MEDIDAS DE FORMA Y CONCENTRACIÓN

Transcripción

1 MEDIDAS DE FORMA Y CONCENTRACIÓN 4..- Asmetría: coefcetes de asmetría de Fsher y Pearso. Otros Coefcetes de asmetría La ley ormal Curtoss o aplastameto: coefcete de Fsher Meddas de cocetracó: Idce de G y Curva de Lorez Asmetría: coefcetes de asmetría de Fsher y Pearso. Otros Coefcetes de asmetría. Meddas de forma: Asmetría Curtoss o aputameto. Hasta ahora, hemos estado aalzado y estudado la dspersó de ua dstrbucó, pero parece evdete que ecestamos coocer más sobre el comportameto de ua dstrbucó. E esta parte, aalzaremos las meddas de forma, e el setdo de hstograma o represetacó de datos, es decr, que formacó os aporta segú la forma que tega la dsposcó de datos. Las meddas de forma de ua dstrbucó se puede clasfcar e dos grades grupos o bloques: meddas de asmetría y meddas de curtoss. Cuado al trazar ua vertcal, e el dagrama de barras o hstograma, de ua varable, segú sea esta dscreta o cotua, por el valor de la meda, esta vertcal, se trasforma e eje de smetría, decmos que la dstrbucó es smétrca. Dremos pues, que es smétrca, cuado a ambos lados de la meda artmétca haya el msmo º de valores de la varable, equdstates de dcha meda dos a dos, y tales que cada par de valores equdstates tee la msma frecueca absoluta. E caso cotraro, dcha dstrbucó será asmétrca o dremos que preseta asmetría. Aputes de estadístca pág de 7

2 SIMÉTRICA DERECHA IZQUIERDA SIMÉTRICA DERECHA IZQUIERDA Para calcular la asmetría, ua posbldad, es utlzar el llamado coefcete de FISHER que represetaremos como g y respoderá a la sguete expresó matemátca: ( x x) g s Segú sea el valor de g, dremos que la dstrbucó es asmétrca a derechas o postva, a zquerdas o egatva, o smétrca, o sea: S g > 0 la dstrbucó será asmétrca postva o a derechas (desplazada haca la derecha). S g < 0 la dstrbucó será asmétrca egatva o a zquerdas (desplazada haca la zquerda). S g 0 la dstrbucó será smétrca. Aputes de estadístca pág 2 de 7

3 g <0 g 0 g >0 Otra posbldad de calcular la asmetría, es por medo del coefcete de PEARSON (Ap), el cual respode a la sguete expresó. X Mo A p S Auque e la práctca este coefcete sería más fácl de calcular que el ateror, cas o lo utlzaremos ya que solo es certo cuado la dstrbucó tee las sguetes codcoes: Umodal Campaforme Moderada o lgeramete asmetrca. S Ap > 0 la dstrbucó será asmétrca postva o a derechas (desplazada haca la derecha). S Ap < 0 la dstrbucó será asmétrca egatva o a zquerdas (desplazada haca la zquerda). S Ap 0 la dstrbucó será smétrca. NOTA: Otro coefcete es el coefcete de asmetría de Bowley, meos utlzado. El cual esta basado e la poscó de los cuartles y la medaa, para lo cual los relacoaremos de acuerdo co la sguete expresó: C + C 2Me Ab C + C La ley ormal. Aputes de estadístca pág de 7

