Teoría de Juegos Aplicada a Problemas de Bancarrota

Transcripción

1 Teoría de Juegos Aplcada a Problemas de Bacarrota Dra. Flor María Guerrero Casas Dr. Mguel Ágel Hojosa Ramos Fracsca Jesús Sáchez Sáchez Departameto de Ecoomía y Empresa. Uversdad Pablo de Olavde. Ctra. de Utrera, Km SEVILLA. Telf.: Fax: e-mal: fguecas@dee.upo.es mahram@dee.upo.es fsasa@dee.upo.es Resume E ua stuacó de bacarrota adquere gra relevaca la cuestó de cómo dvdr el valor eto de la empresa etre sus acreedores. E este trabajo se da respuesta a este problema ecoómco usado reglas de reparto para problemas de bacarrota. Se usará como strumeto la Teoría de Juegos, e partcular os cetraremos e los Juegos Cooperatvos, y defremos el Juego de Bacarrota asocado co los Problemas de Bacarrota a través de la defcó de Juego de Bacarrota, dcado coceptos de solucó e dcho juego. Se ha realzado ua aplcacó al Pla de Ayudas a la Ivestgacó e Adalucía para el año 2001, e el que se calculará el valor de Shapley, el ucleolo y el τ -valor. Abstract I a stuato of bakruptcy the ma questo s how to dvde the et value of the compay amog ts credtors. I ths job we wll solve ths ecoomc problem usg allocato rules for bakruptcy problems. We wll use Game Theory, partcularly we wll focus Cooperatve Games ad we wll defe the bakruptcy game assocated wth bakruptcy problems through the defto of bakruptcy game, we wll dcate the cocepts of soluto for ths game. We have doe a applcato about Grat allocato Adaluca, where the value of Shapley, the ucleolus ad the τ - value have bee calculated. Palabras Clave: Problemas de Bacarrota, Teoría de Juegos, valor de Shapley, ucleolo, τ-valor.

2 1. Itroduccó Ua stuacó de bacarrota colleva muchos problemas, etre ellos adquere gra relevaca la sguete cuestó ecoómca: cómo debe dvdrse el valor eto de la empresa etre sus acreedores? Nos ecotramos ate ua stuacó e la que hay u problema de dstrbucó, hay que asgar ua catdad sufcete que o es capaz de satsfacer las demadas de todos los agetes mplcados e el reparto. Habrá que resolver este tpo de cuestoes usado certos procedmetos que permta aplcar reglas co algú crtero étco y operacoal y que, e certa forma, las aspracoes de los acreedores sea satsfechas. E este trabajo se pretede dar respuesta a este problema ecoómco usado como strumeto la Teoría de Juegos, e partcular os cetraremos e los Juegos Cooperatvos, que e la stuacó que aquí estudamos se deoma Juegos de Bacarrota. Los problemas de bacarrota ha sdo amplamete estudados, el aálss ecoómco los efoca desde dos perspectvas dferetes. La prmera a través de ua aproxmacó al juego teórco, dode u problema de bacarrota es formulado como u juego de utldad trasferble o como u problema de egocacó (O Nell (1982), Auma y Maschler (1985), Curel, Maschler y Tjs (1987), Daga y Volj (1993)). La seguda perspectva es el método axomátco, dode las solucoes so caracterzadas e térmos de propedades (Herrero, Maschler y Vllar (1999), Thomso (2001), Moul (2001), Herrero y Vllar (2001)). Nuestro trabajo se emarca e la prmera perspectva y e cocreto se desarrolla como u juego de utldad trasferble. 2. Reglas de Reparto e Problemas de Bacarrota Cosderamos stuacoes dode ua propedad o estado E va a ser dvddo etre demadates o acreedores. El cojuto de demadates se deotará como N={1, 2,..., }. El acreedor demada ua catdad d de la propedad E. El problema que se platea es cómo dvdr la propedad E de la empresa que ha quebrado etre todos los acreedores. Buscaremos reglas de reparto que aplque algú crtero de asgacó que sga u razoameto étco y operacoal. U problema de bacarrota será u par (E; d), dode d es el vector de demadas de los acreedores d = (d 1,..., d ), cuyas compoetes está ordeadas e setdo crecete. El problema de reparto surge porque la propedad que se va a dvdr es sufcete para satsfacer las demadas de todos los acreedores, es decr, 0 E d d = D. A partr de ahora deotaremos por d(n\{})= d j, a la suma de las demadas de todos los acreedores salvo la del demadate. j N \{} Defcó 2.1. Etederemos ua regla de dvsó o reparto como ua fucó f que asga a cada problema de bacarrota (E; d) ua solucó f(e; d)=(f 1,..., f ) tal que se cumpla: ) Racoaldad Idvdual: f 0, N ) Efceca: f = E N

