«Enfoque ráster» del problema hidrodinámico del flujo en lámina libre en 2D.

Transcripción

1 «Efoque ráster» del problema hdrodámco del flujo e láma lbre e D. Joa Soler Cotrol, Dyamcs ad Aplcato. CoDAlab-UPC. joa.soler@upc.edu Erest Bladé Isttuto mxto de vestgacó. FLUMEN-UPC. erest.blade@upc.edu Jord Bofll Cátedra de programar llure. CPL-UPC. jord.bofll@upc.edu Mauel Gómez Isttuto mxto de vestgacó. FLUMEN-UPC. mauel.gomez@upc.edu.- Itroduccó y objetvos Los Sstemas de Iformacó Geográfca (SIG) trabaja co formacó del terrtoro e dos formatos: formato ráster y formato vectoral. E las plataformas de SIG exste algortmos depedetes para el tratameto de la formacó depededo del formato orgal de los datos. Por lo tato, cualquer formacó procedete de u modelo hdráulco de flujo de agua e láma lbre crculado por el terrtoro, puede ser clasfcado e estos dos formatos. Y los algortmos de smulacó també puede ser depedetes co lo que so susceptbles de ser clasfcados de dos maeras: Efoque vectoral y Efoque ráster. La mayoría de los modelos umércos de smulacó del flujo de agua e láma lbre e dos dmesoes se basa e uas represetacoes geométrcas del terrtoro deomadas mallas. Estas mallas está compuestas de udades smples deomadas celdas que so polígoos de tres o cuatro lados. La mplemetacó de la malla se hace cosderado que e el teror de sus celdas se matee costates las propedades geométrcas y las hdráulcas. Por lo tato, e el cotexto de los SIG, las mallas so cubertas vectorales de polígoos co sus correspodetes propedades. E este trabajo se preseta ua herrameta de smulacó del flujo basada e u tpo de celdas deomadas Volúmees ftos cuadragulares (VFC). E el cotexto de los modelos umércos, cuado se requere mayor precsó de los resultados o mayor catdad de formacó e determadas zoas del ámbto de estudo, es ecesaro crear mallas de volúmees ftos más desas e dchas zoas y meos desas e el resto. Ello da lugar a mallas de volúmees ftos o homogéeos, co lo que el Efoque vectoral se matee. Pero e determados casos, o es ecesara ua ua dstrbucó de la formacó ta rregular, por lo que se puede represetar la geometría medate mallas uformes de volúmees ftos homogéeos. Y s además la celda base es cuadragular, etoces el problema pasa a teer u Efoque ráster. U Modelo Dgtal de Elevacoes (MDE) es ua represetacó e formato ráster de la geometría de ua zoa del terrtoro determada. U ráster está costtudo por u cojuto de píxeles o celdas cuadragulares. Cada píxel represeta u área cuadrada del plao x/y de ua determada logtud de lado logtud que se deoma lado del píxel y u valor asgado a esta área. Cuado dcho valor es la cota meda de toda la superfce de la celda, el ráster se deoma MDE. El Efoque ráster e el problema hdrodámco del flujo e láma lbre resulta el adecuado cuado el problema tee grades dmesoes y la formacó orgal para la costruccó de la malla provee de u MDE. Tal es el caso de los estudos de udabldad o modelos para la clasfcacó de la rotura de u embalse e fucó del resgo potecal.

