Regla de Bayes. Pedro J. Rodríguez Esquerdo

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1 Regla de Bayes Pedro J. Rodríguez Esquerdo Isttuto de Estadístca y Sstemas Computadorzados de Iformacó Facultad de Admstracó de Empresas y Departameto de Matemátcas Facultad de Cecas Naturales Recto de Río Pedras Uversdad de Puerto Rco 1. Ejemplos de Probabldad codcoal El Teorema o Regla de Bayes ofrece u método para vertr el eveto que codcoa a otro eveto al calcular ua probabldad codcoal: s A y B so evetos y se cooce A B, B, A B c, etoces la regla permte calcular B A. La ecesdad de calcular este últmo valor a partr de la formacó dspoble es mprescdble para eteder las cosecuecas de alguas de uestras decsoes. Ejemplo 1 Ua fábrca de botellas cueta co dos máquas para producr 10,000 botellas al día. La máqua A produce 6,500 botellas daras de las cuales 2% so defectuosas. La máqua B produce 3,500 botellas cada día de las cuales 1% so defectuosas. El spector de caldad de la compañía seleccoa ua botella al azar y ecuetra que está defectuosa. Cuál es la probabldad de que la botella haya sdo producda por la máqua A? Para vsualzar mejor los datos, se represeta e u dagrama de árbol. Deote por A el eveto de que la botella seleccoada haya sdo producda por la máqua A y por B el eveto de que haya sdo producda por la máqua B. El eveto de que la botella seleccoada sea defectuosa se deota por D, metras que su complemeto D c represeta ua botella que o es defectuosa. Comezo Máqua Botella Resultados 0.02 D AD 0.65 A fabrcar botella 0.98 D c AD c 0.35 B 0.01 D BD 0.99 D c BD c La probabldad de que ua botella cualquera haya sdo producda por la máqua A es 0.65, pues de las 10,000 producdas, 6,500 so producdas por A. Iteresa calcular A D, la cual o se puede obteer de forma drecta de los datos o del árbol que los represeta. Para esto se recurre drectamete a la defcó de probabldad codcoal: A D = A D / D.

2 Teorema de Bayes p. 2 Las catdades A D y A se puede obteer del árbol. Para que ua botella seleccoada al azar sea ua botella defectuosa producda por la máqua A, se seleccoa prmero la máqua A y de las botellas producdas allí se seleccoa ua defectuosa. La expresó A D = A D A equvale a hacer ua travesía e el árbol desde su raíz o comezo, hasta la hoja fal dode se obtee el resultado A D. Así A D = Para ecotrar D es ecesaro darse cueta de que ua botella defectuosa puede ser producda por la máqua A o por la B. Al examar las hojas del árbol, se ecuetra dos lugares dode se obtee ua botella defectuosa: A D o B D. Esto equvale a hacer ua travesía por uo de dos camos e el árbol. Estos camos so mutuamete excluyetes, pues s se cama por uo o puede camarse por el otro. Segú se muestra e la Fgura 1, el eveto D = ( A D ( B D y su probabldad es etoces calculada D = A D + B D. AD c Máqua A AD BD c BD Defectuosas Máqua B Fgura 1 Partcó de la produccó de botellas. El prmero de estos térmos A D ya fue calculado. El segudo, B D, se obtee de forma smlar, B D = B D B. Jutado estos resultados, D = A D A + B D B. Falmete se calcula la probabldad deseada: 6, A D A 10, P ( A D.788 D AA D BB 6,500 3, ,000 10,000 Por lo tato, ua vez se sabe que ua botella seleccoada al azar está defectuosa, la probabldad de que haya sdo producda por la máqua A es.788. Dcho de otra maera, de todas las botellas defectuosas produddas, aproxmadamete el 79% so producdas por la máqua A. Preguta 1 Cómo se puede explcar que la máqua A produzca el 79% de las botellas defectuosas? Este hecho se debe a dos factores. El prmero es que la máqua A produce cas el doble de botellas que la máqua B. Aú s la tasa de botellas defectuosas fuera la msma para ambas máquas, por el mero hecho de producr u mayor úmero de botellas, la máqua A producría cas el doble de defectuosas de la máqua B. El segudo factor es que la tasa de produccó de defectuosas de la máqua A es el doble de la correspodete de la máqua B. E este caso, aú s ambas máquas produjera la msma catdad de botelllas, las producdas por la máqua A cotedría el doble de botellas defectuosas que las que vee de la máqua B. Ejemplo 2 El gobero aprobó ua ley para hacer oblgatoro que los cerca de 200,000 empleados públcos se someta a ua prueba para detectar s so usuaros de drogas. Se estma que el 1% de los empleados públcos del país so usuaros de drogas. La prueba que se ofrece muestra u resultado postvo e el 98% de los casos e que se le admstra a ua persoa que usa drogas, es decr, detecta el 98% de los usuaros de drogas. De maera smlar, s la persoa o usa droga algua, la prueba arroja u resultado egatvo e el 99% de los casos.

