ÁLGEBRA II (LSI PI) TRANSFORMACIONES LINEALES UNIDAD Nº 5. Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

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1 2017 ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 5 RANSFORMACIONES LINEALES Facultad de Cecas Exactas y ecologías UNIERSIDAD NACIONAL DE SANIAGO DEL ESERO aa Error! No hay texto co el estlo especfcado e el documeto 1

2 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE 1- rasformacoes Leales Defcó 1 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F, y sea ua fucó : La fucó es ua rasformacó Leal de e s y sólo s se verfca los sguetes axomas, ) u, v ; ( u v) ( u) ( v) ) a F u ; ( au) a( u) u v u+v au (u) (v) (u+v)=(u)+(v) (au)=a(u) Dagrama de e de la defcó de trasformacó leal 12- Propedades de las rasformacoes Leales Proposcó 1 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F S : es ua trasformacó leal etoces ( 0 ) 0 Demostracó Por Proposcó 1 de espaco vectoral se verfca que u ; 0 0u Aplcado e ambos membros teemos (0 ) ( 0 u ) (0 ) 0 (2) luego ( 0 ) 0 Referecas (1) Por axoma ) de defcó de trasformacó leal (2) Por propedad de espaco vectoral Proposcó 2 (1) F (0 ) 0 ( u) F QED Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F S : es ua trasformacó leal etoces u ; ( u) ( u) Udad 5 2

3 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE Demostracó Luego, ( u) ( 1) u ( 1) ( u) ( u) (1) (2) F ( u) ( u) Referecas (1) Por axoma ) de defcó de trasformacó leal (2) Por propedad de espaco vectoral QED Proposcó 3 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F S : es ua trasformacó leal etoces a F, u ; au a( u ) (α) 1 1 Demostracó Demostraremos la proposcó por duccó e a) =1 1 1 au ( a1u 1) a1 ( u1) a( u ) (1) 1 1 Luego la proposcó (α) es verdadera para = 1 b) Supoemos que la proposcó es verdadera para =h, es decr, supoemos que es verdadera la gualdad h h au = a ( u ) 1 1 Bajo este supuesto, probaremos que la proposcó (α) es verdadera para =h+1, esto es, probaremos que es verdadera la gualdad E efecto, h1 1 au h1 1 a ( u ) h1 h h h h1 au h 1 h 1 h 1 h 1 ( ) h 1 h 1 ( ) (2) a u a u a u a u a u a u a u (3) (4) (5) Luego la proposcó se cumple para todo atural Referecas (1) Por axoma ) de la defcó de trasformacó leal (2) Por propedad de sumas ftas (3) Por axoma ) de la defcó de trasformacó leal (4) Por hpótess ductva (*) y por axoma ) de la defcó de trasformacó leal (5) Por propedad de las sumas ftas QED Udad 5 3

4 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE 13- Núcleo de ua trasformacó leal Defcó2 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F ysea ua trasformacó leal El úcleo de es el cojuto de vectores tales que su mage es gual al vector ulo de E símbolos, Dagrama de e del Núcleo de ua trasformacó leal Es claro que, u N ( u) 0 N def N u / ( u) 0 0 u Ejemplo El úcleo de la trasformacó leal / es E efecto, { } { } { } Para determar la forma e que se caracterza los vectores del Núcleo de, trabajaremos de modo aálogo al que procedíamos para determar el úcleo de u homomorfsmo de grupos Partmos, etoces de la codcó (1) (2) { (3) De modo que { } Referecas (1) Por defcó de la trasformacó leal dada (2) Por gualdad de pares ordeados (3) Por resolucó del sstema homogéeo de dos ecuacoes leales co dos cógtas Udad 5 4

5 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE Propedades del úcleo de ua trasformacó leal Proposcó 4 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F S : ua trasformacó leal, etoces el úcleo de es u subespaco vectoral del espaco vectoral Demostracó ) N ) por defcó de N N ya que 0 ) 0 ( por Proposcó 1 de trasformacoes leales N, pues 0 ) Mostraremos que es verdadero el codcoal u, v N u v N E efecto, Luego, Por lo tatou v N u, v N ( u) 0 ( v) 0 (1) ( u v) ( u) ( v) u v N (2) (3) (4) v) Mostraremos ahora que es verdadero el codcoal a F u N au N E efecto, a F u N a F ( u) 0 Luego, (5) ( au) a ( u) a0 0 au N (6) (7) (8) Por lo tato au N De), ), ) y v), coclumos que el úcleo de es u subespaco vectoral de de Referecas (A completar por el alumo) (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) QED Proposcó 5 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F y sea : leal N 0 es yectva (S demostracó) 14-Image de ua trasformacó leal Defcó3 ua trasformacó Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F y sea : ua trasformacó lealla mage de es el cojuto de vectores de, que tee premage e E símbolos, def I w / v : ( v) w Udad 5 5

