CAPITULO I INTERPOLACION Y APROXIMACION

Transcripción

1 Mecáca Computacoal II CAPITULO I INTERPOLACION Y APROXIMACION Armado Blaco A. Uversdad Smó Bolívar

2 Capítulo I Itroduccó Polomos de Newto de derecas dvddas Polomos de Lagrage Iterpolacó polomal Trazadores rectlíeos, paraólcos cúcos Métodos de mímos cuadrados (leal o leal) Reerecas

3 Itroduccó E geeral, el geero dee aalzar la ormacó para la toma de decsoes. Esta vee usualmete e orma gráca. Fuete: BP Statstcal Revew o World Eerg, Juo 9

4 Itroduccó.o taulada. Fuete: BP Statstcal Revew o World Eerg, Juo 9

5 Itroduccó Tala. Cosumo produccó promedo de petróleo de Veezuela (Mles de Barrles/Día) 5 Año Cosumo Produccó Producco de Petroleo de Veezuela 75 Producco de Petroleo de Veezuela 7 Produccó (Mles Barrles/Da) 9 8 Cosumo (Mles Barrles/Da) Año Año La ormacó puede ser represetada por eemplo grácamete oteer ormacó acerca de tedecas (etrapolacó).

6 Itroduccó 6 E alguas stuacoes puede ser ecesaro coocer los valores etre los putos de datos coocdos. E geeral, terpolar sgca estmar los valores de ua ucó o varale etre valores coocdos. Aterormete era comú hacerlo a partr de talas, para oteer los valores para argumetos o taulados. Esto ha práctcamete desaparecdo co la llegada de poderosos strumetos de cálculo. S emargo, el cocepto de terpolacó es aú mu mportate e el aálss de data proveete de epermetos e el desarrollo de esquemas umércos. Como eemplo, cosderemos la data sguete: Temperatura ( C) Presó (atm)

7 Itroduccó 7 La presó a otras temperaturas dsttas de las de la tala puede ser estmada por terpolacó. Por eemplo, s deseamos estmar la presó a la temperatura e putos o coocdos, lo podemos hacer a través de la rectas P (atm).5 P (atm) T ( C) T ( C) Alguas veces es posle hallar curvas meores que las rectas, como se muestra e la otra gráca (polomo de 5to grado).

8 Itroduccó 8 E otras stuacoes uestro terés es ecotrar ua ucó que aprome ua data dada, s ecesaramete pasar por los putos que la compoe. 5 P (atm) T ( C) Estudar los coceptos áscos de terpolacó apromacó de couto de datos es el oetvo de este capítulo.

9 Capítulo I 9 Itroduccó Polomos de Newto de derecas dvddas Polomos de Lagrage Iterpolacó polomal Trazadores rectlíeos, paraólcos cúcos Métodos de mímos cuadrados (leal o leal) Reerecas

10 Polomo terpolate de Newto Iterpolacó leal Supogamos que uestra data cosste e u par de putos (, ) (, ). La orma mas seclla de terpolacó cosste e costrur la recta que pasa por amos putos. Tedremos: ( )

11 Polomo terpolate de Newto Eemplo Supogamos que deseamos apromar lealmete la ucó e el tervalo [,8] oteer el valor de la apromacó e. Luego tedremos: ; 8; P P ( ).75 ( ) el polomo terpolate leal vedrá dado por: ( ) ( )

12 Polomo terpolate de Newto Luego, e el puto la apromacó leal os dará P ( ). 956 La dereca etre la apromacó oteda el valor de la ucó e vedrá dada por: ( ) P () ().% Supogamos que se desea meorar la apromacó. Ua meor alteratva podría ser emplear ua terpolacó cuadrátca tal como veremos a cotuacó.

13 Polomo terpolate de Newto Iterpolacó cuadrátca Supogamos que uestra data cosste e tres putos (, ), (, ) (, ). El polomo que pasa por esos tres putos es de orde (a meos que estos esté aleados) puede escrrse como: P ( ) ( )( )

14 Los coecetes, se otee de evaluar P () e,. Así teemos: De estas relacoes oteemos P P P Polomo terpolate de Newto

15 5 Mapulado llegamos a Polomo terpolate de Newto

16 6 Cotuado co Polomo terpolate de Newto

17 7 Sguedo co Polomo terpolate de Newto

18 8 Luego, los valores de los coecetes del polomo de orde so: Nótese que represeta la pedete de la recta que ue los putos. Luego, la curvatura vedrá determada por el térmo cuo coecete es. Polomo terpolate de Newto

19 Polomo terpolate de Newto 9 Eemplo Supogamos que deseamos apromar co ua paráola la ucó e el tervalo [,8]. Luego tedremos, por eemplo, que so coocdos los valores e,6 8: ; 8; 5; ( ) ( ) ( ) La apromacó cuadrátca vedrá represetada por: P ( ) ( )( )

20 Polomo terpolate de Newto Luego, los valores de los coecetes del polomo de orde so: La apromacó cuadrátca es: P ( ).9( )( 8)

21 Polomo terpolate de Newto P P La apromacó paraólca e arroa el valor ( ) ( ).9( )( 8) ( ) El error cometdo co esta apromacó es: ( ) P () ().5% es astate meor al otedo co la apromacó leal. Veamos esto grácamete e la láma sguete.

