PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS

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1 PROBADO GRADORS D UMROS ALATORIOS s mportate asegurarse de que el geerador usado produzca ua secueca sufcetemete aleatora. Para esto se somete el geerador a pruebas estadístcas. S o pasa ua prueba, podemos asumr que el geerador es malo. Pasar ua prueba es ua codcó ecesara pero o sufcete. U geerador puede pasar ua prueba y luego o pasarla s se usa otra semlla u otro segmeto del cclo. Descrbremos pruebas para úmeros aleatoros uformemete dstrbudos, auque muchas de las pruebas també puede ser usadas para probar varables aleatoras. Lo prmero e la prueba de u geerador, es grafcar y observar las dstrbucoes de u hstograma y la frecueca acumulada. Para el geerador programado aterormete el cual usaremos para lustrar todas las pruebas: 5 3 x 7 x mod y usado x =, se obtee la sguete tabla de frecuecas, el hstograma, y gráfco de la frecuecas acumuladas, a partr de ua secueca de de úmeros aleatoros: Tabla de Frecuecas <.5 <. <.5 <. <.5 <.3 <.35 <.4 <.45 <.5 <.55 <.6 <.65 <.7 <.75 <.8 <.85 <.9 <.95 < Hstograma de Frecuecas Relatvas,,9,8,7,6,5,4,3,,,,5,5,5,35,45,55,65,75,85,95 Itervalo < Gráfco de Frecuecas Acumuladas,,9,8,7,6,5,4,3,,,,5,,5,,5,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95 Itervalo < Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-

2 Vemos que los gráfcos so los esperados. Todas las frecuecas e el hstograma so aproxmadamete.5 y el gráfco de las frecuecas acumuladas es aproxmadamete ua líea recta de 45. I. PRUBA D CHI-CUADRADO sta es la prueba más comúmete usada. geeral, puede ser usada para cualquer dstrbucó. A partr de u hstograma, se compara las frecuecas observadas co las frecuecas obtedas de la dstrbucó específca frecuecas esperadas. S el hstograma tee k celdas o tervalos, y O y so las frecuecas observadas y esperadas respectvamete para la -esma celda, la prueba cosste e calcular k O S el ajuste es exacto, es cero, pero por aleatoredad o lo será. Se puede demostrar que tee dstrbucó ch-cuadrado co k- grados de lbertad. Se aceptara que los datos tee la dstrbucó e prueba co u vel de sgfcaca de * s [ ; k ]. Para los datos aterores, todas las frecuecas esperadas so de /=. l valor de es 8,8 y la [. ;9] 7,; por lo tato o hay evdeca de que los úmeros o so uformes a u vel de =.. strctamete hablado, la prueba de ch-cuadrado esta dseñada para dstrbucoes dscretas y para muestras grades. Para dstrbucoes cotuas la ch-cuadrado es solo ua aproxmacó y el vel de sgfcacó se aplca solo s. Para muestras ftas el vel de sgfcacó es algo meor. S e u caso partcular ua celda cotee meos de 5 observacoes esperadas, dversos autores recomeda que se combe celdas adyacetes a f de que cada celda tega al meos 5 observacoes esperadas. Uo de los problemas de esta prueba es la seleccó de los límtes de las celdas. sto puede afectar las coclusoes y o hay reglas exactas para seleccoar su tamaño. Para daros cueta de la stuacó, cosderemos los dos hstogramas sguetes, ambos costrudos a partr de los msmos datos. el de la zquerda dfíclmete se puede llegar a la coclusó de que los datos provee de ua poblacó uforme. S vamos al de la derecha, e dode teemos los msmos datos pero reagrupados, la hstora es otra y e este caso o teemos dudas de la uformdad; la prueba de ch-cuadrado da u ajuste perfecto a b a b a 3 b 3 b b b 3 * Recordemos que es la probabldad de cometer rror de Tpo I: rechazar H cuado es verdadera. Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-

