Análisis de correlación y regresión

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1 Capítulo Aálss de correlacó regresó 3 Seccoes Itroduccó 3. Correlacó leal. 3. Regresó leal. 3.3 Regresó o leal fucoes trísecamete leales. 3.4 Regresó multleal. Atecedetes Itervalos de cofaza Prueas de hpótess Fucoes leal epoecal potecal logarítmca recíproca polomal. Ojetvos Proporcoar elemetos para Costrur e terpretar dagramas de dspersó Calcular e terpretar e el coteto propo el coefcete de correlacó r de Pearso Hacer e terpretar ferecas sore el coefcete de correlacó r de Pearso etre dos varales Calcular e terpretar la recta de regresó por mímos cuadrados para ua muestra de putos dados Hacer ferecas sore la estmacó los parámetros de la recta de regresó. Idetfcar trasformar e leales las fucoes trísecamete leales más comues. Calcular e terpretar la regresó multleal. Itroduccó E los cursos de geometría álgera otros que el lector haa tomado geeralmete la relacó etre las varales es de tpo determsta; es decr dado u valor de ua de las varales el valor de la otra varale se determa automátcamete podría decrse s error. Ejemplos típcos so las fórmulas geométrcas epresoes del tpo C 4. k dode C es el costo de reta de ua automóvl k los klómetros recorrdos. E estadístca estamos teresados e relacoes etre varales aleatoras por lo tato ua de las varales o queda determada por completo por otra u otras varales. Así epresoes como P 5E 9 que da la relacó etre el peso P de u homre e lras

2 El aálss de regresó puede tamé dar lugar a ua fucó del tpo f z v para descrr la relacó etre varas varales ver seccó 3.4 su estatura E e pulgadas para ua certa polacó so relacoes estadístcas e dode se espera oteer sólo estmacoes. Las relacoes estadístcas se otee medate ua prmera fase de eploracó coocda como aálss de correlacó. Cosste e aalzar los datos muestrales para saer el grado de asocacó o correlacó etre dos o más varales de ua polacó. El grado de correlacó se epresa como u úmero compreddo etre - se le cooce como coefcete de correlacó. Como correspode a u estudo eploratoro el aálss de correlacó o es u f e sí msmo so que su ojetvo es estalecer la perteca de la seguda fase o aálss de regresó. Este da lugar a ua fucó f que descre estadístcamete la asocacó o relacó etre las varales e estudo por tato su f o es calcular s error so oteer predccoes del valor de ua varale para u valor dado de la otra varale. Dedo a que los cálculos para el coefcete de correlacó los parámetros que defe la fucó se asa e ua muestra aleatora se espera que varíe de ua muestra a otra tal como la meda varía de ua muestra a otra. Esto platea pregutas de sgfcaca del coefcete de correlacó de los parámetros de la fucó de los valores de predccó otedos co ella. Tales pregutas so respoddas medate tervalos de cofaza prueas de hpótess; esto es medate aálss ferecal. Vetaa al coocmeto U dsco Secch es u dsco de 8 pulgadas co cuadrates ptados de laco egro alteratvamete. Se ata a ua cuerda marcada e cetímetros. Se sumerge e el agua de lagos ríos o mares hasta o ser vsle al oservador. La lectura oservada e la cuerda es coocda como profuddad Secch es ua medda de la traspareca del agua. La traspareca del agua se ve afectada por el color las algas sedmetos suspeddos. Las algas so pequeñas platas acuátcas cua audaca está asocada a la catdad de utretes especalmete fósforo trógeo. Los lagos los ríos se motorea regularmete tomado muestras e putos elegdos aleatoramete para estalecer la caldad del agua. E cada ua de las muestras se determa la profuddad Secch alguos parámetros como clorofla a trógeo total caró orgáco fósforo total sóldos totales suspeddos coductvdad específca desdad total. Los resultados varales así otedos so de aturaleza aleatora.

3 3. Correlacó leal Se empeza el estudo de correlacó co el caso más secllo el de la correlacó leal etre dos varales aleatoras cuattatvas X Y e adelate se maejará como respectvamete por ser la otacó más comú e la lteratura. Lo datos muestrales suele reducrse a parejas la forma estádar para desgarlas es: K Se tee etoces ua muestra de datos parejas dode deota el prmer valor de la varale aleatora deota el prmer valor de la varale aleatora. E correlacó es dstto a qué varale se le llame a qué varale se le llame ; de hecho s ha correlacó etre e ese orde la ha tamé etre e ese orde. No ostate lo ateror dado que geeralmete el proceso o terma e la correlacó so que se pasa al aálss de regresó se desgará como a aquella varale que pueda verse como u predctor potecal cuo valor pueda alguas veces ser seleccoado por el vestgador. E certo setdo podría verse como ua varale eplcatva. La otra varale sería deotada como sería aquella varale que pueda verse como respuesta. Alguos autores tomado los omres de las relacoes determstas usa los térmos varale depedete depedete para respectvamete. Dcho lo ateror co el f de cotetualzar el estudo de la correlacó leal se recurre a ua stuacó real. Stuacó de estudo: cgarrllos La Comsó de Comerco Federal de Estados Udos evalúa aualmete dsttas marcas de cgarrllos de acuerdo co su cotedo de alqutrá cota moódo de caroo. La Asocacó de Médcos de Estados Udos juzga pelgrosas cada ua de estas sustacas para la salud del fumador. Estudos aterores ha demostrado que u aumeto e el cotedo de alqutrá cota de u cgarrllo está acompañado de u cremeto e el moódo de caroo emtdo e el humo del cgarrllo. La tala sguete muestra los valores para 5 marcas de cgarrllos comues e Estados Udos. 3

4 Tala 3. Cotedo de sustacas pelgrosas para la salud e cgarrllos. Marca Peso g Alqutrá mg Ncota mg CO mg Alpe Beso&Hedges BullDurham CamelLghts Carlto Chesterfeld GoldeLghts Ket Kool L&M LarkLghts Marloro Mert MultFlter NewportLghts Now OldGold PallMallLght Ralegh SalemUltra Tareto True VceroRchLght VrgaSlms WstoLghts Fuete: U estudo de correlacó empeza seleccoado las varales de terés. Así s se desea aalzar la relacó etre los mlgramos de alqutrá los mlgramos de CO emtdos por los cgarrllos puede tomarse los mlgramos de alqutrá como la varale predctva los mlgramos de CO como la varale respuesta. Ordeado los datos respecto a separado las columas relevates al estudo del resto de la formacó se otee la tala 3.. 4

