CAPITULO II. Derivación e integración numérica

Transcripción

1 Mecáca Computacoal II CAPITULO II Dervacó e tegracó umérca Uversdad Smó Bolívar

2 Capítulo II Dervacó e tegracó umérca Itroduccó Dervacó umérca Itegracó umérca Reerecas

3 Itroduccó E mucas ocasoes se dspoe de data umérca a la cual se le debe calcular la dervada localmete o realzar la tegracó e certo tervalo. Ello puede acerse de dversas maeras. Ua prmera vía es utlzar la apromacó de la data por ua ucó (polomos o cualquer otra base) y luego dervar esta ucó. Esta opcó coduce a bueos resultados, s la apromacó que se obtuvo es lo sucetemete suave.

4 Itroduccó No obstate, e aplcacoes práctcas este procedmeto puede ser muy egorroso y de poca utldad. Ua seguda opcó es la costruccó de ormulas especalmete adaptadas co estos es. A este tópco se dedca este capítulo.

5 Capítulo II 5 Dervacó e tegracó umérca Itroduccó Dervacó umérca Itegracó umérca Reerecas

6 6 Dad la mportaca que tee el desarrollo e sere de Taylor de ucoes, recordaremos el teorema de Taylor. Teorema de Taylor: Supogamos que œc [a,b], que () este e [a,b] y que œ [a,b]. Para toda œ[a,b] abrá u úmero ξ() etre y tal que Dervacó umérca R P dode!!!...! R k P k k k ξ Polomo de Taylor Resduo

7 Dervacó umérca 7 Las apromacoes umérca a las dervadas parte del uso de desarrollos e sere de Taylor. Escrbamos m m d ( ) m m m! d Esta epresó se escrbe como m m ( ) ( ) m ( ) t d d ( ) m! d! d m t c co c [t,t t]. El segudo térmo represeta el error cometdo para la apromacó co térmos.

8 Dervacó umérca 8 Supogamos que teemos ua secueca de datos ordeados de maera crecete e de maera que se epresa como (,y ), k. Supogamos, para smplcar, que los putos está espacados de maera uorme. La prmera dervada e los putos de data coocda se calcula, e prmer orde, a partr de d O d ( ) Luego, al despejar obteemos d d ( ) O

9 Dervacó umérca 9 S escrbmos esta ecuacó e térmos de los valores coocdos, co obteemos d d y O Esta epresó correspode a la órmula de la prmera dervada aca adelate, e prmer orde.

10 Dervacó umérca De maera smlar podemos calcular la dervada aca atrás d O d ( ) d d O Estas ecuacoes correspode a las pedetes de rectas que ue a los dsttos putos. y

11 Dervacó umérca Epresoes co mayor precsó puede ser costrudas. Por ejemplo s escrbmos uevamete los desarrollos teemos: d d O d! d ( ) d d O d! d ( ) Restado estas ecuacoes obteemos d O d ( )

12 Dervacó umérca Al despejar d d ( ) ( ) O Utlzado la otacó dcal ( ) d d O ( ) Esta ecuacó es de u orde mayor de precsó y se terpreta como se muestra e la gura y

13 Dervacó umérca La epresó ateror os permte allar la dervada e el puto a partr de los valores coocdos de e () e (-). Grácamete teemos - d d O ( ) Esta ecuacó permtrá etoces determar los valores de las dervadas e putos teros e orde.

14 Dervacó umérca E los bordes, s se quere coservar el msmo orde tedremos que acer los desarrollos como sgue. d d ( ) O! d! d ( ) d ( ) ( ) d ( ) O! d! d Multplcado la prmera ecuacó por y restado la seguda ( ) d ( ) ( ) O! d ( ) ( )

15 Dervacó umérca 5 Smplcado obteemos d d O E otacó dcal d d O ( ) Smlarmete, desarrollado aca atrás ( ) d d O ( )

16 Dervacó umérca 6 Combado desarrollos e sere de Taylor co más putos, órmulas de orde superor puede ser alladas. De maera smlar, órmulas para segudas dervadas puede ser costrudas d O d ( ) ( ) 5 d j j j j O d ( ) 5 ( ) d j j j j O d ( ) ( )

17 Dervacó umérca 7 d d d d Aplcacó. Se desea allar la epresó apromada de la prmera y segudas dervadas de la ucó tabulada sguete e los prmeros dos putos: a) Cálculo de la prmera dervada e el etremo zquerdo O( ) O( ) (.8) (.9) (.) O( ) () *.