3 Teorema de Bayes p. 3 Se seleccoa u empleado al azar, se le admstra la prueba y se obtee u resultado postvo. Cuál es la probabldad de que la persoa sea u usuaro de drogas? Se represeta los datos medate u dagrama de árbol. Deote por U el eveto de que la persoa sea u usuaro de drogas, por Pos el eveto de que la prueba resulte postva y por Neg el eveto de que la prueba resulte egatva. E el leguaje de la epdemología, al por ceto de persoas de la poblacó de terés que posee la característca deseada, e este caso usuaros de drogas, se le llama la prevaleca. E este ejemplo la prevaleca del uso de drogas es del 1%. A la capacdad de ua prueba para detectar aquellas persoas que posee la característca de terés se le llama la sestvdad de la prueba. La sestvdad descrbe el por ceto de persoas cuyo resultado de la prueba sería postvo de etre aquellas que posee la característca deseada, e este caso, usa drogas. La sestvdad de esta prueba para la deteccó de usuaros de drogas es 98%. Otra medda es la especfcdad. Esta dca el por ceto de persoas cuyo resultado de la prueba sería egatvo de etre aquellas que o posee la característca deseada, e este caso, que o usa drogas. La especfcdad de esta prueba para la deteccó de usuaros de drogas es 99%. Así, la prevaleca dca que al seleccoar ua persoa al azar de etre los 200,000 empleados públcos, U = La sestvdad de la prueba dce que Pos U = 0.98 y de la msma maera la especfcdad se traduce a Neg U c = Comezo Usa Drogas? Resultado de la Resultados prueba 0.98 Pos UPos U Neg UNeg U c Pos U c Pos 0.99 Neg U c Neg La preguta que teresa cotestar es: cuáto es U Pos? Al gual que ates la cotestacó a esta preguta o se puede obteer de forma drecta de los datos o del árbol que los represeta. Por lo tato se recurre uevamete a la defcó de probabldad codcoal: U Pos = U Pos / Pos. Pos Del árbol se obtee las catdades U Pos y Pos. Sguedo el msmo proceso de ates, U Pos = U Pos U, lo que equvale a camar por el árbol desde la raíz hasta la hoja para obteer el resultado U Pos. Así U Pos = U c U Fgura 2 Partcó de las persoas 1 Estas dos últmas probabldades o se puede sumar, ya que so valores obtedos bajo codcoes dsttas, la base de comparacó o es la msma. E el prmer caso se compara la catdad de resultados postvos del total de usuaros de drogas metras que el segudo compara la catdad de resultados egatvos al total de persoas que o usa drogas.