5 Tala 3. Datos ordeados respecto al Alqutrá Marca Alqutrá: mg CO: mg Now.5 Carlto SalemUltra True Mert 7.8 CamelLghts 8. VceroRchLght GoldeLghts NewportLghts MultFlter.4. WstoLghts 4.9 Ket.4.3 PallMallLght.8.6 LarkLghts Alpe Tareto L&M Chesterfeld 5 5 Marloro VrgaSlms Ralegh Beso&Hedges Kool OldGold BullDurham Ordeados los datos el recorrdo smultáeo de las columas de arra aajo puede e alguas ocasoes proporcoar formacó prelmar. E la tala 3. por ejemplo se apreca ua relacó etre amas varales que se epresa así: Relacó oservada etre : Al aumetar aumeta Dee precsarse s emargo que a dfereca de el aumeto de o es estrcto; e alguos casos al pasar de ua marca a otra el CO dsmue para después aumetar. La epresó al aumetar aumeta descre más e u patró de comportameto gloal de las parejas e estudo. El sguete paso cosste e grafcar las parejas de datos K e u sstema cartesao resultado u dagrama de putos varale coocdo como dagrama de dspersó. El dagrama de dspersó correspodete a las parejas de la tala 3. se da e la fgura 3.. 5

6 Fgura 3. Dagrama de dspersó del Alqutrá-CO. El dagrama de dspersó permte vsualzar las parejas estalecer algú patró de comportameto gráfco. E la fgura 3. se cofrma la relacó al aumetar aumeta ; además se resalta alguos aspectos de terés como el que los valores etremos ecerrados e círculos pudera ser atípcos dada la dmesó de los huecos etre éstos los racmos más cercaos ver capítulo 3 del lro para la defcó empleo de los térmos racmos huecos valores atípcos. No ostate el valor de la formacó ateror ha s emargo u aspecto vsual mportate: La dsposcó de los putos sgue u patró gráfco leal Los dagramas de dspersó de la fgura 3. puede ser descrtos tamé co la epresó al aumetar aumeta ; o ostate su patró gráfco o correspode al tpo leal so al de otras curvas. Fgura 3. Gráfcas de dspersó o leales e las que al aumetar aumeta 6

7 U comportameto gloal descrto por la epresó al aumetar aumeta e lo que resta de esta seccó os referremos al tpo leal suele descrrse como ua correlacó o asocacó postva de respecto a vea fgura 3.3 a. E caso cotraro esto es s al aumetar dsmue gloalmete sguedo u patró gráfco leal vea fgura 3.3 se dce que ha ua correlacó o asocacó egatva de respecto a. Por otro lado s el dagrama de dspersó es del tpo mostrado e el cso c de la fgura 3.3 el recorrdo de zquerda a derecha e el eje o muestra asocacó o relacó de gú tpo etre los valores de a que al aumetar gualmete aumeta dsmue. U dagrama de estas característcas es dcatvo de que o ha relacó correlacó etre las varales e estudo. Fgura 3.3 Dsttos tpos de correlacó o asocacó de datos E el caso de varales aleatoras es poco proale teer ua correlacó leal perfecta; s emargo para fes de aálss resulta útl e mportate cosderarla. E los csos a de la fgura 3.4 se muestra ua correlacó leal postva ua egatva perfectas respectvamete. Como se oserva los putos está dstrudos a lo largo de líeas rectas. Fgura 3.4 Correlacó leal postva egatva perfectas. La o relacó puede tamé maejarse medate ua sere de putos a lo largo de ua líea recta horzotal ver fgura 3.5. El sgfcado algeraco de esto es que es depedete de o e térmos estadístcos que o ha correlacó etre. 7

8 Fgura 3.5 No asocacó Ua cosderacó mportate que se desprede de esto es que: Las relacoes determstas vstas e otros cursos puede verse como correlacoes perfectas por tato como u caso partcular de las relacoes estadístcas. Las descrpcoes de correlacó leal vstas hasta ahora so de tpo cualtatvo. Para avazar a ua descrpcó cuattatva se procede a dvdr el dagrama de dspersó e cuatro regoes dujado líeas paralelas a los ejes por u puto cetral. El puto cetral puede ser el de las medaas o el de las medas; e este capítulo se cosderará el puto cetral correspodete a las medas llamado tamé cetrode e el capítulo 3 del lro podrá ecotrarse u aálss detallado empleado como puto cetral las medaas ~ ~. Calculado las medas de las columas de la tala 3. se otee Colocado el puto cetral..5 e el dagrama de la fgura 3. trazado paralelas a los ejes por ese puto se llega a la fgura 3.6. Fgura 3.6 Dvsó del dagrama de dspersó e cuatro regoes. Cualquer puto ucado e la regó I o III apoa ua correlacó postva; cualquer puto e la regó II o IV apoa e camo ua correlacó egatva. Tomado e cueta que se traaja co muestras de putos o datos puede llamarse I al úmero de putos e la regó 8

9 I de gual forma II III IV el úmero de putos de las regoes II III IV respectvamete. Co estos elemetos se puede defr u úmero c que permta estalecer tpo grado de correlacó o asocacó etre las varales e estudo de la sguete maera Peter Holmes Correlato: From Pcture to Formula Teachg Statstcs volume 3 Num. 3 Autum p p. 67-7: I III II IV c 3. A la clase de úmeros a que perteece c se les cooce geércamete como coefcetes de correlacó. Aalzado la defcó 3. puede verse alguas de las deas geerales co que se costrue tales coefcetes. Propedades del coefcete de correlacó c. a S todos los putos está e I III etoces c. S todos los putos está e II IV etoces c. c S los putos está repartdos equtatvamete e las cuatro regoes etoces c. d S todos los putos está e tres o cuatro regoes etoces c estará etre - : s los putos está predomatemete e I III etoces c será postvo pero s los putos está predomatemete e II IV etoces c será egatvo. Se cotúa el aálss de la stuacó de los cgarrllos calculado el coefcete de correlacó c empleado la fgura 3.6 o e caso de duda la tala 3.: 5; I 3; II ; III ; IV 3 c.84 5 El sgo postvo de c mplícto e.84 dca que los putos está ucados predomatemete e el prmer tercer cuadrates por tato que se tee ua correlacó o asocacó postva etre. Cosderado que los valores etremos de c so - la magtud valor asoluto de c puede usarse como u dcador del grado o fuerza de la correlacó etre las varales: el grado es fuerte etre más cercaa se ecuetre la magtud de c a dél etre más cercaa se ecuetre a cero. Podría decrse etoces que la magtud de c para los cgarrllos dca u grado de correlacó fuerte etre las varales. Resumedo: De acuerdo al valor umérco del coefcete de correlacó c ha ua correlacó postva fuerte etre los mlgramos de alqutrá los mlgramos de CO e los cgarrllos. 9