22 Polomo terpolate de Newto.8.6 Datos Valor eacto Leal Paraolco Fuco Iterpolacó Nótese: (a) El paso de la apromacó paraólca por los tres putos () la cercaía etre la ucó apromada la apromacó paraólca

23 Polomo terpolate de Newto El detalle e las cercaías del puto se muestra a cotuacó. Iterpolacó.99 Datos Valor eacto Leal Paraolco Fuco

24 Forma geeral de los polomos de terpolacó Supogamos que uestra data cosste e u couto de putos (, ), etero e [,]. El polomo de grado que terpola la data es dado por: E el caso del polomo leal () teíamos que: P etoces: ; Polomo terpolate de Newto

25 5 Metras que para la apromacó cuadrátca () teíamos Deedo las derecas dvddas como: [ ], [ ] [ ] [ ] [ ] k k k,,,, Polomo terpolate de Newto

26 6 Luego, tedremos que: teemos que, hasta orde podemos escrr: [ ] [ ] [ ],,,, [ ] [ ], [ ] [ ] [ ],,, P Polomo terpolate de Newto

27 7 Luego, s demos podemos asumr que e geeral que el polomo terpolate de grado es dado por: [ ] [ ] [ ],,...,,,,...,,,,...,, [ ] [ ] [ ] [ ]...,,...,,...,,, P [ ] [ ]...,...,, k k k k P E otacó compacta podemos escrr: Polomo terpolate de Newto

28 Polomo terpolate de Newto 8 Nótese que: (a) No es ecesaro que los datos esté uormemete espacados, ordeados, para hallar los coecetes del polomo () Las relacoes que permte calcular las derecas dvddas so recursvas, e cosecueca, la derecas dvddas de orde superor se otee a partr de las de meor orde. Etoces, oteedo las derecas dvddas de maera cosecutva oteemos los coecetes del polomo terpolate de Newto.

29 9 Además, para calcular las derecas dvddas podemos teer e cueta que : [ ] [ ],, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k k k k k k k k k,,,,,,,,,,,, Polomo terpolate de Newto

30 Polomo terpolate de Newto Eemplo: Cosderemos el sguete couto de datos: Hallemos el polomo terpolate de Newto que terpola estos datos

31 Polomo terpolate de Newto Las prmeras derecas dvddas se costrue como se muestra e la sguete tala: DD [, ] [ ] [ ]

32 Polomo terpolate de Newto Las segudas derecas dvddas se costrue smlarmete como se muestra e la sguete tala: DD DD [,, ] [, ] [, ]

33 Polomo terpolate de Newto De la msma maera, las terceras cuartas derecas dvddas se costrue como se muestra e la sguete tala: DD DD DD DD [,..., k k [,,..., k ] k ] [,..., ]

34 Polomo terpolate de Newto P E cosecueca, los coecetes del polomo terpolate de ewto [ ] [,..., ]( )( ) ( )... k so dados por: k, k [ ] [, ] [,, ] DD DD DD DD.6 [.6,,, ] [,,,, ]

35 Polomo terpolate de Newto 5 Luego, P [ ] [,..., ]( )( ) ( )... k k, k [ ] [, ]( ) [,, ]( ) [,,, ]( )( )( ) [,,,, ]( )( )( )( ) P P.6.6( ).7( )(.5).6 ( )(.5)( ).7857 ( )(.5)( )(.5)

36 Polomo terpolate de Newto 6 El polomo de terpolate luce como se muestra e la gura a cotuacó..8 Datos Polomo terpolate Iterpolacó

37 Polomo terpolate de Newto 7 Las vetaas de la utlzacó del polomo terpolate de Newto ahora es ova. S se añade u uevo dato a los aterores, el polomo se modcará de maera que.6.6( ).7( )(.5).6( )(.5)( ) ( )(.5)( )(.5) [,,,,, ]( )(.5)( )(.5)( ) P 5 Supogamos que el uevo puto de data es (;.). Las derecas dvddas se calcula como ates

38 Polomo terpolate de Newto 8 DD DD DD DD DD el uevo polomo es dado por.6.6( ).7( )(.5).6( )(.5)( ) ( )(.5)( )(.5) -.6( )(.5)( )(.5)(.) P

39 Polomo terpolate de Newto 9 Grácamete teemos que el uevo polomo pasa por todos los putos de datos dados..5 Datos Polomo terpolate Iterpolacó Nótese que e alguos putos del tervalo los valores otedos está aleados de lo esperado. Esta tedeca es maor e la medda que el grado del polomo terpolate es maor.

