Estadística Contenidos NM 4

Transcripción

1 Cetro Educacoal Sa Carlos de Aragó. Sector: Matemátca. Prof.: Xmea Gallegos H. 1 Estadístca Cotedos NM 4 Udad: Estadístca y Probabldades. Apredzajes Esperados: * Recooce dferetes formas de orgazar formacó: tablas y gráfcos estadístcos. * Calcula e terpreta meddas de tedeca cetral. Alguas Observacoes sobre estadístca. Dremos que la Estadístca es el cojuto de teoremas, herrametas, métodos y téccas que puede usarse e: a. Recoleccó, seleccó y clasfcacó de datos. b. Iterpretacó y aálss de datos. c. Deduccó y evaluacó de coclusoes y de su cofabldad co base e datos muestrales. Coceptos Báscos. Poblacó: Es u cojuto de persoas, evetos o cosas de las cuales se desea hacer u estudo. La poblacó puede ser fta o fta. Ejemplo: total de alumos que rde PSU este año. Muestra: Es u subcojuto de la poblacó, que debe ser represetatva y aleatora. Ej. Número de alumos del colego sa Carlos, que rde PSU este año. Dato: Iformacó obteda e la observacó de los objetos e estudo. Ej. Putaje obtedo e PSU. El dato estadístco es cualquer característca que de algú modo es medble ( peso, edad, ota, etc.) Etre los datos estadístcos se dstgue: a) Varable Cualtatva: observacoes que se refere a u atrbuto, so NO umércas ej. Color de ojos, sexo, etc. b) Varable Cuattatva: observacoes de ídole umérca: otas, peso etc. Las varables cuattatvas se dvde e Varable cotua: es aquella que puede tomar todos los valores de u tervalo. (Ej. Altura de ua persoa, edad, peso, etc.) y Varable dscreta: Es aquella que sólo toma los valores eteros de u tervalo. (Ej. Número de hjos, etc.) Clasfcacó de datos Dstrbucó de frecuecas La dstrbucó de frecuecas o tabla de frecuecas es ua ordeacó e forma de tabla de los datos estadístcos, asgado a cada dato su frecueca correspodete. Elemetos de ua dstrbucó de frecuecas agrupadas. La dstrbucó de frecuecas agrupadas o tabla co datos agrupados se emplea s las varables toma u úmero grade de valores o la varable es cotua. Se agrupa los valores e tervalos que tega la msma ampltud deomados clases. A cada clase se le asga su frecueca correspodete.

2 Frecueca (f) : Es el úmero de veces que se repte el valor de u dato, o el úmero de dvduos que perteece a la msma clase. 2 Frecueca relatva ( f r ) : Correspode a la razó etre la frecueca absoluta y el total de datos, la cual se puede expresar medate el uso de porcetajes. Frecueca porcetual (f %) : Es la frecueca relatva expresada e porcetaje. Frecueca Acumulada (F ) : Para cada valor (o clase)es la suma de su frecueca y las de las aterores. Se puede determar e forma ascedete y descedete; també e forma porcetual. Rago: Es el cojuto de todos los valores que puede tomar ua varable. (També se deoma: recorrdo o campo de varacó). Ampltud de clase: Es la dfereca etre el límte superor e feror de la clase. Marca de clase: Es el puto medo de cada tervalo y es el valor que represeta a todo el tervalo para el cálculo de alguos parámetros o estadígrafos. Límtes de la clase: Cada clase está delmtada por el límte feror de la clase y el límte superor de la clase. Los sguetes datos represeta el putaje obtedo por u grupo de 20 alumos. Tabular e 6 tervalos Clase I Mc f f-asc f-des fr fr-asc fr-des f% f%-asc f%-des Grados Itervalo Mc Frecueca Frec. Acum. Frec. Relat. Frec. % Grados 0-5 2, ,1 10% 36º , % 0º , ,35 35% 126º , ,2 20% 72º , ,25 25% 90º , ,1 10% 36º % 360º Respode de acuerdo a la tabla. a) Cuátos alumos obtuvero: 15 ó más putos Meos de 25 putos E promedo 12,5 Etre 5 y 19 putos putos b) Qué porcetaje de alumos obtuvo: 20 ó más putos Meos de 10 putos Etre 10 y 24 putos E promedo 22,5 putos 35 % 10 % 80 % 25 %