10 El orge de la palara marató se ecuetra e la gesta del soldado grego Flípdes que e el año 49 a. C. muró de fatga tras haer corrdo uos 4 km desde Marató hasta Ateas para aucar la vctora sore el ejércto Persa. E hoor a la hazaña de Flípdes se creó ua competeca co el omre de "marató" que fue cluda e los juegos de 896 de Ateas. Actvdad 3. Empleado la epresó 3. demostrar que c para el caso de ua sere de putos a lo largo de ua líea recta horzotal Co el f de avazar e el estudo de los coefcetes de correlacó se recurre a ua stuacó dstta a la vsta pero tamé e u coteto real. Stuacó de estudo: marató U marató es ua pruea atlétca de ressteca co categoría olímpca que cosste e correr a pe la dstaca de 495 metros. Forma parte del programa olímpco e la categoría mascula desde 896 e 984 se corporó la categoría femea. Muchas cudades mportates del mudo orgaza aualmete maratoes. Uo de los más prestgados es el de Nueva York. Se lsta a cotuacó los tempos de los las gaadoras del Marató de Nueva York las temperaturas medas regstradas durate el perodo Tala 3.3 Tempos de los gaadores del marató de Nueva York Año T ºF t Homres m t Mujeres m Fuete: The Effects of Temperature o Maratho Ruer s Performace de Davd Mart Joh Buocrsta Chace vol. um 4. Resulta plausle cosderar que pudera haer ua relacó etre las temperaturas varale predctva e que se realza la pruea los tempos de los gaadores varale respuesta. Para aalzar esta hpótess puede empezarse ordeado los datos de acuerdo a las

11 Oserve que la temperatura meda pueda repetrse e alguas ocasoes.e. 73 o F que s emargo le correspoda tempos dsttos. Esto es comú e parejas de datos estadístcos. temperaturas. Se omte los tempos de los homres dejado solamete la formacó relevate al estudo ver tala 3.4. Tala 3.4 Tala ordeada de meor a maor cosderado la temperatura Año T ºF t Mujeres m Al recorrer smultáeamete las columas de T t de arra aajo o logra aprecarse ua asocacó etre las varales. Costruedo el dagrama de dspersó co las temperaturas e el eje horzotal los tempos de las gaadoras e el eje vertcal se llega a la fgura 3.7. Fgura 3.7 Dagrama de dspersó temperatura vs. tempo

12 El dagrama tampoco es mu revelador del tpo de asocacó por lo que se otee el puto cetral se traza por éste las líeas de dvsó. Puto cetral: T ; t Fgura 3.8 Dagrama de dspersó co líeas de dvsó La dvsó permte dstgur que la dstrucó de los putos se da predomatemete e las regoes I III por tato cosderar ua correlacó postva etre las varales. Los putos s emargo se ecuetra mu dspersos respecto a lo que pudera ser u patró gráfco leal por lo que se esperaría u grado de asocacó dél. Co el f de teer meddas umércas se calcula el coefcete de correlacó c: ; I 7; II 3; III 8; IV c.4857 El sgo postvo de c dca la prepoderaca de los putos e las regoes I III cofrmado la asocacó postva; la magtud de c.4857 s emargo refleja u grado de correlacó dél a que se ecuetra más e cercaa a cero. Pudera pesarse que la magtud de c dca la dspersó de los putos de u dagrama s emargo puede o resultar así e todos los casos a que por ejemplo e las dos gráfcas de la fgura 3.9 se otee c el grado mámo de correlacó. Esta falla de la magtud del coefcete c a dferecar el grado de dspersó e amos dagramas sugere costrur u coefcete de correlacó que por ejemplo deje el grado mámo de asocacó eclusvamete a los casos e que se tee las correlacoes leales postva egatva perfectas. Asmsmo que refleje que el dagrama de dspersó del cso correspode a ua

13 correlacó de maor grado que la correlacó que guarda los putos del dagrama del cso a. Fgura 3.9 Correlacó postva dél fuerte El cetífco Iglés Karl Pearso desarrolló u coefcete de correlacó que cumple co los requstos mecoados es uo de los más amplamete usados e geería cecas. Coefcete de correlacó de Pearso El desarrollo del uevo coefcete de correlacó puede platearse asgádole peso a los putos e fucó de su ucacó respecto a las líeas de dvsó que se traza por el Karl Pearso Lodres 7 de marzo de 857- Lodres 7 de arl de 936 fue u promete cetífco matemátco hstorador pesador rtáco que estalecó la dscpla de la estadístca matemátca. Desarrolló ua tesa vestgacó sore la aplcacó de los métodos estadístcos e la ología fue el fudador de la oestadístca. cetrode. A medda que el puto se aleja de las líeas su peso sería maor ver fgura 3.. Después de todo los putos cerca de las líeas podría camar de sgo fáclmete recuerde que so valores aleatoros metras que los putos más alejados de las líeas puede estalecer co maor fuerza la correlacó. Fgura 3. Pesos de los putos del dagrama de dspersó. Para la asgacó del peso a u puto se empeza calculado las dferecas vea fgura 3.. La magtud del producto da ua medda de la cercaía o lejaía de a las líeas de dvsó. 3

14 Los sgos de depede de la regó e que se ecuetre vea Tala 3.5. El sgo del producto es postvo para putos de las regoes I III reforzado la dea de asocacó postva. El sgo egatvo del producto para putos de las regoes II IV haría lo propo co la asocacó egatva. Tala 3.5 Sgos de las dferecas del producto Dferecas producto I II III IV Por tato se otee u prmer acercameto al coefcete de correlacó uscado r e adelate sumado los productos correspodete a los putos de la muestra: r El resultado es u úmero real cuo sgo dcaría la prepoderaca de los putos de las regoes I III o la prepoderaca de los putos de las regoes II IV como se desea ua magtud dcatva de la fuerza de correlacó etre las varales. La suma de los productos s emargo o daría u valor etre - a que depedería de: a La magtud udades de las varales. El úmero de putos de la muestra. Para ver mejor a qué se refere el cso a se calcula r para los cgarrllos resultado mg se sugere verfcar. La magtud resultate o sólo o está etre - so que además pudo resultar maor s se huese usado gramos o más pequeña s se huese usado mlgramos. Ua codcó razoale a mpoer es que r o depeda de las udades utlzadas para medr las varales. Lo ateror puede resolverse epresado cada dfereca e térmos de desvacoes estádar: s s dode s s so las desvacoes estádar de los valores de de respectvamete. Como s s tee las msmas udades que sus varales asocadas 4

