1.9. ESTÁTICA CON ROZAMIENTO

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1 Fudametos y Teorías Físcas ETS Arqutectura.9. ESTÁTICA CON ROZAMIENTO Hemos estudado el equlbro de los cuerpos stuados lbremete e el espaco, o cuado estaba udos medate elaces a otros cuerpos o a bases fjas. E todos estos casos las fuerzas que se ha cosderado se ejercía etre superfces perfectamete lsas. Cuado las superfces de cotacto so perfectamete lsas, las úcas accoes mutuas etre los cuerpos so las fuerzas ormales a dchas superfces. Las superfces perfectamete lsas o exetas de rozameto costtuye u modelo útl para muchas stuacoes. Ahora be, debdo a la rugosdad que preseta las superfces e el cotacto etre superfces reales además de la reaccó ormal sempre está presetes fuerzas de rozameto. Las fuerzas de rozameto se ejerce de maera que se opoe a la tedeca de las superfces e cotacto a deslzar ua respecto a otra y su valor depede de varas cosas etre las que se cueta el tpo de materales de cotacto..9.. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUERZAS DE ROZAMIENTO Para estudar el comportameto de las fuerzas de rozameto vamos a cosderar u bloque sóldo de masa m que descasa sobre ua superfce horzotal rugosa y se halla sometdo a ua fuerza horzotal P. Dbujamos ua gráfca e la que e el eje horzotal represetamos la fuerza P aplcada sobre el bloque y e el eje vertcal la fuerza de rozameto:

2 Fudametos y Teorías Físcas ETS Arqutectura Desde el orge de la gráfca hasta el puto a la fuerza P aplcada sobre el bloque o es sufcetemete grade como para moverlo. Estamos e ua stuacó de equlbro y se cumple que F R = P, etoces al r aumetado la fuerza P aumeta també el rozameto cumplédose sempre la codcó de equlbro. Ahora be la fuerza de rozameto o puede aumetar defdamete y llega a alcazar u valor máxmo FR max. El valor de este rozameto límte es µ S N y la costate de proporcoaldad recbe el ombre de coefcete de rozameto estátco y depede de los tpos de materales e cotacto. També se observa que el coefcete de rozameto estátco es relatvamete depedete de la fuerza ormal y del área de la superfce de cotacto. Etoces cuado la fuerza P crece hasta el valor máxmo de la fuerza de rozameto, el rozameto ya o va a poder crecer más y o va a poder proporcoar la fuerza ecesara para mateer el equlbro. Se dce etoces que el deslzameto es mete ya que basta aumetar el valor de P u poquto por ecma del puto A para que el bloque comece a deslzar e la dreccó y setdo de la fuerza P. Cuado empeza a deslzar la fuerza de rozameto sgue sedo proporcoal a la ormal pero el coefcete de proporcoaldad es ahora µ, esto es F = N, el coefcete de rozameto C R µ C cétco que es u 20 y 25 % meor que el coefcete de rozameto estátco para la msma superfce. A partr de aquí el bloque deslzará co aceleracó crecete a medda que aumeta el valor de P metras que la fuerza de rozameto, ahora fuerza de rozameto cétco se matee aproxmadamete costate e gual a µ C N PROBLEMAS DE ROZAMIENTO Los problemas de rozameto so smlares a los tratados e los apartados aterores co la dfereca de que ahora també debe clurse la fuerza de rozameto e el dagrama de fuerzas y su valor se determará medate las ecuacoes de equlbro del sóldo. Ahora la fuerza ormal o tee por qué dbujarse pasado por el cetro del cuerpo. Su stuacó se determa utlzado el equlbro de mometos. Para eteder esto supogamos el sguete ejemplo: Sea u cuerpo A supuestamete e equlbro y que está e cotacto co ua superfce plaa. Sobre el cuerpo A estará e equlbro sometdo a u sstema de fuerzas exteras cuya resultate es la fuerza F y a la reaccó del cuerpo de la superfce plaa formada por dos sstemas de fuerzas dstrbudas uo de los cuales actúa ormalmete a la superfce de cotacto y el otro tagecalmete a dcha superfce: La resultate del prmer sstema es la compoete ormal N de la reaccó del cuerpo metras que la resultate del segudo sstema es la fuerza de rozameto de deslzameto F R : 2

3 Fudametos y Teorías Físcas ETS Arqutectura S el sstema de fuerzas F, N y F está e equlbro la resultate de la reaccó de la R superfce sobre el cuerpo A debe ser ua fuerza gual y drectamete opuesta a F. Gráfcamete esta stuacó oblga a que el puto de aplcacó de N sea el puto C para que la líea de accó de la fuerza F y de la resultate R de la reaccó cocda y estas fuerzas se aule: De las ecuacoes de equlbro se deduce las sguetes expresoes dode los mometos se ha tomado respecto al puto D: F = F = = x y r M D = 0 Fseα F R = 0 = 0 F cosα N = 0 = 0 Fa cosα Fhseα + Nx = 0 magtud de FR Estas tres ecuacoes determa la magtud y poscó de la compoete ormal F R. S el sstema está e equlbro la ormal estará stuada detro del cuerpo y el valor de obtedo debe ser meor que FR max = µ S N. N y la 3

