PARTE 1 - PROBABILIDAD

Transcripción

1 arte - robabldad rof. María. tarell RTE - ROILIDD - robabldad. - Espacos muestrales y evetos. La Teoría de robabldades estuda los llamados expermetos aleatoros. Ejemplos cláscos de expermetos aleatoros so los juegos de azar: a trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba. b trar ua moeda c lazar ua moeda cuatro veces y cotar el úmero total de caras obtedas. d lazar ua moeda cuatro veces y observar la sucesó de caras y cecas obtedas. Smbolzamos co ε a u expermeto aleatoro. U expermeto aleatoro tee las sguetes característcas: -Se lo puede repetr bajo las msmas codcoes tatas veces como se desee. - No se puede predecr co exacttud el resultado de dcho expermeto, pero se puede decr cuáles so los posbles resultados del msmo. 3- medda que el expermeto se repte, los resultados dvduales parece ocurrr e forma caprchosa. ero s el expermeto se repte u gra úmero de vece y regstramos la proporcó de veces que ocurre u determado resultado, veremos que esa proporcó tede a establzarse e u valor determado a medda que aumeta el úmero de veces que se repte el expermeto. or ejemplo, cosderemos el expermeto de lazar u dado y observar el úmero de la cara superor. Supogamos que tramos el dado N vece y sea el úmero de veces que sale el úmero 5 e los N tros del dado. Etoces N es la proporcó de veces que sale el úmero 5 e los N tros. S el dado es ormal a medda que N aumeta, N tede a establzarse e u úmero que es /6. Observacó: e los expermetos o aleatoros o determstas se puede predecr co exacttud el resultado del expermeto, es decr, las codcoes e las que se verfca u expermeto determa el resultado del msmo. or ejemplo, s colocamos ua batería e u crcuto smple, el modelo matemátco que posblemete descrbría el flujo observable de correte sería I E/R, que es la ley de Ohm. El modelo predce el valor de I al dar E y R. O sea, s se repte el expermeto ateror certo úmero de vece empleado cada vez el msmo crcuto, es decr mateedo fjas E y R, esperaríamos observar el msmo valor de I. veces sucede que u expermeto o es aleatoro estrctamete, pero resulta mucho más secllo estudarlo como s fuera aleatoro. or ejemplo, s tramos ua moeda y observamos qué lado queda haca arrba, el resultado sería predecble coocedo e forma precsa las velocdades cales de traslacó y rotacó, y las elastcdades de los materales del pso y de la moeda. ero la precsó co la que se ecesta coocer estos datos es cas mposble de obteer e la realdad, por lo que es más coveete tratar al expermeto como aleatoro. El cojuto de todos los resultados posbles de u expermeto aleatoro es el espaco muestral. l espaco muestral lo aotamos co la letra S. or ejemplo,

2 arte - robabldad rof. María. tarell a S ε : trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba, etoces podemos tomar como espaco muestral a S {,,3,4,5,6 } b S ε : trar ua moeda, etoces S { s} c S ε : lazar ua moeda tres veces y cotar el úmero total de caras obtedas etoces podemos cosderar S { 0,,,3 } d Sε : lazar ua moeda tres veces y observar la sucesó de caras y cecas obteda etoces S { c ; s; c; c; s; c; c; s } e S ε : trar u dado las veces ecesaras hasta que sale u 6 por prmera vez, y cotar el úmero de tros realzado etoces S {,,3,4,...} N, dode N es el cojuto de los úmeros aturales. f S ε : medr el tempo de vda de ua lamparta eléctrca, etoces S { t R, t 0} dode R es el cojuto de los úmeros reales. Observacoes: - la eleccó de S o es úca, depede de lo que se quera observar del expermeto aleatoro. - El espaco muestral puede ser u cojuto fto, o fto. su vez s es fto puede ser fto umerable o o umerable. E e el cojuto S es fto umerable, e f el cojuto S es fto o umerable. Se llama eveto o suceso a todo subcojuto del espaco muestral. or ejemplo, a E el expermeto dado e el ejemplo a, u eveto de S sería {,4,6} pues S. odemos expresar al eveto co palabras de la sguete maera : sale u úmero par es u eveto al que podemos expresar verbalmete como : sale u úmero meor o gual que 3 b E el expermeto dado e el ejemplo d, u eveto de S sería { c ; s; c; c }, el que e palabras se puede expresar como : sale por lo meos dos caras c E el expermeto dado e el ejemplo f, u eveto de S sería D: la lamparta dura más de 00 horas, e otacó de cojutos D { t R; t > 00} Observacoes: També {,,3 } - e el ejemplo a ateror, s al trar el dado sale el úmero, etoces podemos decr que ocurró pues. ero també ocurró pues. E cambo s al trar el dado sale el úmero 4, etoces el eveto ocurró pero o ocurró, pues 4. - el cojuto es u eveto pues el cojuto está cludo e todo cojuto, e partcular S. Es el eveto que uca ocurre. El espaco muestral S es u eveto pues todo cojuto está cludo e sí msmo, y S sempre ocurre. Las operacoes habtuales etre cojutos se puede aplcar a los eveto dado como resultado uevos evetos. Específcamete - S y so eveto etoces es otro eveto. ocurre s y solo s ocurre o s ocurre - S y so eveto etoces es otro eveto. ocurre s y solo s ocurre y ocurre