15 5 se elma el aspecto udades adcoalmete se estadarza cada dfereca. Co esto r toma la forma sguete: s s r No ostate la estadarzacó r sgue depededo del úmero de putos. Así e ua asocacó postva s los putos fuera duplcados s camo e la aturaleza de la asocacó el valor de r apromadamete se duplcaría. E los cgarrllos por ejemplo los prmeros putos de la tala 3. calculado las medas desvacoes estádar correspodetes da u valor de r gual a.38 metras que utlzado todos los datos se otee r gual a.98. Para solucoar esto se dvde etre las razoes para dvdr etre o etre so las msmas que e el cálculo de la desvacó estádar. Co esto se otee u tpo de promedo que como se verá e el ejemplo 3. toma los valores etremos - cumple las propedades requerdas. La epresó para r toma la forma: s s r 3. Co el f de llegar a ua epresó equvalete a la 3. que resulte práctca para los cálculos drectos o su programacó se desarrolla algeracamete el umerador para llegar a: Susttuedo e el deomador las desvacoes estádar por sus epresoes práctcas correspodetes s s smplfcado se tee falmete: La epresó 3.3 o equvaletes se cooce como el coefcete de correlacó leal producto mometos de Pearso. r 3.3 Actvdad 3. Justfca la equvaleca de s s s s

16 Por últmo co el f de emplear e forma práctca la magtud de r como u dcador del grado de correlacó o asocacó etre las varales se da la tala 3.6. Tala 3.6 Correlacó leal etre dos varales Valores de r Tpo grado de correlacó - Negatva perfecta < r.8 Negatva fuerte.8 < r <.5 Negatva moderada.5 r < Negatva dél No este < r.5 Postva dél.5 < r <.8 Postva moderada.8 r < Postva fuerte Postva perfecta 6

17 Ejemplo 3. Demostrar que el coefcete de correlacó de Pearso toma los valores etremos de e los casos de correlacó leal postva egatva perfectas respectvamete. Solucó. Para llevar a cao la demostracó prmero se susttue e la epresó 3. a s por Smplfcado: a s por : r r Se da a cotuacó las propedades de coefcete de correlacó r. Propedades del coefcete de correlacó r de Pearso. a. El valor de r es depedete de las udades e que se mda.. r s sólo s todos los pares de putos de la muestra está e ua recta co pedete postva r s sólo s todos los pares de putos de la muestra está e ua recta co pedete egatva. c. El rago de valores de r está dado por el tervalo r. d. Smetría: El valor de r o depede de cuál de las dos varales ajo estudo se desge como cuál como. e. r mde la fuerza de ua relacó leal. No está dseñado para medr la fuerza de ua relacó que o sea leal La demostracó de la propedad del cso c queda fuera de los ojetvos del lro. La propedad de smetría del cso d se dscute e la actvdad 3.3. Luego se cosdera el hecho de que e la asocacó perfecta postva egatva todos los putos queda e ua líea recta m. De la msma forma el puto cetral queda sore esa líea recta ver prolema 3. por lo que m. Susttuedo e la epresó smplfcada de r a por m a por m reducedo se otee: m m r m m Como m m termada. r s m es egatva r s m es postva quedado co esto la demostracó 7

18 Ejemplo 3. Utlzado la epresó 3.3 a. Calcular el coefcete de correlacó r de Pearso para el caso de los cgarrllos.. Calcular el coefcete de correlacó r de Pearso para el caso de los tempos de las gaadoras del Marató de Nueva York. Solucó a. Para u empleo efcete de la epresó 3.3 covee orgazar los cálculos e ua tala como se muestra eseguda. Tomado como ase la tala 3. se tee: M M M M M Sumatoras Al susttur las sumatoras otedas el valor de e la ecuacó 3.3 se tee: r Tomado ahora como ase la tala 3.4 realzado los cálculos correspodetes se llega a: T 34 ; t 3. 9 ; T 85396; t ; T t Al susttur estos valores el de e la ecuacó 3.3 se tee: r Dscusó E amos casos se tee asocacó postva etre las varales e estudo. De acuerdo co la tala La realzacó de los cálculos para el coefcete de correlacó tal como se vo e el ejemplo 3. resulta práctca a que permte orgazarlos revsarlos e caso ecesaro programarlos. Se recomeda s emargo el empleo de programas desarrollados como los de las calculadoras cetífcas los de Ecel desde luego los del software del lro. E cualquera de estos casos el cálculo del coefcete de correlacó es ua prmera etapa del aálss de correlacó regresó. Se muestra a cotuacó el uso del software del lro más adelate el de Ecel. 8

19 Ejemplo 3.3 Resolver el ejemplo 3. empleado el programa 3. del lro. Solucó a Al car el programa 3. se verá la sguete terfase se muestra sólo la parte relevate: Al hacer clc e el otó Leer Datos co la opcó Archvo actvada se arrá ua vetaa que le permtrá avegar e su computadora para seleccoar el archvo de terés. Seleccoe el archvo Cgarrllos.dat. S el archvo o está dspole cree usted los datos co la opcó Teclado guárdelo para usos posterores para el lector teresado al fal del capítulo se da dcacoes de cómo crear u archvo. Ua vez que se ha leído el archvo se verá la terfase de la sguete maera: Al hacer clc e el otó Leal el programa elaora el dagrama de dspersó calcula el coefcete de correlacó etre otros aspectos del aálss de correlacó regresó. 9

20 La formacó adcoal así como las múltples opcoes restates que el programa 3. muestra será utlzadas más adelate. Se deja al lector el cso. Ejemplo 3.4 La dsmucó de la traspareca del agua e Grad Lake Colorado motvó u estudo para estalecer estadístcamete cuáles de varos parámetros muestra ua correlacó fuerte co la profuddad Secch ver vetaa al coocmeto. El ojetvo del estudo era estalecer cuáles de los parámetros cotruía maormete a la reduccó de la traspareca. Se da a cotuacó los valores muestrales de parejas correspodetes a la profuddad Secch varale predctva e metros la catdad de fósforo total varale respuesta correspodete a Costrur u dagrama de dspersó calcular el cetrode trazar las líeas de dvsó de modo que quede dvddo e cuatro regoes. Calcular el coefcete de correlacó r de Pearso de acuerdo a la tala 3.6 estalecer el tpo grado de correlacó etre las varales

