MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

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María Luisa Salas Córdoba
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1 MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar RESUMEN Habtualmete el tratameto de la regresó se lmta al caso leal. E muchos casos esto puede ser sufcete pero e otros o. Será ecesaro probar la lealdad de la curva de regresó, dcha prueba se puede obteer por el método de aálss de la varaca. E el presete trabajo se descrbe la aplcacó de modelos leales y o leales e problemas de geería, utlzado el software XLStat. Asmsmo se descrbe el tervalo de cofaza para el coefcete de regresó e el modelo leal, para la ordeada al orge y para la mage a través de la recta. E el caso de los modelos o leales se prueba la bodad del ajuste realzado a través de las pruebas específcas. La correcta eleccó de u modelo adecuado, que descrba los datos e problemas de geería, proporcoa elemetos de juco sufcetes para la toma de decsoes e codcoes de certdumbre. Palabras clave: regresó leal, regresó o leal, mejor ajuste, método de mímos cuadrados INTRODUCCIÓN E el aálss de regresó ua de las dos varables, que llamamos X, puede cosderarse como varable ordara, es decr se puede medr s error aprecable. La otra varable Y, es ua varable aleatora. A X se la llama varable depedete (alguas veces varable cotrolada) y uestro terés es la depedeca de Y e térmos de X. Supogamos que e certo expermeto aleatoro tratamos de maera smultáea dos varables, ua varable ordara X y ua varable aleatora Y. Efectuamos el expermeto de tal maera que Trabajo aceptado para ser presetado e forma oral e el IICam Segudo Cogreso Argeto de Igeería Mecáca. Sa Jua, Argeta. Novembre 00 Este térmo lo sugró la observacó de Galto que e promedo los hjos de padres altos o so ta altos como sus padres y los hjos de padres bajos o so ta bajos como sus padres, así que exste la tedeca a regresar haca la meda. El térmo correlacó fue també propuesto por Galto (Proceedgd of the Royal Socety of Lodo, 45, 888). E: 0

Será ecesaro probar la lealdad de la curva de regresó, dcha prueba se puede obteer por el método de aálss de la varaca.

2 seleccoamos prmero valores x, x,..., x de X y luego para cada x j obteemos u valor observado y de Y. Etoces, teemos ua muestra de parejas de valores: j x, y ),( x, y ),....,( x, y ) ( Podemos grafcar las parejas como putos del plao. Nuestro objetvo es hallar algua fucó que descrba aproxmadamete el dagrama de putos ateror, e el rago cosderado de la varable X. A tal efecto e prmer lugar elegmos ua clase de fucoes de dode seleccoaremos algua fucó apropada. Las clases de fucoes más utlzadas so las sguetes: ) Polomales a) Leales f 0 ( x, a) = a + a x a = a 0, a ) b) Cuadrátcas f ( a, x) + x ( = a0 + ax a a = ( a0, a, a ) c) E geeral de grado meor o gual a m ( a, x) = a + a x + a x +... a x m 0 m a = ( a0, a, a,..., am ) f + ) Potecales a f x, a) = a. x a = a 0, a ) ( 0 ) Expoecales f ) x ( x, a) = a0.( a a = ( a 0, a) v) Logarítmcas f ( + 0 ( x, a) = a a l x a = a, a ) 0 (

A tal efecto e prmer lugar elegmos ua clase de fucoes de dode seleccoaremos algua fucó apropada.

3 Ya elegda la clase de fucoes C = { f ( x, a) / a A R } os falta determar e la msma algua que descrba los valores dados. Para realzar tal propósto ecestamos u crtero, utlzaremos aquí el llamado método de mímos cuadrados. Dversos autores (Sotomayor et al. (00); Medehall et al. (004), García (004), Motgomery el al. (00)) descrbe el método. Sea f ( x, a) ua fucó cualquera de la clase C. Grafcado:(Gráfco ) Gráfco Teemos que para cada valor de =,,, el error es la dfereca etre el valor observado y el obtedo a través de la fucó δ = Y f ( x, a) Defmos la fucó S que e cada vector vale Sa = δ = ( Y f ( x, a)) = = S los putos ( x, y),( x, y ),...,( x, y ) perteece a la gráfca de f etoces Sa = 0 y recíprocamete. S eso o ocurre debemos procurar que dcha fucó tome el valor mímo. E geeral tal mímo se alcaza para u úco valor de â. Etoces la fucó que elegmos es la fucó y ˆ = f ( x, aˆ) que se deoma fucó de mímos cuadrados para el problema dado.

(00)) descrbe el método. Sea f ( x, a) ua fucó cualquera de la clase C.

4 Determacó de â : Sa Recordemos que para que S tega u mímo e el puto a debe ocurrr = 0 a j Por lo tato obteemos ( Y = f ( x, a)) a j f ( x, a) = 0 De dode resulta = f ( x, a)) a j f ( x, a) = = Y a j f ( x, a) j =0,,...,m Desarrollado las sumatoras resulta u sstema de ecuacoes ormales cuya solucó es el vector â buscado REGRESIÓN LINEAL Aplcar el método de mímos cuadrados utlzado las herrametas que os proporcoa las Tcs resulta secllo. Tomemos u ejemplo: E la produccó de herrametas, el método para deformar acero a temperatura ormal matee ua relacó versa co la dureza del msmo ya que, a medda que la deformacó crece, se ve afectada la dureza del acero. Para vestgar esta relacó se ha tomado la sguete muestra: X: deformacó (e mm) Y : dureza Brell (e kg/mm) Tabla : Deformacó y Dureza Brell 3

..,m Desarrollado las sumatoras resulta u sstema de ecuacoes ormales cuya solucó es el vector â buscado REGRESIÓN LINEAL Aplcar el método de mímos cuadrados utlzado las herrametas que os proporcoa