3 Defcó de parámetro estadístco 3 U parámetro estadístco es u úmero que se obtee a partr de los datos de ua dstrbucó estadístca. Los parámetros estadístcos srve para stetzar la formacó dada por ua tabla o por ua gráfca. Tpos de parámetros estadístcos Hay tres tpos parámetros estadístcos: De cetralzacó, De poscó y De dspersó. Meddas de cetralzacó Las meddas de tedeca cetral os da ua dea acerca del comportameto de los datos a los que se refere. Se puede decr que expresa el grado de cetralzacó de los datos que represeta. La meddas de cetralzacó so: Meda artmétca La meda es el valor promedo de la dstrbucó. Medaa La medaa es la putacó de la escala que separa la mtad superor de la dstrbucó y la feror, es decr dvde la sere de datos e dos partes guales. Moda La moda es el valor que más se repte e ua dstrbucó. Defcó de meda artmétca La meda artmétca es el valor obtedo al sumar todos los datos y dvdr el resultado etre el úmero total de datos. Datos o agrupados Datos agrupados xk Mc1 f1 + Mc2 f Mc f k = 1 k= 1 x x... x x= = x = = Mc k f k Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. I Mc f fac X = = = 45,6 Iterpretacó. La edad promedo del grupo es 45,6 años

4 Observacoes sobre la meda: 1. La meda se puede hallar sólo para varables cuattatvas. 2. La meda es muy sesble a las putuacoes extremas, e cuyo caso puede ser ua medda de cetralzacó poco represetatva de la dstrbucó. 3. La meda es depedete de las ampltudes de los tervalos, pero o se puede determar s hay u tervalo co ampltud determada 4. S a todos los valores de la varable se les suma u msmo úmero, la meda artmétca queda aumetada e dcho úmero. 5. S todos los valores de la varable se multplca por u msmo úmero la meda artmétca queda multplcada por dcho úmero. 4 f p = 1 Meda Poderada: X = p Ejemplo: = 1 U alumo que postula a la Uversdad tee los sguetes putajes e la PSU y e su NEM. Uv. - 1 Uv. -2 Uv. - 3 Putaje Pod. (%) - 1 Pod(%) - 2 Pod(%) - 3 Le Mat Cecas H. y Geo Nem E cuál de las 3 uversdades tee ua mejor Meda Poderada? X = = = 688,4 putos També se puede determar así: X1 = 680 0, , , , ,2 = 688,4 putos. X 2 =? X 3 =? Defcó de moda: La moda es el valor que tee mayor frecueca absoluta. Se represeta por M o. Se puede hallar la moda para varables cualtatvas y cuattatvas. Puede ocurrr que al dstrbucó sea: *Amodal: Ngú dato tee mayor frecueca que otro. *Umodal: U solo dato es el que más se repte. * Bmodal: Dos datos tee la msma frecueca. * Polmodal: Más de dos datos tee la msma frecueca.

5 Datos Agrupados: M o ( f f 1) ( f f ) + ( f f ) = Lím If Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. M o I Mc f fac ( ) ( ) + ( ) = + 10 = + 10 = + 2,58 = 52, Observacoes respecto de la Moda. 1. S e u grupo hay dos o varas putuacoes co la msma frecueca y esa frecueca es la máxma, la dstrbucó es bmodal o multmodal, es decr, tee varas modas. 2. Cuado todas las putuacoes de u grupo tee la msma frecueca, o hay moda. 3. S dos putuacoes adyacetes tee la frecueca máxma, la moda es el promedo de las dos putuacoes adyacetes. ( Ej. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4) Caso partcular: Los tervalos tee ampltudes dsttas. E prmer lugar teemos que hallar las alturas. h f = ( a a : ampltud de tervalo) La clase modal es la que tee mayor altura. o ( h h 1) ( h h ) + ( h h ) M = Lím If + a Ejemplo E la sguete tabla se muestra las calfcacoes (suspeso, aprobado, otable y sobresalete) obtedas por u grupo de alumos. Calcular la moda. f h [0, 5) 15 3 [5, 7) [7, 9) 12 6 [9, 10) 3 3

6 Medaa: M e La medaa de u cojuto de datos umércos ordeados e forma crecete o decrecete, es el dato que se ecuetra al cetro de dcha ordeacó, o la meda artmétca de los datos cetrales (e caso que la muestra tega u úmero de datos pares) 6 Datos NO Agrupados: Número mpar de datos x+ x + x + x + x M = x e 3 Número par de datos x+ x + x + x + x + x M = e x + x Datos Agrupados: M e F 1 2 = Lím If + ; F 1 : frec. acum. at. f Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. M e I Mc f fac ( 25 12) = = ,7 = 48,7 15 Iterpretacó: La persoa ubcada e el lugar 25, tee aprox. 48,7 años) La medaa es depedete de las ampltudes de los tervalos. Dagrama de barras Gráfcos Estadístcos. U dagrama de barras se utlza para de presetar datos cualtatvos o datos cuattatvos de tpo dscreto. Se represeta sobre uos ejes de coordeadas, e el eje de abscsas se coloca los valores de la varable, y sobre el eje de ordeadas las frecuecas absolutas o relatvas o acumuladas. Los datos se represeta medate barras de ua altura proporcoal a la frecueca. Polígoos de frecueca U polígoo de frecuecas se forma uedo los extremos de las barras medate segmetos. També se puede realzar trazado los putos que represeta las frecuecas y uédolos medate segmetos.

