5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

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1 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell 5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES 5. Geeraldades Hasta ahora hemos cosderado el caso de varables aleatoras udmesoales. Esto es, el resultado del expermeto de terés se regstra como u úco úmero real. E muchos casos, s embargo, os puede teresar asocar a cada resultado de u expermeto aleatoro, dos o más característcas umércas. Por eemplo, de los remaches que sale de ua líea de produccó os puede teresar el dámetro la logtud. Teedo e cueta la evtable varabldad e las dmesoes de los remaches debdo a las umerosas causas presetes e el proceso de fabrcacó, los podemos represetar asocádoles dos varables aleatoras e que puede pesarse como ua varable,. aleatora bdmesoal: ( Sea ε u expermeto aleatoro S u espaco muestral asocado a él. Sea a cada resultado S x, s le asga el par de úmeros reales ( Llamaremos a (, varable aleatora bdmesoal. S e lugar de dos varables aleatoras, teemos varables aleatoras (,,..., varable aleatora -dmesoal : S R, : S R, que,...,,, llamaremos a E lo que sgue os referremos e partcular a varables aleatoras -dmesoales co, es decr os cocetraremos e varables aleatoras bdmesoales por cuato so las más smples de descrbr, fudametalmete e relacó a la otacó. Pero debemos teer presete que las propedades que estudemos para ellas se puede exteder s demasada dfcultad al caso geeral. Al couto de valores que toma la varable aleatora bdmesoal (, lo llamaremos recorrdo de la v.a. (, lo dcaremos R. E otras palabras R ( x, : x ( s e ( s co s S, es decr, es la mage por (, del espaco muestral S. Notar que el recorrdo de (, es u subcouto del espaco Eucldao: puede cosderarse al recorrdo úmeros reales. R R. Como ates, R como u espaco muestral cuos elemetos so ahora pares de Como co cualquer espaco muestral, segú el úmero de elemetos que lo costtue, podemos clasfcar a los recorrdos R e umerables (ftos o ftos o-umerables. Los recorrdos umerables so, e geeral, de la forma R ( x, co,,...,,,..m {( x,(, x,,...,( x, m } (fto R ( x, co,,...,,.. {( x,(, x,,...} (fto umerable Los recorrdos o umerables so regoes o subcoutos o umerables del plao Eucldao. Por eemplo: R ( x, : a x b; c d (o umerable 83

2 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell {( x, : x + } R (o umerable ( x, R : a x b, c,c, c3 (o umerable mxto cuas gráfcas se puede aprecar e la fgura sguete. Notar e el últmo recorrdo, es v.a. cotua e dscreta. 3 d c 3 c c a b x - c R a b x - Clasfcaremos a las varables aleatoras bdmesoales de la sguete maera: (, es v.a. bdmesoal dscreta s e so dscretas (, es v.a. bdmesoal cotua s e so cotuas El caso cotua, dscreta (o vceversa o lo cosderamos. Sea (, ua varable aleatora bdmesoal dscreta sea R su recorrdo (umerable. Sea p : R R ua fucó que a cada elemeto (, ( x, ( x, R x le asga u úmero real ( x, P x, p que verfca. p x, x, R a ( ( b p( x, p( x, p tal que ( x, R A esta fucó la llamaremos fucó de probabldad putual couta de la varable aleatora,. E forma abrevada la desgaremos fdp couta. bdmesoal ( Sea (, ua varable aleatora bdmesoal cotua sea R su recorrdo (o umerable. Sea f : R R ua fucó que, a cada puto ( x, de R le asga u úmero real f ( x, tal que P( B f( x dxd B R f, que verfca. B x, x R a ( (, b (, R f x dxd. A esta fucó la llamaremos fucó de desdad de probabldad couta de la varable aleatora,. E forma abrevada la desgaremos també fdp couta. bdmesoal ( 84