3 2.1. Reglas de Reparto Ed Regla de Reparto Proporcoal: ésta asga al demadate la catdad de. D Cada demadate obtee ua fraccó de los actvos que es proporcoal a su partcpacó e las demadas totales. Regla de Gaaca Igualtara o Costrat Equal Award (regla-cea): es ua regla de reparto que otorga la msma catdad a todos los demadates, s dar a cualquer agete más de lo que demada. Esta regla da prordad a los agetes co demadas más pequeñas, éstos recbe relatvamete más que los agetes que tee demadas más elevadas. Itutvamete el proceso es el sguete: se reparte la propedad E etre los demadates a partes guales, de forma que a cada uo se le asga calmete E. S u acreedor demada ua catdad feror a la que calmete se le ha asgado ésta se reducría hasta la demada del agete (como crtero esta regla uca asga ua catdad superor a la demada de cada acreedor). La catdad que ha sobrado del demadate se reparte a partes guales etre el resto, y se empezaría de uevo todo el proceso para el resto de demadates hasta llegar al últmo. S embargo s la demada del agete es más elevada que la catdad cal que se le asga etoces éste recbe dcha catdad cal. Matemátcamete la regla de reparto asga al demadate la catdad CEA (E; d)=m{α, d }, co α tal que m{ d ; α } = E, para cada problema de bacarrota (E, d) y cada N. Deotaremos por CEA(E; d)=(cea 1 (E; d),..., CEA (E; d)) al vector de repartos dode cada compoete de éste represeta la asgacó que la regla realza a cada demadate. Regla de Pérdda Igualtara o Costrat Equal Loss (regla-cel): el reparto se efoca e las pérddas e las que puede currr los demadates (ade puede recbr ua catdad egatva) de forma que todas las pérddas sea guales. La regla da prordad a los agetes co demadas más elevadas, éstos recbe ua catdad ates que los agetes co demadas meores. Es u procedmeto que se suele aplcar cuado las demadas está relacoadas co ecesdades, por ejemplo e el apoyo públco del gasto e salud. El proceso se desarrollaría de la sguete forma: sumamos las demadas de todos los agetes (D) y obteemos qué catdad es la que falta para cubrr las demadas de D E éstos (D-E), ésta catdad se dvde a partes guales etre los demadates, lo que os da la pérdda e las demadas que sufrrá cada uo de ellos. E la prmera fase al prmer demadate se le asga la dfereca etre su demada y la pérdda D E d1, s esta catdad es postva se le asga drectamete e el reparto, metras que s es egatva o se le asgaría ada, y dcha catdad egatva se qutaría a partes guales de las demadas del resto de agetes, y se seguría el msmo proceso co el resto de agetes. Matemátcamete esta regla de reparto asga al demadate el CEL (E;d)=max{d -β, 0}, dode β es tal que max{ 0; d β } = E, para cada

