Ampliación de Redes de Telefonía Básica

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1 Amplacó de Redes de Telefoía Básca Carlos D. Almeda Uversdad Nacoal de Asucó. Sa Lorezo, Paraguay Nlto R. Amarlla Uversdad Nacoal de Asucó. Sa Lorezo, Paraguay Bejamí Bará Uversdad Nacoal de Asucó. Sa Lorezo, Paraguay Resume La plafcacó de la ubcacó óptma de cetrales telefócas es u complejo proceso de cálculo, a cargo de especalstas que tradcoalmete cosdera u solo objetvo: ateder la demada al meor costo. Las téccas tradcoales de plafcacó utlza métodos heurístcos de cálculo para la ubcacó adecuada de estas cetrales telefócas. Alteratvamete, el presete trabajo propoe la utlzacó de Algortmos Evolutvos Multobjetvos para la plafcacó de cetrales telefócas a corto, medao y largo plazo. Esta costtuye ua opcó válda e la elaboracó de propuestas, teedo e cueta la rapdez co que se puede ecotrar solucoes y la varedad y caldad de estas solucoes. Resultados expermetales co la plafcacó de cetrales telefócas para la cudad de Asucó valda la presete propuesta. Palabras Claves Telemátca, Plafcacó de Redes, Optmzacó Multobjetvo, Algortmos Evolutvos. INTRODUCCION El vertgoso crecmeto del cosumo y varedad de los servcos de telecomucacoes geera ua ecesdad cada vez mayor de mplemetar herrametas efcetes para la plafcacó de las redes de telecomucacoes, a f de mmzar los altos costos de versó y matemeto. Báscamete, el problema a resolver cosste e calcular la catdad de cetrales ecesaras para cubrr la demada de u área y la correspodete ubcacó efcete de las msmas, de forma a mmzar los costos basados e los datos de poblacó, demada de tráfco y costo de la fraestructura requerda para ateder la demada proyectada. Además, ua vez obtedo u cojuto de solucoes óptmas, y habedo decddo adoptar e mplemetar ua de ellas, se platea resolver el problema de ubcar uevas cetrales para satsfacer las demadas a corto, medao y largo plazo. Actualmete, exste herrametas de plafcacó como PLANITU [] que permte realzar la plafcacó de cetrales, calculado ua ubcacó de cetrales que atede a ecesdades de telecomucacoes. Esta herrameta covecoal, resuelve el problema e cuestó propoedo ua úca solucó, calculada medate métodos tradcoales basados e el álgebra leal []. Este método es adecuado cuado se estuda la posbldad de stalar ua ueva cetral, pero o es efcete cuado se espera ubcar varas cetrales, ya que se ecestaría muchísmo tempo de procesameto para aalzar cada ua de las posbles combacoes, co el agravate de obteer resultados que o garatza ser ua solucó óptma. Adcoalmete, herrametas exstetes de plafcacó como PLANITU, tee la restrccó adcoal de u costo muy elevado de adquscó y matemeto, lo que complca su utlzacó e sttucoes s sufcetes recursos ecoómcos. Hstórcamete, este tpo de problemas, se ha tetado resolver por medo de programacó leal [2, 3], pero esta metodología preseta dfcultades e su formulacó. Así msmo, se ha tetado utlzar búsqueda exhaustva, pero esto solo es posble para redes muy pequeñas, lo que dfculta su utlzacó práctca s se cosdera el tamaño de las actuales redes de telecomucacoes [3]. Alteratvamete, algortmos Brach ad Boud [4] era també utlzados. S embargo, debdo a la crecete complejdad del dseño de las redes de telecomucacoes, se ha desarrollado també varos algortmos heurístcos [5] para solucoar grades stacas del problema de ubcacó de cetrales. Dos aproxmacoes heurístcas coocdos como ADD [6] y DROP [7] fuero usadas como algortmos