3 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Eemplos: -Dos líeas de produccó, señaladas I II, maufactura certo tpo de artículo a pequeña escala. Supógase que la capacdad máxma de produccó de la líea I es cco artículos por día, metras que para la líea II es 3 artículos/día. Debdo a los umerables factores presetes e todo proceso de produccó, el úmero de artículos realmete producdo por cada líea puede pesarse como ua varable aleatora. E couto podemos pesar e ua varable aleatora bdmesoal (, dscreta, dode la prmera compoete correspode a la produccó de la líea I la seguda compoete a los artículos que sale de la líea II. La fdp couta correspodete a varables aleatoras bdmesoales suele presetarse, por comoddad, como ua tabla. Supogamos que la para la v.a., p x, es ( que os teresa aquí la tabla correspodete a ( Cuál es la probabldad de qué salga más artículos de la líea I que de la líea II? Ates de calcular la probabldad que os pde el problema, hagamos alguas cosderacoes sobre la p x,. tabla que represeta a ( Se trata de ua tabla a doble etrada dode e la prmera fla se dca los valores que puede tomar la v.a. (e este caso,,,3,4,5 la prmera columa dca los valores que puede tomar la varable x,, x, (,,,3. Para determar el valor de la ( p cuado la v.a. ( cosderamos el úmero que se ecuetra e la columa correspodete a correspodete a. Por eemplo: p ( 4, P( 4,. 5. toma el valor ( x la fla Podemos verfcar fáclmete que la fdp couta defda por esta be defda. E efecto verfca las codcoes a p( x, ( x, R b p( x,. ( x, R Para cotestar la preguta del eucado, cosderemos el suceso B R defdo B: es el suceso que ocurre cuado la líea I produce más artículos que la líea II o, B >. Luego: { } 3 ( B P( > p( x, P x> Ha tres caas regstradoras a la salda de u supermercado. Dos cletes llega a las caas e dferetes mometos cuado o ha otros cletes ate aquellas. Cada clete escoge ua caa al azar e depedetemete del otro. Sea las varables aleatoras : º de cletes que escoge la caa e : º de cletes que escoge la caa. Hallar la fdp couta de (, Podemos supoer que el espaco muestral orgal S es el couto de pares ordeados S {(,;(,;(,3;(,;(,;(,3;(3,;(3,;(3,3} dode la prmera compoete del par dca la caa elegda por el clete la seguda compoete del par dca la caa elegda por el clete. Además otar que como puede tomar los valores,, 85

4 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell El puto muestral (3,3 es el úco puto muestral que correspode al eveto {, } Etoces P (, ; pesado de forma aáloga los otros casos: 9 P (, ; P (, ; P (,, P (,, P (, ; P (, P(, 9 Dspoemos estas probabldades e ua tabla de la sguete forma \ /9 /9 /9 /9 /9 /9 3- Supogamos que ua partícula radactva se localza aleatoramete e u cuadrado co lados de logtud utara. Es decr, s se cosdera dos regoes de la msma área, la partícula tedrá gual probabldad de estar e cualquera de ellas. Sea e las coordeadas que localza la partícula. U modelo adecuado para la dstrbucó couta de e sería cosderar a (, cotua co fdp dada por f ( x, s x ; caso cotraro Es coveete hacer u gráfco e el plao del domo de la fdp Nos pregutamos cuál es la probabldad de que la coordeada e x sea meor que. la coordeada e meor que.4, es decr, cuál es la P (.,.4. Para calcularla, grafcamos e el plao x la regó que correspode al eveto terseccó la regó que es domo de la fdp Por lo tato.4. P (.,.4 dxd..4.8 {.,.4} 86