4 Teorema de Bayes p. 4 Para ecotrar Pos, se cosdera que la prueba puede arrojar u resultado postvo cuado la persoa es u usuaro de drogas o e el caso e que o lo sea. Por esta razó hay dos camos mutuamete excluyetes e el árbol dode se obtee u resultado postvo. Segú se muestra també e la Fgura 2, el eveto Pos = ( U Pos ( U c Pos y su probabldad es Pos = U Pos + U c Pos. El térmo U Pos ya había sdo calculado, el segudo se obtee de forma smlar. Obteemos etoces que U c Pos = U c Pos U c. Uedo estos resultados teemos que Pos = U Pos U + U c Pos U c. La probabldad deseada es U Pos U P ( U Pos c c U Pos U U Pos U La cotestacó a la preguta es U Pos = 0.497, es decr, la probabldad de que ua persoa seleccoada al azar etre los 200,000 empleados sea u usuaro de drogas s la prueba da postvo, es Preguta 2 De la poblacó a la que se admstra la prueba, cuátos resultados postvos se esperaría observar? cuátos falsos postvos habría? Explca las razoes por la cuáles ua prueba co sestvdad y especfcdad ta altas, resulta que más de la mtad de los resultados postvos correspode a persoas que o so usuaros. Esta últma preguta se puede cotestar examado cudadosamete el umerador y el deomador de U Pos. S o se cueta co ua prueba de mejor sestvdad y especfcdad que ésta, qué es posble hacer, s o se puede cambar Pos U Neg U c? Ate esta lmtacó tecológca, sólo es posble trabajar co U. Este valor sólo puede cambar s al modfcar la poblacó de la cual se seleccoa las persoas a quees se admstrará la prueba. Preguta 3 Dscuta los costos asocados a ofrecer pruebas de drogas a 200,000 persoas para detectar a 2,000 usuaros. Hay costos o ecoómcos? Exste u pla para ayudar a las persoas que so usuaros de drogas y a los que recbe u falso postvo? Ofrece estas pruebas ua solucó al problema socal del uso de drogas? Supoga que U = 0.25, ecuetre U Pos. Cómo se lograría ese aumeto e U e la realdad? Ejemplo 3 Cosdere ua caja co 5 cacas, dos de ellas so rojas y las otras tres so azules. Se seleccoa ua caca al azar, s mrarla se guarda e el bolsllo. Luego se seleccoa otra caca al azar. Esta seguda caca resulta ser de color rojo. Cuál es la probabldad de que la prmera caca haya sdo també roja? E la seccó ateror se resolvó ua stuacó smlar magado que ates de seleccoar la prmera caca, se ha mrado detro de la caja y removdo la caca que se observará e la seguda seleccó, reservado la seguda caca. La prmera caca sólo puede ser seleccoada de etre las restates 4 cacas, de las cuales 1 de ellas es roja. Por esta razó la probabldad deseada es 1/4. R 2 R 1 Es de terés ecotrar u método formal para cotestar estas pregutas. Deote el eveto de que la prmera caca B 1 Fgura 3 Partcó del color de la seguda caca segú el color de la prmera caca.

5 Teorema de Bayes p. 5 seleccoada es roja por R 1 y el eveto de que la seguda sea roja por R 2. Etoces la probabldad buscada es R 1 R 2. 1/4 2/5 3/4 3/5 2/4 2/4 Fgura 4. Dagrama de árbol que lustra el expermeto de seleccoar dos cacas de ua caja La defcó de probabldad codcoal permte escrbr R 1 R 2 = R 1 R 2 / R 2. Para ecotrar el umerador se usa uevamete la defcó de probabldad codcoal, R 1 R 2 = R 2 R 1 R 1. Ahora se calcula el deomador, R 2 descompoedo el eveto R 2 e dos evetos dsyutos, tal como e la Fgura 4: R 2 = (B 1 R 2 (R 1 R 2. De esta maera se obtee la probabldad R 2 = B 1 R 2 + P ( R 1 R 2. Usado uevamete la defcó de probabldad codcoal B 1 R 2 = R 2 B 1 B 1. Por lo tato, el deomador es R 2 = R 2 R 1 R 1 + R 2 B 1 B 1. El resultado deseado es gual que ates: 1 2 R2 R1 R P ( R1 R2. R ( ( ( R1 P R1 P R2 B1 P B Ejemplo 4 E el 1991 los cotrbuyetes de Puerto Rco sometero u total de 1,320,600 plallas de cotrbucó sobre gresos al Departameto de Haceda. Los datos se desglosa e la sguete tabla por vel de greso y s la plalla se somete cojuta o por separado. Nvel de greso Plallas cojutas reddas Plallas separadas reddas Total (mles (mles meos de 20, , ,000 a 30, ,000 a 50, ,000 o más Total ,320.6 Fuete: Reforma Cotrbutva e Puerto Rco Estudo Técco. Edtoral UPR. Tabla 1. Desglose de cotrbuyetes e Puerto Rco e el año 1991