heurístcos para versoes de gra escala del problema e cuestó. U teto más recete de ecotrar solucoes al referdo problema, se basa e las ya coocdas téccas de telgeca artfcal, coocdas como Tabu Search [8]. Esta técca de Tabu Search es ua aproxmacó heurístca que faclta la dervacó de varas alteratvas de solucó, tales como los algortmos descedetes [9]. E todos estos casos, la solucó ecotrada mmza ua úca fucó objetvo, como el costo de versó para ateder ua demada coocda. S embargo, o sempre la solucó que atede la demada actual es la que mmzará los costos e el medao o largo plazo. E cosecueca, este trabajo propoe resolver el problema de plafcacó de cetrales de telecomucacoes cosderado smultáeamete: La demada actual y (año 2002 para el problema de prueba), La demada a medao plazo y 2 (año 2004 e el referdo problema de prueba) y La demada a largo plazo y 3 (cosderado el año 2007 para este trabajo, por falta de estmacoes sufcetes para años posterores). Posterormete, se aplcará el msmo cocepto de optmzacó Multobjetvos para ubcar ua ueva cetral, basa-

2 do e ua solucó e partcular del cojuto de solucoes obtedos por el msmo método multobjetvo. E cosecueca, debdo a la mposbldad de los métodos tradcoales de realzar la optmzacó smultaea de varos objetvos e la búsqueda de solucoes, el presete trabajo propoe utlzar Algortmos Evolutvos Multobjetvos que permta ecotrar solucoes al problema de refereca, optmzado todos los objetvos propuestos, al msmo tempo. A dfereca de la solucó moo-objetvo, la solucó multobjetvo es u cojuto de solucoes Pareto que cotee a todas las solucoes de compromso, obtedas al cosderar smultáeamete todas las fucoes objetvos. E cosecueca, el plafcador resposable de la toma de decsoes obtee u abaco de posbldades óptmas, e el setdo Pareto, para elegr la solucó que mejor se adecue a sus ecesdades. Ua mportate vetaja de esta metodología es que los tempos de corrdas de estos algortmos evolutvos so cosderablemete más cortos que los requerdos para calcular u cojuto smlar de solucoes Pareto, utlzado repetdamete los métodos tradcoales arrba ctados. El presete trabajo, propoe la optmzacó de las redes de telecomucacoes utlzado u Algortmo Evolutvo Multobjetvo. E partcular, se utlzará el Stregth Pareto Evolutoary Algorthm - SPEA2, por su recoocda efceca e la búsqueda de solucoes multobjetvo [0]. Este trabajo está orgazado de la sguete maera: E la seccó se formula matemátcamete el problema, expoedo alguos coceptos relatvos a la optmzacó multobjetvo, el método utlzado para ubcar las cetrales, y el problema de prueba. E la seccó 2, se descrbe el Algortmo Evolutvo Multobjetvo propuesto. E la seccó 3 se preseta los resultados expermetales obtedos y su terpretacó. Falmete, se cocluye el trabajo e la seccó 4.. FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA E esta seccó se defe alguos coceptos relatvos a la optmzacó Multobjetvo, se resume el procedmeto realzado para ecotrar estas solucoes y se preseta el problema de prueba... Optmzacó Multobjetvo El problema de optmzacó Multobjetvo tratado e este trabajo se defe de la sguete forma [, 2]: Mmzar y = f(x) = (f (x), f 2 (x), f 3 (x)) () Dode x = (x, x 2,..., x,..., x ) X N represeta el vector de decsó; y = (y, y 2, y 3 ) = f(x) Y N 3 represeta el vector de objetvos;... úmero máxmo de cetrales; m... úmero máxmo de cuadrículas e que se dvde el área e estudo; x... desga la ubcacó de ua cetral detro del área e estudo (0 x m); y... represeta