5 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell E este eemplo la fdp es u caso partcular de v.a. bdmesoal uformemete dstrbuda Dremos que ua varable aleatora bdmesoal cotua está uformemete dstrbuda e la regó R del plao Eucldao R s su fucó de desdad de probabldad es f ( x, c para para ( x, ( x, R R Puesto que la codcó de ormalzacó exge ( x, c dxd f cdxd debe ser R R área( R A ua v.a. (, bdmesoal cotua uformemete dstrbuda e su recorrdo R la dcaremos U [ R ]. Por eemplo, supogamos que la v.a. (, R que se está dstrbuda uformemete e el recorrdo muestra e la fgura. Cuál es su fdp couta? x x 3 x De la fgura calculamos el área del recorrdo: área x ( R dx d ( x x dx x. Por lo tato 6 f ( x, 6 para para ( x, tal que x, los demás putos x x 5. - Fucoes de dstrbucó margales de ua v.a. (, dscreta E el eemplo, supogamos que queremos saber cuál es la probabldad de que el úmero de artículos producdos por la líea I sea, o sea P ( 3, a su vez Como el eveto { } es gual a { } ({ } { } { } { } 87

6 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell { } ( { } { } { } { 3} ({ } { } ( { } { } ( { } { } ( { } { 3} Etoces P ( P( { } { } + P( { } { } + P( { } { } + P( { } { 3} P(, + P(, + P(, Razoado de la msma forma podemos escrbr P 3 ( P(,,,..., 5 + P(, Es decr obteemos la fucó de dstrbucó de probabldad de Aálogamete obteemos 5 ( P(,,,, 3 P Que es la fucó de dstrbucó de probabldad de 3 3 P(, E geeral se las deoma dstrbucoes margales de e, su defcó sería la sguete Sea (, dscreta sea ( x, p (,,,,,,m su fucó de probabldad couta (Evetualmete /o m puede ser. La fucó de probabldad margal de es p m ( x P( x p( x, (,,, La fucó de probabldad margal de es q ( P( p( x, (,,,m Observacó: Remarcamos que la fucó de probabldad margal de, es decr p ( x calculada a partr de ( x, p e la forma dcada, cocde co la fucó de probabldad de la varable aleatora udmesoal cosderada e forma aslada. Aálogamete la fucó de probabldad margal de p x, e la forma dcada, cocde co la fucó de, es decr q ( calculada a partr de ( probabldad de varable aleatora udmesoal cosderada e forma aslada. Eemplo: Sguedo co el eemplo, p ( 5 P( 5 p( 5, + p( 5, + p( 5, + p( 5,

7 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell q ( P( p(, + p(, + p(, + p( 3, + p( 4, + p( 5, Observemos que se verfca la codcó de ormalzacó para cada ua de las margales: 5 x 3 p q ( x ( Fucoes de dstrbucó margales de ua v.a. (, cotua E el eemplo 3 supogamos que queremos hallar la probabldad de que la coordeada x de la partícula sea meor o gual a., es decr P (.. Podemos escrbr P (. P(., < <. f ( x, ddx E geeral s queremos hallar P( x podemos platear. P ( x P( x, < < f ( x, ddx g( x dx dode f ( x, d g( x Por defcó de fdp debe ser g (x la fdp de la v.a. Aálogamete P ( P( < <, f ( x, dxd h( x dx x dode f ( x, d h( x Por defcó de fdp debe ser h (x la fdp de la v.a. x ddx. E geeral: Sea (, cotua sea f ( x, su fucó de desdad de probabldad couta. La fucó de desdad de probabldad margal de es: g ( x f( x,d La fucó de desdad de probabldad margal de es: h ( f( x,dx 89

8 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Observacó: Remarcamos aquí també que la fucó de de desdad de probabldad margal de, es decr g ( x, calculada a partr de f ( x, e la forma dcada, cocde co la fucó de desdad de probabldad de varable aleatora udmesoal cosderada e forma aslada. Aálogamete la fucó de desdad de probabldad margal de, es decr h ( calculada a partr de f ( x, e la forma dcada, cocde co la fucó de desdad de probabldad de varable aleatora udmesoal cosderada e forma aslada. De maera que podemos calcular probabldades como, por eemplo P ( a b P a b, < < f( x, b a g ( x dx b a ddx Eemplo: Cosderemos uevamete la v.a. cotua (, uformemete dstrbuda cuo recorrdo R dbuamos otra vez x x 3 x a vmos que la fdp está dada por f ( x, 6 para para ( x, tal que x, los demás putos x x Etoces las fucoes de desdad de probabldad de e so g ( x f x ( x, d 6d 6( x x x para los demás x valores h ( f para ( x, dx 6dx 6( los demás valores 9

