Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada de de orden k de de una función

Transcripción

1 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada de de orde k de de ua ucó Pro. Arturo Hdalgo LópezL Pro. Alredo López L Beto Pro. Carlos Code LázaroL Abrl, 27 Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 33

2 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas OBJETIVOS º. Coocer el cocepto de órmula de dervacó umérca 2º. Obteer y aplcar órmulas de dervacó umérca de tpo terpolatoro para aproxmar prmeras dervadas de ucoes. 3º. Aalzar y obteer cotas del error de aproxmacó de dervadas prmeras medate órmulas de tpo terpolatoro. 4º. Coocer las prcpales propedades de las órmulas de dervacó umérca de tpo terpolatoro para aproxmar dervadas prmeras de ucoes. 5º. Obteer y aplcar órmulas de tpo terpolatoro para aproxmar dervadas de orde superor al prmero, y coocer sus propedades prcpales. Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 34

3 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas umércas para la la aproxmacó de de dervadas de de orde k Sea k y dos úmeros aturales tales que k Datos: {x, x,..., x } {(x ), (x ),..., (x )} Expresó geeral: ( x* ) c. ( x ) (k (k x* = = Error de trucatura: R (x*) = (k (x*) (k x* Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 35

4 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de tpo terpolatoro para la la aproxmacó de de dervadas de de orde k Proceso de obtecó: p (x) = = L ( x). ( x ) p ( k (k (k ( x* ) = x* ( x* ). ( x = (k (k x = x L = ( ) ( ). ( x) L ) Aálss del error e las órmulas de tpo terpolatoro c (x) = p (x) + E(x) R (x*) = (k (x*) p (k (x*) = E (k (x*) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 36

5 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de desarrollos e sere de Taylor x* x x x S C + ((a, b)): = sup(, ) = sup( x*-x, x*-x ) x = x* + θ ( =,..., ) θ [,] θ θ (x ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) j j + + (j ( x * x* x* x* x j 2 j! ( )! + = +θ = + θ + + * +δ = + (k x* c = x* c + x* cθ +. + = = = ( ) (x) ( ) '( ).. k j ( k k (j j + ( x* ) c ( ) k! θ + x* c θ + = j= k+ j! = + + (+ + ( c θ ( x* +δ ) ) ( + )! = Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 37

6 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de desarrollos e sere de Taylor S c = L (k (x*)... Propedad 4 Propedad 5 Propedad 6 = = c θ = j k c θ = S k < : (Ver la demostracó e apartado ateror) c = c + * θ +. + (k ( x* ) (x) ( x* ) '( x ) c.. = = = k j ( k k (j j + ( x* ) c ( ) k! θ + x* c θ + = j= k+ j! = + + (+ + ( c θ ( x* +δ ) ) ( + )! = k! k (j =,, k-) j c θ = (j = k+,..., ) = (Ver la demostracó e proyeccoes 4, 42 y 43) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 38

7 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor + (+ ( c x * ) + ( k ( k x* c = x* + θ +δ = ( + )! = ( ) (x) ( ) ( ) S c = L (k (x*) y se deota por = θ = x x*: ( ) (x) ( ) ( ) (+ ( c x * ) (k (k x* c = x* + θ +δ = ( + )! = '( x* ) c (x ) = '( x* ) + ( ξ ) α = ( + )! = ξ (+ ( α ) ( (+ R ) ( x* ) = α ( ξ) ( + )! = R ( x* ) ( ) ( + )! ( (+ α ) ξ Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 39 =

8 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor R ( x* ) ( ) ( + )! = ( (+ α ) ξ Lema S g C((a,b)), dados (+) coecetes o egatvos y o todos ulos {γ,γ,...,γ } y (+) putos {ξ,ξ,..., ξ } de (a,b), exste algú puto ξ (a, b) tal que: γ g( ξ ) = γ g( ξ) dode: γ= γ = = (Ver demostracó e los aputes) Luego: R ( α ) = (+ ( x* ) ( ξ) β ( + )! (+ = β ξ ( ) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 4

9 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor (Demostracó de las propedades usadas e la presetacó º 3) Propedad 4 S k y c = L (x*): Demostracó: Iterpolado la ucó (x) = x j (polomo de grado j que se terpolará s error e el soporte de (+) putos) se tee = L (x) + L (x) +.+L (x) = c θ = = L(x) Dervado k veces la detdad ateror y partcularzado e x = x* se tee demostrada esta propedad j = (j =,, k-) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 4

10 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor (Demostracó de las propedades usadas e la presetacó º 3) Propedad 5 S k y c = L (x*): Demostracó: = k c θ = Iterpolado la ucó (x) = (x-x*) k (polomo de grado k que se terpolará s error e el soporte de (+) putos) se tee (x-x*) k = L (x) (x x*) k + L (x) (x x*) k +.+L (x) (x x*) k ( ) Dervado k veces la detdad ateror y partcularzado e x = x* se tee k k k k! k! = c θ c θ = k k! k k k k = x x * = L(x) θ = = Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 42

11 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Uso de de desarrollos e e sere de de Taylor (Demostracó de las propedades usadas e la presetacó º 3) Propedad 6 S k < y c = L (x*): Demostracó: Ejercco propuesto j c θ = (j = k+,..., ) = Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 43

12 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Ejemplo: órmula usual para la la aproxmacó de de dervadas de de segudo orde Soporte co 3 putos: {x, x, x 2 } p 2 (x) = (x ) + [x,x ].(x x ) + [x,x,x 2 ].(x x ). (x x ) p 2 (x) = [x,x ]. + [x,x,x 2 ] (2 x x x ) p 2 (x) = 2 [x,x,x 2 ] p 2 (x*) = 2 [x,x,x 2 ] ''( x* ) = 2. '' x* ( x2) ( x) ( x) ( x) x2 x x x x x 2 Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 44

13 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Ejemplo: órmula usual para la la aproxmacó de de dervadas de de segudo orde ''( x* ) = 2. '' x* ( x2) ( x) ( x) ( x) x2 x x x x x 2 Caso partcular: x = x* - x = x* x 2 = x* + x x =x* x 2 ( x 2) ( x) ( x) ( x) '' ' ' ( x* ) x * = 2. = 2. ( x* + ) 2. ( x* ) + ( x* ) = 2 Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 45

14 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Ejemplo: órmula usual para la la aproxmacó de de dervadas de de segudo orde Error de trucatura: (x*+) = (x*) +. (x*) + (/2). 2. (x*) + (/6). 3. (x*) + (/24). 3. (x*) +... (x*- ) = (x*) -. (x*) + (/2). 2. (x*) - (/6). 3. (x*) + (/24). 3. (x*) +... (x*+) - 2.(x*) + (x*- ) = 2. (x*) + (/2). 4. (v (x*) +... ( x* + ) 2. ( x* ) + ( x* ) = = ''( x* ) +.. ( x* ) ' 2 (v x* 2 R (x*) = - (/2). 2. (v (ζ) Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 46

15 Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Departameto de Matemátca Aplcada y Métodos Iormátcos 47