4 problema de bacarrota (E;d) y cada N. Deotaremos por CEL(E;d)=(CEL 1 (E;d),..., CEL (E;d)) al vector de repartos dode cada compoete de éste represeta la asgacó que la regla realza a cada demadate. Método de Realzacó Recursva (O'Nell, 1982): supogamos que los demadates llega e orde para establecer sus demadas (uo después de otro). El que llega e prmer lugar, s hay propedad sufcete, recbría lo que demada. De lo que queda de la propedad después de que el prmero haya recbdo su parte, el segudo demadate també recbe lo que reclama (sempre que quede propedad por repartr), es decr, el crtero que se sgue es que cada demadate que llega recbe su demada o lo que queda de la propedad después de que los demadates que llegaro ates haya recbdo su parte. El resultado esperado de este procedmeto s todos los órdees de llegadas 1 so cosderados gualmete probables es el msmo que el método de realzacó recursva. Esta forma de ver el método de realzacó recursva sugere la sguete expresó: 1 RC ( E; d ) = x π.! π Π Dode deotamos por RC (E;d) la catdad asgada al demadate por el método π de realzacó recursva; x es la catdad asgada al demadate e el orde π, y es tal que: d s E d j + d j P ( π, ) π x = E d j s 0 E d j d j P ( π, ) j P ( π, ) 0 s E d j j P ( π, ) co π ua ordeacó o permutacó del cojuto de demadates y deomemos P(π, ) al cojuto de demadates de N que precede al demadate e la ordeacó π. Deotaremos por RC(E; d)= (RC 1 (E; d),..., RC (E; d)) al vector de repartos dode cada compoete de éste represeta la asgacó que la regla realza a cada demadate. La catdad que asga esta regla a cada acreedor es ua meda de todas las asgacoes que recbe el agete e cualquera de las permutacoes de los demadates. Regla del Be Dsputado o Cotested Garmet Cosstet (Regla-CG) (Auma y Maschler, 1985): sea CG(E; d) la solucó asgada por la regla-cg para u problema de bacarrota (E; d). Etoces: N d CEA E; 2 CG ( E; d) = d d CEA D E; 2 s s 1 E D 2 1 E D 2

5 dode la regla-cea se cometó e apartados precedetes. Deotaremos por CG(E; d)= (CG 1 (E;d),..., CG (E;d)) al vector de repartos dode cada compoete de éste represeta la asgacó que la regla realza a cada demadate. Ajuste Proporcoal o Regla-AP: Curel, Maschler y Tjs (1987) propoe ua regla de dvsó que es ua composcó de la regla proporcoal. Icalmete cada demadate recbe lo que vamos a llamar los mímos derechos de éste, que deotaremos por m de tal forma que s queda algo de la propedad que se reparte después de haber asgado las demadas al resto de acreedores, ésta catdad se le asgaría al demadate. Formalmete los mímos derechos sería: = max 0; E d( N \ { }) m { } Después de repartr los mímos derechos tedremos ua ueva catdad para repartr que será E =E-m(N), dode m( N) = m es la suma de los mímos N derechos de todos los acreedores. Desde que el demadate ha recbdo su mímo derecho, su demada se reduce e dcha catdad y ésta ueva reclamacó quedaría establecda e d = d - m. Se cosdera rracoal demadar más de la catdad que hay dspoble, así cada demada mayor que E ' es trucada por E '. Se defe las uevas demadas como d, co d = m{e ' ; d } 0 para cada N. Sea AP(E; d) el resultado de ua regla-ap para u problema de bacarrota (E;d) y sea m u vector cuyas coordeadas so los derechos mímos (m ) de los acreedores ( N). Deotaremos por AP(E; d)=(ap 1 (E;d),..., AP (E;d)) al vector de repartos dode cada compoete de éste represeta la asgacó que la regla realza a cada demadate. Etoces: m s E' = 0 '' ' AP( E; d) = d E m + s E' > 0 '' d N 3. El Juego de Bacarrota Sea N={1,..., } u cojuto de agetes que puede alcazar medate la cooperacó ua catdad máxma v(n) de u certo be. Deomamos coalcó a cualquer subcojuto o vacío de N, es decr, ua coalcó o es más que u grupo de dvduos. A cada coalcó S podemos asocarle u úmero v(s) que represeta la catdad o pago máxmo del be que los jugadores puede garatzarse, depedetemete de lo que haga los otros jugadores. A la fucó v, que dca las catdades del be que cada coalcó puede cosegur se deoma fucó característca. Veamos que para cada problema de bacarrota (E; d) se puede defr u juego cooperatvo (N, v). El cojuto de jugadores e el juego de bacarrota será el msmo que el cojuto de demadates del problema de bacarrota. El valor de la coalcó S e el juego se defe como la propedad que se reparte, que o es reclamada por los demadates que o perteece a la coalcó S. Deotaremos por d(s) a la suma de las demadas de todos los acreedores que forma parte de la coalcó S, y por