9 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Fucoes de probabldades codcoales Caso dscreto Cosderemos uevamete el eemplo de las dos líeas I II que produce certo artículo a pequeña, p x, está dada por la tabla escala. Defmos la v.a. ( cua fucó de probabldad couta ( ateror que repetmos q( p(x Supogamos que deseamos coocer la probabldad de que la líea I produzca tres artículos sabedo que la líea II ha fabrcado dos. Teemos que calcular ua probabldad codcoal. Etoces P 3, ( ( 3,.5 3 p P. P q.5 ( ( E geeral defmos la fucó de probabldad putual de codcoal a como sgue: p ( ( ( x, p x P x, es decr como el cocete de la fucó de probabldad q ( couta de (, la fucó de probabldad putual margal de. Aálogamete, defmos la fucó de probabldad putual de codcoal a : p ( ( ( x, q x P x, es decr como el cocete de la fucó de probabldad putual p x couta de (, ( la fucó de probabldad putual margal de. b Caso cotuo Como ocurre co la varables aleatora cotuas e geeral, el defr la probabldad codcoal de ocurreca de u valor dado de ua de las varables aleatoras del par (, supuesto que ocurró la otra, preseta las dfcultades coocdas relacoadas co el hecho de que la probabldad de u puto es P x tee el problema que P (. cero. Etoces probabldades tales como ( Sea (, ua varable aleatora bdmesoal cotua cua fdp couta es f ( x,. Sea g ( x h ( la fdp margales de e, respectvamete. Defmos la fucó de desdad de probabldad de codcoal a que, a la que deotaremos g ( x ( x, ( f g ( x co h( >. h, de la sguete maera: 9

10 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Aálogamete, la fucó de desdad de probabldad de h x, se defe: deotaremos ( codcoal a que x, a la que ( x, ( x f h ( x co g( x >. g De acuerdo co estas defcoes, podemos calcular, por eemplo, P ( a b c g( x c b dx a b a f ( x,c h( c dx Observemos que s quséramos calcular esta probabldad usado la fdp couta, es decr, refrédoos al recorrdo completo, llegaríamos a ua determacó: P ( a b c P [( a b I( c ] P( c b dx a + dx c c c c df df ( x, ( x, Notar la dfereca etre la fucó de desdad de probabldad codcoal ( x desdad de probabldad margal g ( x : b a b g ( x dx P( a b, metras que ( x dx P( a b g. a. g la fucó de Eemplo: Ua máqua vededora de refrescos se llea al prcpo de u día dado co ua catdad aleatora, se despacha durate el día ua catdad aleatora (medda e galoes. No se le vuelve a surtr durate el día etoces Se ha observado que (, tee la desdad couta / f ( x, s x ; caso cotraro Cuál es la probabldad de que se veda meos de ½ galó, dado que la máqua cotee galó al co del día? Solucó: Prmero es coveete hacer u gráfco de la regó del plao dode la desdad couta está defda 9

11 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Hallamos la desdad codcoal de dado. Para esto prmero ecotramos la fdp margal de (/ dx s h( f ( x, dx caso cotraro (/ s caso cotraro Etoces la desdad codcoal es h ( x f ( x, g( x / (/ s < x caso cotraro s < x caso cotraro La probabldad que teresa es P ( / / / f ( x dx ( dx Notar que s la máqua hubera cotedo galoes al prcpo del día, etoces P ( / / / f ( x dx dx 4 Así la probabldad codcoal que / depede de la eleccó de 5.5 Varables aleatoras depedetes a se dscutó el cocepto de depedeca etre dos evetos A B. Esas msmas deas podemos trasladarlas e relacó a dos varables aleatoras e que, evetualmete, podemos cosderarlas como las compoetes de ua varable aleatora bdmesoal (,. De acuerdo co esto, tutvamete decmos que dos varables, e, so depedetes s el valor que toma ua de ellas o flue de gua maera sobre el valor que toma la otra. Esto lo establecemos más formalmete: a Sea (, ua varable aleatora bdmesoal dscreta. Sea p ( x, su fdp couta p ( x q ( las correspodetes fdp margales de e. Decmos que e so varables aleatoras depedetes s sólo s p ( x, p( x q( ( x, R b Sea (, ua varable aleatora bdmesoal cotua. Sea f ( x, su fdp couta g ( x h ( las correspodetes fdp margales de e. Decmos que e so varables aleatoras depedetes s sólo s f ( x, g( x h( ( x, R 93

