se laza ua moeda y s sale cara se toma ua bola de la ura verde y s sale cruz se toma ua bola de la ura azul. Hallar la probabldad de que la bola extraída sea blaca. sea el suceso, F, ura verde, el suceso, F 2, ura azul, y el suceso, B, bola blaca. por otro lado se tee que, P(cruz)= P(cara)= P( B) P( F ). P( B / F ) P( F ). P( B / F ) P( F2 ). P( B / F2 ) 0'5. 0'5. 0'7 5 5 la probabldad de escoger ua bola blaca es del, 70%. Teorema de Bayes S se tee ua sere de sucesos, A, A 2,...,A, tales que: So compatbles etre s j, A Aj probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 568

17 Su uó da el espaco total, E A A2... A E sabedo que sucedó el suceso, B, se comprueba que: P( A / B) j P( A ). P( B / A ) j P( A ). P( B / A ) j Ua empresa elabora sus productos e tres factorías. El porcetaje de pezas defectuosas e el total de produccó de cada factoría vee dada por la tabla F F 2 F 3 Produccó 60% 25% 5% Defectuosas % 4% 2% S se observa ua peza defectuosa hallar la probabldad de que proceda de la factoría, 2. sea el suceso, F, peza fabrcada e la factoría,. Se verfca F F 2 F 3 = E F F j = cualquer peza se fabrca e ua de las tres factorías. cualquer peza se fabrca e ua sola de las tres factorías. sea el suceso, B, peza defectuosa. por el teorema de Bayes se escrbe P F P( F ). P( B / F ) 0'25.0'04 0'0 2 2 ( 2 / B) 0'53 P( F ). P( B / F ) P( F2 ). P( B / F2 ) P( F3 ). P( B / F3 ) 0'6.0'0 0'25.0'04 0'5.0'02 0'09 la probabldad de que la peza proceda de la factoría, 2, es del, 53%. Se realza el expermeto aleatoro cosstete e lazar ua moeda y u dado y aotar el resultado obtedo. Hallar el espaco muestral de este expermeto. los espacos muestrales de los expermetos smples so: lazar ua moeda= {C,+} lazar u dado= {,2,3,4,5,6} se realza ua tabla de doble etrada y e ella se escrbe los sucesos elemetales de cada expermeto, lo escrto e sus casllas costtuye el espaco muestral del expermeto aleatoro C C C2 C3 C4 C5 C E= {C,C2,C3,C4,C5,C6,+,+2,+3,+4,+5,+6} probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 569

18 Hallar el úmero total de sucesos posbles del expermeto aleatoro lazar u dado. el especo muestral de este expermeto es, E= {,2,3,4,5,6} el úmero de sucesos que cotee, 0,, 2, 3, 4, 5, ó, 6, sucesos elemetales de este expermeto so: 0 que es el cojuto vacío, 6 C 6, = C 6,2 =c C 6,3 = 4 C 6,4 = C 6,5 = 6 C 6,6 = , el cojuto, E sumado todas estas catdades se tee = 64= 2 6 Hallar el úmero de posbldades al: Elegr, 4, persoas de, 0. El rellear ua quela de, 4, partdos. Al setar, 9, persoas e, 9 asetos. Al elegr claves de tres letras co las letras de la palabra, SOLAR. e el grupo de persoas el orde e que se tome o fluye e la costtucó del grupo, por ello C 0,4 = 0 0! ! 0 4! grupos dferetes de 4 persoas. al rellear la quela el orde de los elemetos fluye. Se determa s éstos se puede repetr ó o, y de hacerlo cuatas veces puede repetrse. VR 3,4 = 3 4 = quelas dferetes. al setarse e ua mesa el orde fluye y los elemetos o se puede repetr. Se determa s tervee e u grupo todos los elemetos ó o, es decr, s e u grupo tervee el úmero máxmo de elemetos dspobles. P 9 = 9!= formas dsttas de setarse el orde fluye, los elemetos o se repte y o se toma el úmero máxmo de elemetos al msmo tempo V 5,3 = = 60 claves dsttas. probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 570

19 Para hacer u estudo se decde segmetar la poblacó co respecto a su edad e mayores ó meores de, 30, años y e su estado cvl, casado ó soltero. Se cosdera los sguetes sucesos: A= mayor de, 30, años B= casado Qué sucesos se puede formar co ellos?. los sucesos que se puede operar co ellos so: A o mayor de, 30, años B soltero A B mayor de, 30, años ó casado A B A B mayor de, 30, años y soltero A B B A casado y meor de, 30, años A A mayor de, 30, años y casado mayor de, 30, años y soltero mayor de, 30, años ó meor de, 30, años. La poblacó etera, E. Se laza u dado de ses caras. Sea los sucesos, A= úmero par, y, B= múltplo de, 3. Comprobar las leyes de Morga. los sucesos elemetales que tervee so: A= {2,4,6} A = {,3,5} A B {2,3,4,6} A B {,5} B= {3,6} B = {,2,4,5} A B {6} A B {,2,3,4,5} A B A B {,5}= {,3,5}{,2,4,5}= {,5} A B A B {,2,3,4,5}= {,3,5}{,2,4,5}= {,2,3,4,5} E la presa aparece la otca: E la cudad el, 55%, de sus habtates es mayor de, 30, años, el, 45%, está casado y el, 60%, está casado ó es mayor de, 30, años. Hallar la probabldad de los sucesos: Ser mayor de, 30, años y estar casado. No estar casado. se expresa el eucado e térmos de sucesos y se determa su probabldad: A= mayor de, 30, años P(A)= 0 55 B= casado P(B)= 0 45 AB= mayor de, 30, años ó casado P(AB)= 0 6 se escrbe los sucesos e fucó de éstos otros: ser mayor de, 30, años y estar casado= AB o estar casado, B se verfca: P(AB)= P(A)+ P(B)-P(AB) P(AB)= P(A)+ P(B)- P(AB)= = 0 40 El, 40%, de la poblacó está casada y es mayor de, 30, años. P( B )= -P(B)= -0 45= 0 55 El, 55%, de la poblacó o está casada. probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 57