2 Actualmete exste téccas umércas de resolucó de las ecuacoes de flujo e láma lbre e dos dmesoes de Sat Veat també deomadas "Shallow Waters Equatos" medate esquemas de volúmees ftos para todo tpo de mallas, be sea estructuradas y uformes, be sea o estructuradas y o homogéeas. E este trabajo se preseta ua adaptacó de ua de estas téccas umércas a mallas co celdas cuadragulares uformes y estructuradas de tpo VFC. Dcho e otras palabras, se trata de ua adaptacó umérca al Efoque ráster porque se establece ua malla homogéea y estructurada de cuadrláteros que hace equvaler drectamete y s terpolacoes cada píxel del MDE co el correspodete VFC. Como sempre pasa e hdroformátca, cuato más detallado es el modelo utlzado, mejor es el coocmeto que se obtee del feómeo, pero más dfícl es su costruccó y mayor es su complejdad. Ataño, la utlzacó de modelos excesvamete smplfcados era oblgada porque o exstía ordeadores sufcetemete potetes para el uso de modelos sofstcados. Pero hoy e día, la tecología formátca dspoble permte el uso de modelos cada vez más complejos y acordes co la realdad, de maera que el establecmeto de tales hpótess smplfcadoras resulta justfcables. A lo largo de la hstora ha do aparecedo hpótess smplfcadoras que e la actualdad o tee porqué ser establecdas: Régme uforme. Régme estacoaro y suavemete varable. Régme o estacoaro y suavemete varable. Udmesoaldad. Bdmesoaldad. Dstrbucó hdrostátca de presoes. S pérddas por fltracó. Cotudad espacal del coefcete de rugosdad. Exsteca de u flujo mímo como codcó cal. Por otro lado, la tecología LDAR del glés "Lght Detecto ad Ragg" es ua técca de teledeteccó que mde la altura del terreo utlzado u escáer láser. Hoy e día LDAR es la tecología más precsa para geerar MDE para grades áreas co ua resolucó espacal de 0,5 o m y co ua precsó míma de 5 cm e altura. Esta tecología ofrece grades vetajas e la obtecó de los MDE e cotraposcó de los sstemas fotogramétrcos: permte medr la altura real del terreo de debajo la vegetacó puesto que el rayo láser la atravesa, tee ua precsó homogéea para toda la formacó del área de estudo y reduce los costos de produccó y los plazos de etrega. Por cosguete, este tpo de materal resulta muy adecuado para la geeracó de mallas estructuradas de VFC uformes para los modelos umércos de flujo e láma lbre D. Geeralmete, los modelos umércos comercales de flujo D e láma lbre capaces de reproducr el comportameto del flujo crculado sobre el terrtoro requere la geeracó de complejas mallas para la defcó geométrca del problema. Estas mallas, resulta muy tedosas de ser mplemetadas y compromete gra parte del tempo del persoal altamete especalzado porque se trata de herrametas adaptadas al Efoque vectoral. Además, al crear la malla de volúmees ftos se perde precsó por la ecesdad de terpolacó a partr del MDE. E este trabajo se preseta u esquema umérco de volúmees ftos adaptado a la utlzacó de mallas estructuradas y homogéeas co celdas de tpo VFC. Tal adaptacó preseta las sguetes característcas: Establece ua malla estructurada y uforme de cuadrláteros que hace equvaler drectamete y s terpolacoes cada píxel del MDE co el correspodete VFC. Las dmesoes del VFC será las del píxel del MDE de base. Utlza el esquema explícto de prmer orde e volúmees ftos de Goduov co el Rema solver de Roe y co el tratameto del térmo depedete propuesto por Vázquez-Cedó (Bladé y Gómez, 006). La utlzacó de u esquema de mayor precsó lleva cosgo u cremeto del tempo de cálculo y o mejora la caldad de los resultados dada la gra precsó de la dscretzacó espacal utlzada. Esta dscretzacó co malla estructurada y uforme cofere al estudo hdrodámco del flujo e dos dmesoes u Efoque ráster, e cotraposcó a la tradcoal de malla de volúmees ftos o estructurada y o uforme, que se podría decr que tee u Efoque vectoral. El hecho de que a cada state de tempo de tegracó o sea ecesara la cosulta de la base de datos de la topología de la malla por ser coocda de atemao porque se trata precsamete de ua