12 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Observacó: Notar que para poder afrmar la depedeca de e debe cumplrse la factorzacó de la fdp couta como producto de las fdp margales para todos los pares de valores de la v.a. (,. Por lo tato, para verfcar la depedeca es ecesaro demostrar la valdez de la factorzacó para todos los pares. E cambo, es sufcete ecotrar u solo par que o la verfca, para afrmar, de acuerdo co la defcó, que las varables e so o depedetes, es decr, que so depedetes. Esto es, para demostrar la depedeca es sufcete co ecotrar u solo par que o verfque la factorzacó señalada. Vmos que dos sucesos A B so depedetes s sólo s P ( A B P( A ( B A P( B por supuesto debía ser P ( A P ( B P (dode. E térmos de varables aleatoras, esta forma de ver la depedeca se mafesta e la gualdad etre las fdp codcoales las correspodetes fdp margales, como demostramos e este Teorema, ua varable aleatora bdmesoal dscreta cuas fdp couta, codcoales a Sea ( x x Etoces, e so varables aleatoras depedetes s sólo s margales so, respectvamete, ( x, p ; ( p, ( q ( p, ( x q. a p( x p( x ( x, R q x, o q x, R, que es equvalete a lo ateror a ( ( ( b Sea (, ua varable aleatora bdmesoal cotua cuas fdp couta, codcoales margales so, respectvamete, ( x, x h x g ( x, h (. f ; g (, ( Etoces, e so varables aleatoras depedetes s sólo s g x g x x, R, o b ( ( ( h x h x, R, que es equvalete al ateror. b ( ( ( Dem. a Demostraremos solamete a. La equvaleca etre a a la deamos como eercco. Para demostrar a verfcaremos la doble equvaleca etre ésta la defcó de v.a. depedetes. x, R Sea e varables aleatoras depedetes. Etoces ( p ( ( x, p( x q( p x p( x ( ( q q Aquí la prmera gualdad es la defcó de fdp codcoal la seguda sale de la defcó de depedeca al supoer que e so depedetes. x, R Supogamos que se verfca a. Etoces ( p ( ( x, p x p( x p( x p( x, p( x q( q( e depedetes 94

13 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Aquí, la prmera mplcacó se debe a la defcó de fdp codcoal la tercera a la defcó de v.a. depedetes. b També demostramos sólo b deamos como eercco demostrar la equvaleca etre b b. x, R Sea e varables aleatoras depedetes. Etoces ( f ( ( x, g( x h( g x g( x h( h( Aquí la prmera gualdad es la defcó de fdp codcoal la seguda sale de la defcó de depedeca al supoer que e so depedetes. Supogamos que se verfca b. Etoces ( x, R g ( ( ( x, g x g x g( x f( x, g( x h( e depedetes. h( Aquí, la prmera mplcacó se debe a la defcó de fdp codcoal la tercera a la defcó de v.a. depedetes. Eemplos: - Supogamos que ua máqua se usa para u trabao específco a la mañaa para uo dferete e la tarde. Represetemos por e el úmero de veces que la máqua falla e la mañaa e la tarde respectvamete. Supogamos que la tabla sguete da la fucó de probabldad couta ( x, la varable aleatora bdmesoal dscreta (,. / q( P(x..4.4 Deseamos saber s las varables aleatoras e so depedetes o depedetes. x, R Para demostrar que so depedetes debemos probar que se verfca ( p ( x, p( x q( Verfcamos drectamete que (,. p( q(.. 5 (,. 4 p( q(.. (,. 6 p( q(.. 3 (,. p( q( (,. 8 p( q(. 4. (,. p( q( (,. p( q( (,. 8 p( q(. 4. (,. p( q( p p p p p p p p p Luego e so depedetes. p de 95