la versó acumulada hasta el año cosderado. Cabe recordar que e u cotexto multobjetvo [2] se dce que u vector objetvo y doma a otro y sí y solo sí y y,, y, además, y j < y j para por lo meos u j. Ua solucó x* X es Pareto óptma s o exste otra x X tal que y = f(x) dome a y* = f(x*). El cojuto de todas las solucoes Pareto óptmas es deomado cojuto Pareto óptmo P (P X), y su mage, Frete Pareto FP (FP Y)..2 Ubcacó Optma de Cetrales y Problema de Prueba El problema de la ubcacó óptma de cetrales cosste e ecotrar el úmero óptmo de cetrales telefócas, y la mejor ubcacó de dchas cetrales e u área de estudos (típcamete ua cudad determada, Asucó para este trabajo), de forma a mmzar el costo acumulado de versó a corto, medao y largo plazo. El área de la cudad a ser atedda se dvde e m cuadrículas de por ejemplo 0 a 500 m de lado. A cada ua de éstas cuadrículas se le asga u valor de fla y columa, coformado ua matrz. A cada elemeto de esta matrz se asoca dos valores: Poblacó, que es la catdad de habtates que hay e cada cuadrícula, y Costo del Terreo (por metro cuadrado). Los datos de poblacó y terreos se obtee a partr de datos ofcales dspobles sobre el área e estudo, que para el presete trabajo, será la cudad de Asucó, captal de la Repúblca del Paraguay [3]. De esta forma, obteemos ua matrz M N mx4 co ua fla por cada ua de las m cuadrículas váldas y 4 columas co formacó por cuadrícula, de: ª columa: fla para su ubcacó e el mapa; 2ª columa: columa para su ubcacó e el m apa; 3ª columa: poblacó actual (dato utlzado para estmar demada); 4ª columa: costo del terreo. Debdo a que el plao del área e estudo tee e geeral ua fgura geométrca rregular, muchas cuadrículas cae fuera de los límtes de la cudad o e zoas o habtadas, co ríos, lagos o motañas. Por lo tato, utlzado téccas de matrces esparzas, a todas las cuadrículas que queda fuera de la cudad se les asga u dcador de cuadrícula o válda (flag) y o se las cueta etre las m cuadrículas váldas. El costo de mplemetacó de ua cetral de telecomucacoes es calculado de la sguete forma: 6 y = ( x )..., 2, 3 (2) c j j=

3 Dode: c (x): Costo total de plata extera, defdas por el vector de decsó x; c 2 (x): Costos de terreos dode será staladas las cetrales; c 3 (x): Costos de edfcos dode será staladas las cetrales; c 4 (x): Costos de geería que colleva la stalacó de las cetrales; c 5 (x): Costos de equpos de comutacó; c 6 (x): costos de equpos de trasmsó etre las cetrales defdas por x. Para la evaluacó del costo de plata extera c (x), se calcula las dstacas de cada aboado a la cetral más cercaa, coforme se lustra e el sguete ejemplo. Problema de Prueba Como problema de prueba para ejemplfcar la presete propuesta se escogó el dseño de la plata extera de ua empresa de telefoía básca para la cudad de Asucó, dada la dspobldad de datos para la msma [3]. El problema cosste e dado que exste actualmete 8 cetrales staladas e Asucó, e dode agregar uevas cetrales de tal forma a mmzar los costos de amplacó a corto, medao y largo plazo. La Fgura represeta el plao cuadrculado de la cudad de Asucó, co los cotoros dcado los elemetos váldos de la matrz. Para este ejemplo, exste m = 499 cuadrículas váldas. El vector de decsó para este ejemplo, al adoptar u úmero máxmo de = 4 cetrales, será: x = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 48, 92, 88, 232, 250, 39, 390, 423) Dode se observa que de las 4 cetrales posbles, esta dsposcó utlza solo 8 cetrales, ubcadas e