6 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE v I (v)= w Dagrama de e de la Image de ua trasformacó leal Es claro que, w I v : ( v) w Propedades de la mage de ua trasformacó leal Proposcó 6 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F S leal, etoces la mage de es u subespaco vectoral de : ua trasformacó Demostracó ) I ) por defcó de I I, pues 0 ya que por propedad 0 : (0 ) 0 I ) Mostraremos que es verdadero el codcoal w1, w2 I w1 w2 I Para ello partmos del atecedete w, w I v, v : ( v ) w ( v ) w v, v : ( v ) ( v ) w w (1) (2) v v : ( v v ) w w w w I (3) (1) luego w 1 w 2 I v) Mostraremos que es verdadero el codcoal a F w I aw I Partmos del atecedete, a F wi a F v : ( v) w a F v : a ( v) aw (5) (1) (1) (4) av : ( av) aw aw I luego aw I Falmete por ), ), ) y v), la mage de es u subespaco vectoral de Udad 5 6

7 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE Referecas (1) Por defcó de mage de (2) Sumado membro a membro ambas gualdades, porque la suma es LCI e (3) Porque la suma es LCI e y por axoma ) de la defcó de trasformacó leal (4) Porque () es LCE e co escalares e F (5) Porque () es LCE e y por axoma ) de la Defcó 1 de trasformacó leal QED Proposcó 7 Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F y sea : leal es sobreyectva Demostracó El bcodcoal I I es sobreyectva es la defcó de fucó sobreyectva ua trasformacó QED 15-eorema (Las dmesoes del úcleo y la mage) Sea dos espacos vectorales y sobre el msmo cuerpo F S leal y tee dmesó fta, etoces dm N dm I dm : es ua trasformacó S demostracó 16-eorema (De exsteca y ucdad de las trasformacoes leales) Sea y dos espacos vectorales sobre el msmo cuerpo S B { v1, v2,, v } ua base de y { w, w,, w } u subcojuto cualquera de, etoces exste y es úca la trasformacó leal 1 2 : tal que 1,, ; ( v ) w Demostracó Costruremos ua fucó de e, para ello realzaremos el sguete razoameto, Por hpótess B es ua base de, e cosecueca, s u etoces exste y so úcos los escalares a1, a2,, a F tales que u se escrbe como combacó leal de vectores de B, esto es Defmos ahora Es claro que para cada vector u av 1 def ( u) av aw Udad 5 7

8 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE exste u úco vector ( u) u = a v 1 1 def av 1 a w ya que para cada vector exste y so úcas las coordeadas a1, a2,, a F respecto a la base B de Por lo tato queda be defda la fucó : u ( u) 1 def av 1 (*) a w Probaremos ahora que la fucó, así defda, es ua trasformacó leal ) Mostraremos que es verdadero el codcoal u, v ( u v) ( u) ( v) E efecto, Dode los escalares y los escalares so las coordeadas de u y v respectvamete co respecto a la base B del espaco vectoral Ahora be, la mage del vector u +v a través de la fucó, es ( u v) a v b v a v b v a b v 1 1 (1) 1 (2) 1 (3) a b w ( a w b w ) a w b w ( u) ( v) (3) 1 (4) 1 (1) 1 1 (5) Referecas (1) Se aplca propedad de las sumas ftas (2) Por la dstrbutvdad del producto por escalares respecto a la suma de escalares e el espaco vectoral El lector puede probar que los escalares so las coordeadas del vector u+v respecto de la base B de (3) Por defcó (*)de la fucó (4) Como es u espaco vectoral, vale la dstrbutvdad del producto por escalares respecto a la suma de escalares Se aplca també propedad de las sumas ftas (5) Por defcó (*)de la fucó ) Probaremos que es verdadero el codcoal F u ( u) ( u) E efecto, F u F! a F : u a v 1 dode los escalares so las coordeadas de u co respecto a la base B del espaco vectoral Udad 5 8