20 Hallar la probabldad de obteer cada putuacó al lazar u dado trucado s se sabe que las putuacoes pares tee el doble de probabldad de salr que las putuacoes mpares. el espaco muestral es, E= {,2,3,4,5,6}. Se verfca: P()= P(3)= P(5)= x P(2)= P(4)= P(6)= 2x como la suma de todas las probabldades ha de dar la udad se escrbe = P() + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)= x + 2x + x + 2x + x + 2x= 9x x= 9 E u hosptal el, 35%, de los efermos padece la efermedad, A, eñ, 20%, padece la efermedad, B, y el, 0%, padece ambas efermedades. Elegdo u pacete al azar hallar: Probabldad de que o padezca gua efermedad. S padece le efermedad, B, cuál es la probabldad de que o padezca le efermedad, A. se expresa el eucado e térmos de sucesos y se determa su probabldad: A= padecer la efermedad, A P(A)= 0 35 B= padecer la efermedad, B P(B)= 0 20 AB= padecer ambas efermedades P(AB)= 0 0 B B s se orgaza los datos e ua tabla de doble etrada se escrbe, A de dode 55 P( A B) 0' P( A / B) 0'5 20 A Se laza u dado rojo y otro blaco. S la suma de putos obteda es, 6, hallar la probabldad de que e algú dado salga u, 4. se expresa el eucado e térmos de sucesos: A= obteer ua suma de, 6, putos B= sacar u, 4, e alguo de los dados se sabe que ocurre el suceso, A, por lo que hay que hallar, P(B/A). A= {(,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,)} P(A)= 5 36 AB= {(2,4),(4,2)} P(AB)= 2 36 P( A B) 2 P( B / A) 0'4 P( A) 5 probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 572

21 Sea el expermeto aleatoro cosstete e extraer, 3, cartas s reemplazameto de ua baraja. Hallar la probabldad de que la prmera carta sea u rey, la seguda u caballo y la tercera ua fgura. los suceso smples que compoe este expermeto so: R = Sacar u rey e la prmera extraccó C 2 = Sacar u caballo e la seguda extraccó F 3 = Sacar ua fgura e la tercera extraccó R C 2 F 3 = suceso del que se quere obteer su probabldad al hacerse la extraccó co reemplazameto los sucesos so depedetes y se puede aplcar la regla del producto P(R C 2 F 3 )= P(R ).P(C 2 ).P(F 3 )= ' La ura, X, cotee, 0, bolas umeradas del,, al, 0. La ura, Y, cotee, 5, bolas umeradas del,, al, 5, y la ura, Z, cotee, 3, bolas umeradas co los múltplos de, 3, que so meores que, 0. Se elge ua ura al azar y se extrae ua bola. Hallar la probabldad de los sucesos: Salr putuacó par. Salr putuacó mpar. Salr múltplo de, 3. se busca sucesos del espaco muestral tales que su uó sea el espaco muestral y que sea compatbles etre sí. este expermeto está compuesto de otros dos expermetos: elegr ua ura de tres extraer ua bola de la ura elegda se toma los sucesos elemetales de elegr ua ura U = ura X U 2 = ura Y U 3 = ura Z U U 2 U 3 = E P(U )= P(U 2 )= P(U 3 )= 3 se comprueba que estos sucesos so compatbles etre sí U U 2 = U U 3 = U 2 U 3 = se aplca el teorema de la probabldad total P( par) P( U). P( par / U)... 0' I P( mpar) P( U). P( mpar / U)... 0' I P( múltplo3) P( U ). P( múltplo3 / U)... 0' I probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 573