6 Teorema de Bayes p. 6 Preguta 4 El Secretaro de Haceda seleccoa ua plalla al azar. Cuál es la probabldad de que la plalla haya sdo sometda e forma cojuta s el vel de greso e ella era meor de $20,000? Cuál es la probabldad de que el vel de greso e ella era meor de $20,000 s la la plalla fue sometda e forma cojuta? Para cotestar la prmera preguta, se exama la prmera fla de la Tabla 1, dode todas las plallas sometdas, 1,023,000, refleja u greso meor de $20,000. De esas, 457,500 fuero sometdas e forma cojuta, así la probabldad deseada es: / 1,023.0 = Para cotestar la seguda preguta se exama e vez la columa correspodete a las plallas que se sometero e forma cojuta. El total que se dca al fal de esa columa será la base de comparacó. Se sometero 621,600 plallas cojutas de las cuales 457,500 correspode a plallas que además dcaro u greso meor de $20,000. Por lo tato la probabldad buscada es / = S se usara como base de comparacó los resultados obtedos para descrbr la poblacó de plallas recbdas, de las plallas que reflejaro u greso meor de $20,000, el 46% correspodía a plallas sometdas e forma cojuta. E el otro caso, de todas las plallas sometdas e forma cojuta, el 76% correspode a plallas que refleja u greso meor de $20,000. Estos dos porcetajes o so guales sgfca lo msmo pues refleja bases de comparacó dsttas. E ua tabla es muy fácl calcular probabldades codcoales. E este caso, auque e la práctca o se usaría el método de aálss que ofrece la regla de Bayes, es ejemplo que sgue lustra su uso, co el f de presetar ua forma orgazada de resolver estos problemas. Deote por C el eveto de que la plalla se somete e forma cojuta, por S el eveto de que la plalla se somete por separado y por I el greso reflejado e la plalla. De la defcó de probabldad codcoal, C I P C { I $20,000} C { I $20,000} $20,000 P {C { I $20,000}} {S{ I $20,000}} { I $20,000} P C { I $20,000} C { I $20,000} S{ I $20,000}. Se usa uevamete la defcó de probabldad codcoal para reescrbr el deomador: C { I < $20,000 } = P ( I < $20,000 C C y S { I < $20,000 } = I < $20,000 S S. Así, C I Preguta 5 $20,000 I I $20,000 C C. $20,000 CC I $20,000 S S Represeta estos datos usado u dagrama de Ve.