21 Solucó a El dagrama de dspersó queda así: Se orgaza los cálculos para el cálculo de r de la sguete maera: I I M M M M M Sumatoras: Susttuedo las sumatoras el valor de e la ecuacó 3.3: r De acuerdo co la tala r <. Por lo tato se trata de ua correlacó egatva dél. El lector teresado puede utlzar el programa 3. como se vo e el ejemplo 3.3. I I I I Actvdad 3.3 a Calcular el coefcete de correlacó r de Pearso para los datos de la tala 3. pero desgado la columa del alqutrá como la columa del CO como. Sugereca. Utlce el programa 3. del lro A partr del resultado otedo e el cso ateror dscuta la cojetura de que el valor de r es el msmo depedetemete de qué varale se desge como qué varale se desge como. E otros térmos que el valor de r es el msmo para las parejas las parejas. Eprese veralmete e forma escrta los resultados de la dscusó. Sugereca: tercame e la epresó 3. o e la 3.3. Aálss ferecal para el coefcete de correlacó r de Pearso Pruea de hpótess. El coefcete de correlacó r puede verse como ua medda umérca de qué ta e u modelo leal líea recta represeta los putos de u dagrama de dspersó. El dagrama s emargo o cotee todos los putos posles o polacó de putos. Dedo a que r se calcula co ase e ua muestra aleatora de putos se espera que

22 los valores de r varíe de ua muestra a otra tal como la meda o la proporcó varía de ua muestra a otra. Esto platea la preguta de la sgfcaca de r. Puesto de otra maera cuál es la proaldad que la muestra aleatora de putos de ua correlacó fuerte cuado e realdad los putos de la polacó o está correlacoados fuertemete? Como e los casos de la meda la desvacó estádar la proporcó se empleará ua letra grega ρ se lee ro para represetar el parámetro polacoal correspodete a r. Co esto la sgfcaca de r será tratada eseguda medate ua pruea de hpótess del coefcete de correlacó ρ. Los pasos para la pruea de hpótess so: Paso. Se elge el modelo estadístco apropado de acuerdo a la tala 3.7. Tala 3.7 Modelos estadístcos correlacó leal Cola zquerda Cola derecha Dos colas H : ρ H : ρ H : ρ H : ρ < H : ρ > H : ρ Actvdad 3.4 Alguos autores escre la ecuacó 3.4 como r t r A partr de 3.4 otega la ecuacó equvalete ateror. Paso. Eleccó del estadístco de pruea. E este caso lo proporcoa ua coversó de la dstrucó de los valores muestrales r a ua dstrucó t de Studet medate su estadarzacó: r t s r dode s r es la desvacó estádar muestral de los valores de r calculada de la sguete maera: s r r Susttuedo se tee t r r co gl 3.4 E este paso e resume se calcula el valor de t co los datos muestrales usado la epresó 3.4 oteédose el valor oservado t. Paso 3. Se fja u valor de α se calcula los valores crítcos de la dstrucó t de Studet co grados de lertad. Co esto queda estalecdos los tervalos de rechazo aceptacó de acuerdo al modelo estadístco del paso.

23 Paso 4. Fgura 3. Represetacó gráfca de los modelos estadístcos Efoque tradcoal. S el valor oservado t cae e la regó de rechazo se rechaza H teédose ua correlacó leal. S por el cotraro el valor oservado t cae e la regó de aceptacó se acepta H o ha ua correlacó leal. Efoque del valor p. Al gual que e el capítulo del lro se emplea el valor p e forma práctca para audar a tomar ua decsó; esto es comparádolo co α de acuerdo a: Se lustra a cotuacó el método co el caso de los cgarrllos. Ejemplo 3.5 Aplcar la pruea de hpótess de dos colas al valor del coefcete de correlacó r otedo e el ejemplo 3. para el caso de los cgarrllos. Solucó Efoque tradcoal. El modelo estadístco es: H : ρ o este correlacó leal S valor S valor p α rechazar H p > α aceptar H H : ρ este correlacó leal Co r el valor oservado de acuerdo a la epresó 3.4 es: t Tomado el vel de cofaza α. 5 gl 5 3 se otee como valores crítcos a t.53 ±.69 Como el valor oservado queda fuera de la regó de aceptacó dada por [.69.69] se rechaza H teédose ua correlacó leal. El cálculo del valor p medate ua tala de dstrucó t de Studet resulta mpráctco por lo que el efoque del valor p geeralmete requere de u programa. Se muestra e el ejemplo 3.6 el uso del programa 3. del lro para tal f. Ejemplo 3.6 Aplcar la pruea de hpótess de dos colas al valor del coefcete de correlacó otedo e el ejemplo 3. para el caso de las corredoras del marató. Utlce el programa 3. del lro Solucó 3

24 Al car el programa 3. se verá la sguete terfase después de hacer clc e la opcó Prueas de hpótess del meú prcpal: Al hacer clc e Coefcete de correlacó r de Pearso se otee: Al hacer clc e el otó Leer Datos co la opcó Archvo actvada se arrá ua vetaa que le permtrá avegar e su computadora para seleccoar el archvo de terés. Seleccoe el archvo Marato.dat. S el archvo o está dspole cree usted los datos co la opcó Teclado el lector teresado podrá ecotrar al fal del capítulo struccoes para crear u archvo. Ua vez que se ha leído el archvo se verá la terfase de la sguete maera: Se hace clc e el otó Calcular para oteer: 4

25 Como se ve e esta últma terfase se otee el valor del coefcete de correlacó de maera predetermada la Hpótess ula correspodete a ua pruea de dos colas Nvel de sgfcaca e.5. Dado que este es el modelo el vel deseado se hace clc e el otó Ejecutar co lo que se otee: 5