3 malla estructurada y homogéea hace que el proceso umérco mejore eormemete su efceca de cálculo, tato por requerr meor tempo de cálculo como meor memora para el almaceameto de la geometría. Por cosguete, se puede abordar problemas de mayor dmesó, dado que se cosgue ua mayor optmzacó del códgo e aras a la obtecó de la máxma velocdad de cálculo y el uso de formacó masva. El Efoque ráster es altamete paralelzable s se desea. Co el Efoque ráster se reduce la complejdad del preproceso y del postproceso. Por cotra, co geometrías complcadas dode se requere la precsó del Efoque vectoral, el Efoque ráster resulta adecuado. La secllez de plateameto de Efoque ráster se matee també e el establecmeto de las codcoes de cotoro. Se propoe de dos tpos de codcoes de cotoro por defecto: Pared materal s flujo para los píxeles tpo NODATA píxeles del MDE s formacó de cota y Salda lbre de agua para el cotoro del MDE. Este plateameto smplfcado preseta el coveete de que debe de dspoerse de u MDE sufcetemete exteso como para que o exsta flueca e el área de terés de las codcoes de cotoro que sea descoocdas. Después de esta troduccó, el presete documeto se estructura de la sguete maera. La seguda parte de Plateameto matemátco dode se descrbe la dscretzacó umérca e volúmees ftos aplcados a las ecuacoes de Sat-Veat y como las ecuacoes algebracas resultates se smplfca cuado se utlza los VFC del Efoque ráster. Y falmete, ates de las coclusoes, se da u ejemplo práctco de aplcacó del Efoque ráster.. Plateameto matemátco E este apartado se repasa la formulacó de las ecuacoes de Sat-Veat bdmesoales, se aplca al sstema ua dscretzacó e volúmees ftos e el caso geeral de mallas o estructuradas y falmete se muestra como se smplfca la formulacó cuado se adapta el esquema a problemas e los que es posble la utlzacó de mallas estructuradas y homogéeas. Hay que decr que la presetacó de este apartado se ha hecho desarrollado la formulacó hasta el últmo vel, dode las expresoes algebracas resultates fales tee gra secllez. Esto se ha hecho de esta maera para mostrar la smplfcacó a la que se puede llegar e la mplemetacó del Efoque ráster e el problema hdrodámco del flujo e láma lbre e D. Se ha dejado s explcacó los coceptos teórcos subyacetes que puede ecotrarse e las referecas bblográfcas que se da...- Ecuacoes de Sat-Veat Bdmesoales Las ecuacoes de Sat-Veat bdmesoales, deomadas e glés "Shallow Waters equatos", se puede presetar e forma coservatva y otacó vectoral de la sguete maera: U + Ñ F = H + H t () dode t es el tempo, U es el vector de varables de flujo, F es el tesor de flujo, H es la compoete motrz del térmo depedete y H es la pedete de frccó, que respode a las expresoes: æ hu æ hö h U = hu ; F = hu + g hv ø huv ö huv ; H = ghs ox ; H = - ghs fx ghs - ghs oy ø fy ø h hv + g ø hv ()

4 dode h es el calado, u la velocdad e la dreccó del eje de abscsas y v la velocdad e la de las ordeadas, g es la aceleracó de la gravedad, S0x es la pedete del fodo e la dreccó de las abscsas y S0y e el de las ordeadas y Sfx es la pedete de rozameto e la dreccó de las abscsas y Sfy e el de las ordeadas: S fx = u u + v h ; S fy = 4 3 v u + v h (3) 4 3 dode es el coefcete de rugosdad de Mag. Estas ecuacoes represeta los prcpos de coservacó de la masa y de coservacó de la catdad de movmeto e las dos dreccoes del plao x/y. La ecuacó costa de tres térmos. El prmer térmo represeta la varacó temporal local de las varables hdráulcas: masa y catdad de movmeto, el segudo térmo represeta la varacó espacal de los flujos de dchas catdades y el tercer térmo (térmo depedete) represeta la gaaca o pérdda de masa y catdad de movmeto por udad de tempo e u volume dferecal que se mueve co el fludo. Evdetemete la varacó de masa debe de ser ula por o clurse la fltracó la precptacó, por lo que la prmera compoete del vector de varables depedetes es cero. La cotrbucó exteror a la catdad de movmeto, co las hpótess realzadas, tee dos razoes: la varacó de eergía potecal reflejada e la pedete del fodo y las fuerzas de frccó co el cotoro reflejada e la pedete motrz. Las ecuacoes de Sat Veat so u caso cocreto de sstema de ecuacoes dferecales e dervadas parcales hperbólco, cuas-leal y co termo depedete. y S x Fgura : Dscretzacó e volúmees ftos de u domo bdmesoal. E este caso se represeta ua dscretzacó co ua malla estructurada compuesta de cuadrláteros o homogéeos. Aquí, represeta el ídce del elemeto dode se aplcará la dscretzacó y la estructura recursva, j=,...4, es el cojuto de celdas cotguas a elemeto, S es la superfce que ecerra el volume y es el vector ortoormal a lado correspodete. j..