4 Se hace ecesaro, para la teoría sguete, coocer la DISTRIBUCIÓN NORMAL, ya que tee gra mportaca al querer estudar el aputameto o curtoss. Se dce que ua dstrbucó tee u aputameto u otro, sempre e fucó de esta dstrbucó ormal. La dstrbucó llamada ormal, correspode a feómeos muy corretes e la aturaleza y cuya represetacó gráfca es ua campaa de Gauss. Esta campaa respode a ua fucó matemátca, que es la fucó de desdad de la dstrbucó: f ( x X ) 2 ( ) 2S x s e 2π Se produce uos puto de flexó X +S y X-S y el eje OX es ua asítota horzotal sedo el área compredda etre la f y el eje de las X gual a Curtoss: coefcete de Fsher. Para calcularlo utlzaremos la expresó g 4 ( x X) 4 s 2 S g 2 > 0 la dstrbucó será leptocúrtca o aputada S g 2 0 la dstrbucó será mesocúrtca o ormal S g 2 < 0 la dstrbucó será platcúrtca o meos aputada que lo ormal Meddas de cocetracó: Idce de G y Curva de Lorez. Las meddas de cocetracó trata de poer de releve el mayor o meor grado de gualdad e el reparto del total de los valores de la varable, so por tato dcadores del grado de dstrbucó de la varable. Para este f, está cocebdos los estudos sobre cocetracó. Deomamos cocetracó a la mayor o meor equdad e el reparto de la suma total de los valores de la varable cosderada (reta, salaros, etc.). Las ftas posbldades que puede adoptar los valores, se ecuetra etre los dos extremos:.- Cocetracó máxma, cuado uo solo percbe el total y los demás ada, e este caso, os ecotraremos ate u reparto o equtatvo: x x 2 x x - 0 y x. 2.- Cocetracó míma, cuado el cojuto total de valores de la varable esta repartdo por gual, e este caso dremos que estamos ate u reparto equtatvo x x 2 x x - x De las dferetes meddas de cocetracó que exste os vamos a cetrar e dos: Idce de G, Coefcete, por tato será u valor umérco. Curva de Lorez, gráfco, por tato será ua represetacó e ejes coordeados. Sea ua dstrbucó de retas (x, ) de la que formaremos ua tabla co las sguetes columas:.- Los productos x, que os dcará la reta total percbda por los retstas de reta dvdual x. Aputes de estadístca pág 4 de 7

5 2.- Las frecuecas absolutas acumuladas N..- Los totales acumulados u que se calcula de la sguete forma: u x u 2 x + x 2 2 u x + x x u 4 x + x x + x 4 4 u x + x x + x x Por tato podemos decr que u x 4.- La columa total de frecuecas acumuladas relatvas, que expresaremos e tato por ceto y que represetaremos como p y que vedrá dada por la sguete otacó N p La reta total de todos los retstas que será u y que dada e tato por ceto, la cual represetaremos como q y que respoderá a la sguete otacó: u q 00 u Por tato ya podemos cofeccoar la tabla que será la sguete: x x N u N u p p 00 q 00 - q u x x N u p q p - q x 2 2 x 2 2 N 2 u 2 p 2 q 2 p 2 - q x x N u p q p - q Como podemos ver la últma columa es la dfereca etre las dos peúltmas, esta dfereca sera 0 para la cocetracó míma ya que p q y por tato su dfereca sera cero. S esto lo represetamos gráfcamete obtedremos la curva de cocetracó o curva de Lorez.La maera de represetarlo será, e el eje de las X, los valores p e % y e el de las Y los valores de q e %. Al ser u %, el gráfco sempre será u cuadrado, y la gráfca será ua curva que se urá al cuadrado, por los valores (0,0), y (00,00), y quedará sempre por debajo de la dagoal. La maera de terpretarla será: cuato más cerca se stúe esta curva de la dagoal, meor cocetracó habrá, o más homogeedad e la dstrbucó. Cuato más se acerque a los ejes, por la parte feror del cuadrado, mayor cocetracó. Los extremos so q % q % p % Dstrbucó de cocetracó míma p % Dstrbucó de cocetracó máxma Aalítcamete calcularemos el ídce de G el cual respode a la sguete ecuacó Aputes de estadístca pág 5 de 7

6 I G k ( p q ) k Este ídce tomara los valores de I G 0 cuado p q cocetracó míma y de I g cuado q 0 Esto lo veremos mejor co u ejemplo p Frecueca marca x Σu q (u/u) 00 p (N/) 00 p - q L- - L x N ,48 8,85 7, ,8 6,54 2, , 60,8 25, ,95 78,85 2, ,95 86,5 8, ,62 89,2 5, , 94,62 9, ,08 97, 5, ,55 99,2, ,00 00,00 0, ,5 25,48 Se pde Idce de cocetracó y Curva de Lorez correspodete a) Idce de cocetracó de GINI I G k ( p q ) k p 25,48 0, 9, Observamos 65,5 que hay poca cocetracó por ecotrarse cerca del 0. b) Curva de Lorez La curva la obteemos cerca de la dagoal, que dca que hay poca cocetracó: Aputes de estadístca pág 6 de 7

7 20,0 00,0 q % 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 00,0 0,0 p % Aputes de estadístca pág 7 de 7