40 Polomo Iterpolate de Newto Volvamos a las derecas dvddas. Ates calculamos los coecetes del polomo terpolate a partr de las talas: [] [,] [,,] [,,,] [,,,,] [] [,] [,,] [,,,] [,,,,]

41 Polomo Iterpolate de Newto Los polomos terpolates segú cada tala so: P P.6.6( ).7( )(.5).6 ( )(.5)( ).79 ( )(.5)( )(.5)..58( ).5( )(.5) ( )(.5)( ) ( )(.5)( )( 6) Cuál de los polomos terpolates es el correcto?

42 Polomo Iterpolate de Newto Amos lo so. Utlzado Mathematca para epadr amos polomos oteemos: La dereca de los coecetes etre amos polomos vee dada por errores de trucameto redodeo e el cálculo de las derecas dvddas.

43 Polomo terpolate de Newto E el caso e el que los está uormemete espacados, podemos escrr h sh las derecas e la ormula de las derecas dvddas terpolates se epresa como ( s )h para oteer al susttur e P,,,... [ ] [ ] [ ] ( )( )...( ) [,,..., ]...

44 la epresó Polomo terpolate de Newto P [ ] [, ] [,, ] sh sh s h.. sh ( s ) h... ( s ) h [,,..., ]... smplcado [ ] [ ] P, [,, ] sh s s h.. s s... s h [,,..., ] P o... k s s... s k h [ ],,..., k k

45 Polomo terpolate de Newto Utlzado la otacó del coecete polomal podemos escrr!... k k s s s k s Alteratvamete las derecas dvddas puede escrrse, utlzado la otacó de Atke para las derecas dvddas [ ] k k k h k k s P,...,,! h h! ], [

46 Polomo terpolate de Newto Iteratvamete llegamos a ], [ ], [ ],, [ h h h ],, [ h h! ],, [ k k k h k! ],...,, [

47 Polomo terpolate de Newto Las derecas progresvas se calcula como: ( ) ( ) E geeral, tedremos k k k k

48 Podemos smplcar aú mas P () para escrr P k ( ) k s k que se cooce como la órmula de las derecas progresvas de Newto o órmula haca delate de Newto-Gregor. S reescrmos el polomo terpolate como P a a ( ) a ( )( )... ( )( ) ( )... a... utlzamos las msmas suposcoes aterores h sh Polomo terpolate de Newto s h

49 Polomos terpolate de Newto Podemos escrr o al der la dereca regresva ( sus potecas) p p p [ ] [ ]..., sh P P [ ]...,...,,... [ ] [ ] [ ]...,,, h s s sh P [ ],...,, h s s s, k p p k k p p p p p p

50 Polomos terpolate de Newto podemos escrr Utlzado estos resultados la decó de la da dereca dvdda teemos h h ] [ ] [ ], [ ], [ ], [ ],, [ / / ],, [ h h h h ],, [ h (89)

51 Polomos terpolate de Newto, e geeral E cosecueca teemos k k k h k! ],...,, [ [ ] s s s s s s P! Al eteder la decó del coecete omal a todos los úmeros reales!...!... k k s s s k k s s s k s k

52 P teemos E orma compacta k s k P k k Polomos terpolate de Newto [ ]... ( ) s ( ) s que se cooce como la órmula de las derecas regresvas de Newto o órmula haca atrás de Newto-Gregor. Nótese que la varale está mplícta e la ueva varale s. s

53 Polomos terpolate de Newto Aplcacó: Cosdere la apromacó de la sguete data utlzado las órmulas de derecas progresvas de Newto evalúelo e. P X Y La epresó de la ormula de derecas progresvas de Newto es: k ( ) k s k

54 P Polomos terpolate de Newto Puesto que teemos 5 putos de data, el polomo uscado deería ser de to grado. Etoces, la órmula de derecas progresvas os llevaría a: s k k k s s s s s S le asgamos al er puto de data el ídce teemos s s s s s P

55 Polomos terpolate de Newto Los valores de los coecetes polomales a emplear so: s s s... s k k k! s s ( s )( s )( s ) s s ( s )( s ) ; ;!! s s ( s ) s s s ; ;!!