26 Efoque clásco. El valor t o cae fuera de la regó de aceptacó fraja verde acotada por ±.93 por lo que se rechaza la hpótess ula favorecédose la hpótess altera: este correlacó etre las varales. Efoque del valor p. Se compara el valor p co α. Como.46 <. 5 se rechaza la hpótess ula. El valor p s emargo permte cotuar el aálss. Por ejemplo de acuerdo a la defcó de valor p como el vel de sgfcaca meor que llevaría al rechazo de la hpótess ula ver capítulo del lro guo de los valores preestalecdos de α llevaría a aceptar la hpótess ula. Compruéelo hacedo clc e. para vel de sgfcaca luego e Ejecutar. Puede tamé corroorar la defcó de valor p actvado la opcó Otro de Nvel de sgfcaca escredo u valor meor que.46. La ejecucó dará como resultado la aceptacó de la hpótess ula. Esto sgfca que para aceptar la hpótess ula se requerría u valor de α etremadamete pequeño e comparacó co el meor valor de los recomedados:. dado maor cofaza o certdumre e rechazar la hpótess ula. E coclusó el programa 3. permte aordar amos efoques pero o sólo como u strumeto de cálculo de vsualzacó so tamé de eploracó aálss. Cometaro: E alguos tetos moderos e las revstas cetífcas e artículos de vestgacó se reporta smplemete el valor p para que el aalsta o lector pueda coclur co cualquer vel de sgfcaca especfcado. Actvdad 3.5 Aplque ua pruea de hpótess al coefcete de correlacó r otedo e el caso de los cgarrllos. Use α gual a.5.. Sugereca. Utlce el programa 3. del lro. Prueas de ua cola E los ejemplos aterores se aplcó ua pruea de dos colas. E geeral los ejemplos prolemas de este capítulo mplcará úcamete prueas de dos colas pero puede presetarse ua pruea de ua cola para ua declaracó de correlacó leal postva o ua declaracó de correlacó leal egatva. El programa 3. permte cualquera de estas prueas. Itervalos de cofaza para ρ Ua vez que se ecuetra el valor de r para ua muestra de pares de putos por ejemplo.6 la pruea de hpótess resulta sgfcatva se puede pesar e estmar ρ. La opcó más recomedale es medate u tervalo de cofaza. El procedmeto es smlar a los vstos e el capítulo para la meda la proporcó. Por ello se platea como el proecto 3. al fal del capítulo. Precaucoes sore correlacó El coefcete de correlacó r es ua herrameta matemátca para medr la fuerza de ua relacó leal etre dos varales. Como tal o tee mplcacoes de causa o efecto. El hecho de que dos varales teda a aumetar o dsmur jutas o sgfca que el camo 6

27 e ua cause u camo e la otra. E estadístca cuado r dca ua correlacó leal sgfcatva etre se cosdera que camos e los valores de tede a respoder a camos e los valores de de acuerdo a u modelo leal. Ua correlacó sgfcatva etre se dee alguas veces a otras varales llamadas varales o factores de cofusó. Ua varale o factor de cofusó es ua varale que o es predctva varale respuesta; o ostate puede ser resposale de camos e. El sguete ejemplo lustra de maera amea esto. Ejemplo 3.7 La cgüeña laca es u pájaro sorpredetemete comú e muchas partes de Europa. La tala sguete muestra datos geográfcos demográfcos de 7 países Europeos. País Área km Cgüeñas parejas co crías Polacó 6 Tasa acmetos 3 /año Alaa Austra Bélgca Bulgara Damarca Fraca Alemaa Greca Holada Hugría Itala Poloa Portugal Rumaa España Suza Turquía Costruedo el dagrama de dspersó las líeas de dvsó se tee: La gráfca del úmero de parejas de cgüeñas co crías versus el úmero de acmetos e cada país sugere ua posle correlacó! etre amas varales. 7

28 Calculado el coefcete de correlacó de Pearso: r. 6 cua sgfcaca estadístca puede medrse co ua pruea de hpótess de dos colas: H : ρ t H : ρ El valor oservado es: t Tomado el vel de sgfcaca α. 5 gl 7 5 se otee como valores crítcos a.3.55 ± El valor oservado queda fuera de la regó de aceptacó se rechaza H teédose ua correlacó leal. El lector desprevedo podría pesar que se trata de ua demostracó estadístca de que las cgüeñas trae a los eés. Ua eplcacó plausle a esta correlacó es la esteca de u factor comú a amas varales que o ostate o teer ada e comú etre ellas produce ua aparete correlacó. El factor podría ser el área. A maor área maor tasa de acmetos maor úmero de cgüeñas. Vetaa al coocmeto. E 88 el cetífco Iglés Sr Fracs Galto trodujo el cocepto de correlacó así como el uso de la líea de regresó e sus estudos de vestgacoes geétcas. He aquí alguas de sus coclusoes e el memorale artículo Regresso towards Medocrt Heredtar Stature. B Fracs Galto FRS &c. Joural of the Athropologcal Isttute of Great Brta Athropologcal Mscellaea. Ha pasado a alguos años desde que realcé ua sere etesa de epermetos sore el producto de semllas de dferetes tamaños pero de las msmas especes... El resultado de estos epermetos parece dcar que las semllas producdas o tedía a parecerse e tamaño a las semllas de orge so a ser más medocres que ellas a ser más pequeñas que los padres s los padres era mu grades; a ser más grades que los padres s los padres era pequeños. Más tarde usqué evdeca atropológca cosderado el caso de las semllas como u medo que arrojara luz sore la hereca e el homre... U aálss de los datos cofrmó completamete fue más allá de las coclusoes que otuve co las semllas. La sguete gráfca lustra lo ateror. 8

29 El método de regresó leal por mímos cuadrados tamé puede emplearse co ua varale aleatora la otra determsta o amas determstas caso comú e geería cecas. 3. Regresó leal El paso sguete e el aálss de dos varales aleatoras cosste e ecotrar la fucó leal que srva para modelar la relacó etre ellas. Este proceso es llamado regresó leal a la líea resultate recta de regresó. Para lustrarlo se cosdera de uevo el caso de los cgarrllos. Tomado el dagrama de dspersó de la fgura 3. pero co ua líea recta trazada artraramete por etre los putos se otee la fgura 3.. Fgura 3. Trazo de ua líea recta cualquera por etre los putos del dagrama de dspersó. La faldad de la recta es represetar algeracamete a los datos es decr co ua ecuacó del tpo. Se desearía etoces que la recta trazada represetara los datos muestrales de la mejor maera posle. La mejor represetacó puede terpretarse de dferetes formas: la recta que toque más putos; aquella recta que permta teer gual úmero de putos arra deajo de ella; la recta que pase por el puto cetral ; etc. Tales crteros s emargo so sujetvos geeralmete o coduce a ua recta úca. Uo de los crteros formales más amplamete usado es el del ajuste por mímos cuadrados e el capítulo 3 se estudó el crtero que da lugar a la recta de ajuste medaa. Se preseta a cotuacó el crtero de ajuste por mímos cuadrados medate ua sere de pasos gráfcos de modo que se capte tutvamete la dea que lo susteta. 9

30 Cosdere para el prmer paso el dagrama de dspersó de la fgura 3.. Eseguda se traza líeas vertcales desde cada uo de los putos a la recta trazada artraramete ver fgura 3.3. Se da las dstacas vertcales de alguos de estos putos a la recta el cálculo de tales dstacas e este mometo es rrelevate a que sólo tee fes lustratvos del método. Fgura 3.3 Trazo de líeas vertcales de los putos a la recta Luego se toma cada ua de las vertcales trazadas como el lado de u cuadrado. A cada cuadrado le correspode u área gual a lado lado; por ejemplo la dstaca del puto correspodete a Now.5 a la recta es.94 su área es 8.64 metras que la dstaca de Salem Ultra es.6 su área es.6. E el caso de la marca Bull Durham el área es 5.5 como se ve e la fgura 3.4. Fgura 3.4 Costruccó de los cuadrados cálculo de sus áreas. El sguete paso cosste e sumar las áreas de los cuadrados geerados por cada uo de los 5 putos. 3

