DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA

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1 DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE - INTRODUCCION Es tecó aalzar e este trabajo las coocdas relacoes costo-volume-utldad para el caso e que sus compoetes sea: w : costo varable utaro del producto P p : preco utaro del producto P F : costos fjos totales del producto P o so valores estrctamete determados so que so certos, pero es posble localzarlos e u "tervalo de cofaza" o be represetarlos medate u "úmero borroso". 1 - ELEMENTOS DEL DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE CERTEZA Deomamos: P : producto Q : volume de P (udades) p : preco utaro de P V : greso por vetas de P etoces V = p Q (1) y las vetas totales (de todos los P ) estará dadas por: V = V = 1 17

2 Remplazado por (1) obteemos: V = p Q = 1 (2) S deotamos C : costo total del producto P el costo total de todos los P será C = C =1 Deomamos U : utldad total ( de todos los P ) será U = V - C (3) Cosderamos w : costo varable utaro del producto P W : costo varable total del producto P Etoces W = w Q y el costo varable total ( de todos los P ) será W = w Q (4) =1 S desgamos F : costos fjos totales del producto P Etoces F= F será los costos fjos totales para todos los productos P =1 e u período determado. 18

3 Así será C = W + F costo total para todos los productos P (5) ó be C = W + F costo total para el producto P Esto últmo puede expresarse como C = w Q + F (6) De (3) y (5) podemos expresar U = V - (W + F) U = V - W - F y susttuyedo (2) y (4) obteemos U = p Q w Q F = 1 = 1 U = ( p w ) Q F = 1 (7) Para u determado P será U = (p - w ) Q - F dode m = p - w cotrbucó margal utara del producto P (8) Sea M : cotrbucó margal total del producto P M = m Q M = =1 m Q M : cotrbucó margal total de todos los productos P S se reemplaza (8) e (7) se obtee U = m Q F (9) = 1 19

4 Etoces se debe verfcar U ### m Q F = 1 Gráfcamete para P : GRAFICO 1 Dode Q es el volume de equlbro (U = ) del producto P 2 - INTERPRETACIONES GRAFICAS GRAFICA CLASICA GRAFICO 2 2

5 Q : volume de equlbro del producto P (U = ) V : vetas (e $) de equlbro (U = ) GRAFICO ALTERNATIVO I GRAFICO 3 E este caso como e 2.1, será para V = V y Q = Q ; U = Etoces susttuyedo e (9) se obtee: = m Q - F F Q m Q = = (1) 21

6 2.3 - DIAGRAMA ALTERNATIVO II Sabemos que U = V - C U = V - W - F Que se puede expresar como U = p Q - w Q - F U = (p - w ) Q - F U = m Q - F Luego podemos grafcar: U=m.Q-F Q Q GRAFICO 4 22

7 EJEMPLO Cosderemos el caso e el que: p =.9 w =.5 F = 2 m = p - w = =.4 Q = 1 V = p Q V =.9. Q V =.9 * 1 = 9 W = w Q W =.5. Q W =.5 * 1 = 5 C = w Q + F C =.5. Q + 2 U = V - C U = V - W - F U = M = V - W M = 9-5 = 4 Para obteer el volume de equlbro Q se susttuye e (1) Qo = F m 2 Q = Q.4 = 5 23

8 Gráfcamete: VI/C V=.9.Q C=.5Q Qo= 5 1 GRAFICO 5 Q 12 1 V=.9.Q 8 VI/C C=.5Q W=.5 Q Qo= 5 1 GRAFICO 6 Q U = m Q - F U =.4. Q