56 Polomos terpolate de Newto Las derecas progresvas so dadas por k k k k X Y D D D D Luego, el polomo uscado es: s s s P s s.67.58

57 Polomos terpolate de Newto Susttuedo las epresoes de los coecetes polomales llegamos a: s( s) P s ! s s s s s s s.67.58!! Luego, e. tedremos que s es dado por:... sh s E cosecueca, h (. ) (.57 ) (-. )(.957 ) ( )(.67 ) (-.56 )(.58 ) P

58 Polomos terpolate de Newto Para comproar uestros resultados, hacemos uso de Ecel, gracamos uestra data trazamos como líea de tedeca u polomo de grado Polomo Iterpolate de Cuarto Grado R.6.5. Y Polómca (Y)

59 P Polomos terpolate de Newto Evaluado el polomo otedo llegamos a: P ( ) P Luego, (.) La dereca etre amas apromacoes es sgcate %

60 Capítulo I 6 Itroduccó Polomos de Newto de derecas dvddas Polomos de Lagrage Iterpolacó polomal Trazadores rectlíeos, paraólcos cúcos Métodos de mímos cuadrados (leal o leal) Reerecas

61 6 Otro método que permte escrr el polomo terpolate de u couto de datos lo costtue los polomos de Lagrage., los cuales se puede oteer como ua reormulacó del polomo de Newto para evtar el cálculo de las derecas dvddas. Por eemplo, e el caso de dos putos teemos que Polomos de Lagrage [ ] [ ], P S escrmos la dereca dvdda como [ ], teemos P

62 6 Reagrupado Polomos de Lagrage Smplcado oteemos E el caso del polomo terpolate de orde tedremos P P [ ] [ ] [ ],,, P

63 6 Reescredo la seguda dereca dvdda oteemos Polomos de Lagrage Susttuedo oteemos Epadedo la epresó reagrupado llegamos a P [ ] [ ] [ ],,,,

64 6 Polomos de Lagrage P P

65 65 Polomos de Lagrage P Reagrupado Smplquemos cada térmo. Etoces

66 66 Polomos de Lagrage Luego Smplcado Factorzado

67 67 Polomos de Lagrage De maera smlar se puede mostrar que e cosecueca teemos que P () se escre como: P

68 68 Polomos de Lagrage S comparamos los polomos de Lagrage de ro do grado podemos epresar e orma geeral el polomo de grado como P P L P L

69 69 Polomos de Lagrage dode P represeta el producto de los dsttos térmos: Así, para tedremos L L L L P L L L L

70 7 Polomos de Lagrage quedado: P

71 Polomos de Lagrage 7 Aplcacó: Cosderemos el sguete couto de datos Se desea hallar el valor terpolado e el puto. utlzado el polomo de Lagrage que terpola todos los datos. Puesto que teemos cco pares de datos, el polomo de Lagrage uscado es de orde (5-).

72 7 Podemos escrr drectamete los dsttos térmos del polomo Polomos de Lagrage L P

73 Susttuedo por los datos coocdos teemos: Polomos de Lagrage 7 P (.5) ( ) (.5) ( 6) (.5) ( ) (.5) ( 6) ( ) (.5) ( 6) (.5 ) (.5 ) (.5.5) (.5 6) (.5) (.5) ( 6) ( ) ( ) (.5) (.5) ( 6) (.5) ( ) ( 6) (.5 ) (.5.5) (.5 ) (.5 6) (.5) ( ) (.5) ( 6) ( 6) ( 6.5) ( 6) ( 6.5) (.5) (.5)

74 Realzado las operacoes P (.5)( )(.5)( 6) ( )(.5)( 6) 5.5 (.5)(.5)( 6) (.5)( )( 6).75 (.5)( )(.5) Polomos de Lagrage

75 P Falmete, el polomo terpolate es: P Luego, Polomos de Lagrage.6(.5)( )(.5)( 6) ( )( )(.5)( 6) ( )(.5)(.5)( 6) ( )(.5)( )( 6) ( )(.5)( )(.5) (.).6(..5)(. )(..5)(. 6) (. )(. )(..5)(. 6) (. )(..5)(..5)(. 6) (. )(..5)(. )(. 6) (. )(..5)(. )(..5)

76 76 Ua propedad mportate de los polomos de Lagrage es: Polomos de Lagrage Veamos por eemplo para. Teemos, L L

77 77 Luego, el polomo L que acompaña cada valor de ( ) represeta el peso relatvo de este e la apromacó. Cuado, etoces todos los L ( ) so ulos eceptuado a L () que acompaña co L ( ). Por eemplo, para P ( ) teemos: Polomos de Lagrage P P

78 Capítulo I 78 Itroduccó Polomos de Newto de derecas dvddas. Polomos de Lagrage Iterpolacó polomal Trazadores rectlíeos, paraólcos cúcos. Métodos de mímos cuadrados (leal o leal) Reerecas

79 Iterpolacó Polomal 79 E el caso e el cual se desea epresar el polomo de terpolacó e la orma... P c c c c guo de los dos métodos esozados aterormete permte ua ácl detcacó de los coecetes. E geeral tedremos que podemos escrr [ ] c c. P..... c

80 Iterpolacó Polomal 8 Como el polomo permte la terpolacó de la data dada etoces... c... c c E orma matrcal utlzado la decó de la matrz de Vadermode Vc E cosecueca c V

81 Iterpolacó Polomal 8 MATLAB permte oteer áclmete los coecetes del polomo. El comado polt devuelve los coecetes e orde descedete. Por eemplo, utlcemos la data del eemplo ateror >> [.5.5 6]; >> [ ]; >> cpolt(,,legth()-) c La secueca e MATLAB está e el recuadro

82 Iterpolacó Polomal 8 Luego el polomo uscado es P Veamos P () grácamete Al utlzar polomos de alto orde, las osclacoes de los msmos puede llevar a terpolacoes co u alto error. Esto coduce a la ecesdad de hallar otros métodos de terpolacó.