14 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Podríamos haber usado las codcoes a p( x p( x ( x, R q x a ( ( (, o su equvalete q x, R. Veamos, como muestra para u solo valor, que se verfca (, ( p. 8 p (. 4 p(. Para demostrar la depedeca por este camo habría que q. demostrar que se cumple la codcó para el resto de los pares de valores. Se dea este cálculo como eercco optatvo. - Sea e v.a. cotuas que represeta el tempo de vda de dos dspostvos electrócos., es: Supogamos que la fdp couta de la v.a. cotua ( f ( x, e ( x+ para x<, los demás < valores Deseamos saber s e so varables aleatoras depedetes. Calculamos las fdp margales de e : Luego las margales so: g h + + ( x+ x ( x f( x, d e d e + ( x+ ( f( x, dx e dx e + x e x< g( x para los demás valores e < h( para los demás valores Vemos que efectvamete ( x+ x e e e x<, < f( x, g( x h( para los demás valores Es decr e so v.a. depedetes. També podemos verfcar la codcó b : g ( x ( x, ( f h ( x+ e e e para los x x< demás valores g( x ( x. R 96

15 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell 3- Cosderemos u eemplo dode o se verfca la depedeca. Sea ua v.a.b cua fdp couta es f ( x, 8x x para los demás valores E la fgura sguete mostramos el recorrdo x R 3 Calculamos las fdp margales de e : x ( ( 8xd 4x x x g x x para los demás valores 3 ( 8xdx 4 h para los demás valores podemos aprecar que para x e geeral es 3 ( x, x 6x( x g( x h( f 8. Luego e so varables aleatoras depedetes. Observacoes - De la defcó de las fdp margales, vemos que tato e el caso dscreto como e el cotuo, la fdp couta determa uívocamete las fdp margales. Es decr, s (, es dscreta del p x, podemos determar uívocamete las coocmeto de la fucó de probabldad couta ( p ( fucoes de probabldad ( x q. Aálogamete, s (, es cotua del coocmeto de la 97

16 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell fucó de desdad de probabldad couta f ( x, podemos determar uívocamete las fucoes de desdad g ( x h (. S embargo la versa o se cumple e geeral. Es decr del coocmeto de p ( x q ( o se puede, e geeral, recostrur p ( x, a meos que e sea varables depedetes e cuo caso es ( x, p( x q( p, aálogamete, e el caso cotuo, del coocmeto de g ( x h ( o se puede costrur e geeral ( x, depedetes e cuo caso puedo escrbr f ( x, g( x h( f excepto cuado e so f a esté escrta e forma factorzada como ua fucó sólo de x por ua fucó sólo de, las varables e o sea depedetes puesto que el domo es tal que hace que las varables sea depedetes. Así, e el eemplo ateror, el recorrdo R {(, : x } codcoa los valores que toma x a los valores que toma. - Podemos observar del últmo eemplo, que puede ocurrr que aú cuado la fucó ( x, 3- El cocepto de depedeca etre dos varables aleatoras se puede geeralzar a varables aleatoras,...,, Fucó de ua varable aleatora bdmesoal Exste muchas stuacoes e las que dado ua varable aleatora bdmesoal os teresa cosderar otra varable aleatora que es fucó de aquélla. Por eemplo, supogamos que las varables aleatoras e deota la logtud el acho, respectvamete, de ua peza, etoces Z + es ua v.a. que represeta el perímetro de la peza, o la v.a. W. represeta el área de la peza. Tato Z como W so varables aleatoras. E geeral, sea S u espaco muestral asocado a u expermeto probablístco ε, sea : S R e : S R dos varables aleatoras que defe ua varable aleatora bdmesoal (, cuo recorrdo es R, sea ua fucó de dos varables reales H : R R que a cada elemeto( x, del recorrdo R le hace correspoder u úmero real z H( x,, etoces la fucó compuesta Z H(, : S R es ua varable aleatora, puesto que a cada elemeto s S le hace correspoder u úmero real z H[ ( s,( s ]. Dremos que la varable aleatora Z es fucó de la varable aleatora bdmesoal (,. Alguas varables aleatoras que so fucó de varables aleatoras bdmesoales so Z., / mí, Z máx,, etc. Z, Z (, ( Z +, Lo ateror se puede geeralzar s e lugar de dos varables aleatoras teemos varables aleatoras,..., z H x x,... es ua fucó de varables a valores reales.,, (, x Eemplos: - Sea Z ~ B(, p Podemos escrbr a Z como suma de varables aleatoras de la sguete forma. Recordar que Z cueta el úmero de éxtos e repetcoes o esaos del expermeto ε S defmos 98