9 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE Obtegamos ahora la mage a través de la fucó del vector u (1) (2) ( u) a v a v a w a w (3) 1 (2) ( u) Referecas (1) Por dstrbutvdad del producto por escalares respecto a la suma de vectores e el espaco vectoral y axoma de la Defcó 1 El lector puede probar que los escalares so las coordeadas del vector respecto de la base B de (2) Por defcó (*) de la fucó (3) Por dstrbutvdad del producto por escalares respecto a la suma de vectores e el espaco vectoral Luego por ) y ) la fucó es ua trasformacó leal Mostraremos que 1,, ; ( v ) w E efecto, como 1,, ; v B etoces 1,, ; v por lo tato exste y so úcos los escalares que permte escrbr a cada vector v como combacó de todos los vectores de la base B de, esto es v 1v 0 v 0v v 0v 1 v 0v v 0v 0 v 1v 1 2 Etoces las mágees de cada uo de los vectores de la base B del espaco vectoral vee dadas por, def (*) de la fucó ( v ) 1v 0 v 0v 1w 0 w 0w w def (*) de la fucó ( v ) 0v 1 v 0v 0w 1 w 0w w Luego, def (*) de la fucó ( v ) 0v 0 v 1v 0w 0 w 1w w ,, : ( v ) w Falmete mostraremos que es úca la trasformacó leal def : / ( u) a v a w Udad 5 9

10 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE E efecto, sea G : otra trasformacó leal tal que 1,, : G( v ) w probaremos que G =, que es equvalete a probar que para cada vector u del espaco vectoral se verfca que la mage de u a través de G y la mage de u a través de so guales Esto es, G = u ; G( u) ( u) E efecto, u ; G( u) G av a G( v ) a w ( u) (1) (2) Luego G=, es decr es úca Refereca (1) Por Proposcó 3 de trasformacó leal (2) Por defcó (*) de la fucó QED Nota El eorema precedete os muestra que cualquer trasformacó leal de e queda uívocamete determada s se cooce las mágees de los vectores de ua base dada del espaco vectoral 2- Matrz asocada a ua trasformacó leal eorema Sea u espaco vectoral de dmesó sobre el cuerpo F, y sea u espaco vectoral de dmesó m sobre F Sea B ua base de y C ua base de Para cada trasformacó leal de e, exste ua úca matrz A F mx, tal que [ ] [ ] Demostracó a) Sea B { v1, v2,, v } la base dada de y sea C { w1, w2,, w m } la base dada de S es cualquer trasformacó leal de e, etoces está determada por su efecto sobre los vectores v j B (por el teorema ateror) Es claro ver que ( v1), ( v2),, ( v), dode v1, v2,, v so los vectores de la base B Udad 5 10

11 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE B : (v 1 ) v 1 v 2 (v 2 ) v (v ) Dagrama de e de las mágees de los vectores de la base B de Luego, cada uo de los vectores (v j ) se expresa de maera úca como combacó leal de vectores de la base C { w1, w2,, w m } de Es decr, ( v ) a w a w a w a w m m m 1 ( v2) a12 w1 a22w2 am2wm a2w 1 (γ) m ( v ) a w a w a w a w m m 1 Asgamos a cada escalar aj doble subídce, de modo tal que el prmero está asocado a cada vector de la base C y el segudo se correspode co cada vector de la base B m Es decr, j 1,, ; ( v ) a w a w a w a w (δ) j 1 j 1 2 j 2 mj m j 1 m Los m escalares a j so las coordeadas del vector (v j ) respecto a la base C de E cosecueca, las coordeadas de estos vectores respecto de la base C de so a11 a12 a1 a a a a a a ( v ), ( v ),, ( v ) C 2 C C m1 m2 m por lo tato, la trasformacó leal está determada por los mx escalares a j a través de (γ) Costrumos ua matrz A cuyas columas está formadas por las coordeadas de los vectores ( v ), ( v ),, ( v ) respecto de la base C de, esto es Udad 5 11