- Esquema umérco e volúmees ftos Aplcado el Rema solver de Roe (98) para cada lado de la celda de la Fgura e u esquema e volúmees ftos sguedo los procedmetos mostrados e Toro (009) y tratado la pedete del fodo del térmo depedete segú Vázquez-Cedó (999), se obtee el esquema umérco de prmer orde utlzado e este trabajo. Todo este proceso deductvo completo puede ecotrarse detalladamete e Bladé y Gómez (006), dode se llega al sguete esquema explícto, presetado stétcamete a modo de estructura recursva:

5 U + Dt =U S k =3 é ù F U + F U g k e k ú Dlj + Dt ( H ) ( ) å å j ê ( j) j = ë k = û N ( ) (4) dode: y represeta el ídce deotatvo de celda y el de state de tempo de tegracó. j represeta el ídce deotatvo de celda cotgua a la. j represeta el lado compartdo por las dos celdas y j de logtud Δl. Δt es la logtud del paso de tempo de tegracó. S es la superfce e plata de la celda. =(, )T es el vector ortoormal aputado haca afuera de la celda, sedo y sus compoetes e las dreccoes de los ejes coordeados. e: j j x y x y k æ ö æ ö e = u + cx ; e = -c y ; e3 = u - cx c v + c v - c y øj y øj x øj (5) k = k k + ( - sgo k ) k (6) γ : k co: Dh ± é D ( hu ) x + D ( hv ) y - ( ux + v y ) Dh ùû c ë a = éë( D ( hv ) - vdh ) x - ( D ( hu ) - udh ) y ùû c j a,3 = l,3 = ux + v y ± c l = ux + v y j ; ; c b,3 = m Dz b = 0 j ì l s lk ³ e k jk = í k co: e k = Max éë0, lj - l, l j - lj ùû î e k s lk < e k (7) (8) E el esquema explícto de prmer orde e volúmees ftos de Gudoov co el Rema sovler de Roe utlzado e este trabajo, las expresoes (5) a (8) so evaluadas sobre los lados compartdos medate las sguetes terpolacoes etre celdas cotguas: u c + u j c j v c + v jc j æ h + hj ö cj = g ; vj = ; c = gh ; c j = gh j ; uj = c + c j cj + cj ø (9)

6 .3.- Formulacó e malla estructurada e Volúmees Ftos Cuadragulares E este apartado se descrbe los cambos ecesaros para la adaptacó de la formulacó propuesta e (4) a (9) para ua malla estructurada y homogéea de VFC de acuerdo co el Efoque ráster. N O o SI I e E Δy s S Δx Fgura : Dscretzacó e volúmees ftos de u domo bdmesoal medate VFC y omeclatura local. Cada volume I está rodeado por u volume Norte deotado e mayúsculas por «N», por u volume Sur deotado por «S», por u volume Este deotado por «E» y por u volume Oeste deotado por «O». E rojo, se represeta las paredes del volume fto «I» adyacetes co cada uo de los volúmees que lo rodea deotados e múscula por,«e»,«s», y «o», respectvamete. Ua malla de VFC es ua malla e que todas sus celdas so cuadradas y homogéeas y está dspuestas por flas y columas de maera que cualquer celda del domo de tegracó tee u elemeto superor (deomado aquí volume Norte y deotado por «N»), uo feror (deomado aquí volume Sur y deotado por «S»), uo a la derecha (deomado aquí volume Este y deotado por «E») y uo a la zquerda (deomado aquí volume Oeste y deotado por «O») (Fgura ). Aplcado esta omeclatura, las varables terpoladas e las caras (9) será: u c + u I ci v c +v c æh +h ö c = g N I ; u = N N ; v = N N I I ; cn = ghn cn + ci c N + ci ø u c +u c v c +v c æh +h ö ce = g E I ; ue = E E I I ; ve = E E I I ; ce = ghe ce + ci ce + ci ø u c +u c v c +v c æh +h ö cs = g S I ; us = S S I I ; vs = S S I I ; cs = ghs cs + ci cs + ci ø u c +u c v c +v c æh +h ö co = g O I ; uo = O O I I ; vo = O O I I ; co = gho co + ci co + ci ø ; ci = ghi (0)