83 Capítulo I 8 Itroduccó Polomos de Newto de derecas dvddas Polomos de Lagrage Iterpolacó polomal Trazadores rectlíeos, paraólcos cúcos Métodos de mímos cuadrados (leal o leal) Reerecas

84 Sples 8 Las osclacoes e los polomos de alto grado puede coducr a errores mportates e la terpolacó de datos. Ua alteratva es la cosderacó de polomos de orde ao para terpolar sucoutos de los datos. La opcó de meor orde posle a ser cosderada es la terpolacó de orde o terpolacó leal etre putos adacetes. Cosderemos la msma data del eemplo ateror.

85 Sples 85 La terpolacó leal etre putos adacetes os lleva a la sguete represetacó. a a a a Las ecuacoes que correspode a esta terpolacó vee dadas por: a P Para putos de datos la determacó de las costates a se realza utlzado las codcoes: P ( ) ( ) P

86 Sples 86 Luego, tedremos que P ( ) a ecuacoes ( ) a P ecuacoes Así, las ecuacoes ecesaras para hallar los coecetes de los polomos so costrudas. Nótese que ua ecuacó alteratva pudo haerse costrudo al garatzar la cotudad de las rectas e los putos de data: ( ) P ( ) P

87 Sples 87 La terpolacó leal preseta el coveete de mostrar saltos e la pedete e cada puto de data. Ua alteratva la costtue el uso de ua terpolacó cuadrátca. E ese caso, los polomos terpolates será de la orma a c P a c Ahora es ecesaro oteer las ecuacoes que permte oteer las costates descoocdas. ( ) P a c a a c c

88 Podemos utlzar las sguetes ecuacoes: Sples a) Los valores de los polomos e los odos adacetes dee ser guales ((-)- ecuacoes) P P ) La prmera la últma ucó dee pasar por los putos etremos ( ecuacoes) P P c) Las prmeras dervadas e los odos terores dee ser guales (- ecuacoes) P P Luego teemos u total de (-)(-)- ecuacoes. Falta ua ecuacó. de dode la oteemos? 88

89 Sples Podemos escoger que e el prmer puto la seguda dervada sea ula. Esto mplca que P Esta ecuacó permte completar el couto de ecuacoes requerdo para hallar las costates (a, c ). Escredo cada couto de ecuacoes e térmo de las costates a determar teemos: P a c,..., P a c,..., a c P a c P P ( ) P ( ) a a,..., P ( ) a 89

90 Sples Aplcacó: Auste segmetaras cuadrátcas a los valores de la tala Dado que teemos 5 putos de datos teemos polomos de segudo grado que calcular, e cosecueca, cógtas. Escramos el couto de ecuacoes.

91 Sples 9 Ecuacoes : P a c,..., P P P.5 a.5 (.5) a ( ).5 a.5 (.5) c. c c..855 Ecuacoes : P a c ;,..., P P P.5 a.5 (.5). a ( ) a.5 (.5) c. c c

92 Ecuacó : a c P Sples 9 P. a c. 6 a Ecuacó : P Ecuacoes 5: P P.5 P.5 P c. a 6. ( 6.) c P P ( ) a a ;,.., a (.5) a (.5) ( ) P ( ) a ( ) a ( ) P Ecuacó 6: (.5) P.5 a.5 a.5 P ( ) a P. a

93 Luego, el couto de ecuacoes a resolver es: 6.5a.5 c.855 5a 5a 6a c. 8a 8a.5a.5 c. 9a 9a 6.5a 6a.5a.5 c.5 a c 6a 6 c c.855. c a Sples 9 Este couto de ecuacoes co cógtas puede ser resuelto aalítca o umércamete.