12 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE ( v ) ( v ) ( v ) 1 C 2 C C a11 a12 a1 a21 a22 a 2 A am 1 am2 am Es claro que la matrz A perteece al espaco vectoral Además, es úca debdo a la ucdad de las coordeadas a j La matrz A se deoma matrz asocada a respecto al par de bases B y C b) Probaremos ahora que x ; ( x) C A x B Es decr, veremos cómo la matrz A determa la trasformacó leal S x, etoces exste y so úcos x1, x2,, x F tales que x se escrbe como combacó leal de vectores de la base B de, es decr x x v x v x v x v j j j1 por lo que el vector de coordeadas del vector x respecto a la base B vee dado x1 x 2 x B x Calculamos (x), m m ( x) x v x ( v ) x a w ( x ( a w ) ) j j j j j j j j j1 (1) j1 (2) j1 1 (3) j1 1 (4) Es decr, m m m ( ( x a ) w ) ( ( x a ) w ) ( x a ) w j j j j j j (4) j1 1 (5) 1 j1 (3) 1 j1 F F F ( ) O be, ( ) ( ) ( ) Udad 5 12

13 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE Observemos que está expresado como ua combacó leal de vectores de la base de, y las m coordeadas del vector so luego el vector de coordeadas de (x) respecto de la base C de es xa 1 a 1 1 jx j j j j1 j1 xa j 2 j 2 a 1 2 jxj j1 c c ( ) xa j mj a j 1 m mj x j j1 ( x) j ( x) Referecas (1) Por Proposcó 3 de trasformacoes leales (2) Por ( ) (3) Por propedad dstrbutva del producto por escalares respecto a la suma fta de vectores de (4) Por axoma de espaco vectoral (5) Por propedad de las sumas ftas Calculamos ahora A x B A x B a11 a12 a1 x1 a21 a22 a 2 x 2 a a a x m1 m2 m matrz de tpo m 1 a x 1 j j j1 a11x1 a12 x2 a1 x a x a x a x a x a x a x a x j j j1 m1 1 m2 2 m amj x j j1 ( ) De ( ) y ( ) se sgue que x x Ax ; ( ) C B QED Nota La matrz asocada represeta a la trasformacó leal e las bases B y C Udad 5 13

14 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE Ejemplo Sea la trasformacó leal : R B 1,0,0,(1,1,0),(1,1,1) de R 3 C 1,0,(0,2) de R 2 R / ( x, y, z) ( x z, y z) y sea las bases 3 2 Para obteer la matrz asocada a respecto de las bases B y C se procede como e (γ) ( v ) (1,0,0) 1,0 a (1,0) a (0,2) 1 11 ( v ) (1,1, 0) 1,1 a (1, 0) a (0, 2) 2 12 ( v ) (1,1,1) 0, 2 a (1, 0) a (0, 2) desarrollado los últmos membros e gualado, se obtee los sstemas de ecuacoes leales a11 =1 por lo que a11 =1, a 21= 0 2a21 0 a 12 =1 1 por lo que a12 =1, a 22 = 2a a 13 =0 por lo que a13 = 0, a 23= 1 2a 2 23 luego la matrz asocada a respecto de las bases B y Ces a a a A 1 R a21 a22 a rasformacó leal asocada a ua matrz Proposcó Sea u cuerpo S etoces la fucó defda por es ua trasformacó leal del espaco vectoral e el espaco vectoral Demostracó Probaremos que es ua trasformacó leal ) X Y F X Y A X Y AX AY X Y, 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) (3) Referecas (1) Por defcó de (2) Por dstrbutvdad del producto de matrces respecto a la suma de matrces (3) Por defcó de Udad 5 14

15 Facultad de Cecas Exactas y ecologías - UNSE ) 1 a F X F ax A ax a AX a X (1) (2) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) Referecas (1) Por defcó de (2) Por propedad del producto de escalar por matrz (3) Por defcó de Luego por ) y ) es ua trasformacó leal QED Notas 1- Dada ua matrz queda asocada a ella, de modo atural, ua trasformacó leal defda por 2- Observemos que aquí el vector por lo que es gual al vector de coordeadas de X respecto a la base caóca del espaco vectoral y de gual maera, el vector es gual al vector de coordeadas de respecto a la base caóca del espaco vectoral, por lo tato la gualdad os dca que la matrz es la matrz asocada a respecto a las bases caócas de los espacos y Ejemplo Sea la matrz A 0 2 R, etoces queda asocada a ella la trasformacó leal : R R defda por ( X ) AX, es decr 1 3 x 3y x x 0 2 2y y y 1 0 x Udad 5 15