22 La ura, X, cotee, 0, bolas umeradas del,, al, 0. La ura, Y, cotee, 5, bolas umeradas del,, al, 5, y la ura, Z, cotee, 3, bolas umeradas co los múltplos de, 3, que so meores que, 0. Se elge ua ura al azar y se extrae ua bola. S ésta tee putuacó par, hallar: Qué probabldad tee de que sea de la ura, X?. Qué probabldad tee de que sea de la ura, Y?. Qué probabldad tee de que sea de la ura, Z?. se determa s se puede aplcar el teorema de Bayes, para lo cual es ecesaro que el expermeto se haya realzado. E este caso es así pues se sacó ua bola y su putuacó resultó ser par. se busca sucesos del espaco muestral tales que su uó sea el espaco muestral y que sea compatbles etre sí. Etre estos sucesos ha de estar el suceso del que se quere determar su probabldad. U = ura X U 2 = ura Y U 3 = ura Z B= salr putuacó par se halla las probabldades ecesaras para aplcar el teorema de Bayes P(U )= P(U 2 )= P(U 3 )= P(B/U )= 5 P(B/U 2 )= 2 P(B/U 3 )= P( U ). P( B / U ) se aplca el teorema de Bayes y se tee P( U / B) P( U / B) 2 P( U / B) 3 5. P( U ). P( B / U ) P( U ). P( B / U ) P( U ). P( B / U ) P( U ). P( B / U ) P( U ). P( B / U ) P( U). P( B / U) La varable aleatora, X, es ua fucó que hace correspoder a cada suceso elemetal de u expermeto aleatoro u úmero y vee defda por la expresó X: E R por ser dscreta, el cojuto mage, Im(X), cotee u úmero fto de elemetos Im(X)= {x, x 2,..., x } quere ello decr que etre cada dos valores dados la varable aleatora sólo toma u úmero fto de valores. Se deduce que s x Im(X) etoces el cojuto probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 574

23 [X= x ]= {ae / X(a)= x }P(E) es u elemeto del cojuto, P(E), y por lo tato se puede hallar la probabldad de que la varable aleatora, X, tome el valor, x P[X= x ]= p La fucó P: Im(X) R x P(x )= P[X= x ]= p se llama fucó de probabldad de la varable aleatora, X, y es ua aplcacó que asoca a cada valor, x, de esta varable su probabldad. Esquemátcamete esta fucó se puede expresar e forma de tabla segú: X p = P(X= x ) x p x 2 p x p p = Gráfcamete la fucó probabldad se represeta por u dagrama de barras e la que los valores que toma la varable, X, está ordeados de meor a mayor. p 3 p 2 p - p p -2 p x x 2 x 3... x -2 x - x Defr dos varables aleatoras sobre el expermeto aleatoro que cosste e lazar, 3, moedas y hallar la probabldad de obteer cada valor. el espaco muestral del expermeto aleatoro es E= {CCC,CC+,C+C,C++,+CC,+C+,++C,+++} la fucó, X, que dca el úmero de caras que hay e cada suceso elemetal es ua varable aleatora: X(CCC)= 3 X(C+C)= 2 X(C++)= X(++C)= X(CC+)= 2 X(+CC)= 2 X(+C+)= X(+++)= 0 la fucó, Y, que asga a cada suceso elemetal el valor, 0, s o cae gua cara y,, s aparece algua cara es ua varable aleatora X(CCC)= X(C+C)= X(C++)= X(++C)= X(CC+)= X(+CC)= X(+C+)= X(+++)= 0 como las varables aleatoras se defe sobre u expermeto aleatoro, se puede determar la probabldad de que tome u certo valor probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 575

24 [X=0]= {+++} P(X=0)= P({+++})= 8 = 0 25 [X=]= {C++,+C+,++C} P(X=)= 3 8 = [X=2]= {CC+,C+C,+CC} P(X=2)= 3 8 = [X=3]= {CCC} P(X=3)= 8 = 0 25 [Y=0]= {+++} P(Y=0)= 8 = 0 25 [Y=]= {C++,+C+,++C,CC+,C+C,CC+,CCC} P(Y=)= 7 8 = al gual que las varables estadístcas los datos relatvos a ua varable aleatora se puede represetar por medo de ua tabla ó gráfcamete X P( X x ) P( X x ) 0 0'25 0'25 0'375 0'5 2 0'375 0' '25 Total La forma de asgar la probabldad a cada valor que toma la varable aleatora, X, se cooce como dstrbucó de probabldad. Ua dstrbucó dscreta queda determada s se cooce cualquera de las sguetes fucoes: Fucó de probabldad, f(x), que asga a cada valor de la varable su probabldad. f ( x ) 0 f ( x ) ( ) P X x f ( x ) Fucó de dstrbucó, F(x), que asga a cada valor la probabldad de que la varable aleatora tome valores meores o guales que él. F( x ) P( X x ) P( X x ) f ( x ) j j j S los datos está colocados e ua tabla y a ésta se le añade la columa de probabldades acumuladas, etoces se defe la fucó de dstrbucó, F(x), de la varable estadístca, X, como aquella que asoca a cada valor de la varable aleatora la probabldad acumulada hasta ese valor. probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 576

25 F(x)= P(Xx)= 0 x x p x x x 2 p p2 x2 x x 3 p p2... p x x x p p2... p p x x Esquemátcamete esta fucó se puede expresar e forma de tabla segú: X p = P(X= x ) F(x)= P(Xx) x p p x 2 p 2 p +p x p p +p p = p = La fucó de dstrbucó tee las sguetes propedades: Por ser, F(x), ua probabldad, 0F(x). F(x), es costate etre cada dos valores cosecutvos, x, y, x +, de la varable estadístca. Por ello que su represetacó gráfca se correspode co ua fucó escaloada. p +p p - p +p 2 p x x 2 x 3... x -2 x - x F(x)= 0, para todo valor, x, de la varable estadístca ateror al meor valor de la varable aleatora. F(x)=, para todo valor, x, de la varable estadístca posteror al mayor valor de la varable aleatora. F(x), es ua fucó crecete. probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 577