3 Para ayudar e la determacó del úmero de tervalos se puede teer e cueta lo sguete: S la dstrbucó e estudo es dscreta, cada valor de la varable aleatora debería ser ua clase, a o ser que sea ecesaro combar celdas adyacetes para cumplr co la frecueca esperada míma por celda. este caso p = px = PX = x, o p se determa sumado las probabldades de celdas adyacetes. S la dstrbucó es cotua la sguete tabla puede ser usada de guía: Tamaño de la muestra úmero de tervalos k o use la prueba de ch-cuadrado 5 5 a a > a 5 otese que para el ejemplo ateror co observacoes, el úmero de tervalos debería estar etre y o etre 5 y 4. Hay tervalos, as que se estra detro del rago sugerdo. 5 Otro problema es el hecho de que la frecueca esperada esta dvdedo, lo que mplca que errores e celdas co frecuecas esperadas pequeñas afecta más el valor de que errores e celdas co frecuecas esperadas grades. II. PRUBA D KOLMOGOROV-SMIROV La prueba K-S os permte decdr s ua muestra de observacoes es de ua dstrbucó cotua partcular. Se basa e que la dfereca etre la FDA Fucó de Dstrbucó Acumulada observada S x y la FDA esperada F X x debe ser pequeña. S x vee dada por: S úmero de observacoes x x Los símbolos D + y D - so usados para deotar las desvacoes observadas máxmas sobre y bajo la FDA esperada e ua muestra de tamaño : D max[ S x x F X x] D max[ F x X x S D + mde la desvacó máxma cuado la FDA observada esta sobre la FDA esperada, y D - mde la desvacó máxma cuado la FDA observada esta bajo la FDA esperada. S los valores de D + y D - so meores que D [;] etoces se dce que las observacoes provee de la dstrbucó respectva co u vel de sgfcacó de. U error comú calculado D - cosste e ecotrar el máxmo de F X x j - S x j. sto es correcto ya que S cosste de u segmeto horzotal a S x j e el tervalo [x j, x j+ y el máxmo ocurre justo ates de x] Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-3

4 x j+ y la dfereca correcta es F X x j+ - S x j. Vea el grafco sguete e dode se muestra como se hace los cálculos y se asume que ambos máxmos D + y D - cae e x j, cosa que o tee que ser así. Para úmeros aleatoros uformes etre y, la FDA esperada es F X x = x. Para probar uformdad ordeamos la muestra x, x,..., x tal que x j- < x j y calculamos D max j j x j D max x j j j j/ x j j-/ D + D - F X x=x S x x j- x j Comparado co la D podemos tomar la decsó. jemplo Para el geerador que hemos vedo usado, ua muestra de tamaño 3 partedo de x = es:.8,.3538,.75565,.45865,.53767,.8959,.4745, ,.67996, ,.3835,.5946,.83965,.3457,.5346,.597,.6749,.7698,.38346,.6684,.47486, , ,.93436,.84667,.5699,.9965,.65399,.45999,.79. de dode obteemos los sguetes valores: D + =.437 y D - =.834. D [. ; 3] =. y por lo tato decmos que o hay evdeca de que los úmeros o sea uformes. La prueba K-S esta dseñada para dstrbucoes cotuas, muestras pequeñas, y usas todas las observacoes s hacer agrupacoes hacedo mejor uso de los datos que la ch-cuadrado. Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-4

5 III. PRUBA D CORRLACIÓ SRIAL U método para probar s hay depedeca etre dos varables es calculado su covaraza. S esta es dstta de cero, etoces so depedetes. verso o es certo; s la covaraza es cero o mplca que sea depedetes. Dada ua secueca de úmeros aleatoros se puede calcular la covaraza etre úmeros k-dstates, es decr, etre x y x +k. sto es llamado autocovaraza co desplazameto k deotada como R k y dada por: R k k x xk k dode x es el -esmo úmero aleatoro uforme de la secueca. Para grade, R k se dstrbuye ormalmete co meda y varaza /[44-k]. l tervalo de cofaza para la autocovaraza al -% es R k z / k S este tervalo o cluye el cero, podemos decr que la secueca tee correlacó sgfcatva. sto se aplca solo para k. S k =, R es la varaza de la muestra que se espera sea / para ua secueca depedete détcamete dstrbuda IID de uformes e - U,. jemplo Para la muestra ateror co úmeros: Dstacameto Autocovaraza Itervalo de Cofaza al 95% k R k Lmte feror Lmte superor Todos los tervalos cluye el cero y podemos asumr todas las covarazas como estadístcamete o sgfcatvas al vel de cofaza =.5 o Z.975 =.958 Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-5