las poscoes 48, 92, 88, 232, 250, 39, 390, y 423. Puede otarse, además, que el vector de decsó x tee sus elemetos x ordeados e forma crecete, lo que faclta detectar solucoes smlares dode las cetrales se ecuetra smplemete permutadas. Las cuadrículas que formará parte del área de servco de ua cetral, so aquellas que tee el costo mímo de coexó cuado coectadas a esta cetral. Cada ua de estas cuadrículas, deotadas e adelate x t, atede la codcó: x t m. A cada cuadrícula x t va asocados dos valores que represeta sus coordeadas (X t, Y t ) e ua matrz de 32 flas por 30 columas. El cálculo del costo de coectar los aboados que está e ua cuadrícula x t a ua cetral, se realza coforme a: c t = d t p ( X -X t + Y -Y t + ) (3) dode: c t... costo de coectar los aboados perteecetes a la cuadrícula x t a la cetral x ; d t... catdad de aboados de la cuadrícula x t ; p... costo de plata extera por udad de logtud, por cada aboado; (X, Y )... coordeadas de la cetral x ; (X t, Y t )... coordeadas de la cuadrícula x t. El área de servco de cada cetral cotee aquellas cuadrículas co meores dstacas a dcha cetral, de forma a mmzar el costo de plata extera c (x). Por lo tato, el costo total de plata extera, para el ejemplo cosderado, se calcula coforme: m c (x) = c t h t (4) t= s el sto xt está coectado a la cetral x ht = 0 caso cotraro Se asume que cada sto x t puede estar coectado a ua sola cetral x, por lo tato: h = x t =, 2,..., m (5) t El costo del terreo es el producto del costo por m 2 y el área del edfco de la cetral, coforme: c (x = q xg xw (6) 2 ) q... área e m 2 a ser ocupada por la cetral x. g... costo del terreo por m 2 e la cuadrícula x. s la cetralestá e el sto x w = 0 caso cotraro Los demás costos de la ecuacó (2), se calcularo de la sguete forma: dode: c ( x) = 3 c ( x) = 4 c ( x) = 5 c ( x) = 6 k = w m t= ctr c c e g eq c w w d k ( k ) 2 t (7) c e... costo de costruccó del edfco de la cetral; c g... costo de la geería de plafcacó de cetrales; c eq... costo de los equpametos de la cetral, por aboado; c tr... costo de los equpams. de trasmsó; k... catdad de cetrales (k ); d t... demada telefóca de la cuadrícula x t;

4 Columas Flas Fgura : Ejemplo de dvsó e cuadrículas de la cudad de Asucó. Este plao dca los cotoros que cotee los 499 elemetos váldos de la matrz. Además, se observa las 8 cetrales exstetes del problema de prueba co sus respect - vas áreas de servco. E cosecueca, el problema prcpal a ser resuelto cosste e ecotrar la catdad de cetrales y la ubcacó óptma de estas cetrales e el área de estudo, de la cual se cooce todos los datos relatvos a la matrz M arrba defda. S exste m stos posbles, exste claramete 2 m alteratvas de ubcacó de cetrales. Aú, s se restrge la atecó para ubcar cetrales e m stos, el úmero de alteratvas de ubcacó de cetrales es todavía: m m! = (8) ( m )!! E el ejemplo de la Fgura, para 499 cuadrículas váldas y 4 cetrales, exste uas 5, alteratvas de ubcacó de cetrales. El problema propuesto e el presete trabajo, permte ecotrar solucoes Pareto que mmce los costos acumulados a corto, medao y largo plazo, de u cojuto de alteratvas de ubcacó de cetrales, cosderado los dferetes valores posbles del úmero k de cetrales (k ). El espaco de búsqueda del problema propuesto, es etoces: m (9) E otras palabras, el método a ser utlzado e el presete trabajo debe posbltar la obtecó de u cojuto de solucoes Pareto óptmas, establecedo la catdad y la ubcacó óptma de estas cetrales.