9 U Q GRAFICO INTERVALOS DE CONFIANZA DEFINICION Dados dos úmeros reales a 1 y a 2 tales que a subcojuto de úmeros reales (R) a, se llama tervalo cerrado al 1 2 { A= x x R a x a / 1 2 } Se deota A = [ a1, a2 ] Cosderemos ua stuacó e la cual el valor es certo pero es posble localzar dcho valor detro de u tervalo de úmeros reales o sea x [ a1, a2 ]. Es decr la formacó dspoble acerca de x es que es mayor o gual que a 1 y meor o gual que a 2. El tervalo A = [ a1, a2 ] es el "tervalo de cofaza" referdo al valor certo x. U tervalo de cofaza es u proceso lógco y práctco para tratar la certdumbre. 25

10 Dos tervalos de cofaza so guales s y sólo s: [ a, a ] = [ b, b ] a = b y a = b OPERACIONES ADICION [a 1 ] (+) [b 1, b 2 ] = [a 1 +b 1 +b 2 ] SUSTRACCION [a 1 ] (-) [b 1, b 2 ] = [a 1 -b 2 -b 1 ] MULTIPLICACION [a 1 ] ( ) [b 1, b 2 ] = a 2 b 2 )] = [m(a 1 b 1, a 1 b 2 b 1 b 2 ), max(a 1 b 1, a 1 b 2 a 2 b 1, S a 1, b 1 y b 2 so mayores o guales que cero: [a 1 ] ( ) [b 1, b 2 ] = [a 1 b 1 b 2 ] DIVISION S a 1, b 1 y b 2 so mayores que cero: [ a,a ] (:)[ b,b] a b, a 1 2 = b

11 MULTIPLICACION POR UN NUMERO REAL S t es u úmero real cualquera se defe: t [a 1 ] = [ m ( t a 1, t a 2 ), max ( t a 1, t a 2 ) ] S t es u úmero real postvo: t [a 1 ] = [ t a 1, t a 2 ] Ejemplo: Dados A = [2,7] y B = [5,1] A (+) B = [7,17] A (-) B = [-8, 2] A ( ) B = [1, 7] 3 A = [6, 21] A ( : ) B = [2/1, 7/5] = [.2, 1.4] 4 - DIAGRAMA DE EQUILIBRIO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Supogamos que e ua empresa se ha estmado certas magtudes, stuadas e el futuro, medate tervalos de cofaza. Sea estas los valores del preco utaro, de los costos fjos totales y del costo varable utaro del producto P, dados medate los sguetes tervalos de cofaza: F = [ F, F ] 1 2 p = [ p, p ] 1 2 w = [ w, w ]

12 Por (1) sabemos que el puto de equlbro se verfca cuado: Q = F p w sedo m = p - w Reemplazado y efectuado las operacoes co los tervalos de cofaza, segú lo defdo e se obtedrá que Q = [ F1, F2] [ p, p ] [ w, w ] (11) Q = [ F 1,F2] [ p w,p w ] Q F1 p w, F2 = p w [ ] Q = Q,Q 1 2 Bajo estos supuestos o obtedremos u "puto de equlbro" so u tervalo de retabldad o u "umbral de retabldad" (Gl Lafuete - 199). Esto dca que el volume mímo de P será Q 1, que estará dcado la stuacó más favorable, metras que e las codcoes más desfavorables será ecesaras Q udades de P 2 para cubrr los costos fjos y varables. Para represetar gráfcamete esta stuacó debemos cosderar el cocepto que subyace e todo tervalo de cofaza, e el setdo de que cualquer stuacó posble debe ecotrarse etre los valores feror y superor, o sea etre los extremos del tervalo. 28