6 IV. UIFORMIDAD K-DIMSIOAL O K-DISTRIBUTIVA Las pruebas aterores asegura uformdad e ua dmesó. l cocepto de uformdad puede ser exteddo a k dmesoes. Supogamos que u es el -esmo úmero e ua secueca dstrbuda uformemete etre y. Dados dos úmeros reales a y b, també etre y y tal que b > a, la probabldad de que u este e el tervalo [a, b es b - a : Pa u b b a b a sta es la propedad -dstrbutva de u. La -dstrbutvdad es ua geeralzacó de esta propedad e dos dmesoes y requere que u par de valores u - y u satsfaga la sguete codcó: Pa u b y a u b b a b a b a y ba Ua secueca es k-dstrbutva s: P a u b,..., a u b b a... b a b a,,..., k k k k k k ote que ua secueca k-dstrbutva es k--dstrbutva, pero el verso o es certo. Ua secueca puede ser uforme e ua dmesó feror y o e ua superor. Dado u grupo de geeradores, es preferble aquel que produzca más uformdad e la mayor dmesó. A cotuacó veremos ua forma de chequear k-dstrbutvdad: prueba seral. Ates de coducr estas pruebas, es coveete chequear s la secueca es uforme e dos dmesoes grafcado pares solapados sucesvos: x -, x, x, x +. VI. PRUBA SRIAL sta prueba es usada para probar uformdad e dos o más dmesoes. dos dmesoes, se dvde el espaco etre y e K celdas de gual área. S teemos ua muestra de tamaño, podemos costrur / pares o solapados x, x, x 3, x 4,..., y cotar los putos que cae e cada celda. Idealmete se espera K putos e cada celda. Se puede usar la ch-cuadrado para ecotrar la desvacó etre lo observado y lo esperado. Los grados de lbertad so K -. s fácl ver como se puede exteder la prueba a k-dmesoes. jemplo: Para el geerador ejemplo, usado ua muestra de tamaño 5, y dvdedo e 5 = 5 celdas que da 5 pares o solapados, obteemos: Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-6

7 .8 X X y las sguetes frecuecas: Co 5 pares esperamos observacoes por celda. l valor de es 3, y la [. ; 4] 33,; por lo tato aceptamos que los úmeros so uformes e dos dmesoes a u vel de =.. o se debe usar pares solapados. S se usa pares solapados, el úmero de putos por celda o es depedete y o se puede usar la prueba ch-cuadrado. La depedeca etre úmeros sucesvos aparece como o-uformdad e dmesoes más grades. Por ejemplo, s úmeros sucesvos tee correlacó de prmer orde egatva, es muy probable u valor alto x sea segudo de u valor bajo x +. S grafcamos los pares o solapados, los putos tede a cocetrarse derecha-y-abajo e zquerda-y-arrba y o se pasará la prueba. VII.PRUBAS D RACHAS Cosderemos la sguete secueca de úmeros: dfíclmete se puede decr que esta secueca es aleatora los úmero está ordeados, s embargo, pasa las pruebas de uformdad ch-cuadrado y Kolmogorov-Smrov: Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-7

8 Para la prueba ch-cuadrado teemos las sguetes frecuecas observadas y esperadas: Co Itervalo O.<= x <. 9 8.<= x < <= x < <= x <.8 8.8<= x <. 6 8 Total: 4 4,5 y 7,78, y para la prueba de Kolmogorov-Smrov D + =.86, D - =.694 y [. ; 4] D [.;4] = y vemos que e ambos casos o hay evdeca para rechazar la uformdad de la secueca. sto es fácl de eteder al ver que gua de las dos pruebas le presta atecó al orde de los úmeros. Las pruebas de rachas, e dode ua racha es ua secueca de evetos de certo tpo, sí toma e cosderacó la forma como se da los úmeros e la secueca. Rachas Crecetes y Decrecetes Ua racha crecete es aquella e que u úmero esta segudo por u úmero mayor, metras que e la decrecete u úmero esta segudo por u úmero meor. Cosderemos la sguete secueca, que provee del geerador que hemos usado de ejemplo y que s los ordeamos da la secueca al comezo de la seccó: S usamos sgos más y meos para detfcar s u úmero esta e ua racha crecete o decrecete respectvamete, teemos: Sea > la logtud de la secueca y a el úmero de rachas e la msma, s los úmeros efectvamete so aleatoros, a se dstrbuye ormalmete y: a, 3 a 6 9, 9 Z a a a ~, Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-8