31 3 S se traza artraramete otra recta por etre los putos se geeraría otro juego de 5 cuadrados cua suma daría u área total seguramete dstta a la del caso cal. Co estas cosderacoes el escearo queda lsto para eucar el crtero para seleccoar ua recta de ajuste: El crtero así estalecdo da lugar a ua recta úca. Su deduccó o dcho de otra forma la deduccó del cálculo de la ordeada al orge la pedete es u proceso técco que se puede cosultar e el Apédce G del lro. Las epresoes resultates para dchos parámetros so: La recta de ajuste por mímos cuadrados o recta de regresó queda etoces Los valores que da la recta de regresó 3.7 correspodetes a K so e geeral dferetes a los valores oservados K por lo que suele deotarse como ˆ ˆ ˆ K llamarse valores ajustados o estmados. De la msma maera cualquer otro valor calculado co la recta para u valor artraro de la varale se deota como ŷ. 3.5 ˆ La recta de ajuste por mímos cuadrados es aquella que pasa por etre los putos de la muestra de tal modo que produce el área total míma.

32 Por últmo dado que se otuvero a partr de ua muestra de putos o de la polacó so estmacoes de los parámetro polacoales correspodetes β β. La letra grega empleada se prouca eta. Actvdad 3.6 Eama e equpo las epresoes Ecuetra alguos elemetos comues? Descríalos veralmete e forma escrta. Cálculos para ecotrar la recta de regresó Drectos. E los cálculos para los parámetros de la recta de regresó se emplea los valores de las sumatoras a ecepcó de coefcete de correlacó r de Pearso. Así e el caso de los cgarrllos ver ejemplo 3. se tee: que se emplea para el cálculo del 35.4 ; 33. ; 45. ; Al susttur los valores de las sumatoras de 5 e las ecuacoes : La ecuacó de la recta de ajuste por mímos cuadrados para la muestra de marcas de cgarrllos queda etoces: ˆ Al grafcar la recta de ajuste e el dagrama de dspersó de la fgura 3. pero coservado la recta trazada artraramete e grs para comparacó se tee: 3

33 Fgura 3.5 Recta de regresó recta artrara. Programa 3.. El cálculo de los parámetros puede hacerse medate el programa 3.. E la últma terfase mostrada e el ejemplo 3.3 se tee los valores de los parámetros como: Se dspoe tamé del dagrama de dspersó de la represetacó gráfca de la recta de regresó. Ejemplo 3.8 Empleado la ecuacó de la recta de regresó para los cgarrllos calcular los valores correspodetes a las comparar co los valores oservados Solucó Alqutrá Oservados Valores de CO Ajustados ŷ. Alqutrá Valores de CO Oservados Ajustados ŷ Cometaros. Los valores ŷ rara vez cocde co sus correspodetes valores oservados. Esto es el resultado de teer ua líea que pasa por etre los putos o por los putos. La técca garatza s emargo que la suma ˆ es míma respecto a cualquer otra líea recta que pase por etre los ˆ putos. La dfereca es coocda como error desvacó o resdual. La suma de estos valores de sus cuadrados es utlzada amplamete e aálss susecuetes. ŷ 33

34 Materal opcoal Eploracó del método de ajuste por mímos cuadrados co el programa 4. El programa 4. permte ua vez que se ha leído los datos putos teer el dagrama de dspersó ua recta que ue los putos etremos. Puede luego mapularse la recta e egro oservar el área total ver vetaa suma de cuadrados de cada recta que se vaa formado. Se sugere eplorar vsualmete co varas rectas hasta ecotrar aquella que mmce el área luego comparar co la recta de ajuste por mímos cuadrados o de regresó que da tamé el programa. Se muestra a cotuacó ua etapa e la eploracó para ecotrar la recta e el caso de los cgarrllos. Fgura 3.6. Iterfase que muestra ua etapa e la eploracó de la mejor recta Materal opcoal Otecó de la recta de regresó del coefcete de correlacó co Ecel Para lustrar el procedmeto se usará la tala 3.. Prmero se captura los datos e ua hoja de cálculo de Ecel. Por ejemplo e las celdas A:C7 como se ve e la fgura sguete. 34

35 Fgura 3.7 Iterfase co la tala de datos e Ecel Después se señala las celdas B3:C7 se voca al asstete para gráfcos que se ecuetra e la arra de herrametas Estádar. Seleccoar XY Dspersó e Tpo de gráfco Dspersó e Sutpo de gráfco hacer clc e el otó Falzar ver fgura 3.3 Fgura 3.8 Iterfase del asstete para gráfcos de Ecel El resultado después de estas operacoes es: 35

36 Fgura 3.9 Iterfase co la gráfca resultate. Ha dversas opcoes para presetacó de la gráfca: Se puede señalar la Leeda que dce Sere usar la tecla Supr para elmarla. Hacer clc e algua de las líeas de dvsó co lo que se señalará todas usar uevamete la tecla Supr para elmarlas. Hacer dole clc e el somreado del área de grafcacó co lo que aparecerá el cuadro de dálogo Formato del área de trazado. Del lado derecho Área hacer clc e Ngua luego e Aceptar. Camar la escala e amos ejes hacedo dole clc sore cada uo de ellos. Por ejemplo s se hace dole clc sore el eje aparecerá el cuadro de dálogo Formato de ejes. Después de hacer clc e la fcha Escala se verá así: Fgura 3. Iterfase del formato de ejes. E el eje dejar Mímo Mámo 3 como se muestra e la fgura ateror. Repetr lo msmo para el eje dejado Mímo Mámo 5. El resultado dee ser: 36

37 Fgura 3. Dagrama de dspersó elaorado por Ecel. Ahora proceder a solctar la líea de regresó. Después dar clc e el gráfco hacer clc e el meú Gráfco luego e Agregar líea de tedeca. Fgura 3. Iterfase del meú Gráfco de Ecel Aparecerá el cuadro de dálogo de esta opcó. Seleccoar Leal e Tpo de tedeca o regresó. Camar a la fcha Opcoes seleccoar el cuadro Presetar ecuacó e el gráfco el cuadro Presetar el valor de R cuadrado e el gráfco. Por últmo hacer clc e Aceptar. El resultado es: R Fgura 3.3 Dagrama de dspersó recta de regresó co el coefcete de correlacó. Ecel emplea R para el coefcete de correlacó lo da al cuadrado. Más adelate se eplca el omre setdo uso del coefcete al cuadrado. Se recomeda utlzar la tecología para oteer la recta de regresó programa 4. programa 3. ver ejemplo 3.9 Ecel o ua calculadora que dspoga del programa de regresó leal. E caso que se quera realzar paso a paso se sugere orgazarlos como se mostró aterormete e el ejemplo