5 Represetamos medate u dagrama de dspersó dcado la recta de regresó, su ecuacó y el coefcete de determacó correspodete. 3 Gráfco : Dagrama de dspersó y recta de regresó para los datos de la Tabla. ANALISIS DE LA VARIANZA Sedo y ˆ = a + bx la recta de regresó leal, el parámetro b se llama coefcete de regresó. Su valor expresa el cremeto de ŷ cuado x aumeta ua udad. S b toma u valor postvo, la varable ŷ crece al crecer x, y e cosecueca la recta es crecete, lo que dca que la depedeca etre las varables es drecta. S b toma u valor egatvo, la varable ŷ decrece al crecer x, y e cosecueca la recta es decrecete, lo que dca que la depedeca etre las varables es versa. S b = 0, la recta es horzotal y o hay depedeca etre las varables, ya que las varacoes de x o provoca varacó de ŷ. 3 Tato el dagrama de dspersó como la recta de regresó fuero represetados medate Excel

S b toma u valor postvo, la varable ŷ crece al crecer x, y e cosecueca la recta es crecete, lo que dca que la depedeca etre las varables es drecta.

6 Es muy teresate ver que los métodos de aálss de la varaza també puede aplcarse e relacó co problemas de regresó. Utlzado el software XLStat 4 aplcamos el aálss de la varaza a los datos de la Tabla. Prueba de la hpótess β = 0 cotra la alteratva β 0 ( β : coefcete de regresó de la poblacó) Aálss de la varaza: Fuete GDL Suma de los cuadrados Meda de los cuadrados F Pr > F Modelo 643, ,735 49,3 < 0,000 Error 7 77,54,0 Total corregdo 8 70,889 Calculado cotra el modelo Y=Meda(Y) Tabla : Aálss de la varaza aplcado al modelo Como F = 49,3 > 0,00 se rechaza la hpótess ula, por lo tato β 0 Parámetros del modelo: Desvacó Límte feror Límte superor Fuete Valor típca t Pr > t (95%) (95%) Iterseccó 75,70,460 30,779 < 0,000 69,899 8,54 Deformacó -,30 0,08 -, < 0,000 -,575 -,064 Tabla 3: Parámetros del modelo leal e tervalos de cofaza del 95% para el coefcete de regresó y la ordeada al orge 4 Ver e 5

49,3 < 0,000 Error 7 77,54,0 Total corregdo 8 70,889 Calculado cotra el modelo Y=Meda(Y) Tabla : Aálss de la varaza aplcado al modelo Como F = 49,3 > 0,00 se rechaza la hpótess ula, por lo tato β 0

7 EL COEFICIENTE DE DETERMINACION Se defe el coefcete de determacó como la parte relatva de la varacó total que vee explcada por el modelo. R ˆ ( y y) = S y - El coefcete de determacó toma valores etre 0 y. ( 0 R ). - Todo ajuste mímo cuadrátco debe ver acompañado de su respectvo coefcete de determacó para poder coocer el poder represetatvo de la fucó de ajuste, es decr el valor explcatvo del modelo. - S R > 0, 90 se acepta el ajuste, e caso cotraro se debe buscar otro modelo. - Para el ejemplo propuesto R = 0,955 > 0, 90 por lo tato la regresó leal es u muy bue ajuste. REGRESIONES NO LINEALES S be la regresó leal es u muy bue ajuste para el problema propuesto, aplcaremos otros tpos de regresoes a f de poder comparar. Cuadrátca 6 Gráfco 3 : Regresó cuadrátca

- Todo ajuste mímo cuadrátco debe ver acompañado de su respectvo coefcete de determacó para poder coocer el poder represetatvo de la fucó de ajuste, es decr el valor explcatvo del modelo.

8 Potecal Gráfco 4 : Regresó potecal Expoecal Gráfco 5 : Regresó expoecal 7

9 Logarítmca Gráfco 6 : Regresó logarítmca Compararamos las regresoes aplcadas Tpo de regresó Coefcete de determacó Leal 0,955 Cuadrátca 0,97 Potecal 0,94 Expoecal 0,978 Logarítmca 0,955 Tabla 4: Comparacó etre las regresoes Es posble observar(tabla 4) que las regresoes so muy bueas, ya que e todos los casos R > 0, 90. 8

Expoecal 0,978 Logarítmca 0,955 Tabla 4: Comparacó etre las regresoes Es posble

10 El mejor ajuste es a través de ua fucó expoecal ( R = 0,978) cuadrátca ( R = 0,97) cerca uo del otro., segudo por la regresó, s be se puede observar que los dos valores aterores está muy CONCLUSIONES La aplcacó de dsttas regresoes sobre u msmo problema os permte realzar comparacoes, s lmtarse solamete al caso leal. La facldad de que os brda las uevas tecologías permte e poco tempo efectuar comparacoes que os permta la correcta eleccó de u modelo adecuado, que descrba los datos e problemas de geería, así como os proporcoa elemetos de juco sufcetes para la toma de decsoes e codcoes de certdumbre. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Velasco Sotomayor,G. ; Wsewsk, P.(00) Probabldad y Estadístca para Igeería y Cecas. Edtoral Thomso. Medehall,W. ; Wackerly,D.; Sheaffer, R.(004) Estadístca Matemátca co Aplcacoes. Grupo Edtoral Iberoamérca. García, R. (004). Ifereca estadístca y dseño de expermetos. Bueos Ares: Eudeba. Motgomery,D. ; Peck,E. y Vg, G. (00). Itroduccó al Aálss de Regresó Leal. Edtoral C.E.C.S.A. 9

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