6 d(n\s) a la suma de las demadas de todos los agetes que o forma parte de la coalcó S. Defcó 3.1. U juego cooperatvo (N, v) es u juego de bacarrota s exste u problema de bacarrota (E; d) tal que: v(s)=max{0; E-d(N\S)} para todo S N. El valor de cada coalcó v(s) es ua valoracó pesmsta de lo que ésta puede lograr, prmero reparte a los demadates que o está e la coalcó y s después de dcha asgacó queda algo, eso sería lo que la coalcó S podría cosegur. Uo de los problemas que se platea la Teoría de Juegos Cooperatvos es cómo repartr etre los dversos jugadores la utldad dspoble e el juego. Para ello se propoe dsttas solucoes, pasamos a abordar coceptos de solucó e el Juego de Bacarrota. Defcó 3.2. (Shapley, 1953) El valor de Shapley de u juego (N, v) es u vector Φ(N, v)=(φ 1 (N, v),..., Φ (N, v)) cuyas compoetes se obtee medate la sguete expresó: s!( s 1)! Φ ( N, v) = S S N \! ( v( S { } ) v( )), N dode y s so los cardales de N y S respectvamete. El valor de Shapley se obtee a partr de las cotrbucoes margales de cada jugador a las dsttas coalcoes. O Nell (1982) demostró que el reparto e el problema de bacarrota (E; d) a través del método de realzacó recursva cocde co la solucó que se obtee e el correspodete juego de bacarrota (N, v) a través del valor de Shapley. Teorema 3.3. Sea (E; d) u problema de bacarrota y sea (N, v) el correspodete juego de bacarrota. Etoces se cumple RC(E; d)=φ(n, v). Otro reparto para u juego de bacarrota es el que se obtee a través del ucleolo, ates de defr esta solucó es precso troducr alguos coceptos prevos. Defcó 3.4. Para el juego (N, v), el exceso de la coalcó S co respecto al vector x=(x 1,..., x 2 ) se defe como: e ( S, x) = v( S) x. S Defcó 3.5. U vector m-dmesoal, x, es lexcográfcamete meor que otro vector m-dmesoal, y, y lo deotaremos por x L y, s x = y o s x h < y h, dode h {1,..., m} es la prmera compoete e la que x e y so dsttos Sea H 2-2 : R R ua correspodeca que ordea vectores de dmesó 2-2 e orde de magtud decrecete.

7 Defcó 3.6. (Schmedler, 1969) El ucleolo del juego (N, v), que deotaremos por N(N, v), es el cojuto de repartos, x, que mmza lexcográfcamete el vector de excesos ordeado H 2-2 (e(s 1, x),..., e(s 2-2, x)), es decr, N(N, v) = {x I * (N, v) H 2-2 (e(s 1, x),..., e(s 2-2, x)) L H 2-2 (e(s 1, y),..., e(s 2-2, y)), y I * (N, v)}. Medate el cocepto de ucleolo se busca el reparto socalmete más justo e el setdo de que la coalcó que resulte más desfavorecda e el reparto esté lo meos perjudcada posble. Auma y Maschler (1985) demostraro que el reparto realzado a través de la regla del be dsputado e u problema de bacarrota es el msmo que el obtedo e el correspodete juego de bacarrota co la asgacó del ucleolo. Teorema 3.7. Sea (E; d) u problema de bacarrota y sea (N, v) el correspodete juego de bacarrota. Etoces CG(N, v) = N(N, v). E 1981 Tjs trodujo otro cocepto de solucó es el τ-valor que es u valor de compromso. La dea es ecotrar u acuerdo etre las máxmas y mímas aspracoes de las gaacas que cada jugador espera obteer e el juego. Para ello, Tjs defe estas máxmas y mímas aspracoes como veremos a cotuacó. Defcó 3.8. Sea (N, v) u juego cooperatvo, para cada N se defe la máxma aspracó del jugador como su cotrbucó margal a la coalcó total, es decr, M τ (N, v) = v(n) v(n\) dode v(n) es el valor de la gra coalcó y v(n\) es el valor de la gra coalcó s teer e cueta al jugador. Así pues defmos el vector de máxmas aspracoes M τ =(M 1 τ (N, v),..., M τ (N, v)) dode cada ua de las compoetes es la máxma aspracó de cada uo de los jugadores. Defcó 3.9. Sea (N, v) u juego cooperatvo, para cada N se defe la míma aspracó del jugador como: m τ ( N, v) = max 0; v( S) M τ ( N, v ) j S N / S j S \ Así pues defmos el vector de mímas aspracoes m τ =(m 1 τ (N, v),..., m τ (N, v)) dode cada ua de las compoetes es la míma aspracó de cada uo de los jugadores. Defcó (Tjs, 1981) Para u juego (N, v) el τ-valor del juego se defe como el úco vector efcete e el segmeto que tee de extremos m τ (N, v) y M τ (N, v), es decr, τ(n, v) = m τ (N, v) +α[m τ (N, v) - m τ (N, v)], co α [0, 1] y es tal que se cumple τ ( N, v) = v( N). N