3 arte - robabldad rof. María. tarell 3- S es u eveto es u eveto. ocurre s y solo s o ocurre Nota: recordar que las operacoes de uó, terseccó dfereca y complemeto se defe de la sguete maera: - es el cojuto formado por los elemetos que está e o e dode el o está e setdo clusvo, e otacó de cojutos x; x x { } E la fgura la zoa e grs smbolza - es el cojuto formado por los elemetos que está e y e, e otacó de cojutos { x; x x } E la fgura la zoa e grs smbolza 3- es el cojuto formado por los elemetos que está e el cojuto uversal U y o está e, e otacó de cojutos x; x U x { } La zoa e grs smbolza 4- es el cojuto formado por los elemetos que está e y o está e, e otacó de x; x x, cojutos { } La zoa e grs smbolza Notar que 3

4 arte - robabldad rof. María. tarell Es útl recordar las sguetes propedades sobre el álgebra de cojutos: - Leyes de dempoteca a b - Leyes asocatvas a b 3- Leyes comutatvas a b 4- Leyes dstrbutvas a b 5- Leyes de detdad a b c U U d U 6- Leyes de complemeto a U b c 7- Leyes de De Morga d U, U a b La relacó de clusó etre u cojuto y otro y las operacoes aterores co cojutos lleva al sguete Teorema: a es equvalete a b es equvalete a c es equvalete a d es equvalete a, e es equvalete a U, está formado por to- Sea y dos cojutos. El cojuto producto de y, expresado dos los pares ordeados a, b dode a y b, es decr Se aota al producto { a, b; a b } or ejemplo, s {,,3 } y { 7,8}, etoces {,7;,8;,7;,8;3,7;3,8 } El cocepto de cojuto producto se extede a u úmero fto de cojutos e forma atural. El cojuto producto de los cojutos,,..., se aota.. y es gual a 4

5 arte - robabldad rof. María. tarell { a, a,..., a, a,,,...,}.., es decr es el cojuto de todas las -uplas a, a,..., a dode a para cada. or ejemplo, s {,,3 }, {,4}, { 3,4,5}, etoces u método coveete para hallar el producto es por medo del deomado dagrama de árbol que se muestra a cotuacó, el cual se costruye de zquerda a derecha. costa de todas las teras o 3-uplas formadas al segur cada camo del árbol or ejemplo el camo co trazo más grueso dcaría la tera, 4, 4 Las operacoes de uó e terseccó també se puede geeralzar a más de dos cojutos S,,..., so cojuto etoces a la uó de todos ellos se aota.. o també U y es gual a.. { x; exste tal que x }, es decr u elemeto x perteece a.. s x perteece a alguo de los cojutos.,, y se la aota De forma aáloga se defe la uó de ua secueca fta de cojutos,... co el símbolo U b la terseccó de todos ellos se aota.. o també I I los cojutos { x; x para todo }, es decr u elemeto x perteece a I y es gual a s x perteece a todos 5

