G - Métodos de Interpolación

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1 ESCUELA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS G - Métodos de Iterpolacó Polomo de terpolacó de Lagrage. Polomo de terpolacó de Newto. Iterpolacó por el método de los Mímos Cuadrados (Cuadratura gaussaa). Objetvo: El alumo debe llegar a la terpolacó de ua fucó y = f(x), utlzado dversos métodos, por medo de polomos de grado, a partr del valor que toma la fucó e putos determados. Se llegará a los multplcadores de Lagrage, que se utlza mucho e el Cálculo Numérco. Co su ayuda podemos obteer fáclmete polomos de terpolacó para fucoes. Es teresate hacer algua práctca de su obtecó de maera maual, auque el alumo llegue també a utlzar métodos formátcos drectos para obteerla. Será mportate e todo mometo cotrolar el error de aproxmacó cometdo al susttur la fucó f(x) por su correspodete polomo de terpolacó p(x). Itroduccó: Cosderemos que os ecotramos e la sguete stuacó, coocemos el valor que toma la fucó f(x) e ua sere de putos x 0, x 1,, x (véase el gráfco), pero s embargo, o coocemos la forma explícta de dcha fucó f(x). Lo que hemos de hacer es terpolar esos datos, para obteer u polomo (polomo de terpolacó) que cumpla f(x ) p(x). Por lo geeral, hallamos el polomo de terpolacó p(x) cuado dspoemos de u cojuto de datos obtedos expermetalmete, de esta maera maejamos el polomo p(x) como ua aproxmacó a la fucó f(x). E ocasoes, també podemos obteer el polomo de terpolacó p(x) de ua fucó f(x) coocda, pero de eorme complejdad, puesto que u polomo sempre es más fácl de maejar. 1

2 G1. Polomo de terpolacó de Lagrage Sea ua fucó f(x), de tal maera que coozcamos su valor e cada uo de +1 putos: f(x 0 ), f(x 1 ),, f(x ). Cosderemos las sguetes expresoes polómcas (llamadas multplcadores o coefcetes de Lagrage ): ( x x0 ) ( x x1 )... ( x xk 1) ( x xk 1)... ( x x ) Lk ( x) ( x x ) ( x x )... ( x x ) ( x x )... ( x x ) k 0 k 1 k k 1 k k 1 k So +1 multplcadores, para k=0, 1, 2,, +1. Se suele expresar abrevadamete e la forma: ( x x ) Lk ( x) ( = 0, 1,, k) ( x x ) 0 k k Es decr, para el multplcador k-ésmo, está e el umerador los productos de todos los posbles (x x ) excepto el (x x k ), y e el deomador los productos de todos los (x k x ) excepto el (x k x k ). Propedad de los coefcetes L k (x): Tal como está defdos estos coefcetes, es obvo que posee la sguete propedad: El coefcete L k (x) se aula e cada puto x, excepto e el x k que tee el valor 1 (valor máxmo). Cosderemos u ejemplo gráfco, supogamos como soporte los ses putos sguetes, x 0 = 1, x 1 = 3, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 9. Por ejemplo, L 3 (x) se obtedría así: ( x 1) ( x 3) ( x 4) ( x 8) ( x 9) L3 ( x) (6 1) (6 3) (6 4) (6 8) (6 9) Ua expresó polómca que al represetarla gráfcamete queda: Dode se apreca la propedad dcada. Pues be, el polomo de terpolacó delagrage se obtee como la sguete combacó leal de estos L k (x): p( x) f ( x ) L ( x) [1] k0 k k 2