7 Las compoetes de las expresoes (5) a (8) se puede partcularzar para u volume geérco I (Fgura ) dado: N I = 4 ; l = Dx ; le = Dy ; ls = Dx ; lo = Dy ; S I = DxDy æ 0ö æ ö æ0ö æ - ö = ; e = ; s = ; o = ø 0ø - ø 0ø æ ö æ ö l = v + c ü b = -0,5c ( z N - zi ) ü e = u ; e = -c ; e3 = u ; l = v ý ; b = 0 ý v + c 0 v - c l = v - c b = 0,5c ( z - z ) þ 3 N I þ ø ø ø 3 æ ö æ0ö æ ö le = ue + ce ü be = -0,5ce ( ze - z I ) ü ee = ue + ce ; e e = 0 ; e3e = ue - ce ; le = ue ý ; b e = 0 ý v c v l = u - c b = 0,5c ( z - z ) e eþ 3e e E I þ e ø eø e ø 3e æ ö æ0ö æ ö ls = -vs + cs ü bs = -0,5cs ( zs - z I ) ü es = us ; e s = cs ; e3 s = us ; l s = -vs ý ; bs = 0 ý v -c 0 v + c l = -v - c b = 0,5c ( z - z ) s sþ 3s s S I þ s sø ø s s ø 3s æ ö æ ö lo = -uo + co ü bo = -0,5co ( zo - zi ) ü eo = uo - co ; e o = 0 ; e3o = uo + co ; lo = -uo ý ; bo = 0 ý v -c v l = -u - c b = 0,5c ( z - z ) o oþ 3o o O I þ o ø oø o ø 3o ü ü hn - hi h -h + éë hn vn - hi vi - v ( hn - hi ) ùû ae = E I + éë he ue - hi ui - ue ( he - hi ) ùû c ce a = - éë hn un - hi ui - u ( hn - hi )ùû a e = éë he ve - hi vi - ve ( he - hi ) ùû ý; ý c ce h -h h -h a 3 = N I éë hn vn - hi vi - v ( hn - hi ) ùû a 3e = E I éë he ue - hi ui - ue ( he - hi ) ùû c ce þ þ a = ü ü hs - hi h -h éë hs vs - hi vi - vs ( hs - hi ) ùû ao = O I éë ho uo - hi ui - uo ( ho - hi ) ûù cs co a s = éë hs us - hi ui - us ( hs - hi ) ùû a o = - éë ho vo - hi vi - vo ( ho - hi )ùû ý; ý cs co h -h h -h a3s = S I + éë hs vs - hi vi - vs ( hs - hi ) ùû a 3o = O I + éë ho uo - hi ui - uo ( ho - hi ) ùû cs co þ þ a s = () Todas las expresoes de (0) y () so de tpo algebraco y tee ua marcada secllez. e su cojuto, solamete depede de las cotas de los volúmees ftos cotguos y de sus varables hdráulcas.

8 Falmete, resultará muy útl defr el vector de flujo medate la sguete trasformacó del sumatoro sobre los cuatro lados de (4): æ dh ö 4 k =3 é ù dhu = F U + F U g e ( ) ( ) å å j j k k ê údlj = j = k = ë û dhv øi ( ) éæ hn u N hs us éæ he ve ho vo ö æ öù ö æ öù ê ê ú ú = ê hn u N + 0,5 ghn - hs us + 0,5 ghs ú Dx + ê he u E ve houo vo - ú Dy ú êë êë he ve + 0,5 ghe ø ho vo + 0,5 gho ø úû hn u N vn hs us vs ø øû () é æ ö æ ö æ ö æ0ö æ öù ê ú - êg u + g -c + g 3 u + g s us + g s cs + g 3s us ú Dx 0 v -c v -c 0 v + c ú êë v + c ø ø ø s sø ø s s øû é æ ö æ0ö æ ö æ ö æ öù ê ú - êg e ue + ce + g e 0 + g 3e ue - ce + g o uo - co + g o 0 + g 3o uo + co ú Dy c v v -c v ú êë ve ø eø e ø o ø oø o øû dode los valores co subídces e mayúsculas represeta valores tomados e el teror del volume y e músculas represeta valores terpolados e el lado correspodete. Teedo e cueta el vector de flujo () y los demás vectores orgales, el esquema geeral de actualzacó temporal (4) útl para cualquer tpo de malla, queda adaptado para su utlzacó e el cotexto del Efoque ráster medate la sguete estructura recursva: + æ hö hu hv øi æ hö Dt = hu hv S I øi æ dh ö dhu - Dt ghs fx dhv ghs fy ø I øi (3) dode k es ahora el superídce deotatvo de tempo e I el subídce deotatvo de VFC o píxel..4.- Codcoes de cotoro E la gra mayoría de casos, la cartografía utlzada para la realzacó de los estudos de udabldad y de clasfcacó e fucó del resgo potecal de balsas preseta grades zoas dode o se dspoe de formacó altmétrca susceptble de ser utlzada para la creacó de los correspodetes MDE. Los VFC o píxeles afectados por esta falta de formacó se deoma de tpo NODATA. La razó de ello es el ahorro que se tee cuado o se compra zoas dode se supoe, e prcpo, que o debe crcular agua. El tratameto que se hace sobre los NODATA y sobre los cotoros delmtados por las edfcacoes es establecmeto de ua codcó de cotoro tpo Pared materal por dode el flujo o puede pasar. Desde el puto de vsta umérco, cuado a u VFC deotado por I se le va a aplcar (3) para actualzar e el tempo las varables y cuado alguo de los volúmees N, E, S o O es de tpo NODATA, se matee el msmo esquema pero asgado a los NODATA los sguetes valores: h kj hi ; u j u I ; v j vi (4) dode j es el ídce de VFC tpo NODATA, I es el ídce del VFC adyacete al j co el que comparte el lado, h el calado, u la velocdad e el eje de las abscsas y v la velocdad e el eje de las ordeadas e el state.