26 Descrbr la dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora que asga a cada suceso elemetal el úmero obtedo al lazar u dado. Comprobar las propedades de las fucoes de probabldad y de dstrbucó. la probabldad que tee cada putuacó es: P(X= )= 6 P(X= 2)= 6 P(X= 3)= 6 P(X= 4)= 6 P(X= 5)= 6 P(X= 6)= 6 la fucó de probabldad es: f ( x) 6 0 x, 2,3,4,5,6 resto a partr de ella se obtee la fucó de dstrbucó, la cual es costate e cada tervalo y e los putos e los que, f(x) 0, preseta saltos de altura, /6. 0 x x x F ( x) 3 x x x x Sobre ua varable aleatora dscreta, X, se defe los sguetes parámetros probablístcos: Meda ó esperaza matemátca, Se llama meda de ua varable aleatora, X, que toma los valores dscretos, x, x 2,...,x, cada uo co la probabldad, p, p 2,...,p, al valor de la expresó = x.p + x 2.p x.p = x. p Varaza, 2 Se llama meda de ua varable aleatora, X, que toma los valores dscretos, x, x 2,...,x, cada uo co la probabldad, p, p 2,...,p, al valor de la expresó 2 = x 2.p +x 2 2.p x 2.p - 2 = x 2 2 també puede escrbrse la varaza co esta expresó probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 578

27 2 = (x -).p +(x 2 -).p (x -).p = ( x ). p Desvacó típca, Es la raíz cuadrada postva de la varaza Tato la varaza como la desvacó típca so meddas de dspersó que cuato meor es el valor de estos parámetros mas agrupados se ecuetra los valores de la dstrbucó e toro a los valores cetrales. Por el cotraro cuado estos valores so grades los datos de la dstrbucó se ecuetra muy dspersos, es decr, poco agrupados e toro a los valores cetrales. Detro de los expermetos aleatoros co dstrbucó dscreta se estuda por su mportaca los expermetos de Beroull ó de dstrbucó bomal, B(,p), sedo,, y, p, los parámetros de la dstrbucó. Estos expermetos so aquellos que se correspode co u expermeto aleatoro que tee las sguetes característcas: E cada prueba del expermeto sólo so posbles dos resultados compatbles, el suceso, A, (éxto) y el suceso cotraro, Ā, (fracaso). A Ā= El resultado obtedo e cada prueba es depedete de los resultados aterores. La probabldad del suceso, A, es costate y de valor, p, por lo que o varía de ua prueba a otra. P(A)= p E cosecueca la probabldad del suceso cotraro, Ā, també es costate y de valor pues P(Ā)= q= -p= -P(A) P(A)+ P(Ā)= p+q= La varable aleatora, X, cueta el úmero de veces que ocurre el suceso, A, al realzar el expermeto aleatoro,, veces. Es ua varable dscreta pues úcamete toma los valores, 0,, 2,...,. Este valor depede de dos factores: úmero de veces que se realza el expermeto aleatoro. p probabldad de que suceda el suceso, A. La fucó de probabldad es f ( x ) P( X x ) p.( p) Para defr la fucó de probabldad de ua dstrbucó bomal se supoe que se realza,, pruebas del expermeto aleatoro y que se desea coocer la probabldad de obteer, r, éxtos e la msmas. probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 579

28 Se cosdera uo de los casos e los que se obtee, r, éxtos e las,, pruebas. Sea éste el suceso r éxtos -r fracasos B= AA...AĀĀ...Ā La probabldad de este suceso dada la depedeca de las pruebas sucesvas es r veces -r veces P(B)= P(A).P(A)...P(A).P(Ā).P(Ā)...P(Ā)= p r.q -r Se tee ahora e cueta todas las maeras posbles de obteer, r, éxtos y, -r, fracasos, cuya catdad vee dado por el úmero combatoro. r S, X, es la varable aleatora bomal que represeta el úmero de éxtos se tee P(obteer, r, éxtos)= P(X= r)= r. p r.q -r Esta expresó recbe el ombre de fucó de probabldad de la dstrbucó bomal ó fucó de probabldad de la dstrbucó de Beroull. Esta fucó escrta e forma de tabla vee dada por: r p 0 q p.q - 2 p 2.q p los cálculos de estas tablas so laborosos, por esta razó se ha costrudo tablas que proporcoa para los dsttos valores de,, y de, r, la probabldad de que la varable, X, tome los dsttos valores de, 0, a,. probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 580