3 EJEMPLO: Cosderemos la fucó f(x)=e x. Supogamos coocdo el valor que toma esta fucó e los cuatro putos: x 0 =2, x 1 =2.5, x 2 =3, x 3 =4, es decr: f(x 0 ) = , f(x 1 ) = , f(x 2 ) = , f(x 3 ) = Pasemos a hallar el polomo de terpolacó de Lagrage: ( x 2.5) ( x 3) ( x 4) L x x x x (2 2.5) (2 3) (2 4) 3 2 0( ) ( x 2) ( x 3) ( x 4) L x x x x (2.5 2) (2.5 3) (2.5 4) 3 2 1( ) ( x 2)( x 2.5) ( x 4) L x x x x (3 2) (3 2.5) (3 4) 3 2 2( ) ( x 2)( x 2.5)( x 3) 3 2 L3 ( x) x 3.5x x 5 (4 2) (4 2.5) (4 3) Por tato, el polomo de terpolacó de Lagrage será el sguete: es decr, p(x) = f(x 0 ) L 0 (x) + f(x 1 ) L 1 (x) + f(x 2 ) L 2 (x) + f(x 3 ) L 3 (x) p(x) = L 0 (x) L 1 (x) L 2 (x) L 3 (x) que tras susttur los L k (x) hallados queda: p(x) = x x x Para comprobar la gra aproxmacó exstete etre este polomo y la fucó f(x)=e x, correspodete al tervalo etre los putos 2 y 4, podemos represetarlas gráfcamete: Las dos gráfcas cocde e el rago de x

4 G2. Polomo de terpolacó de Newto Puede demostrarse matemátcamete que dado +1 putos x y los valores que toma ua fucó f(x) e cada uo de esos putos, exste u úco polomo p(x) de grado que aproxma co u mímo error esa fucó e el rago de putos x. Ese polomo es el llamado polomo de terpolacó de Lagrage que puede obteerse de la forma que hemos vsto. El método de terpolacó de Newto es otra maera de obteer este msmo polomo p(x). El método de terpolacó de Newto ha vedo utlzádose por su facldad de cálculo, sobre todo e épocas e las que o se dspoía las máquas que ahora dspoemos. Auque este método pueda parecer más largo que el de Lagrage, su vetaja está e que utlza u algortmo adaptatvo, lo que desde el puto de vsta computacoal es muy vetajoso (u computador emplea mucho meos tempo para obteerlo). La fórmula de terpolacó de Newto vee dada por: j [2] p( x) f x, x,..., x x x 0 j0 Sedo f x0, x1,..., x las llamadas dferecas dvddas 1 de f para los x 0, x 1,, x. Las dferecas dvddas so uos úmeros reales que suele obteerse fáclmete a partr de ua tabla como la sguete (para el caso de 4 putos) x f ( x ) f x, x x f ( x ) f x, x, x f x, x f x, x, x, x x f ( x ) f x, x, x x f ( x ) f x, x 2 3 f x2, x3 f x1, x2 Dode por ejemplo f x1, x2, x3, es decr, la dfereca de las x3 x1 dos catdades que se ecuetra a su zquerda, dvdda etre la resta de los x de los extremos de su parétess agular. Otro ejemplo: f x, x, x, x f x, x, x f x, x, x x x Las dfereca dvddas, así como las dferecas ftas aparece e las tablas de los lbros de Cálculo Numérco. 4

5 Calculada toda esta tabla de dferecas dvddas, el polomo de terpolacó se obtee segú la fórmula [2]: p( x) f ( x ) f x, x ( x x ) f x, x, x ( x x )( x x ) f x, x, x, x ( x x )( x x )( x x ) Como ejemplo práctco vamos a volver a obteer el polomo de terpolacó para la fucó f(x) = e x, e los putos{2, 2.5, 3, 4}, pero e esta ocasó lo hacemos por el método de Newto. Las dferecas dvddas para este caso so: x x x x A cotuacó establecemos el polomo de terpolacó segú la fórmula [2]: p(x) = (x 2) (x 2) (x 2.5) (x 2) (x 2.5) (x 3) Después de reducr los térmos llegamos a: p(x) = x x x que al compararlo co el obtedo por el método de Lagrage observamos que so báscamete el msmo polomo. 5

6 G3. Método de los Mímos Cuadrados (Cuadratura Gaussaa) Supogamos que al realzar ua sere de medcoes de dos varables (x, y), se ha obtedo ua dstrbucó de pares de valores o putos: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x, y ),, (x, y ). Se trata de buscar u polomo (grado m) que se ajuste lo mejor posble a esa dstrbucó de putos, e la forma: y = ax m + bx m c El método de los mímos cuadrados busca ua curva, como se dca e la gráfca, de tal maera que se mmce la suma de los cuadrados de los errores, e, cometdos al susttur los putos por la ordeada y(x ). Matemátcamete equvale a u problema de hallar u mímo para ua fucó de m+1 varables: f(a, b,, c) Nótese que las varables so los coefcetes del polomo a hallar. Para aclarar los coceptos aplquemos el método para el caso de u polomo de grado 2 (fucó polómca), es decr, medate ua parábola: y = ax 2 + bx+ c S observamos la fgura de arrba, teemos e el puto -ésmo u error: e = ax 2 + bx + c y e 2 = (ax 2 + bx + c y ) 2. Por tato la suma de los cuadrados de los errores es: e ax bx c y f ( a, b, c) 1 1 Se trata, pues, de mmzar esta fucó de tres varables, f(a, b, c) 6