7 Gráfco Crcular. 7 U dagrama de sectores se puede utlzar para todo tpo de varables, pero se usa frecuetemete para las varables cualtatvas. Los datos se represeta e u círculo, de modo que el águlo de cada sector es proporcoal a la frecueca absoluta correspodete. El dagrama crcular se costruye co la ayuda de u trasportador de águlos. Hstograma. U hstograma es ua represetacó gráfca de ua varable e forma de barras. Se utlza para varables cotuas o para varables dscretas, co u gra úmero de datos, y que se ha agrupado e clases. E el eje abscsas se costruye uos rectágulos que tee por base la ampltud del tervalo, y por altura, la frecueca absoluta de cada tervalo. La superfce de cada barra es proporcoal a la frecueca de los valores represetados. Hstograma y polígoo de frecuecas acumuladas S se represeta las frecuecas acumuladas de ua tabla de datos agrupados se obtee el hstograma de frecuecas acumuladas o su correspodete polígoo. Hstogramas co tervalos de ampltud dferete Para costrur u hstogramas co tervalo de ampltud dferete teemos que calcular las alturas de los rectágulos del hstograma. h es la altura del tervalo. f es la frecueca del tervalo. a es la ampltud del tervalo.

8 Ejemplo 8 E la sguete tabla se muestra las calfcacoes (suspeso, aprobado, otable y sobresalete) obtedas por u grupo de alumos. f h [0, 5) 15 3 [5, 7) [7, 9) 12 6 [9, 10) 3 3 Meddas de poscó Las meddas de poscó dvde u cojuto de datos e grupos co el msmo úmero de dvduos. Para calcular las meddas de poscó es ecesaro que los datos esté ordeados de meor a mayor. La meddas de poscó so: Cuartles Los cuartles dvde la sere de datos e cuatro partes guales. Qutles Los qutles dvde la sere de datos e cco partes guales. Decles Los decles dvde la sere de datos e dez partes guales. Percetles Los percetles dvde la sere de datos e ce partes guales. Cuartles. (Q) Los cuartles so los tres valores de la varable que dvde a u cojuto de datos ordeados e cuatro partes guales. Q 1, Q 2 y Q 3 determa los valores correspodetes al 25%, al % y al 75% de los datos. Q 2 cocde co la medaa. Cálculo de los cuartles 1 Ordeamos los datos de meor a mayor. k 2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartl medate la expresó, k 1, 2, 3 4 =.

9 9 Número mpar de datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9 Número par de datos 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9 ver Cálculo de los cuartles para datos agrupados k E prmer lugar buscamos la clase dode se ecuetra, k 1, 2, 3 4 las frecuecas acumuladas. k F 1 4 Qk = Lím If + ; k = 1, 2, 3 f Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. I Mc f fac Q 1 1 ( 12,5 12) 1 = = 12,5 Q = = ,3 = 40, =, e la tabla de Iterpretacó: Sgfca que u 25% de la muestra tee meos de 40,3 años, metras que el otro 75% supera los 40,3 años. Decles. (D) Los decles so los ueve valores que dvde la sere de datos e dez partes guales. Los decles da los valores correspodetes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D 5 cocde co la medaa. Cálculo de los decles k E prmer lugar buscamos la clase dode se ecuetra, k 1, 2,..., 9 10 tabla de las frecuecas acumuladas. k F 1 10 Dk = Lím If + ; k = 1, 2,...,9 f =, e la

10 Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. D I Mc f fac ( 35 27) 7 = = 35 D = + 10 = + 3,5 = 53, Iterpretacó: Sgfca que u 70% de la muestra tee meos de 53,5 años, metras que el otro 30% supera los 53,5. 10 Percetles. (P) Los percetles so los 99 valores que dvde la sere de datos e 100 partes guales. Los percetles da los valores correspodetes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P cocde co la medaa. Cálculo de los percetles k E prmer lugar buscamos la clase dode se ecuetra, k 1, 2,..., tabla de las frecuecas acumuladas. k F Pk = Lím If + ; k = 1, 2,...,99 f Ejemplo: Edad de u grupo de persoas. P I Mc f fac ( 10 8) 20 = = 10 P = = = =, e la Iterpretacó: Sgfca que u 20% de la muestra tee meos de 35 años, metras que el otro 80% supera esta edad. Obs. 10: Q2 = D5 = P y cocde co la medaa.