29 probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 58

30 El espaco muestral de u expermeto de Beroull de,, pruebas es u cojuto que cotee tatos elemetos como varacoes co repetcó de los sucesos, A, y, Ā, tomados e grupos de,, elemetos. Car(E)= VR 2 = 2 Ua marca de tabacos ha calculado que el úmero de fumadores e ua cudad es del, 35%. Se escoge al azar ua muestra formada por, 0, persoas. Comprobar s la varable que expresa el úmero de fumadores detro de la muestra es ua dstrbucó bomal. E caso afrmatvo, señalar los parámetros de la dstrbucó. e cada prueba sólo so posbles dos resultados: A dvduo fumador Ā dvduo o fumador el resultado obtedo de la preguta FUMA ó NO FUMA e cada dvduo de la muestra es depedete de los otros. la probabldad del suceso, A, es, p(a)= 0 35, y es costate. la varable que represeta el úmero de dvduos fumadores e la muestra es ua varable aleatora que puede tomar los valores, 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. los valores, = 0, y, p= 0 35, so los parámetros de la dstrbucó que se represeta por, B(0,0 35). U caso partcular es el de aquella dstrbucó bomal e el ta solo se realza ua prueba e lugar de,. A esta varable se la deoma varable aleatora de Beroull. La fucó de probabldad de esta varable es: Valor de la varable 0 Probabldad p q= -p La meda ó esperaza matemátca =.p+0.q= p La varaza 2 = (-p) 2.p + (0-p) 2.q= (-2p+p 2 ).p + p 2.q= p-2p 2 +p 3 + p 2.(-p)= p-2p 2 +p 3 +p 2 -p 3 = p-p 2 = p.(-p)= p.q La desvacó típca p. q S esta dstrbucó bomal se repte,, veces sólo se tee que multplcar por,, los resultados aterores, verfcádose: Meda Varaza =.p 2 =.p.q= p.(-p) Desvacó típca. p. q probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 582

31 Hallar la probabldad de que la varable aleatora, X, que cueta las caras obtedas al lazar tres veces ua moeda sea meor que, 2. la varable aleatora, X, sgue ua dstrbucó bomal de parámetros, = 3, p= 2, B(3,0 5) la codcó de que el úmero de caras sea meor que, 2, x<2, equvale a: P(x<2)= P(X=0)+P(X=)= '5.0'5 0'5.0'5 4.0'5 0'5 la probabldad de obteer al meos dos caras es del, 50%. E ua ferretería queda, 00, bombllas de las que se sospecha que el, 2%, está fuddas. Cuál es el valor esperado de bombllas fuddas?. Hallar su varaza y su desvacó típca. sólo hay dos resultados: bomblla fudda y bomblla o fudda. el estado de cada bomblla es depedete del estado de las otras. la probabldad de que ua bomblla esté fudda es costate. se trata pues de ua dstrbucó bomal de parámetros, = 00, y, p= 0 02, es decr, B(00,0 02). el valor esperado de bombllas fuddas el la meda artmétca de esta dstrbucó meda artmétca, =.p= = 2 bombllas. varaza, 2 =.p.q= = 96 desvacó típca, =. p. q '96 '4 Ua prueba de telgeca está compuesta de, 0, pregutas y cada ua de las cuales tee, 4, respuestas sedo sólo ua de ellas correcta. U alumo tee prsa por acabar la prueba y decde cotestar a lo loco, es decr, aleatoramete. Hallar: Probabldad de acertar exactamete, 4 pregutas. Probabldad de o acertar gua preguta. Probabldad de acertar todas las pregutas. Probabldad de acertar al meos, 8, pregutas. Probabldad de acertar a lo sumo, 3, pregutas. Probabldad de acertar, 7, pregutas Probabldad de aprobar la prueba Probabldad de obteer sobresalete Probabldad de o llegar al otable Meda y varaza. se defe la varable aleatora dscreta, X, como el úmero de acertos e el exame. se tee los sucesos: A= cotestar be, p(a)= 0 25 Ā= o cotestar be, p(ā)= 0 75 se trata de ua dstrbucó bomal de parámetros, B(0,0 25), sedo, X, la varable aleatora que represeta el úmero de pregutas cotestadas correctamete, se verfca: probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 583

32 P(acertar, 4)= P(X= 4)= 0 0'25 4.0'75 4 0'460 4 P(o acertar gua)= P(X= 0)= 0 0'25 0.0'75 0 0' P(acertar todas)= P(X= 0)= 0 0'25 0.0' P(acertar al meos, 8)= P(X8)= P(X= 8)+P(X= 9)+P(X=0)= P(acertar a lo sumo, 3)= P(X3)= P(X= 0)+P(X= )+P(X= 2)+P(X= 3)= P(acertar, 7)= P(X= 4)= P(aprobar)= P(X5)= '25 7.0'75 3 0' P(sobresalete)= P(X9)= 0 0'25.0'75 0 0' '25.0'75 0 0' '25.0'75 0'25.0'75 0'25.0'75 0' '25.0'75 0'25.0 '75 0'25.0 '75 0'25.0'75 0'7759 P(o llegar otable)= P(X<7)= P(X6)= '25.0'75 0 0' =.p= = =.p.q= = 875 probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 584