5 Los valores de las matrces, datos, y dagramas utlzados e los resultados expermetales presetados está dspobles e [4]. 2. ALGORITMO EVOLUTIVO PROPUESTO El algortmo evolutvo propuesto es el SPEA2 cuya efceca e la búsqueda de solucoes se caracterza por la obtecó de solucoes Pareto óptmas y la dversdad de las msmas sobre el Frete Pareto. Este algortmo utlza ua estratega de asgacó de ftess que corpora formacó de desdad a f de evtar la pérdda de posbles solucoes óptmas [0]. El operador de trucameto elma aquellos dvduos que está muy pegados uos a otros de forma a o perder putos valosos de la frotera y asegurar de esta forma que las solucoes ecotradas e el frete Pareto, sea regularmete dstrbudas. El proceso de ecotrar los dvduos o domados e el archvo y la poblacó, está basado e el cocepto de domaca Pareto. Cada vez que u dvduo o domado es ecotrado, el msmo es comparado co los o domados ya exstetes e el archvo, y s el msmo es ua solucó, el dvduo hallado es sertado e el archvo. Para esclarecer el procedmeto de aplcacó del SPEA2 e la plafcacó de cetrales, a cotuacó se preseta u esquema de utlzacó del referdo algortmo. 2. Represetacó de Solucoes y Poblacó Ical Para la aplcacó de los Algortmos Evolutvos Multobjetvos propuestos e el problema de prueba, cada dvduo x = (x, x 2,..., x,..., x ) fue codfcado usado u arreglo de úmeros eteros x, tal que 0 x m (m=499). E la fgura, dode se represeta el plao cuadrculado de Asucó, se puede aprecar los 499 valores o ulos de la matrz utlzada para los cálculos de costos de cada vector de decsó. La poblacó cal, cuyo tamaño se deotará como d (úmero de dvduos), es geerada por u algortmo heurístco de calzacó, e dode max dca el úmero máxmo de cetrales para cada vector de decsó. Este algortmo geera ua poblacó cal e forma telgete de maera a obteer dvduos que se aproxme razoablemete al cojuto de solucoes Pareto óptmas buscadas, mmzado de esta forma los tempos de corrdas. Para cada dvduo de la poblacó, se realza u sorteo para saber cuatas cetrales tedrá esa solucó, y se ubca las cetrales de tal forma a que las msmas esté ubcadas e los cetros de demadas a f de mmzar los costos de coexó de los aboados a su cetral correspodete. El algortmo heurístco de co de la poblacó se descrbe a cotuacó. Algortmo Heurístco de Icalzacó de la Poblacó Ical. Leer parámetros: d, max Ordear matrz de poblacó de acuerdo al úmero de habtates Para hasta d Geerar u úmero aleatoro N etre 6 y max Dvdr la poblacó total e N partes: parte=poblaco.total/n Para hasta N Elegr puto x aleatoramete etre las 5 ubcacoes más pobladas Hallar dstaca eucldaa de x a todas las ubcacoes de la matrz de poblacó Ordear las dstacas obtedas de meor a mayor poblaco = 0 Metras poblaco es meor o gual a parte Sumar a poblaco la poblacó de las ubcacoes más próxmas a x F Metras Elmar de la matrz de poblacó las ubcacoes que se agregaro a poblaco Hallar el cetro geométrco P de todas las ubcacoes que se agregaro a poblaco Hacer x P F Para S N < max x 0 para todo que o cotee ua cetral (esto es, N+ max) F S F Para Elmar cetrales repetdas de cada dvduo de la poblacó cal y ordear cetrales e orde crecete Pseudocódgo : Algortmo Heurístco de geeracó de la poblacó cal Evaluacó de Solucoes y Fucó Ftess E la evaluacó de la fucó ftess, se utlzaro los coceptos de domaca Pareto defdos e la seccó. e u cotexto de mmzacó de fucoes objetvos. De esta forma, cada vector de decsó es comparado co otro a través de las fucoes objetvos de dchos vectores, de tal forma a determar s u dvduo doma a otro dvduo j. La fucó ftess(x) fue mplemetada coforme a lo especfcado por el SPEA2 de Ztzler [0]. Los valores de ftess calculados medate este algortmo, so utlzados e la seleccó de los dvduos que pasará a formar parte del archvo que cotee a los mejores dvduos de la poblacó. El referdo algortmo asga a los dvduos o domados u ftess meor a, e cuato que a los dvduos domados se les asga u