9 La graca de (4) está e el hecho de que se aula los promedos de los valores de las velocdades de (0) e las paredes del lado compartdo, sedo ulo el flujo a través de él pero mateedo alterado el esquema umérco (-3). La preseca de volúmees NODATA adyacetes a u VFC da lugar a 5 combacoes posbles que geera los correspodetes tpos de volume. E la Fgura 3 de muestra u esquema de todas las posbles combacoes etre volúmees ormales de tpo y los NODATA. El tpo de combacó pasa a ser ua ueva propedad de todas las celdas que descrbe la estructura topológca de malla y debe submstrarse co el msmo formato ráster de etrada de datos de las demás propedades hdráulcas Fgura 3: Tpos de volúmees co codcoes de cotoro tpo Pared materal e alguos de los volúmees adyacetes. de color grs se represeta u VFC de tpo NODATA. Los 5 tpos de combacoes represeta todas las posbles. De esta forma, la topología de la malla queda defda por u solo úmero que pasa a ser ua propedad más de la celda. La exsteca de VFC de tpo NODATA da la posbldad de utlzar esta fgura para smular el comportameto del flujo al etoro de alguas estructuras, como por ejemplo los plares de los puetes. Ello puede llevarse a cabo sempre y cuado se pueda compoer la seccó del plar medate cuadrados NODATA de la precsó del MDE utlzado (logtud del lado de la celda). El tratameto que se hace sobre los cotoros rectlíeos de los márgees de la sere cartográfca (dgamos la prmera y últma flas del ráster y prmera y últma columas) que costtuye el modelo, es tratado como codcó de cotoro de tpo Salda lbre de agua: h j = hi ; u j = u I ; v j = vi (6) dode el ídce j es cualquer VFC perteecete al cotoro de la sere cartográfca e I represeta el ídce de cualquer VFC adyacete al cotoro co el que comparte u lado, h el calado, u la velocdad e el eje de las abscsas y v la velocdad e el eje de las ordeadas e el state. 3.- Ejemplo lustratvo Para lustrar la aplcacó del Efoque ráster, se preseta los resultados de modelzacó para u estudo de udabldad de u mucpo ubcado e la cueca del Ebro e España. El estudo hdráulco fue hecho e codcoes estacoaras para caudales de tres perodos de retoro. Aquí se preseta los resultados de ua oda estacoara cuya zoa de udabldad se ecotró resolvedo las ecuacoes e régme varable e el tempo () aplcado uas codcoes supercrítcas de cotoro de caudal costate e ua seccó del río de aguas arrba hasta la cosecucó del régme estacoaro (Fgura 4). Se utlzaro dos geometrías que dfere e el grado de precsó y de dspobldad de la formacó cal. Ua prmera geometría de ámbto «recortado» (Fgura 4 a la zquerda) procedete de u vuelo Ldar y

10 ua seguda de ámbto «amplado» (Fgura 4 a la derecha) procedete de u MDE elaborado co ua cartografía tradcoal a escala : Dado que, como se verá, el agua salía del ámbto de la cuberta Ldar, tuvo que amplarse posterormete a partr de la cartografía : A parte de los resultados propos de u estudo de udabldad, el ejemplo srve para aalzar el efecto de la preseca de elemetos tpo NODATA e los tempos de de cálculo. Muchas veces la cartografía dspoble o abarca todo el domo deseable co grades zoas co VFC tpo NODATA y cuado su proporcó es grade, lo mejor es realzar los cálculos sobre la seleccó de los VFC co formacó y tratar a los NODATA como paredes materales. De esta forma, se evta el «barrdo» por todas las celdas y solo se pasa los