7 Teorema de Bayes p Probabldad total y la regla de Bayes Los ejemplos aterores permte el descubrmeto, formulacó y desarrollo de resultados formales para calcular estas probabldades codcoales, cuado su valor o se puede obteer drectamete de los datos. E esos ejemplos, prmero se usó la defcó de probabldad codcoal para expresarla e térmos de otros evetos cuyas probabldades so coocdas. Como segudo paso, se descompuso el eveto deseado, s codcó algua, e la uó de evetos dsyutos cuyas probabldades so coocdas y falmete se calculó la probabldad deseada. Teorema 1 (Fórmula de la probabldad total Sea S u espaco muestral, P ua medda de probabldad e S y B u eveto e S. Sea A 1, A 2,, A ua partcó de S, es decr, evetos dsyutos tal que B A B. 1 A S A 1, etoces Prueba. Ya que A 1, A 2,, A es ua partcó de S, sque que el eveto B se puede rescrbr B = B S = B ( A 1 = 1 ( B se usa el hecho de que los evetos B A, = 1,, so dsyutos y la defcó de probabldad codcoal para calcular la probabldad de B: B = ( B A B A A. Ahora A B A. A A 3 2 A 4 A 5 B A 1 A 6 Fgura 5 Partcó del eveto B La Fgura 5 arrba muestra la partcó de B. E este ejemplo, cada térmo B A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 correspode a cada uo de los "pedactos" e que fue dvddo B. La terseccó del eveto A 6 co el eveto B es vacía, por lo cual B A 6 = 0. Para calcular la probabldad de cada pedacto, se usa la defcó de probabldad codcoal, así B A = B A A, = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Image que la Fgura 5 represeta u tablero de dardos y que la probabldad de que el dardo caga e ua determada regó del tablero es gual a su área. Se laza el dardo y se cooce que cayó e la regó marcada por B, etoces, cuál es la probabldad de que haya cado e A 2? Para cotestar esta preguta es ecesaro usar la regla de Bayes. Teorema 2 (Regla de Bayes Sea S u espaco muestral, P ua medda de probabldad e S y B u eveto e S. Sea A 1, A 2,, A ua partcó de S. Etoces para cada = 1, 2, 3,..., P ( A B A B A. A B A j 1 j j

8 Teorema de Bayes p. 8 Prueba. De la defcó de probabldad codcoal A B B A. Para calcular el umerador se usa B uevamete la defcó, esta vez codcoado por A, P B A B A A. El deomador se obtee aplcado la Fórmula de probabldad total, para obteer A B Preguta 6 B A B A B A B ( A B A. A B A j 1 Expresa los problemas presetados e los ejemplos 1,2, 3 y 4 e térmos de la regla de Bayes. Idca a qué correspode la partcó y el eveto B. j j 3. Problemas y ejerccos 1. Ua fábrca tee tres máquas para producr bombllas. La máqua A produce el 35% del total de bombllas, la máqua B produce el 50% y la máqua C produce el 15% de las bombllas. S embargo, las máquas o so perfectas, la máqua A daña el 10% de las bombllas que produce. La máqua B daña el 5% y la máqua C daña el 20%. a. Represeta estos datos e u dagrama de árbol. b. La fábrca produce 10,000 bombllas s defectos e u día. Cuátas de éstas correspode a la máqua A? Cuátas daña e u día? c. S seleccoamos ua bomblla de la máqua C, cuál es la probabldad de que esté defectuosa? d. Luego de fabrcadas, pero ates de probarlas, las bombllas se coloca jutas e u saló. S se seleccoa ua bomblla al azar, cuál es la probabldad de que esté defectuosa? e. S se comprueba que ua bomblla está defectuosa, cuál es la probabldad de que provega de la máqua B? 2. Ua muestra de 400 adultos varoes co aga de pecho so clasfcados por peso y estatura como sgue: Peso (lbras Edad (años o más U dvduo se seleccoa al azar de etre los 400 partcpates. Ecuetra la probabldad de que: a. tee etre años de edad b. está e el tervalo de años y pesa lbras c. está e el tervalo años ó etre años d. está e el tervalo o años y pesa lbras e. pesa meos de 170 lbras f. pesa meos de 190 lbras y es mayor de 49 años g. pesa meos de 170 lbras dado que es meor de 50 años h. So los evetos {tee años}, {pesa lbras} depedetes? Explca.. So los evetos {tee años}, {pesa lbras} mutuamete excluyetes? Explca.

9 Teorema de Bayes p U estudo eurológco sobre la relacó etre la presó saguíea alta y la cdeca de derrame cerebral ecotró que: a. para persoas mayores de 70 años, el 10% tedrá u derrame detro de los próxmos cco años b. de todos los pacetes de 70 años o más que ha tedo u derrame, el 40% teía presó alta c. para persoas de 70 años o mas que o ha sufrdo de derrame, el 20% tee presó alta. d. U pacete de 74 años vsta a su médco y éste le ecuetra co la presó alta. Cuál es la probabldad de que sufra u derrame cerebral e los próxmos cco años?

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