6 ftess mayor o gual a, co lo que todos los dvduos tee dferetes valores de ftess Seleccó Se deoma como seleccó del ambete [4] a la accó de completar co los mejores dvduos de cada geeracó, ua poblacó extera deomada archvo. El tamaño del archvo es fjo y o varía durate las corrdas del algortmo. Icalmete, todos los dvduos o domados, cuyos ftess so meores que uo, so copados al archvo de la sguete geeracó P = P + P F( ). S la catdad de dvduos { } t + t t < o domados es gual al tamaño establecdo para dcho archvo ( P t + = N), el paso de seleccó del ambete está completo. Caso cotraro, exste dos posbldades:. La catdad de dvduos o domados es meor que el tamaño establecdo para el archvo ( P t + < N), o 2. La catdad de o domados es mayor que el tamaño fjado para el archvo ( P t > N) +. ( t + E el prmer caso, se completa el archvo co los mejores N P ) dvduos domados e el archvo y la poblacó de la geeracó ateror t. Esto es mplemetado ordeado el multcojuto P + P de acuerdo a los valores de ftess y copado a P t+ los prmeros N P t t t + dvduos co ftess F(). E el segudo caso, cuado el tamaño del cojuto de o domados es mayor a N, u operador de trucameto remueve teratvamete los dvduos de P t+ hasta que el cojuto de o domados sea gual al tamaño establecdo para el archvo P t = N. Este operador de trucameto garatza que putos valosos de la frotera o sea perddos, y lo realza de la sguete forma: el dvduo que tee la meor dstaca eucldaa a otro dvduo es desechado e cada teracó. E caso de gualdad co otros dvduos, se desempata cosderado la seguda meor dstaca del dvduo a ser removdo, y así sucesvamete Pseudocódgo del Algortmo Evolutvo Multobjetvo Propuesto SPEA 2 E las corrdas realzadas del algortmo SPEA 2 se utlzaro los sguetes parámetros: Tamaño de la poblacó (d) = 00. Número máxmo de cetrales (max) = 4 a 20. Tamaño del archvo de o domados (ptrue) = 00. Número máxmo de geeracoes (ge) = 000 a Probabldad de cruzameto (pc) = 0,7 a 0,9. Probabldad de mutacó (pm) = 0, a 0,3. + A cotuacó, se preseta el Pseudocódgo del algortmo Multobjetvo utlzado: Programa Prcpal SPEA2 Leer los parámetros del SPEA 2: d, max, ge, pm, pc, ptrue Geerar ua poblacó usado el algortmo heurístco (Pseudocódgo ) Geerar u archvo vacío (cojuto extero) Para ge= hasta ge Elmar cetrales repetdas del dvduo Evaluar fucoes objetvo de cada dvduo de la poblacó Asgar ftess a cada dvduo de la poblacó y del archvo Calcular todos los dvduos o domados de la poblacó y el archvo Actualzar el archvo co los dvduos o domados S el tamaño del archvo es mayor que ptrue Reducr el tamaño del archvo co el operador de trucameto Caso cotraro S el tamaño del archvo es meor que ptrue Copar los mejores dvduos domados del archvo y la poblacó co ftess al archvo de la ueva geeracó hasta que el tamaño del archvo sea gual a ptrue F S S ge es meor que ge Realzar toreo baro para seleccoar los dvduos del archvo que formará parte del cojuto de emparejametos Realzar cruzameto y mutacó del cojuto de emparejametos Actualzar la poblacó del resultado del cojuto de emparejametos F S Icremetar cotador de geeracoes (ge=ge + ) F Para Salvar el archvo (cojuto de o domados) Pseudocódgo 2: Algortmo SPEA2 mplemetado. 3. RESULTADOS EXPERIMENTALES Las solucoes obtedas para el problema de prueba so presetadas e la tabla. Las msmas fuero obtedas medate sucesvas corrdas del algortmo SPEA2, luego de haber descartado otros algortmos evolutvos que o lograro el vel de desempeño obtedo co el SPEA2.