8 τ (N, v) so las compoetes del vector τ(n, v), es decr, τ(n, v)=( τ 1 (N,v),..., τ (N,v)). Curel, Maschler y Tjs (1987) demostraro que el reparto a través de la regla de ajuste proporcoal para u problema de bacarrota es el msmo que el obtedo co la solucó del τ-valor e el juego cooperatvo. Teorema Sea (E; d) u problema de bacarrota y sea (N, v) el correspodete juego de bacarrota. Etoces se cumple que AP(E; d) = τ(n, v). 4. Aplcacó al Pla de Ayudas a la Ivestgacó e Adalucía Dspoemos de las petcoes de ayudas a la vestgacó de 1841 Grupos de Ivestgacó e Adalucía e el año 2001, así como de la catdad dspoble para repartr por el Pla de Ayudas a la Ivestgacó (PAI). Hemos agregado dchos Grupos por las dsttas Áreas de Ivestgacó que estpula el Pla de Ivestgacó, de esta forma falmete teemos 9 Áreas de Ivestgacó, éstas juto co las petcoes de ayudas se muestra e la sguete tabla: Área de Descrpcó Demada (Ptas.) Ivestgacó AGRI Agroalmetacó CTS Ceca y Tecología de la Salud CVI Cecas de la Vda FQM Físca, Químca y Matemátcas HUM Humadades RNM Recursos Naturales y Medo Ambete SEJ Cecas Ecoómcas, Socales y Jurídcas TEP Tecologías de la Produccó TIC Tecologías de la Iformacó y de las Comucacoes Objetvo de la Aplcacó: repartr la catdad del Pla de Ayudas a la Ivestgacó e Adalucía etre las dsttas Áreas de Ivestgacó. Formulacó del Problema de Bacarrota: El cojuto de demadates es N={1,..., 9}. La catdad total dspoble por el Pla de Ayudas a la Ivestgacó es de ,8 Ptas. E resumdas cuetas el problema de bacarrota (E; d) es: E = ,8; d = (d 1,..., d ) co: d 1 = d 2 = d 3 = d 4 = d 5 = d 6 = d 7 = d 8 = d 9 = La demada total de ayudas es de D = Ptas. Es evdete que surge u problema, teemos ua catdad para repartr que es sufcete para satsfacer la demada de las ueve Áreas de Ivestgacó, la solucó que daremos es aplcar la Teoría de Juegos para resolver el problema dstrbutvo que se