9 y s Z Z o hay evdeca para rechazar la hpótess de depedeca de los úmeros, como se Z muestra e la sguete fgura. ótese que el úmero máxmo de rachas es - co el últmo úmero de la secueca o se puede decdr a que tpo de racha perteece por ser precsamete el últmo, metras que el mímo es. Para uestro ejemplo a, 6.33, 6.79, Z.896, Z. 645 y por lo tato o 4 a a. 5 rechazamos la hpótess de depedeca. Rachas Bajo y Sobre la meda Ua racha bajo la meda es aquella e que el úmero es meor o gual a.5 la meda de la uforme, metras que es sobre s el úmero es mayor a.5. Cosderemos la msma secueca ateror y s usamos sgos más y meos para detfcar s u úmero esta sobre o bajo la meda, teemos: Sea y la catdad de úmeros sobre y debajo de la meda respectvamete, = + la logtud de la secueca y b el úmero de rachas e la msma, s los úmeros efectvamete so aleatoros y o es mayor que, b se dstrbuye ormalmete y: b, b, Z b b b ~, y s Z Z o hay evdeca para rechazar la hpótess de depedeca de los úmeros. Ahora Z el úmero máxmo de rachas es y el mímo es. Para uestro ejemplo b,, 8, b.3, 9.54, Z.7, Z. 645 y por lo b. tato o rechazamos la hpótess de depedeca. Logtud de las rachas o es mportate solamete el tpo de rachas que se tee, so també cuato es su logtud. Muchas rachas muy pequeñas o rachas muy largas produce seras sospechas. Sea Y la catdad de rachas de logtud e ua secueca de úmeros. Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-9

10 Prof. Herbert Hoeger Smulacó V- Para ua secueca depedete de rachas crecetes/decrecetes los valores esperados de Y está dados por: s! s ! 3 Y Y Para las rachas sobre y bajo la meda teemos: I A I w I w Y Dode w es la probabldad aproxmada de que ua racha tega logtud, I es la logtud promedo esperada de las rachas y A es el úmero esperado aproxmado de rachas de cualquer logtud e la secueca. Co esto podemos aplcar la prueba de ch-cuadrado usado L Y Y O dode L = - para rachas crecete/decrecetes y L = para rachas sobre/bajo la meda. Comparamos y se acepta que los datos so depedetes sí, co u vel de sgfcaca de, ] ; [ L. Recuerde que para esta prueba dversos autores recomeda que las observacoes esperadas por tervalo debe ser mayores a 5 y s esto o se da se debe agrupar tervalos. Co la secueca que hemos vedo estudado, para las rachas crecetes/decrecetes teemos: Rachas de logtud Frecueca Observada Frecueca sperada y como la últma clase tee u valor esperado meor que 5 la agrupamos co la seguda. Obsérvese que o hay rachas de logtud mayor que 3, por lo tato la frecueca esperada de la clase 3 se calcula como a Reagrupado da:

11 Rachas de logtud Frecueca Observada Frecueca sperada co.47 y.7, llevádoos a o rechazar la hpótess de depedeca. [. ;] Para las rachas sobre/debajo de la meda, la tabla de frecuecas que obteemos es: Rachas de logtud Frecueca Observada Frecueca sperada y uevamete hay que reagrupar tervalos dado que teemos frecuecas esperadas meores a 5. També, dado que o hay rachas de logtud mayor que 5, la frecueca esperada de la clase 5 se calcula como A suma de las frecuecas esperadas aterores. Reagrupado da: Rachas de logtud Frecueca Observada Frecueca sperada co.3 y.7, llevádoos a o rechazar la hpótess de depedeca. [. ;] uestros 4 úmeros aleatoros del geerador x pruebas, clusve la de autocorrelacó seral: x mod co x = pasa todas las Dstacameto Autocovaraza Itervalo de Cofaza al 9% k R k Lmte feror Lmte superor Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-