18 Dervacó umérca 8 b) Cálculo de las dervadas e el odo teror d d.9 O ( ) (.) (.9). O ( ).7976 d d.9 O ( ) (.9) (.8). O ( ) 8.8 d d (.) (.9) O O( ) *. A los es de eamar la eacttud de las apromacoes realzadas, la tabla sguete preseta los resultados obtedos así como la comparacó co la ucó que geeró la data.

19 Dervacó umérca 9 Eacta Adelate Error (%) () () () [O(D)] Eacta Atrás Error (%) () () () [O(D)] () () () [O(D)] Eacta Cetrada Error (%) () () () [O(D)] Haca adelate Orde Haca atrás Orde Haca adelate Orde Cetrada Orde

20 Dervacó umérca Es claro que los mejores resultados se obtee co las dervadas de orde superor, por lo que estas so utlzadas preeretemete. Aalcemos la lueca del espacameto e la eacttud del cálculo, etre los datos, cuado se cooce la ucó y se desea calcular la dervada. Por ejemplo, para la msma ucó, co artmétca de cuatro dígtos teemos () (-) () [O(D)] Error (%) Error empeza a crecer Error es mámo!

21 Dervacó umérca Dos coveetes se preseta. E prmer lugar el error para valores muy pequeños de D se ace muy grade. Esto es debdo a errores debdo a la catdad de cras empleadas para la represetacó de las catdades. S embargo, a partr de certo valor de D (alrededor de. e uestro ejemplo), el error comeza a crecer. Para eamar las razoes del crecmeto del error cosderemos la ormula de tres putos para derecas cetradas d d ( ) ( ) O( ) S escrbmos de maera eplícta el error de redodeo teemos d ( ) e( ) ( ) e( ) d [ ] O( )

22 Luego, el error total de la apromacó es: d d Dervacó umérca ( ) ( ) e( ) e( ) O( ) S supoemos el caso más desavorable y cosderamos que el error está acotado por algú úmero ε> teemos que d d ( ) ( ) ε O( ) Etoces, a medda que dsmuye D, el error de trucameto dsmuye pero el error de redodeo se cremeta. Por esta razó, usualmete, cuado se cooce la ucó y se calcula la dervada utlzado las ormulas ates descrtas, el valor de D debe escogerse de maera que o sea ta pequeño que el error de redodeo sea aprecable.

23 Fórmulas para putos espacados de maera o uorme puede ser deducdas y se ecuetra áclmete e la lteratura. Iclusve, e alguos casos, se costruye el polomo terpolate de Lagrage de segudo orde, que pasa por cojutos de tres putos rregularmete espacados y se derva el msmo obteédose Dervacó umérca

24 Dervacó umérca Co esta epresó es posble estmar la dervada e el teror del domo [ -, ]. No sempre es mas coveete utlzar epresoes co mayor catdad de putos debdo a la mposbldad de relejar de maera adecuada cambos abruptos (por ejemplo odas de coque) o las codcoes de borde (ecesdad de dscretzar la malla de maera muy a).

25 Capítulo II 5 Dervacó e tegracó umérca Itroduccó Dervacó umérca Itegracó umérca Reerecas

26 Itegracó umérca 6 Al gual que para el cálculo de dervadas, deretes métodos está dspobles. E partcular, s se puede trazar u polomo terpolate, o sples, las tegrales puede ser calculadas. Nuevamete este procedmeto puede resultar muy egorroso por lo que es ecesaro desarrollar otros métodos. El método mas burdo se obtee a partr de la decó de tegracó deda. Cosdere ua secueca de datos equespacados (por smplcdad)

27 Itegracó umérca 7 y S utlzamos la decó de tegracó () INTEGRACION NUMERICA 6 8 INTEGRACION NUMERICA b a lm d () 6 6 8

28 Itegracó umérca 8 Se obtee ua prmera órmula para tegracó (regla del rectágulo) b a d lm d ( ) S los putos está espacados de maera uorme b a Salvo por la acumulacó de los errores de redodeo, metras más putos se escoja, más precso será el cálculo de la tegral. d ( ) [ ]...