VFC co formacó de cota a cada state de tempo. Fgura 4: MDE de cada uo de los modelos. A la zquerda puede verse el MDE (x) «recortado» procedete de u vuelo Ldar y a la derecha otro MDE (x) «amplado» obtedo a partr de la cartografía :5.000 ( Este últmo també preseta el eje teórco del río de color azul. Por el cetro se muestra de color egro, el cotoro de ua poblacó. Abajo a la derecha de color fucsa, puede verse la seccó de aguas arrba dode se mpoe las codcoes de cotoro. A la vsta de las gráfcas de la Fgura 4, cabe destacar lo sguete: La desdad de volúmees ftos es ta grade que la malla o puede ser dbujada, pero se tuye la preseca de las celdas porque se correspode co los píxeles. E la gráfca de la zquerda el MDE tee flas y 6.70 columas, lo que sgfca VFC o celdas co m de lado, co lo que el ámbto del modelo es de 3.50,73 ha. El úmero de VFC co NODATA es (47,9%). E la gráfca de la derecha, el MDE tee.938 flas y columas, lo que sgfca VFC. Cada VFC tee m de lado co lo que el ámbto del modelo es de ha. Abajo a la derecha de color fucsa, puede verse la seccó de aguas arrba dode se mpoe las codcoes de cotoro. El polígoo cerrado stuado aproxmadamete e el cetro de las gráfcas represeta el perímetro costruído u úcleo urbao poblacó y su tratameto es de NODATA. Se establece ua codcó de cotoro de etrada de flujo ua oda estacoara de 450 m3/s correspodete a la aveda de 500 años de perodo de retoro. Se propoe uas codcoes de flujo supercrítcas que da lugar al perfl de calados que muestra la Fgura 5, co la compoete de la velocdad e el eje de ordeadas ula y co la compoete de la velocdad e el eje de abcsas el doble de la correspodete crítca para asegurar la etrada del caudal cosgado. La seccó dode se mpoe tales codcoes de cotoro se ubca sufcetemete lejos del cotoro urbazado del mucpo, que es dode se desea coocer la afectacó, como para o afectar el flujo.

11 Fgura 5: codcoes de cotoro aplcadas de calado costates, e la seccó de aguas arrba del río co codcoes supercrítcas. La cota absoluta del agua era de 44,8 m para la modelzacó co el MDE «recortado». Uo de los resultados del modelo hdráulco más represetatvos de u estudo de udabldad es el área de afectacó de la aveda (Fgura 6). Evdetemete, també se cosgue otros mapas para las compoetes de la velocdad e los dos ejes coordeados. A partr de ellos y los de calados, es posble la determacó del mapa de daño que es ua combacó de todos ellos. Fgura 6: zoa de udabldad calculada co los dos modelos sobre su correspodete MDE. A la zquerda puede verse como la falta de cartografía «caalza» el propo caudal. Esta es la razó prcpal para la que tuvo que realzarse ua aplacó del modelo. A la vsta de las gráfcas de la Fgura 6 cabe destacar los sguete: El área de udabldad que preseta ambos modelos so completamete dferetes, báscamete porque el agua crcula tato por la parte orte de la poblacó como por la sur. Ello ocurre as porque se trata de ua zoa extremadamete plaa y el flujo es que determa su propo camo. El paso del modelo «recortado» cal al segudo «amplado» supuso u desceso de la láma de agua e el cotoro de la poblacó de uos 0,5 m de promedo. Vstos los dos putos aterores, queda clara la mportaca de mplemetacó de u modelo D. La zoa coloreada de azul respreseta el cojuto de VFC mojados e la stuacó fal estacoara, sedo el alzul más teso a más profuddad.