12 VIII.PRUBA D BRCHAS Se usa para determar s los tervalos brechas etre la ocurreca del msmo dgto so o o aleatoros. l sguete ejemplo lustra las berchas asocadas al dgto 3. 4,, 3, 5,, 7,, 8,,, 7, 9,, 3, 5,, 7, 9, 4,, 6, 3 3, 9, 6, 3, 4, 8,, 3,, 9, 4, 4, 6, 8, 4,, 3, 8, 9, 5, 5, 7 3, 9, 5, 9, 8, 5, 3,,, 3, 7, 4, 7,, 3, 6, 3, 5, 9, 9, 5, 5 5,, 4, 6, 8,, 4, 7,, 3, 3,, 9, 5, 7, 9, 5,, 6, 6, 3, 8 8, 8, 9,, 9,, 8, 5, 4, 4, 5,,, 3, 9, 7,,,, 3, 6, 3 Hay decocho 3 y por lo tato teemos 7 brechas asocadas a este dgto. La prmera brecha tee ua logtud de y su probabldad, asumedo depedeca, vee dada por: Pbrecha de = Po3Po3Po3Po3Po3Po3Po3Po3Po3Po3P3 =.9. y la dstrbucó teórca vedría dada por: P brecha x F x. x.9.9 Para aplcar la prueba a úmeros aleatoros asocamos los dgtos,, a los tervalos [,., [.,., Para el ejemplo ateror co úmeros, teemos brechas los úmeros meos la catdad de dgtos dsttos y podemos comparar la dstrbucó observada cotra la teórca usado la prueba de Kolmogorov-Smrov. Para =.5, teemos que el valor crítco es: D x Logtud de brecha Frecueca Frecueca Relatva Frecueca Relatva Acumulada Sx Fx Fx-Sx -3 35,35,35,3439,6 4-7,,57,5695,5 8-7,7,74,776,4-5 9,9,83,847, ,5,88,8784,6-3 6,6,94,9, ,3,97,9477,3 8-3,,97,9657, ,,97,9775, ,,99,985, ,,99,993, ,,,9936,64 Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-

13 De la tabla observamos que la dfereca maxma etre la dstrbucó observada Sx y la teorca Fx es.4 que es feror al valor crtco.36 por lo que o podemos rechazar la hpótess de depedeca de los dgtos. IX. PRUBA POKR sta es ua prueba de depedeca basada e la frecueca co que certos dgtos se repte e ua sere de úmeros. Su ombre se debe al popular juego de cartas Poker. Cosderemos la sguete sere de úmeros co ua repetcó usal de dgtos:.55,.577,.33,.44,.88,.99,.33,. cada caso aparece uo de los tres dgtos repetdo y las posbldades para este caso so: Los tres dgtos dsttos Los tres dgtos guales U par de dgtos guales y las probabldades asocadas so: Ptodos dsttos = Psegudo dstto del prmeroptercero dstto del segudo =.9.8 =.7 Ptodos guales = Psegudo gual al prmeroptercero gual al segudo =.. =. Pu par =.7. =.7 la uca opco restate y podemos calcular por complemeto Supogamos ua secueca de úmeros aleatoros e dode se aalza los tres prmeros dgtos y se tee que 68 tee los 3 dgtos dsttos, 89 cotee exactamete u par y 3 tee todos guales. Los calculos respectvos usado la prueba Ch-Cuadrado so: Frecuecas Observdas Frecuecas speradas O Caso O Todos dsttos 68 7, Todos guales 3 44, xactamete u par 89 7,34 47,66 Observamos que y por lo tato rtechazamos la hpótess de depedeca de los.5; úmeros. sta prueba se puede exteder a más dgtos pero a su vez las posbldades aumeta y olos calculos se complca. Por ejemplo, para 5 dgtos, podramos teer, todos guales, todos dsttos, exactamete u par, exactamete u tro, u tro y u par, dos pares, etc. Prof. Herbert Hoeger Smulacó V-3