29 9 Aplcacó: tegre, e el tervalo [,6] la ucó Itegracó umérca Cosdere deretes valores de. S acemos tedremos 8 [ ] d e a a d e d b a b a a b

30 Itegracó umérca S escogemos tedremos Luego, b a () d ( ) 8 [ ] 7 Para estmar el error, comparemos co la solucó aalítca d 8 C

31 Itegracó umérca Etoces, 6 8d 8 C y el error relatvo es: E *.% Para dsmur el error, escojamos valores de mas pequeño. La tabla sguete preseta alguos resultados. Itegral Error

32 Aplcacó: tegre, e el tervalo [,6] la ucó Itegracó umérca Cosdere deretes valores de. S acemos tedremos e [ ] a b a b a e e e e e e d e e d e d 6... a b

33 Itegracó umérca La tabla sguete preseta los valores obtedos para dsttos. Itegral Error Nótese que a dereca del ejemplo ateror, la dsmucó del error al dsmur el paso es mas leta e este caso. E algortmos que requera ececa, podría requerrse valores de muy pequeños, lo que demadaría tempos de cálculo muy grade. Esto lleva a la búsqueda de métodos mas ecetes.

34 Itegracó umérca El sguete programa ue utlzado para obteer los resultados aterores % programa tegra clear all clc % Itegracó de () etre a y b para % dsttos valores de dscretzacó % Decó de la ucó le('^-*8'); % le('ep()'); % Itegral teórca _tle('^/-^8*'); % _tle('ep()'); % Lmtes de la tegracó a; b6; % Graca de la ucó ezplot(,[a,b]) % Número de tervalos cal 6; % Número de dscretzacoes a probar um_dsc 5; or k:um_dsc (b-a)/; sum; or j: j-; sumsum(a*); ed t*sum; t_teo_t(b)-_t(a); error(t-t_teo)/t_teo*; prt('%8d %.5 %8.5 %8.5\',,, t, error) *; ed

35 Itegracó umérca 5 Ua ueva órmula para tegracó es obteda a partr de la regla del trapeco e la cual, rectas so trazadas etre los dsttos putos que costtuye la data. INTEGRACION NUMERICA 8 () E este caso, la órmula para tegracó es b d... a ( )

36 6 Aplcacó: tegre, e el tervalo [,6] la ucó Itegracó umérca Utlzado la regla del trapeco. Cosdere deretes valores de. S acemos tedremos e a b b a b a e e e e e d e d......

37 Itegracó umérca 7 La tabla sguete preseta los resultados obtedos para dsttos valores de. Itegral Error Aora, os damos cueta de que, e este caso, el error cometdo, comparado co los resultados obtedos al utlzar la regla del rectágulo, para el msmo paso, es muco meor. Por qué ocurre esto?

38 Itegracó umérca Para respoder a esta preguta, otemos que s utlzamos como apromacó para la ucó () el polomo de Taylor etre los putos y obteemos O () Luego, al tegrar etre esos putos, obteemos 8 d d O( ( )) ( )( ) O ( ) que correspode a la regla del rectágulo mas u error de orde d

39 9 Por otra parte, s se utlza ua apromacó del polomo de Taylor u orde superor Itegracó umérca O d O d d d O al ser tegrada etre y os lleva a

40 Itegracó umérca S apromamos aca adelate la prmera dervada de () e teemos d O ( )( ) [ ( ) ( )]( ) O ) ( ) ) que correspode a la regla del trapeco mas u error de orde. Se etede etoces, que al ser error de orde superor, la regla del trapeco es más precsa que la del rectágulo. ( )

41 Itegracó umérca Ua órmula aú mas precsa, deomada Regla de Smpso se obtee al cosderar la tegracó e cada subtervalo a partr del desarrollo e sere de Taylor de (). O( )!! Luego, ua apromacó a la tegral de () e el tervalo [, ] vee dada por ( )

42 Itegracó umérca Itegrado d O d d d d d!! 5 6 O d

43 Itegracó umérca Luego, tedremos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Cada tegral se evalúa para dar:

44 Itegracó umérca 5 d O Utlzado la epresó cetrada para la seguda dervada obteemos (cudado co el orde del error!) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O Smplcado, obteemos la Regla de Smpso d [ ( ) ( ) ( )] precsa e orde 5.

45 Itegracó umérca 5 S se desea realzar la tegracó e u tervalo [a,b], se subdvde el tervalo de tegracó e u uméro par de subtervalos y se aplca la regla de Smpso e cada par cosecutvo de subtervalos j j j d d j ( )d d j

46 Itegracó umérca 6 Luego, la tegral vedrá dada por b / / a j j j [ ] j d d j j j j j j d d j ( )d d j

47 7 Itegracó umérca Desarrollado teemos [ ] j j j j j j j j j b a d ] j j j j b a d / / Reagrupado llegamos a:

48 Itegracó umérca Aplcacó: tegre, e el tervalo [,6] la ucó e Utlzado la regla de Smpso. Cosdere deretes valores de. La tabla sguete preseta los resultados obtedos: 8 Itegral Error E E E E- Nótese que el tamaño del error, para el msmo úmero de subtervalos es bastate meor al obtedo co las reglas del rectágulo y del trapeco para el msmo ejemplo.