6 arte - robabldad rof. María. tarell De forma aáloga se defe la terseccó de ua secueca fta de cojutos,..., y se la aota co el símbolo I, S y so dos evetos tales que, se dce que so dsjutos o mutuamete excluyetes. Es decr s y so mutuamete excluyetes o puede ocurrr a la vez. or ejemplo, s se tra u dado y se observa el úmero de la cara superor, los evetos {,3,5 } y {,4,6} so mutuamete excluyetes. l trar u dado sale u úmero par o u úmero mpar, o puede darse ambas cosas a la vez. Los evetos co u solo elemeto so evetos elemetales o smples. or ejemplo, volvedo al expermeto ε : trar u dado y observar el úmero e la cara de arrba, y S {,,3,4,5,6 }, etoces los cojutos utaros { },{ },{ 3 }, { 4 }, { 5 }, { 6 } so evetos smples. Notar que dos evetos smples cualesquera so mutuamete excluyetes. Dado u eveto asocado a u expermeto aleatoro ε. Supogamos que se repte veces el expermeto ε, y aotamos al úmero de veces que ocurre e la repetcoes de ε. Se defe la frecueca relatva de, y se smbolza f, al cocete. Es decr que f es la propor- có de veces que ocurre e las repetcoes de ε. La frecueca relatva f tee las sguetes propedades: - 0 f - f s y solo s ocurre cada vez e las repetcoes 3- f 0 s y solo s o ocurre uca e las repetcoes 4- s y so dos evetos mutuamete excluyetes etoces f f f Dado u eveto, se quere asgar al msmo u úmero que dque qué ta probable es que ocurra. ese úmero lo defríamos como la probabldad de. E ese setdo parecería que la frecueca relatva f sería ua buea eleccó. ero os ecotramos co el sguete problema, cuátas veces deberíamos repetr el expermeto aleatoro para defr f, es decr qué valor de tomaríamos? or ejemplo e el expermeto de trar u dado cosderemos el eveto : sale el úmero 4, s lo lazamos 00 veces podríamos ecotrar que 4, y s lo lazamos uevamete 00 veces podría ocurrr que sea dferete del ateror por ejemplo podría ocurrr 0 veces. Etoce tedríamos dos valores dferetes para f, 0.4 y 0. Se djo ates que e u expermeto aleatoro a medda que aumeta la frecueca relatva de tede a establzarse e u úmero, pero o podemos e la práctca repetr el expermeto ftas veces. Se quere asgar a cada eveto u úmero que o depeda de la expermetacó. or este motvo procedemos como sgue: 6

7 arte - robabldad rof. María. tarell Defcó axomátca de probabldad. Sea ε u expermeto aleatoro y S u espaco muestral asocado co ε. o cada eveto asocamos u úmero real llamado probabldad de, que aotamos, el cual satsface las sguetes propedades báscas o axomas S 3- S y so evetos mutuamete excluyetes etoces 4- S,,...,,,... es ua secueca de evetos tales que j U s j, etoces La eleccó de estas propedades está motvada por las característcas correspodetes de la frecueca relatva. Observacó: supogamos el expermeto de lazar ua moeda y el espaco muestral S { s} Notar que podemos escrbr S { c} { s}., es decr como uó de evetos smples. or los axomas y 3 de la defcó de probabldad teemos que S { c} { s} Es decr { c} { s}, lo que mplca que { c} { s} de { c} el valor de { s} por ejemplo s el dado es ormal. De ser así podemos platear que { c} { s}. No podemos deducr el valor de las propedades aterores. Necestamos formacó adcoal,, etoces { c} { s} { c} { s} { c} { s} 0. 5 odemos deducr de los axomas otras propedades útles para el cálculo de probabldades. ropedades de la probabldad - 0 Dem. Sedo u eveto cualquera podemos escrbr demás y so mutuamete excluyete por lo tato por axoma 3 O sea que 0 - S es el eveto complemetaro de, etoces 7