33 U membro del Cosejo de Admstracó de ua empresa ha comprobado que, s be todos los años tee ua juta, ha habdo años que tee hasta cco. Por la expereca acumulada durate años sabe que el úmero de jutas aual se dstrbuye co arreglo a la tabla Número de jutas al año Probabldad Hallar: Fucó de probabldad y su represetacó. Fucó de dstrbucó y su represetacó. Meda. Varaza y desvacó típca. Probabldad de que e u año elegdo al azar se celebre más de tres jutas. la fucó de probabldad vee dada por: x p P( X x ) la fucó de dstrbucó es: x F( x) P( X x) x 0 x x x x x para los sguetes cálculos se realza la tabla: meda: = 47 3'3 5 varaza: 2 = 79 3'3 2 2'3 5 desvacó típca: = 2'3 ' x p x p x p p(x>3)= p(x= 4)+p(X= 5)= ' probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva

34 U exame costa de, 8, pregutas y cada ua de las cuales tee, 5, respuestas sedo sólo ua de ellas correcta. S se cotesta al azar hallar: Probabldad de acertar, 7, pregutas. Probabldad de aprobar el exame. Probabldad de fallar todas las respuestas. Probabldad de acertar meos de, 6, pregutas. los parámetros de la dstrbucó so, B(8,0 2) = 8 p= P(acertar ua preguta)= 0'2 5 para utlzar las tablas es ecesaro aalzar tres datos: úmero de expermetos. Idca el bloque de flas de la tabla que se ha de mrar. p probabldad de acerto. Idca la columa de esa fla que se ha de teer e cueta. r úmero de acertos. Idca la probabldad que se ha de hallar P(X= 7)= P(X4)= P(X= 4)+P(X= 5)+P(X= 6)+P(X= 7)= = P(X= 0)= P(X<6)= P(X= 0)+P(X= )+P(X= 2)+P(X= 3)+P(X= 4)+P(X= 5)= = Cotua ó fta La varable aleatora, X, puede tomar todos los valores detro de u certo tervalo de la recta real. Card (E)= La probabldad de que esta varable aleatora sea gual a u valor cocreto es ula P(X= x )= 0 La fucó de dstrbucó de probabldad també es cotua y queda determada s se cooce cualquera de estas fucoes: Fucó de desdad, f(x) Esta fucó verfca: x R, f ( x) 0 El área ecerrada etre esta fucó y el eje de abscsas es,. f ( x). dx 2 probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 586

35 Fucó de dstrbucó, F(x) Es la fucó que se obtee tegrado la fucó desdad. Esta fucó asga a cada valor la probabldad de que la varable tome valores meores o guales que él. x F( x) P( X x) f ( x). dx Esta fucó verfca: Su recorrdo es 2 Im F(x)= [0,] Es ua fucó crecete P(Xa) Es el área compredda etre la curva y el eje, X, desde, -, hasta, a. P(aXb) Es el área compredda etre la curva y el eje, X, e el tervalo, [a,b]. P(Xa) Es el área compredda etre la curva y el eje, X, desde, a, hasta,. La meda y la varaza de ua varable aleatora cotua, X, se defe utlzado las sumas de Rema que determa la tegral defda y que so ua geeralzacó de las sumas ftas que defe estos parámetros x xh 2 2 s ( x x). h x p x. f ( x). dx a 2 2 x ( ). p b b 2 2 a ( x ). f ( x). dx Hallar la meda, la varaza y la desvacó típca de ua varable aleatora, X, cuya fucó de desdad es 0 x 0 f ( x) 0 x x 3 2 meda: 9 x.. dx x ` varaza: ( x '5).. dx 0` desvacó típca: 0`75 0'866 3 probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 587

36 Ua varable aleatora cotua, X, sgue ua dstrbucó de probabldad ormal, XN(,), s: La varable aleatora cotua, X, depede de dos parámetros: meda de la varable aleatora desvacó típca de la varable aleatora La varable aleatora toma valores sobre la recta real e el tervalo, (-,) La fucó de desdad que le correspode es smétrca respecto a la meda,, y vee dada por la expresó f ( x) e 2 2 x 2 La fucó de desdad tee las sguetes característcas: Domo: R Smetrías: La fucó es smétrca respecto a la recta, x= Corte co los ejes: Eje Y: x= 0, y e Eje X: y= 0, No tee putos de corte Asítotas: Asítota vertcal: o tee Asítota horzotal: el eje, X Es mportate destacar que la ordeada de la fucó, f(x), se aproxma al valor, 0, para valores stuados a la zquerda de, -3, y para valores stuados a la derecha de, +3. Asítota oblcua: o tee Crecmeto y decrecmeto: Crece: (-,) Decrece: (,) Máxmos y mímos: Máxmo: x= Mímo: No tee Putos de flexó: x = - x 2 = + probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 588