94 c a c a c a c a E orma matrcal tedremos Sples

95 Resolvedo co MATLAB teemos: Sples ; A(:,:); A(,)6.5; A(,).5; A(,); A(,)6; A(,5); A(,6); A(,7).5; A(,8).5; A(,9); A(,)6.5; A(,5).5; A(,6); A(5,7)6; A(5,8); A(5,9); A(6,).5; A(6,).5; A(6,); A(7,); A(7,); A(7,); A(8,)6; A(8,)6; A(8,); A(9,)5; A(9,); A(9,)-5;A(9,5)-; A(,)8; A(,5); A(,7)-8;A(,8)-; A(,7)9; A(,8); A(,)-9;A(,)-; A(,); (:); ().855; ().;().; ().855; (5).;(6).; (7).6; (8).56; A\'

96 Falmete los polomos cuadrátcos uscados so: P.6.695; P P P Sples Segmetara Cuadrátca.8.6. Y X

97 Sples Al aalzar la codcó artcal sore la seguda dervada vemos que ella mplca que el prmer polomo es de la orma P c, e cosecueca correspode a ua apromacó leal. Además se produce aú se produce camos ruscos e la curvatura. Por estas lmtacoes, se emplea preeretemete terpolates segmetaras cúcas. 97

98 Sples 98 Ua apromacó cotua dervale dos veces puede ser desarrollada. Esta es coocda como sples cucos. El polomo de terpolacó es ua ucó a trozos : S S. S S. S S S S S S

99 Los sples cúcos se epresa como: S a c d Para satsacer los requstos de cotudad de la ucó terpolate sus dervadas tedremos S S S S S S,,...,-,,...,-,,...,- Impoedo estas codcoes teemos a c d d a c c 6a Sples 99

100 Para smplcar las operacoes supogamos que los odos está gualmete espacados. Etoces h Luego el sstema de ecuacoes se reduce a Sples a h h c h d d a h h c c 6a h Recordemos que los d so coocdos (S ( )d ). Etoces podemos escrr a ( ) h

101 Al susttur a - e el sstema oteemos ( ) h h c c h ( ) h h c c h c c Resolvedo para c - oteemos d d c ( ) h h a h h c h d d, al cremetar e a teemos d d c ( ) h h ( ) h Sples h h c h d d h c h d d

102 Al susttur c - c e ( ) h c c Sples oteemos d d d d h h h h h ( ) ( ) ( ) Reagrupado térmos ( d d d ),,..., h

103 S se epresa la ecuacó ateror para varos teemos que costtue u sstema de - ecuacoes co - cógtas (los ) Sples... h d d d h d d d h d d d h d d d

104 Sples Para cerrar el sstema, se ecesta dos ecuacoes mas. Estas se otee de las codcoes de orde. U tpo de sples usado comúmete se deoma sple atural se dee a partr de: S ( ) S ( ) Luego, puesto que S 6a oteemos S 6a 6 ( ) a ( ) S a

105 Pero como a ( ) h Sples S supoemos que este otro polomo S () que parte del puto (, ) podríamos escrr, para a ( ) h, e cosecueca ( ) ( ) ( ) a h de dode oteemos h 5

106 6 Sples Luego, el sstema a resolver para hallar los es:.. h d d d h d d d h d d d h d d d h d d d Co este sstema leal, trdagoal, de ecuacoes cógtas los puede ser otedos al escrr: B t dode B represeta la matrz de coecetes, las cógtas t el térmo depedete dados por

107 7 Sples h d d d h d d d h d d d

108 Sples Ua vez determados los, los - coecetes a se determa a partr de 8 a c d ( ) h d h ; ( ) h;,...,,..., Falmete, cada polomo S () se escrrá como: S a c d

109 Sples Aplcacó. Iterpole usado sples cúcos aturales la data sguete: Deemos calcular los 6 polomos S () que terpola cada segmeto de datos, cuos coecetes so dedos como: S a c d

110 Sples E prmer lugar se determa los coecetes d hacedo d,..., Luego, se resuelve el sstema t B B h d d d h d d d h d d d h d d d h d d d t [ ]' d

111 Sples Co los, se determa los a c utlzado:,..., ;,..., ; h h d d c h a

112 Sples a a a a a a Falmete, los polomos uscados so: c c c c c c S S S S S S

113 Sples Grácamete teemos: 5 Sples cucos.5.5 S()

114 clear all (); ().7; (); ().8; ()5; ().6; ()7; ().5; (5)9; (5).; (6); (6).; (7); (7).; h()-(); d; legth(); A(:,:); A(,); t(); or :- A(,); A(,-); A(,); t()*(d(-)-*d()d())/(h^); ed A(,); t(); A\t' Sples: eemplo cálculo e MATLAB % calculo de los coecetes a' c' or :- a()(()-())/(*h); ed or :- c()(d()-d())/h-(()*())*h/; ed lspace((),()); lspace((),()); lspace((),()); lspace((),(5)); 5lspace((5),(6)); 6lspace((6),(7)); a()*(-()).^ ()*(-()).^c()*(-())d(); a()*(-()).^ ()*(-()).^c()*(-())d(); a()*(-()).^ ()*(-()).^c()*(-())d(); a()*(-()).^ ()*(-()).^c()*(-())d(); 5a(5)*(5-(5)).^ (5)*(5-(5)).^c(5)*(5-(5))d(5); 6a(6)*(6-(6)).^ (6)*(6-(6)).^c(6)*(6-(6))d(6); plot(,,'o',,,,,,,,,5,5,6,6) ttle('sples cucos') lael(''); lael('s()');