13 Aalcemos el caso que os ocupa: Las vetas, e las peores crcustacas, estará represetadas por V 1 = p 1 Q (mímo greso por vetas) Los costos, e el peor de los casos, estará expresados por C 1 = w 2 Q + F 2 (costo máxmo) Por lo tato el umbral de retabldad e las crcustacas más desfavorables se obtedrá e el caso V 1 = C 2 E forma aáloga: Los gresos e las mejores crcustacas estará dados por V 2 = p 2 Q (máxmo greso por vetas) Los meores costos se presetará cuado C1 = w1 Q + F1 (costo mímo) Etoces el umbral de retabldad e el supuesto más optmsta se alcaza cuado V = C. 2 1 Falmete s se toma como extremo feror del tervalo de retabldad la poscó más optmsta y como extremo superor la más pesmsta, se obtee Q = [Q 1, Q 2 ] EJEMPLO Cosderemos el caso e el que: p = [.8, 1] w = [.35,.55] F = [195, 21] Calculemos el umbral de retabldad susttuyedo e (11): [ 195, 21] [.8, 1] [.35,.55] Q = 29

14 Q [ 195, 21] = [. 25, 65. ] Q =, Q = [3, 84] REPRESENTACIONES GRAFICAS V 1 = p 1 Q (V mí : mímo greso por vetas) V 1 =.8 Q C 2 = w 2 Q + F 2 (C max : costo máxmo) C 2 =.55 Q + 21 El equlbro se logra cuado V 1 = C 2 de dode se obtee Q 2 = 84, que es la poscó más desfavorable, pero es ua valosa formacó saber que s se produce más de 84 udades la utldad seguro es postva. V 2 = p 2 Q (V max : máxmo greso por vetas) V 2 = 1 Q C1 = w1 Q + F1 (C mí : costo mímo) C =.35 Q El equlbro se alcaza cuado V 2 = C de dode se obtee Q 1 = 3, que es la 1 poscó más favorable, s se produce meos de 3 udades seguro que la utldad es egatva. 3

15 V Vmax Vmm C Cmax 1 8 mm V GRAFICO 8 S aalzamos la utldad total U e los dos casos: Utldades mímas: U 1 = V mí - C max U 1 = V 1 - C 2 U 1 = p 1 Q - (w 2 Q + F 2 ) U 1 =.8 Q - (.55 Q + 21) U 1 =.25 Q - 21 Máxmas utldades : U 2 = V max - C mí U 2 = V 2 - C 1 U 2 = p 2 Q - (w 1 Q + F 1 ) U 2 = 1 Q - (.35 Q U 2 =.65 Q

16 U U2=.65.Q U2 - V1 U1=.25.Q Q GRAFICO 9 Observado el gráfco vemos el tervalo de equlbro Q = [3, 84] determado por las terseccoes co el eje de abscsas (los ceros) de las dos fucoes de utldad grafcadas. 5 - CONCLUSION Al hacer el aálss del dagrama de equlbro e codcoes de certdumbre se observa que o se está e preseca de u puto, so de u tervalo de equlbro, por lo que hablamos de u umbral de retabldad. S el vel de produccó de la empresa se ecuetra etre los extremos del tervalo sgfca que se está e ua zoa borrosa, de grses, de gra certdumbre. Hasta hace poco tempo este secllo y coocdo aálss se expresaba e térmos de certeza lo cual es cambado e esta propuesta por elemetos de la certdumbre, la que o tee ada que ver co la exacttud.. E stuacoes como las de la realdad ecoómca actual puede resultar más exacto ua estmacó e térmos de certeza que ua estmacó realzada e el campo de la certdumbre, apoyada e la opó de expertos. 32

17 6 - BIBLIOGRAFIA - Kaufma A. Gl Aluja J. - Kaufma A. Gl Aluja J. - Klr G. Folger T. - Lazzar L. Machado E. Pérez R. Téccas operatvas de gestó para el tratameto de la certdumbre. Edtoral Hspao Europea Las matemátcas del azar y de la certdumbre. Elemetos báscos para su aplcacó e ecoomía. Edtoral Cetro de Estudos R. Areces Fuzzy sets, ucertaty ad formatos. Pretce - Hall. Iteratoal Edtos Matemátca Borrosa. Facultad de Cecas Ecoómcas. Uversdad de Bueos Ares Gl Lafuete A. El aálss facero e la certdumbre. Edtoral Arel