12 La mage de la zquerda se correspode co el área de udabldad obteda a los 7.00 s de cado el flujo. La mage preseta u domo mojado costtuído por VFC (850 ha y,%) y el coste computacoal de su obtecó fue de s (40 h) de tempo de CPU total trascurrdo, es decr, u rato de 0,00833 sflo/scálculo. Para la mage de la derecha, el domo mojado fue de VFC (.5,5 ha y 37,9 %) y el coste computacoal de s (33 h), lo que sgfca u rato de 0,06 sflo/scálculo. Los cálculos se realzaro co u software lbre e u computador co sstema operatvo Getoo GNU/Lux, que es ua metadstrbucó altamete cofgurable para ua aplcacó cocreta y optmzable para ua CPU específca, lo que proporcoa ua velocdad de càlculo superor a otros sstemas operatvos habtuales. El programa mplemetado para la resolucó de este problema cocreto detro de la flosofía "Do oe thg but do t well" (u programa especfco para cada problema) ha sdo mplemetado e códgo Fortra estádar y se ha complado co gfortra s paralelzacó, cludo e la GNU Compler Collecto, compatble co el estàdard Fortra 95 y co soporte para F77. Las característcas hardware fuero: CPU AMD Pheom II 965 X4 Quad Core 3,4Ghz, 6 Gb de memora DDR3 a.600 Mhz y x500gb de dsco. Se trata de compoetes electròcos comercales de alta gamma e su mometo, pero co coste total tferor a los.000 dólares. A fecha de abrl 009, esta CPU estaba stuada e el puesto 47 del rakg de Coclusoes Segudamete se eumera las coclusoes del trabajo. Se ha establecdo ua clasfcacó de los problemas de flujo e láma lbre e dos dmesoes de acuerdo co el formato de la formacó dspoble y requerda de los Sstemas de Iformacó Geográfca (SIG): Efoque vectoral y Efoque ráster. Se ha presetado el sstema de ecuacoes de las aguas poco profudas de Sat-Veat e dos dmesoes y se descrbe el método de resolucó utlzado que se basa e u esquema el esquema explícto de prmer orde e volúmees ftos de Goduov co el Rema sovler de Roe y co el tratameto del térmo depedete propuesto por Vázquez-Cedó. Dado que dcho esquema srve tato para problemas co malla estructurada o o, el problema puede cosderarse detro del Efoque vectoral. Se establece ua adaptacó del método propuesto e el puto ateror a problemas que se descrbe co ua malla estructurada y homogéea de cuadrláteros que hace equvaler drectamete y s terpolacoes cada píxel o celda del MDE co el correspodete Volume Fto Cuadragular (VFC). Las dmesoes del VFC será las del píxel del MDE de base. Por lo tato, el problema puede cosderarse detro del Efoque ráster. E el Efoque ráster, el hecho de que a cada state de tempo de tegracó o sea ecesara la cosulta de la base de datos de la topología de la malla por ser coocda de atemao porque se trata precsamete de ua malla estructurada y homogéea hace que el proceso umérco mejore eormemete su efceca de cálculo, tato por requerr meor tempo de CPU como meor memora RAM de almaceameto de la geometría. Además preseta la propedad de ser altamete paralelzable. La secllez de plateameto del Efoque ráster se matee també e el establecmeto de las codcoes de cotoro. Se propoe de dos tpos codcoes de cotoro por defecto: Pared materal s flujo para los VFC tpo NODATA píxeles s formacó de cota y Salda lbre de agua para el cotoro de la sere cartográfca del MDE. El programa utlzado ha sdo mplemetado e códgo Fortra estádar y se ha complado co gfortra s paralelzacó, cludo e la GNU Compler Collecto, compatble co el estàdard Fortra 95 y co soporte para F77. Las característcas hardware fuero: CPU AMD Pheom II 965 X4 Quad Core 3,4Ghz, 6 Gb de memora DDR3 a.600 Mhz y x500gb de dsco. Se trata de compoetes electròcos comercales de alta gamma, pero co coste total feror a los.000 $. A fecha de abrl 009 esta CPU está stuada e el puesto 47 del rakg de

13 5.- Referecas bblográfcas Roe, P.L., (98), Approxmate Rema solvers, parameter vectors, ad dfferece schemes, Joural Of Computatoal Physcs, V. 43, pp Toro, E.F., (009), Rema solvers ad umercal methods for flud dyamcs: a practcal troducto, Sprger Verlag. Vázquez-Cedó, M.E. (999), Improved Treatmet of Source Terms Upwd Schemes for the Shallow Waters Equatos Chaels wth Irregular Geometry, Joural Of Computatoal Physcs, V. 48, pp Bladé, E., Gómez, M., (006), «Modelacó del flujo e láma lbre sobre cauces aturales. Aálss tegrado e ua y dos dmesoes», Moografa CIMNE Nº97. Barceloa.