7 Las codcoes de extremo se da allí dode se aula las dervadas prmeras de f : 2 2 a ' f ax bx c y x 2 b ' f ax bx c y x 2 c ' f ax bx c y Sacado el factor 2, y smplfcádolo teemos las codcoes de mímo: ax bx c y. x ax bx c y. x 0 2 ax bx c y Que es u sstema de 3 ecuacoes co e cógtas, del cual se halla a, b, c. 7

8 * U ejemplo de cuadratura gaussaa. Por medo de cuadratura gaussaa hay que hallar u polomo de terpolacó (de grado 2) para la tabla de datos sguete: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. y1 = 3, y2 = 4, y3 = 6. Solucó: E este caso vamos a tomar para la cuadratura gaussaa u polomo de grado 2, que tee la forma: P(x) = a x 2 +b x + c. Las codcoes de extremo para este caso so las solucoes del sstema: ( a.1 b.1 c 3).1 ( a.2 b.2 c 4).2 ( a.3 b.3 c 6) ( a.1 b.1 c 3).1 ( a.2 b.2 c 4).2 ( a.3 b.3 c 6) ( a.1 b.1 c 3).1 ( a.2 b.2 c 4).2 ( a.3 b.3 c 6).3 0 Operado, queda reducdo al sstema de ecuacoes leales: 98a 36b 14c a 14b 6c a 6b 3c 13 0 Cuyas solucoes so: a=5, b=-18.5, c= 18. El polomo de terpolacó por cuadratura gaussaa es p(x) = 5x x

9 * Sples (Specal Les) cúbcas S como polomo terpolatoro tomamos u polomo de grado 3: P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, recbe el ombre de Sple. * Iterpolacó de datos 2-D co MATLAB. Sea coocdos ua tabla de datos: x = [1, 1.2, 1.3, 1.5, ] y = [4.254, 3.097, 5.671, ] El prmer puto sería el (1, 4.254), el segudo el (1.2, 3.097), etc. La maera de realzar la terpolacó de estos datos medte la fucó terp1 de MATLAB es: >> y = terp1(x, y, x, método); >> plot(x, y, 'o', x, y); Dode podremos e método el método de terpolacó deseado: Métodos. - earest - lear (por defecto) - sple Cubc sple terpolato - cubc Por otra parte la o e el teror del plot señala cada puto co u crculto (ua o ). Hay otras opcoes que puede verse e el maual del MATLAB. 9

10 Ejemplo 1. >> x = 0:10; % se trata del rago 0, 1 2,, 10 >> y = exp(x); >> x = 0:0.2:10; >> y = terp1(x, y, x); >> plot(x, y, 'o, x, y); Observar que al o dcarse el tpo de terpolacó e el terp1 se realza ua terpolacó leal (por defecto). 10

11 Ejemplo 2. Hay que terpolar medate sple los datos de la tabla sguete: Solucó: x y >> tab = [ ; ] >> x = tab(1, :); y = tab(2, :); >> x = 2:0.25:4.5; >> y = terp1(x, y, x, 'sple'); >> plot(x, y, 'o', x, y) 11

12 Ejemplo 3: Teemos dos vectores co los cesos poblacoales (por décadas) de ua acó e el sglo XX, e mlloes de persoas: >> t = 1900:10:1990; >> p = [ ]; Por terpolacó podemos estmar la poblacó e cualquer año: >> t = 1900:10:1990; >> p = [ ]; >> terp1(t, p, 1975) as = Sguedo este msmo ejemplo, podríamos represetar e u dagrama la poblacó aual: >> t = 1900:10:1990; >> p = [ ]; >> x = 1900:1:2000; >> y = terp1(t, p, x, 'sple'); plot(t,p,'o',x,y) 12