37 El área ecerrada bajo la curva y el eje d abscsas es gual a la udad. Por ser smétrca esta fucó co respecto al eje, x=, dcho eje deja u área de, 0 5, a su zquerda y otra gual a su derecha. N(,), represeta ua famla de dstrbucoes ormales e la que e todas se verfca que el área ecerrada bajo la curva es la udad. De las ftas dstrbucoes exstetes tee especal terés la dstrbucó, N(0,), llamada dstrbucó ormal, es decr aquella que tee: Meda cero, = 0 Desvacó típca la udad, = Esta dstrbucó ormal se ecuetra tabulada, lo que permte u cálculo rápdo de las probabldades asocadas a la msma y ta solo da probabldades de valores de la varable aleatora postvos, La trasformacó de la varable, X, que sgue la dstrbucó, N(,), a la varable, Z que sgue la dstrbucó ormal, N(0,), recbe el ombre de tpfcacó de la varable. Para tpfcar la varable, X, se ha de: Cetrar, es decr, trasladar la meda de la dstrbucó al orge de coordeadas, lo que equvale a hacer, = 0 Reducr la desvacó típca a,, =. Esto cotrae o dlata la gráfca de la dstrbucó de modo que cocda co la estadar. Estos dos pasos se cosgue medate el cambo: Z X se le resta a la varable aleatora, X, la meda de la varable y ese resultado se dvde por su desvacó típca. Este proceso es ecesaro cuado se quere: Utlzar las tablas de valores, N(0,), para determar las probabldades. Para hallar la probabldad de ua varable aleatora cotua que se dstrbuye segú ua ormal, N(,), se tpfca la varable a la varable, Z, y a cotuacó se usa la tabla de probabldades de dstrbucó ormal, N(0,). Por ser esta últma dstrbucó smétrca respecto al eje de ordeadas, Y, se verfca: P(Z -a)= P(Z a) P(Z > a)= -P(Z a) P(a<Z<b)= P(Z<b)-P(Za) probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 589

38 Sea, Z, ua varable aleatora que sgue la dstrbucó, N(0,). Hallar: P(Z 45)= P(Z- 45)= P(Z> 45)= -P(Z 45)= = P( 25<Z2 57)= P(Z2 57)- P(Z 25)= = P(-2 57<Z- 25)= P( 25<Z2 57)= P(-0 53<Z2 46)= P(Z2 46)-P(Z-0 53)= P(Z2 46)-P(Z0 53)= P(Z2 46)-[-P(Z<0 53)]= (-0 709)= Se quere comparar elemetos que perteezca a dsttas poblacoes. Los ebastas tee u salaro medo e su prmer empleo de, 280, co ua desvacó típca de, 200. Los fotaeros tee u salaro de, 060, co ua desvacó típca de, 80. S a u ebasta le ofrece, 320, y a u fotaero u sueldo de, 00, cuál de los dos recbe ua mejor oferta?. ebastas, N(280,200) fotaeros, N(060,80) al comparar las ofertas dvdualmete recbe ua mejor oferta el ebasta pues, 320 > 00. pero al comparar cada oferta co la meda de su grupo profesoal se observa que sería guales pues e ambos casos está, 40, por ecma de la meda. S embargo s se tpfca los dos sueldos y se compara ebasta, '2 fotaero, 00 0' el fotaero recbe ua mejor oferta detro de su grupo profesoal. Dada la fucó, k f ( x) 0 0 x 4 resto Hallar el valor de, k, para que sea ua Hallar la fucó de dstrbucó. fucó de desdad. 4 4 f ( x). dx k. dx kx 4k 0 4k k la fucó de dstrbucó es 0 0. dx 0 x x F( x) 0. dx. dx 0 x dx. dx 0. dx 4 x probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 590

39 Las calfcacoes de u grupo de alumos sgue ua dstrbucó ormal de meda, 4, y desvacó típca, 0 5. Hallar: La probabldad de que al escoger u alumo al azar este aprobase. La probabldad de que u alumo obtega meos de, putos. se defe los parámetros de la varable aleatora, N(4,0 5) las probabldades que se preguta so: P(X5), P(X<3 25) se tpfca la varable para utlzar la tabla de dstrbucó ormal, ZN(0,) P(X5)= X P P( Z 2) 0'5 0'5 P(X<3 25)= X 4 3'25 4 P P( Z '5) 0'5 0'5 la tabla de probabldades de la dstrbucó ormal, ZN(0,), mde la probabldad de que sea meor ó gual que u certo úmero, P(Z a), y e ella sólo aparece úmeros postvos. Por esta razó se trasforma las probabldades y los valores hasta que éstos aparezca e la tabla. P(Z 2)= -P(Z<2)= = P(Z<- 5)= P(Z> 5)= -P(Z 5)= = Cuado el úmero de pruebas,, es sufcetemete grade ua dstrbucó bomal se puede aproxmar a ua dstrbucó ormal de: Meda, =.p Desvacó típca, pq p( p) Cuato mayor es,, mejor es la aproxmacó de la dstrbucó bomal a ormal. Cuado, > 0, o se puede ecotrar las probabldades e la tabla de dstrbucó bomal, por lo que se ha de comprobar s la varable se puede aproxmar a ua dstrbucó ormal. probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 59