49 Itegracó umérca Las ormulas dervadas para las reglas del trapeco y de Smpso correspode a ua clase de métodos deomados ormulas de Newto-Cotes. Dos tpos de ormulas de Newto-Cotes este: abertas y cerradas. Las ormulas cerradas de () putos de Newto- Cotes utlza e cada subtervalo () putos, detcados como 9 k k k co,,...,

50 Itegracó umérca Esta órmulas se deoma cerrada ya que los etremos del subtervalo cerrado [, ] se cluye como odos. La órmula es dada por: 5 d a ( ) k k k dode, s L k () represeta los polomos de Lagrage que terpola los () putos de data tedremos a k L k d j ( ) d j j k k j

51 5 Itegracó umérca Por ejemplo, para teemos y j j j j j j j j k j j j k j k d d a d d a d a k k k a a a d

52 Luego, d que correspode a la órmula del trapeco. Itegracó umérca ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] Las dsttas órmulas juto co la epresó del error se preseta a cotuacó. : Regla del trapeco d [ ( ) ( )] < ξ < ξ 5

53 5 Itegracó umérca : Regla de Smpso : Regla de Smpso /8 [ ] 5 9 < < d ξ ξ [ ] < < d ξ ξ [ ] < < d ξ ξ

54 Itegracó umérca Aplcacó: Itegre utlzado las órmulas cerradas de Newto-Cotes para,, y la ucó e ( cos ) 5 e el tervalo [-,5] co /. La tabla de valores de () y su gráca so: () cos()( ) ep(-) - 5

55 Para, teemos: Itegracó umérca 55 d [ ( ) ( )] ( ξ) < ξ < () Regla del trapeco Trapeco I_trapeco

56 , teemos: Itegracó umérca [ ] ( d ) ( ξ) < ξ < () Regla de Smpso () I_Smpso

57 , Regla de Smpso /8 Itegracó umérca [ ] ( d ) ( ξ) < ξ < () Regla de Smpso / () I_Smpso /

58 , Itegracó umérca [ ] ( 6 d 7 7 ) < ξ < ξ () ewto-cotes cerrada ()

59 Itegracó umérca MATLAB calcula áclmete la tegral umérca de la ucó, etre a y b utlzado las sguetes struccoes: 59 le ('.*cos ()(.^).*ep (-)'); a-; b5; t_teoquad(,a,b) t_teo.665 També, la tegral puede ser obteda aalítcamete: syms Iteg; Iteg t(.*cos ()(.^).*ep (-)); pretty(iteg)

60 Itegracó umérca La tabla sguete preseta la comparacó de los resultados obtedos para dsttos valores de (escogdos de maera que el úmero de subtervalos permtera usar todas las órmulas) Trapeco Smpso Smpso Error (%) Error (%) Error (%) Error (%) Nótese que el error para.5 es comparable etre las órmulas del trapeco y la de Smpso /8. Esto es debdo la orma partcular de la ucó tegrada. La láma sguete preseta las grácas de cada apromacó para.5 6

61 Itegracó umérca 6.5 Regla del trapeco.5 Regla de Smpso.5.5 () Regla de Smpso /8.5 ewto-cotes cerrada

62 Itegracó umérca E coclusó, aora usted dspoe de u cojuto de relacoes que le permte calcular tegrales umércamete. Así msmo, todos los paquetes comercalmete dspobles posee comados o rutas adaptadas a ecesdades especcas como ucoes que varía muy rápdo e alguas regoes y muy letamete e otras, lo que puede acer poco ecetes los métodos estudados e este capítulo. 6

63 Capítulo II 6 Dervacó e tegracó umérca Itroduccó Dervacó umérca Itegracó umérca Reerecas

64 Reerecas 6. Aálss Numérco, Burde R., Fares J. D., 6 ta Edcó, Iteratoal Tomso Edtores, 998. Métodos Numércos para Igeeros, Capra S., Caale R., ta Edcó, McGrawHll,. Aálss Numérco co Aplcacoes, Gerald C., Weatley P.,6 ta Edcó, Pearso Educacó, 999

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