9 ha plateado, e cocreto realzaremos la asgacó a través de la solucó que os da el valor de Shapley, el ucleolo y el τ-valor. Formulacó del Juego de Bacarrota: Hay u total de 2 9 = 512 coalcoes, empezamos obteedo cada ua de éstas y el valor de cada coalcó. S v(s) S v(s) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ,8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ,8 {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} ,8 {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} ,8 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ,8 {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} ,8 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} ,8 {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ,8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ,8 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ,8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} ,8 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ,8 Para cualquer otra coalcó dstta de las aterores el valor de ésta es cero (por eso o se ha cludo el resto de coalcoes hasta completar las 512). Realzamos el reparto a través de los coceptos de solucó de la Teoría de Juegos ates dcados, sedo falmete la asgacó que recbría cada Área de Ivestgacó la sguete: Área Catdad Demadada Asgacó (PAI) Asgacó (Valor Shapley) Asgacó (Nucleolo) Asgacó (τ-valor) AGRI , , ,29 CTS , , , ,39 CVI , , ,1 FQM , , , ,38 HUM , , ,39 RNM , , , ,16 SEJ , , ,46 TEP , , , ,53 TIC , , , ,91 Coclusoes de la Aplcacó: La Teoría de Juegos es sesble a las demadas de catdades de cada ua de las Áreas de Ivestgacó. S embargo, o es sesble a otros elemetos como la composcó del grupo (úmero de doctores, productvdad, etc.). Se apreca dferecas sgfcatvas de las catdades asgadas por el PAI y los repartos obtedos a través de la Teoría de Juegos. El reparto obtedo co el valor de Shapley se obtee como meda de las cotrbucoes margales de cada ua de las Áreas a todas las posbles coalcoes de las que puede formar parte, e este setdo podemos decr que esta solucó reflejaría de forma justa la catdad que recbe cada ua de las Áreas. E la asgacó a través del ucleolo los repartos so guales para todas las áreas, s embargo, es coveete dcar que el ucleolo o sempre asga la msma catdad a todos los jugadores. E uestra aplcacó sí es así porque dada la gra dfereca etre las demadas totales de todas las áreas ( Ptas.) y la

10 catdad a repartr ( ,8 Ptas.), es evdete que co la catdad dspoble o se puede cubrr squera la mtad de las demadas totales. De esta forma se cosdera la mtad de las demadas de cada área y se hace u reparto gualtaro a cada ua de ellas, obteédose así la msma asgacó para todas las áreas. El reparto a través del τ-valor es u valor de compromso que tee e cueta las máxmas y mímas aspracoes de cada ua de las áreas. Esta solucó dscrma e mayor medda que lo hacía el ucleolo, etre aquellas áreas que reclama fuertes catdades de las que reclama meores ayudas. De esta forma resulta más favorecdas e el reparto las áreas de vestgacó que solctaba grades catdades frete a aquellas que teía meores demadas. Las catdades asgadas medate esta solucó so más parecdas al reparto real que el PAI realzó e el año Comparado co las asgacoes reales que realzó el PAI a cada ua de las Áreas de Ivestgacó, vemos que el vel de compromso de las reglas de reparto que utlza dcho Pla de Ayudas es mayor que el compromso e el reparto a través del τ-valor. 5. Bblografía Auma, R.J., Maschler, M. (1985). Game theoretc aalyss of a bakruptcy problem from the Talmud. Joural of Ecoomc Theory 36, pp Curel, I.J., Maschler, M., Tjs, S.H. (1987). Bakruptcy games. Zetschrft für Operatos Research Seres A 31, pp Daga, N., Volj, O. (1993). The bakruptcy problem: a cooperatve bargag approach. Mathematcal Socal Sceces, 26, pp Herrero, C., Maschler, M., Vllar, A. (1999). Idvdual rghts ad collectve resposblty: the rghts egaltara soluto. Mathematcal Socal Sceces, 37, pp Herrero, C., Vllar, A. (2001). The three musketeers: four classcal solutos to bakruptcy problems. Mathemathcal Socal Sceces, 42, pp Moul, H. (2001). Axomatc cost ad surplus-sharg. Chapter 17 of K. Arrow, A. Se ad ad K. Suzumura (eds.). The Hadbook of Socal Choce ad Welfare, forthcomg. O Nell, B. (1982). A problem of rghts arbtrato from the Talmud. Mathematcal Socal Sceces 2, pp Schmedler, D. (1969). The ucleolus of a characterstc fucto game. Sam Joural of Appled Mathematcs 17, pp Shapley, L.S. (1953). A value for -perso games. I: Cotrbutos to the Theory of Games II (H. Kuh ad A. W. Tucker eds.). Prceto Uversty Press, Prceto, pp Thomso, W. (2001). Axomatc aalyses of bakruptcy ad taxato problems: a survey, mmeo. Uversty of Rochester. Tjs, S.H. (1981). Bouds for the core ad the τ-value. I: Game Theory ad Mathematcal Ecoomcs (O. Moeschl ad D. Pallaschke eds.). North-Hollad Publshg Compay, Amsterdam, pp El orde de llegada correspode a ua permutacó π Π N de u cojuto de demadates N.