8 arte - robabldad rof. María. tarell Dem. S es u eveto cualquera, etoces podemos escrbr S demá por defcó de complemeto de u cojuto, y so mutuamete excluyetes. or lo tato, por axoma y por axoma 3 S Despejado 3- S etoces Dem. Sea y dos evetos tales que. De la fgura vemos que Y además y so mutuamete excluyetes. Etoces Y como por axoma teemos que 0, etoces 4- S, etoces Dem. Sguedo los pasos de la demostracó ateror llegamos a, lo que mplca que Y como, etoces. Observacó: e geeral vale la sguete propedad 5- S y so dos evetos cualesquera, etoces 8

9 arte - robabldad rof. María. tarell 9 Dem. Escrbmos a como uó de partes dsjutas de la sguete maera, observar la fgura Y por la observacó ateror or lo tato, reemplazado e : o lo que queda demostrada la propedad. Observacoes: - La propedad ateror se puede geeralzar para expresar la probabldad de tres evetos Se llega a la gualdad ateror escrbedo D y aplcado la propedad 5, es decr: 3 D D D Nuevamete aplcamos 5: Y ademá aplcado las leyes dstrbutvas Etoces: omo, reemplazado e 3 se llega a : E geeral, se puede probar que s,...,, so evetos cualesquera etoces k j k j j j < < < U - S,...,, so evetos tales que j j co etoces U Notar que la gualdad ateror es ua geeralzacó del axoma 3.

10 arte - robabldad rof. María. tarell. - El espaco muestral fto Sea ε u expermeto aleatoro y S u espaco muestral asocado a ε. Supogamos que S es u cojuto fto al que aotamos S { a, a,..., a }, es decr cosderamos que tee elemetos. odemos escrbr a S como uó de evetos elemetales de la sguete forma. etoces S.... demás sabemos que S, por lo tato teemos el resultado: S { } a... 4 Es decr: la suma de las probabldades de los evetos elemetales es gual a S ahora tomamos u eveto cualquera de S, lo aotamos { a a,..., a }, etoces podemos escrbr a como uó de evetos smples:..., k k. or lo tato k k Es decr para calcular la probabldad de se suma las probabldades de los evetos elemetales que lo compoe. S asummos que... p, es decr todos los evetos elemetales tee la msma probabldad de ocurrr, etoces reemplazado e 4: p p... p veces p p p # S Dode el símbolo #S se lee: úmero de elemetos de S, e geeral #S dca el cardal de S uado... p, se dce que S es equprobable. S es u eveto cualquera de S, lo aotamos { a a,..., a } escrbmos a como uó de evetos smples:, k o sea que # k, etoces... k, y uevamete k k omo ya vmos que para todo,,,, se tee que: k # k # S # Es decr s es u eveto de u espaco muestral equprobable etoces # S k veces 0

11 arte - robabldad rof. María. tarell Ejemplos: - Supogamos que se tra ua moeda ormal tres vece y se cueta el úmero de caras obtedo luego de los tres tros. Tomemos como espaco muestral a S { 0,,,3 } uál es la probabldad de que salga al meos dos caras? E este caso S o es equprobable, pues el eveto { 0 } ocurre de ua sola forma: cuado e los tres tros sale ceca El eveto { 3 } ocurre de ua sola forma: cuado e los tres tros sale cara ero el eveto { } ocurre cuado e los tres tros sale ua sola cara y eso puede darse de tres formas dsttas c, s; c o c álogamete para el eveto { } puede darse de tres formas dsttas: c, s; c o c or lo tato { 0} { 3} y { } { }. S aotamos { 0} { 3} p y { } { } q etoces q 3p 5 demás se cumple { 0} { } { } { 3} 6 Etoces de 5 y 6 q 3p q 3p p q q p p q p 8, q 3 8 De esta forma coocemos las probabldades de todos los evetos elemetales. S : sale al meos dos caras, etoces {,3} ara calcular hacemos S tomamos como espaco muestral a S { } { 3} 0. 5 { c ; s; c; c; s; c; c; s } Etoces S es equprobable pues cada resultado cada tera se de ua sola forma. # 4 E este caso podemos platear drectamete 0. 5 # S 8 - E el caso de espacos muestrales equprobables es ecesaro recordar las téccas de coteo para calcular el úmero de elemetos de u cojuto s eumerar sus elemetos. or ejemplo: Se tee ua ura co 5 bolllas dstgubles puede estar umerada de las cuales 0 so blacas y 5 so rojas. Se extrae al azar dos bolllas de la ura, a cuál es la probabldad de extraer todas blacas? b cuál es la probabldad de extraer exactamete ua bollla blaca? c cuál es la probabldad de extraer al meos ua bollla blaca? Supogamos que se extrae las dos bolllas s reemplazo y o mporta el orde e que so extraídas.