115 Sples Otra opcó deomada sple cúco co tesó correspode a dar los valores de las dervadas segudas e los etremos. S ( ) M S ( ) M Otros tpos de sples cúcos puede ser otedos varado las codcoes e los etremos. 5

116 Sples 6 Aplcacó co MATLAB Cosderemos la sguete data:

117 Sples 7 Para calcular co sples cúcos co u polomo de grado 6 utlzado MATLAB hacemos >> [ ]'; >> [ ]'; >> :.:6.7; >> ssple(,,); >> c6polt(,,6); >> polval(c6,); >> plot(,,'ko',,,'k.',,s,'k'),ttle('s() P6()') Los resultados se muestra e la láma sguete. Nótese los camos e los etremos.

118 Sples 8

119 Capítulo I 9 Itroduccó Polomos de Newto de derecas dvddas. Polomos de Lagrage Iterpolacó polomal Trazadores rectlíeos, paraólcos cúcos. Métodos de mímos cuadrados (leal o leal) Reerecas

120 Apromacó por mímos cuadrados Cosderemos u crtero dstto para austar ua ucó a ua secueca de datos. E lugar de uscar ua ucó que pase por cada uo de los putos de la secueca, uscaremos ua ucó que los aprome. Por eemplo, la secueca podría requerr u polomo de grado, el cual podría osclar astate.

121 Apromacó por mímos cuadrados Supogamos que deseamos trazar ua ucó que aprome la data dada, s terpolar la msma. Podríamos comezar costruedo ua ucó F() F c g c g c g... Dado que o olgamos a F() a terpolar la data, e geeral podemos teer que F( ) La cercaía relatva etre los valores que proporcoa F la data la oteemos de d F( )

122 Apromacó por mímos cuadrados E cosecueca, el prolema de determar F podría reducrse a determar el mímo de algú crtero como mí ( ma ( d )) mí ma mí ma d d Luego, dedas las ucoes g (), podría estmarse los valores adecuados de las costates.

123 Apromacó por mímos cuadrados Gauss propuso que los parámetros a sea determados mmzado d Luego, podemos costrur la ecuacó E ( c ), c,..., c F k Etoces, podemos mmzar E. Cosderemos el caso k. Teemos ( ) E c, c F c g c g

124 Apromacó por mímos cuadrados Los valores de c que mmza E so otedos hacedo E ( c ), c E c, c c c E cosecueca, c c E c, c c g c g g E c, c c g c g g

125 Luego, Apromacó por mímos cuadrados 5 c g g c g g g c g g c g g g La solucó de este sstema leal permtrá hallar los valores de c c que mmza E para u couto de ucoes g() dadas. Estas ecuacoes se deoma ecuacoes ormales.

126 E el caso k otedremos Apromacó por mímos cuadrados c g g c g g c g g g c g g c g g c g g g c g g c g g c g g g La solucó de este sstema leal permtrá hallar c, c c que mmza E para u couto de ucoes g() dadas. 6

127 Apromacó por mímos cuadrados Supogamos que queremos hallar la meor recta que pasa por ua secueca dada. E ese caso tedremos que F c g c g c c g g Luego, las ecuacoes ormales so: c c c c 7

128 Despeado oteemos c Apromacó por mímos cuadrados 8 c

129 Apromacó por mímos cuadrados Aplcacó. Calcule la meor recta que aproma la data sguete: Para evaluar los coecetes c c ecestamos 9,,, E Ecel oteemos

130 Apromacó por mímos cuadrados ^ * Co estas suma calculamos los coecetes

131 Susttuedo oteemos c c *57. 8*55.58 ( *85 55 ) 85*8 55*57..6 ( *85 55 ) Apromacó por mímos cuadrados Luego, la recta que meor aproma la data dada es: F.58.6 Grácamete teemos

132 Apromacó por mímos cuadrados Mímos cuadrados Leal () 6 8

133 Apromacó por mímos cuadrados Aplcacó. Calcule la meor recta que aproma la data sguete, utlzado MATLAB Utlzado el comado polt es mu ácl calcular los coecetes. La secueca de comados se preseta a cotuacó. >> dlspace(,,); >> d[ ]; >> mccoepolt(d,d,) mccoe

134 Apromacó por mímos cuadrados Aplcacó. Calcule la meor paráola que aproma la data sguete E este caso deeríamos utlzar las ecuacoes ormales otedas para k. Esto os llevará a u sstema de ecuacoes co tres cógtas. U pequeño programa e MATLAB permtrá calcular los coecetes de la apromacó de do orde.