7 Tabla : Tabla de solucoes ecotradas de amplacó de cetrales del problema de prueba TABLA DE VALORES DE SOLUCIONES NO DOMINADAS ENCONTRADAS COSTOS EN US$ Solucó Vector de decsó Año 2002 Año 2004 Año E la tabla se puede aprecar que la mejor solucó para el año base 2002 es la úmero, que utlza 9 cetrales. Para el año 2004, la mejor solucó es la úmero 2 que requere de 0 cetrales, metras que para el año 2007, la catdad óptma de cetrales es de 4 (solucó úmero 6). Claramete, los tres objetvos coflctúa etre sí por lo que el plafcador deberá decdr cual es la mejor relacó de compromso etre su versó a corto plazo y el costo que podrá llegar a teer la red a medao y largo plazo. Es teresate efatzar que al utlzar u algortmo evolutvo multobjetvo, el plafcador o solo ecuetra las mejores solucoes para cada objetvo, so toda la gama de solucoes de compromso Pareto óptmas etre estos objetvos, por lo que se faclta la toma de decsó coscete. Cabe mecoar que la solucó efectvamete mplemetada para la cudad de Asucó o es ua solucó Pareto óptma, y de hecho colleva u costo mucho mayor que cualquera de las solucoes calculadas co la metodología propuesta, s mportar cual de las 3 fucoes objetvos se cosdere. E este procedmeto descrto, el plafcador puede elegr ua de las solucoes ecotradas e la tabla y dar éfass a u solo objetvo. Por ejemplo, se podrá elegr la solucó úmero 6 e dode el costo de versó cal para el año base 2002 es más elevado, pero tedrá mportates ahorros, cuado se eceste realzar amplacoes e los años 2004 y Dado que e la metodología propuesta exste varas solucoes o domadas etre sí, y a f de smplfcar la tarea del plafcador, se preseta e la Fgura 2 ua sugereca pragmátca para elegr ua de etre todas las solucoes Pareto óptma. La dea es traer a valor presete las versoes a medao y largo plazo de forma a teer u úco objetvo que permta comparar todas las alteratvas de solucó ecotradas por el plafcador, e el tradcoal cotexto moo-objetvo. E la Fgura 2 puede otarse que e la smplfcacó propuesta, el úmero óptmo de cetrales es 9, lo que cocde co el úmero exstete de cetrales e la cudad de Asucó.

8 Costo de Iversó Valor Presete del Proyecto vs. Catdad de Cetrales,50E+08,45E+08,40E+08,35E+08,30E+08,25E+08,20E+08,5E+08,0E+08 Número óptmo=9 cetrales Catdad de Cetrales Fgura 2: Este dagrama muestra el costo de versó e fucó de la catdad de cetrales. Se observa el úmero óptmo de cetrales que es gual a 9. Cabe destacar que la metodología adoptada para resolver el problema de ubcacó de cetrales es fáclmete adaptable a otros problemas smlares. Por ejemplo, dado ua catdad de cetrales exstetes e u área, se puede calcular dode agregar uevas cetrales para satsfacer la demada a 5 y 0 años de plazo. Sobre la base de los resultados obtedos, se puede utlzar la metodología propuesta para mejorar: la plafcacó de redes de telecomucacoes, ubcacó de estacoes bases para telefoía celular, o e geeral, ubcar de maera óptma cetros de atedmeto de dversos servcos, como cadeas de comdas rápdas, supermercados, etc. La smplcdad de la metodología propuesta, para u problema ta complejo, aleta a mrar co optmsmo la realzacó de futuros trabajos e el área, así como uevas aplcacoes. 