12 arte - robabldad rof. María. tarell l decr que se extrae al azar, se etede que el espaco muestral del expermeto es equprobable. l decr que se extrae las bolllas s reemplazo, sgfca que se extrae ua bollla y s regresarla a la ura se extrae la sguete. El espaco muestral de este expermeto se puede tomar como S {,4} ;{,5},{,0},...}, es decr como el cojuto cuyos elemetos so cojuto todos los cojutos de dos elemetos que se pueda formar a partr de u cojuto de 5 elemetos. or ejemplo, el resultado {,4} sgfca que se extrajero las bolllas y 4. uátos elemetos tee S?, recordado las téccas de 5 5! coteo el úmero de elemetos de S es gual al úmero combatoro! 5! ara respoder la preguta a aotemos : las dos bolllas so blacas # Etoces. uátos elemetos tee el cojuto?, tatos como formas haya de # S 0 0! extraer dos bolllas blacas. Se tee que #.! 0! 0 0! #! 0! 3 or lo tato # S 5 5! 7! 5! Veamos ahora el cso b. otamos : se extrae exactamete ua bollla blaca Etoces 0 5 # # S 5 Y por últmo el cso c. otamos : se extrae al meos ua bollla blaca odemos resolverlo de dos maeras: La forma más fácl es calcular dode : gua bollla es blaca 5 5 # 9 # S 5 5 Otra forma de resolverlo podría ser la sguete, escrbmos dode Notar que :" se extrae bolllas blacas exactamete",. or lo tato Y 0 # ; # S 5 5 # # S

13 arte - robabldad rof. María. tarell or lo tato S e el ejemplo ateror mporta el orde e que so extraídas las bollla etoces S {,4 ;,5,,0,. 4, ; 5,...}, es decr que S es el cojuto de todos los pares a, b dode a b, por ejemplo,4 expresa el resultado: prmero se extrajo la bollla y e segudo térmo se extrajo la bollla. El úmero de elemetos de S es 5x4 0. E este caso ; ara calcular la probabldad de hay que dstgur s la bollla blaca se extrae prmero o se extrae e segudo térmo: ara calcular la probabldad de uevamete podemos pesarlo de dos forma pero s cosderamos e cada caso hay que teer e cueta el orde e que se extrae las bolllas. 5 4 Es mas práctco hacer S ahora mporta el orde e que so extraídas las bolllas y además la extraccó se hace co re emplazo se extrae ua bollla y se la devuelve a la ura ates de extraer la sguete, etoces S es el cojuto de pares a,b dode ahora puede ocurrr que a b. E este caso #S 5 x 5, y calculamos 0 0 ; ; Espacos muestrales ftos Sea S u espaco muestral fto umerable es decr S { a; a; a3;kk} a asgamos u úmero p { } tal que. omo e el caso fto, a cada a p 0 b p a La probabldad de u eveto es etoces la suma de las probabldades de los evetos elemetales que lo compoe. Los úcos espacos muestrales ftos o umerables que cosderaremos so aquellos de medda geométrca fta m S tales como logtud, área o volume, y e los cuales u puto se seleccoa al azar. La probabldad de u eveto, esto es aquella e la que el puto seleccoado perteece a, es etoces la relacó etre m a m S, es decr logtud de ó logtud de S área de ó área de S volume de volume de S 3

14 arte - robabldad rof. María. tarell Ejemplo: E el teror de u círculo se seleccoa u puto al azar. Hallar la probabldad de que el puto quede más cercao al cetro que a la crcufereca. Tomamos como espaco muestral a S { x, y, x y r } x, y, x y r, etoces r π área de or lo tato área de S π r 4 r/ r Observacó: s x, y, x y, área de 0 etoces 0 área de S π r, pero or lo tato s u eveto tee probabldad 0 eso o mplca que sea el eveto vacío. S r 4