38 Predccó de valores utlzado la recta de regresó Ua vez que se tee la represetacó aalítca de los putos se puede llevar a cao dsttas actvdades sedo ua de las más mportates la predccó. Para ver como se realza se emplea se recurre a u ejemplo. 38

39 Ejemplo 3.9 Cosdere que se elaora u cgarrllo co u cotedo de alqutrá gual a 4 mg se desea estmar s realzar la medcó químca la catdad de CO que se desprede e su cosumo. Solucó La estmacó de la catdad de CO se otee susttuedo 4 e la ecuacó de la recta de regresó ecotrada calculado el valor de : La catdad de CO es. mg. E la fgura adjuta se muestra gráfcamete la estmacó. La estmacó es u valor que aturalmete dca u referete de lo que puede esperarse e cluso para calcular u tervalo de cofaza. La predccó puede verfcarse empleado el programa 3. del lro. E el ejemplo 3.3 se dero los prmeros pasos. Lo sguete es escrr 4 e la vetaa correspodete a Valor de hacer clc e Calcular. El resultado es: Efecto de los valores etremos o atípcos sore la recta de regresó E alguos casos se tee valores que se desvía cosderalemete del patró que sgue los demás putos. Puede tratarse de valores etremos fluetes /o atípcos ver capítulo 3 39

40 del lro. Este tpo de putos flueca los resultados de la recta de regresó por lo que se recomeda realzar los cálculos co s dchos putos. Así s e el caso de los cgarrllos se elma el puto correspodete a BullDurham se ecuetra la ecuacó de la ueva recta se tee ˆ Las gráfcas de las rectas de regresó co todos los putos s BullDurham se muestra e la fgura 3.4 Fgura 3.4 Efecto de BullDurham sore la recta de regresó. Resulta teresate oservar cómo u solo puto modfca la ordeada al orge la pedete de la recta de regresó. Por ello es coveete aalzar este tpo de putos prmero para ver s o se trata de algú error de medcó segudo para estalecer s se tee u valor atípco ver prolemas Coefcete de determacó error estádar de estmacó Como se vo e el ejemplo 3.8 los valores estmados ŷ o cocde co los valores oservados correspodetes. Co el f de aalzar estas desvacoes cosdérese u dagrama de dspersó la correspodete líea de regresó ver fgura 3.5. Se ha adcoado al dagrama ua líea horzotal a la que se llamará líea ase; su faldad es servr de referete para el aálss de las desvacoes. A f de cuetas es el valor represetatvo de los valores de esa varale. 4

41 Cosdere u puto cualquera la líea ase se represeta por Fgura 3.5 Aálss de la desvacó total.. La desvacó o dfereca del valor respecto a se cooce como desvacó total. La desvacó total puede dvdrse e dos partes:. La desvacó eplcada ˆ que epresa la desvacó del valor ŷ a la líea ase. Podría decrse que la líea de regresó eplca esa parte de la desvacó: Image u puto que puede desplazarse sore la líea ase ver fgura 3.6; al mover el puto a la derecha la desvacó represetada por las líeas e grs aumeta tome e cueta que so valores egatvos; llega a cero e la terseccó co la recta de regresó sgue aumetado al avazar a la derecha. Fgura 3.6 Desvacó eplcada ˆ. 4

42 La desvacó o eplcada rece ˆ tamé los omres de desvacó aleatora o resdual.. La desvacó o eplcada ˆ que dca la desvacó del valor de la líea de regresó. Supoga ahora u puto móvl que se desplaza sore la recta de regresó ver fgura 3.7. Al desplazarse sore ésta la desvacó de los putos de la muestra a la recta de regresó o sgue u patró a que su dstrucó es aleatora: su poscó arra o deajo de la recta así como su magtud so aleatoros. E resume ha factores aleatoros de otro tpo que la recta o eplca e forma algua. Fgura 3.7 Aleatoredad de los putos respecto a la recta de regresó. Para aalzar algeracamete las desvacoes cosdérese la sguete relacó: Actvdad 3.7 Demostrar que la suma de las desvacoes totales sore todos los putos muestrales da cero: ˆ ˆ Desvacó total Desvacó eplcada Desvacó o eplcada Elevado al cuadrado amos memros sumado sore todos los putos para ver la justfcacó de elevar al cuadrado se sugere realzar la actvdad 3.7: ˆ ˆ Desarrollado algeracamete el lado derecho: 4

43 43 ˆ ˆ La smplfcacó e el lado derecho se dee a que el térmo ˆ ˆ es cero ver prolema 3.. Como se clue a todos los putos de la muestra el térmo varacó resulta más apropado que el de desvacó. eplcada Varacó o eplcada Varacó total Varacó ˆ ˆ 3.8 Dvdedo etre la varacó total amos lados de la ecuacó 3.8. ˆ ˆ Smplfcado: Varacó total Varacó o eplcada Varacó total Varacó eplcada ˆ ˆ 3.9 El prmer térmo del lado derecho es deotado como r a que la raíz cuadrada es equvalete al coefcete de correlacó de Pearso r. Se cooce como el coefcete de determacó suele maejarse así:

44 r Varacó eplcada Varacó total ˆ 3. La epresó 3. da pe a cotuar el aálss cado co el coefcete de correlacó de Pearso pero tomado ahora e cueta la recta de regresó. Para ello se da prmero u resume después su aplcacó:. El valor de r es la razó de la varacó eplcada sore la varacó total. Es decr r es la fraccó de la varacó total e que puede eplcarse usado el modelo leal ˆ.. r es la fraccó de la varacó total e deda al azar o a la posldad de varales ocultas descoocdas que flue e. E el caso de los cgarrllos se tee r. 96 co lo que el coefcete de determacó es r.9. Puede decrse etoces de acuerdo al puto que alrededor de 9% del comportameto varacó de la varale puede eplcarse por medo del correspodete comportameto varacó de la varale medate la ecuacó de regresó. Como r. 9 r. 8. De acuerdo al puto el comportameto varacó de alrededor de 8% de la varale se dee al azar o a posles varales descoocdas para el vestgador que flueca. El programa 3. proporcoa el coefcete de determacó como puede verse e los ejemplos Actvdad 3.8 Realzar u aálss smlar al dado arra empleado los resultados del marató de Nueva York. 44

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