4. CONCLUSIONES La utlzacó de Algortmos Evolutvos Multobjetvos e la resolucó de problemas de ubcacó de cetrales de telecomucacoes, preseta u efoque édto e la plafcacó de redes de telefoía básca. Esta metodología proporcoa ua herrameta computacoal que permte obteer u cojuto de solucoes Pareto óptmas, cosderado todos los aspectos que se quera optmzar de maera smultaea. Los métodos heurístcos tradcoales proporcoa smplemete solucoes putuales [], apelado a procesos teratvos para cotemplar todos los aspectos de la red que se quere dseñar, co la cosecuete demora e el dseño. Co el presete trabajo, se ota que la utlzacó de algortmos evolutvos Multobjetvos como el SPEA2, proporcoa al plafcador de redes u cojuto de solucoes Pareto óptmas para la correcta ubcacó de las cetrales, de forma a mmzar los costos cales de versó y las versoes de expasó a medao y a largo plazo. Coforme co los resultados obtedos e este trabajo, se puede aseverar que las solucoes dstrbudas sobre el frete Pareto so domates co respecto a las solucoes efectvamete mplemetadas por empresas del área que se lmtaro a utlzar herrametas tradcoales de cómputo e sus estudos de plafcacó. De hecho, e las pruebas realzadas, las solucoes obtedas co el SPEA2 superaro claramete a las obtedas por otros métodos tradcoales. E deftva, se puede afrmar que el empleo de algortmos evolutvos Multobjetvos para la plafcacó, dmesoameto y optmzacó de redes de telecomucacoes, ofrece ua perspectva más ampla y efcete que permte a los plafcadores decdr etre u cojuto de solucoes óptmas, maejado los dversos aspectos de la red que se cosdere ecesaros para mmzar los costos e juego. REFERENCIAS [] PLANITU, UIT: Programas de Plafcacó de Redes, Vol., Documetacó Básca, Edcó Prelmar, Juo [2] Cooper L. ad Steberg D.: Methods ad Applcatos of Lear Programmg. Sauders, Phladelpha, 974. [3] Robertazz T. G.: Plag Telecommucato Networks, IEEE Press, IEEE Commucatos Socety [4] Bellma R. E. ad Dreyfus S. E.: Appled Dyamc Programmg. Prceto Uversty Press, Prceto, NJ, 962. [5] Boorsty R. R. ad Frak H.: Large-Scale Network Topologcal Optmzato. IEEE Trasactos o Commucatos, Vol. COM-25, No., Eero 977. [6] Kueh A. A. ad Hamburger M. J.: A Heurstc Program for Locatg Warehouses, Maagemet Scece, Vol. 9, 963, pp [7] Feldma E., Leher F. A., ad Ray T. L.: Warehouse Locatos Uder Cotuous Ecoomes of Scale, Maagemet Scece, Vol. 2, Mayo 966, pp [8] Glover F., Lagua M., Tallard E., ad Werra D. De: Tabu Search, specal ssues of Aals of Operatos Research, Vol. 4, No. -4. J. C. Baltzer Scece Publshers, Basel, Swtzerlad, 993. [9] Marquardt D. W.: A Algorthm for Least Squares Estmato of No-Lear Parameters, SIAM Joural, Vol. II, No. 2, 963, pp [0] Ztzler E., Laumas M., ad Thele L.: SPEA2: Improvg The Stregth Pareto Evolutoary Algorthms, Techcal Report 03, Computer Egeerg ad Networks Laboratory, Swss Federal Isttute of Techology. Zurch, Swtzerlad, Mayo 200.

9 [] Bará B. ad Duarte S.: Multobjectve Network Desg Optmzato usg Parallel Evolutoary Algorthms. Cetro Nacoal de Computacó, Uversdad Nacoal de Asucó. Sa Lorezo, Paraguay. Agosto [2] Arroyo J. y Armetao V.: Um Algortmo Geétco ~ para Problemas de Otmzaçao Combatora Multobjetvo, XXXIII Smpóso Braslero de Pesqusa Operacoal. Campos do Jordao SP. Novembre, 200. [3] Dreccó Geeral de Estadístcas: Ecuestas y Cesos: Sstema Estadístco Nacoal, CD de poblacó y vvedas. Paraguay [4] Almeda C., Amarlla N. y Bará B.: Reporte Técco 0/2003. Cetro Nacoal de Computacó, Uversdad Nacoal de Asucó. Sa Lorezo, Paraguay. Marzo, 2003.

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