135 Apromacó por mímos cuadrados 5 (:); ().; ().5; ().; ()5; (5)7; (6)8.8; (7).;(8).5;(9);()5.6; legth(); g(:).^; g(:); g(:); A(:,:); (:); or : A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); A(,)A(,)g()*g(); ()()()*g(); ()()()*g(); ()()()*g(); ed ca\' Al eecutar el programa oteemos: c el polomo uscado es etoces: F

136 Apromacó por mímos cuadrados Podemos oteer estos resultados utlzado las rutas teras de MATLAB. S camamos el últmo parámetro e polt oteemos: Luego, el polomo uscado es F Grácamete teemos >> dlspace(,,); >> d[ ]; >> mccoepolt(d,d,) mccoe

137 Apromacó por mímos cuadrados 7

138 Apromacó por mímos cuadrados A los es de comparar amas apromacoes calculemos E ( c ), c,..., c F k 8 Luego, oteemos E c, c F. E c, c, c F.7 E cosecueca la apromacó de segudo orde es u poco más precsa que la de prmer orde.

139 Apromacó por mímos cuadrados 9 Eteder los métodos estudados hasta ahora al caso de data que sgue u comportameto descrto por ucoes o leales es posle e muchos casos. Por eemplo, s se sospecha que la data puede ser represetada por curvas del tpo a ae Se puede proceder co el método de mímos cuadrados leal epresado la data para calcular los coecetes de las apromacoes l l a l l l a Y A BX Y A luego de hallar A B, determar a. BX

140 Apromacó por mímos cuadrados Aplcacó: Para el couto de datos mostrado (que se ecuetra e el archvo pruea.ls) determe la apromacó epoecal.}

141 Grácamete la data luce como: Apromacó por mímos cuadrados La dstrucó de los datos sugere el uso de ua ucó epoecal para su represetacó

142 Utlzado MATLAB teemos: clear all Apromacó por mímos cuadrados % lectura de datos um lsread('pruea.ls'); um(:,); um(:,); % apromacó leal mmos cuadrados mpolt(,,) m():(ma()-m())/:ma(); m()*m(); % apromacó leal mmos cuadrados co ucó epoecal _loglog(); mpolt(,_log,); aep(m()); m(); a*ep(*); % Gracacó de la data las ucoes plot(,,'o',,,,) ttle('apromacó co M. Cuad. ucoes o leales') lael(''), lael('')

143 Apromacó por mímos cuadrados Oteemos para la apromacó leal a para la apromacó epoecal l l a Y A BX A A l a a e.7 ae.7e.69 La láma sguete preseta estas ucoes e orma gráca.

144 Grácamete teemos: Apromacó por mímos cuadrados 5 Apromacó co M. Cuad. ucoes o leales data leal epoecal Nótese como la curva correspodete a la ucó epoecal (roa) aproma meor la data que la recta (verde).

145 Apromacó por mímos cuadrados Para cormar esto, s se calcula para amas ucoes las derecas E ( c, c) ( F( ) ) oteemos E E ( a, ) ( a ) leal 8.96 ( a, ae ) 97. epoecal lo que corma uestra aprecacó gráca ateror. La ecesdad de ormalzar los crteros de auste lleva a la decó de coecetes que permte valorar la cercaía etre la ucó propuesta los datos a apromar. 5

146 Apromacó por mímos cuadrados 6 Ua de estas meddas es el coecete de determacó R o el de correlacó R, los cuales se ecuetra etre (o ha auste) (auste perecto) es calculado automátcamete e muchos paquetes. Por eemplo, utlzado Ecel e uestro eemplo ateror os lleva a: R.898.7e.69 R Sere Leal (Sere) Epoecal (Sere) E eecto, es posle comproar que la curva epoecal (R.98) represeta meor la data que la regresó leal (R.898). -5

147 Apromacó por mímos cuadrados 7 E geeral, otras ucoes, o polomales, puede ser utlzadas. El procedmeto es áscamete el msmo, troducedo las uevas ucoes evaluádolas e las ecuacoes ormales. Ecel posee ua dversdad mportate de posldades para el trazado de las curvas de terpolacó apromacó de datos.

148 Capítulo I 8 Itroduccó Polomos de Newto de derecas dvddas. Polomos de Lagrage Iterpolacó polomal Trazadores rectlíeos, paraólcos cúcos. Métodos de mímos cuadrados (leal o leal) Reerecas

149 Reerecas 9. Aálss Numérco, Burde R., Fares J. D., 6 ta Edcó, Iteratoal Thomso Edtores, 998. Métodos Numércos para Igeeros, Chapra S., Caale R., ta Edcó, McGrawHll,. Aálss Numérco co Aplcacoes, Gerald C., Wheatle P.,6 ta Edcó, Pearso Educacó, 999. Itroductor Numercal Methods Icorporatg MATLAB, Hah J., Bradle Uverst, ts.html

150 Mecáca Computacoal II 5 CAPITULO I INTERPOLACION Y APROXIMACION Armado Blaco A. Uversdad Smó Bolívar