4 Fudametos y Teorías Físcas ETS Arqutectura A partr de estas ecuacoes també es posble deducr el valor de F y su águlo de aplcacó ecesaro para provocar la pérdda de equlbro del cuerpo A, esta pérdda de equlbro puede ser por deslzameto o por vuelco.. Pérdda de equlbro por deslzameto: sea gual a El deslzameto del cuerpo A será mete, cuado la compoete de F a lo largo del eje X F R max = µ S N, basta que la compoete paralela al eje X aumete u poquto más para que el cuerpo A comece a moverse paralelamete a este eje. La codcó de pérdda de equlbro mete por deslzameto se obtee de la sguete ecuacó: = Fx = 0 Fseα µ S N = 0 Fseα = µ S N De esta codcó se deduce que para cosegur tal codcó se puede aumetar el valor de la fuerza extera aplcada F mateedo costate el águlo de aplcacó, o mateedo la magtud de F aumetar el águlo α. 2. Pérdda de equlbro por vuelco: La codcó = r M D = 0 Fhseα Fa cosα + Nx = 0 recoge la pérdda de equlbro por vuelco. Es fácl observar que s aumetamos el valor del águlo α el puto de aplcacó C de la compoete ormal N se desplaza haca la derecha. La pérdda de equlbro se producrá por vuelco s el águlo α de aplcacó de F es tal que su líea de accó o corte a la superfce de cotacto, ya que etoces F o podría ser equlbrada por las compoetes N y de la reaccó. E este caso o sería ula la suma de los mometos respecto a D de todas la fuerzas aplcadas al cuerpo A y éste volcaría alrededor de D. F R 4

5 Fudametos y Teorías Físcas ETS Arqutectura El valor del águlo α mímo para que la pérdda de equlbro sea mete por vuelco alrededor de D se obtee supoedo que e la ecuacó de mometos N está aplcada e el puto D: r M D = 0 Fhseα Fa cosα = 0 tgα = = a h E este setdo s mateedo el módulo de F costate varamos el valor del águlo α la pérdda de equlbro del cuerpo A se producrá por deslzameto o por vuelco depededo de lo que se cosga ates, que la compoete horzotal de la fuerza F alcace el valor máxmo de la fuerza de rozameto o que el puto de aplcacó C de la compoete ormal N se desplace hasta el extremo D del bloque MÉTODOS DE LOS TRABAJOS VIRTUALES Hasta ahora establecíamos las ecuacoes estátcas como suma de fuerzas y de mometos gualados a cero, presetádose la problemátca de aparecer mezcladas las cógtas de poscó co las de reaccó. Es decr, para calcular la poscó de equlbro de u sstema materal os aparecía uas reaccoes descoocdas que, e alguos casos, cluso o era precso determar. Se trata de platear, u estudo aalítco, y eso lo va a permtr el procedmeto del teorema de los trabajos vrtuales, que permta determar exclusvamete la cofguracó de equlbro de u sstema s que ello coduzca de forma oblgada a la resolucó de las reaccoes e los vículos o elaces. Para cosegur determar la poscó de equlbro s teer e cueta las reaccoes e los elaces o vículos, deberá elmarse éstas medate u procedmeto de cálculo gracas al cual smplemete o aparezca, este uevo método está basado e el cocepto de trabajo y se llama método de los desplazametos vrtuales o método de los trabajos vrtuales. Este método está basado e el hecho de que u sstema está e equlbro s o hay desplazameto, esto es, s el trabajo producdo por las fuerzas aplcadas al sstema es ulo. Al estudar el equlbro de u cuerpo por el método de los trabajos vrtuales es ecesaro troducr desplazametos fctcos a los que se llama desplazametos vrtuales. El desplazameto vrtual ftesmal se represetará por la dferecal δs e vez de por ds. El trabajo que efectúa ua fuerza F que se ejerce sobre el cuerpo durate u desplazameto vrtual recbe el ombre de trabajo vrtual. Cosderemos u sstema mecáco e equlbro sobre el que actúa u sstema de fuerzas e magemos que los cuerpos del sstema sufre desplazametos vrtuales ftesmales, compatbles co los elaces y fuerzas aplcadas al sstema y se calcular el trabajo vrtual efectuado por el sstema de fuerzas. El prcpo del trabajo vrtual se puede eucar de la sguete maera: S el trabajo vrtual efectuado por todas las fuerzas exterores que se ejerce sobre u puto, u cuerpo rígdo, o u sstema de cuerpos rígdos coectados medate coexoes o apoyos deales (s rozameto) es ulo para todos los desplazametos vrtuales del sstema, éste está e equlbro. S el rozameto o fuese desprecable, sería ecesaro clur el trabajo de dchas fuerzas de rozameto. S los sóldos fuese deformables, habría que teer e cueta el trabajo de deformacó. 5

6 Fudametos y Teorías Físcas ETS Arqutectura La expresó matemátca cartesaa del teorema de los trabajos vrtuales es: 0 ) ( = + + = l z Z y Y x X δ δ δ sedo x δ, y δ y z δ los desplazametos vrtuales a lo largo de los ejes cartesaos. 6