40 De Movre demostró que s se verfca codcoes: p > 5.(-p)> 5 la varable aleatora, X, de dstrbucó, N(,p) se puede aproxmar medate tpfcacó a la varable, X, de dstrbucó ormal, N(p, p( p) dstrbucó, N(0,). ), y ésta por tpfcacó a la varable, Z X p p( p) Al pasar de ua dstrbucó bomal a ua dstrbucó ormal, u valor de la bomal se coverte e u tervalo e la ormal. a a, a 2 2 P( X a) P a X a 2 2 P( X a) P X a 2 P( X a) P X a 2, de U exame costa de, 00, pregutas cada ua de las cuales tee, 4, respuestas de las que sólo ua es correcta. S se cotesta al azar hallar: Probabldad de aprobar el exame. Probabldad de acertar meos de, 20, pregutas. la varable aleatora sgue ua dstrbucó bomal co parámetros, B(00,0 25). Claramete, >8. se comprueba s se puede aproxmar a ua dstrbucó ormal p= = 25 > 5.(-p)= = 75 > 5 dado que se puede, se halla los parámetros de la dstrbucó ormal, X, que la aproxme = p= = 25 =. p.( p) 00.0'25.0'75 4'33 XB(00,0 25) N(25,4 33) se determa las probabldades peddas tpfcado la varable para usar la dstrbucó ormal, ZN(0,). probabldad de aprobar el exame probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 592

41 49'5 25 P( X 50) P(49'5) P Z P( Z 5'66) 4'33 probabldad de acertar meos de, 20, pregutas 9'5 25 P( X 20) P( X 9'5) P Z P( Z '27) P( Z '27) 4'33 U expermeto aleatoro cosste e lazar u dado cuyas caras está marcadas co los úmeros, 0,,2,3. Defr ua varable aleatora y obteer sus parámetros. el espaco muestral es, E= {0,,2,3} se defe ua varable aleatora asgado u úmero a cada suceso elemetal. X= sumar los putos de las caras vsbles. X(0)= +2+3= 6 X()= 0+2+3= 5 X(2)= 0++3= 4 X(3)= 0++2= 3 se determa la probabldad de que la varable aleatora tome cada uo de los valores y se orgaza e ua tabla X P( X x) p P( X x ) 3 0'25 0'25 4 0'25 0'5 5 0'25 0'75 6 0'25 Total sus parámetros so: 4 p. x 0'25.3 0'25.4 0'25.5 0'25.6 4' p x '25.9 0'25.6 0' ' '5 '25 4 p x 2 2. ' 25 '8 probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 593

42 E ua dstrbucó ormal, N(0,), hallar, P(Z> 33) se trasforma el sgo de la desgualdad de maera que su probabldad se pueda ecotrar e la tabla de la dstrbucó ormal. P(Z> 33)= -P(Z 33)= = Se cosdera la varable aleatora, X, que cueta el úmero de bolas blacas al sacar, 2, bolas s remplazameto de ua ura que cotee, 3, bolas blacas y, 2, bolas rojas. Hallar y represetar la fucó de probabldad y la fucó de dstrbucó. se comprueba que la varable, X, es ua varable aleatora. al sacar dos bolas, puede ocurrr que gua sea blaca, que sea ua ó que sea las dos blacas. los valores que toma so, 0,,2, por lo que se trata de ua varable dscreta. para determar la probabldad de estos sucesos se ha de teer e cueta que el úmero total de posbldades es, 0, de los cuales, se correspode co que salga, 2, bolas rojas, 6, casos e que ua de las bolas es blaca y, 3, casos e que ambas bolas so blacas. X P( X x) p P( X x ) 0 0' 0 0' 6 0'6 0 0'7 2 Total 3 0'3 0 se halla las fucoes de probabldad y de dstrbucó teedo e cueta que la fucó de probabldad es ula e todos los valores meos e, 0,, 2, y que la fucó de dstrbucó preseta u salto e cada uo de esos valores. 0' x 0 0'6 x f ( x) 0'3 x 2 0 resto 0 x 0 0' 0 x F( x) 0'7 x 2 2 x probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 594

43 E ua dstrbucó ormal, N(0,), hallar, P(Z<- 33) se trasforma el sgo de la desgualdad de maera que su probabldad se pueda ecotrar e la tabla de la dstrbucó ormal. P(Z<- 33)= P(Z> 33)=-P(Z 33)= = La fucó de desdad de ua varable aleatora cotua, X vee dada por la expresó x f ( x) x 2 resto Hallar la fucó de dstrbucó y utlzarla para determar, P(0 5<X< 5). se escrbe la fucó de desdad como ua fucó defda a trozos dcado su valor e cada tervalo 0 x 0 x f ( x) 0 x x se determa el valor de la fucó de dstrbucó e cada tervalo 0 0. dx 0 x x x x F( x) 0. dx. dx 0 0 x x 0. dx. dx 0. dx x P(0 5<X< 5)= P(X< 5)-P(X<0 5)= F( 5)-F(0 5)= '5 0' = 0 5 E ua dstrbucó ormal, N(0,), hallar, P(Z>- 33) se trasforma el sgo de la desgualdad de maera que su probabldad se pueda ecotrar e la tabla de la dstrbucó ormal. P(Z>- 33)= -P(Z - 33)= -(-P(Z 33))= P(Z< 33)= E ua dstrbucó ormal, N(0,), hallar, P(0 5<Z< ). se trasforma la expresó e ua resta de probabldades. P(0 5>Z< )= P(Z< )-P(Z0 5)= = probabldad Departameto Matemátcas CPR Jorge Jua Xuva 595