17 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell s e la í ésma repetcó de ε ocurre éxto,,..., caso cotraro Notar que a cada se la puede cosderar B (, p, además,,..., so depedetes Podemos escrbr Z Sea Z v.a. bomal egatva co parámetros r p, es decr Z ~ BN ( r, p S defmos : úmero de repetcoes del expermeto requerdos hasta el º éxto : úmero de repetcoes del expermeto adcoales requerdos hasta el º éxto 3 : úmero de repetcoes del expermeto adcoales requerdos hasta el 3º éxto e geeral : úmero de repetcoes del expermeto adcoales después del (- ésmo éxto requerdos hasta el -ésmo éxto Etoces cada varable tee dstrbucó geométrca co parámetro p Notar además que,,..., r so depedetes Z r Esperaza de ua v.a. que es fucó de ua v.a. bdmesoal Sea ua varable aleatora bdmesoal (, cua fdp couta es la fucó de probabldad p x, s es dscreta o la fucó de desdad de probabldad couta f ( x, s es cotua couta ( sea ua fucó real de dos varables H( x, aleatora Z que es fucó de la varable aleatora bdmesoal (, q, s Z es dscreta, o ( fdp de Z es ( z acuerdo co la defcó geeral, ( Z z.q( z x R z de maera que podemos defr ua varable de la forma Z H(,. S la q z s es cotua, etoces la esperaza matemátca de Z es, de E (para Z dscreta ( Z zq( z E dz (para Z cotua Nuevamete lo teresate es cosderar la posbldad de evaluar ( Z prevamete la fdp de Z. El sguete teorema os muestra cómo hacerlo. E s teer que calcular Teorema Sea (, ua varable aleatora bdmesoal sea ZH(, ua varable aleatora que es fucó de (,. a S Z es varable aleatora dscreta que provee de la varable aleatora bdmesoal dscreta (, cuo recorrdo es p x,, etoces: R su fdp couta es ( E ( Z E H(, [ ] H( x, p( x, ( x, b S Z es varable aleatora cotua que provee de la varable aleatora cotua bdmesoal (, f x,, etoces: cua fdp couta es ( R 99

18 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Dem. s demostracó ( Z E[ H(,] H( x, f( x, E dxd. Eemplo: Supogamos que debdo a umerables causas cotrolables la correte la ressteca r de u crcuto varía aleatoramete de forma tal que puede cosderarse como varables aleatoras I R depedetes. Supogamos que las correspodetes fdp so: r r 3 g( h( r demás valores 9 demás valores Nos teresa cosderar el voltae v. r de maera que podemos defr la varable aleatora V I. R. Específcamete deseamos coocer el valor esperado o esperaza matemátca del voltae: E ( V. Usado la propedad establecda e el teorema ateror: E ( V H(,r. f(,rddr. Ahora be, puesto que cosderamos que I R so varables aleatoras depedetes, la fdp couta de la v.a. bdmesoal (I,R es smplemete el producto de las margales o sea de las fdp de las varables aleatoras I R tomadas como varables aleatoras f,r g.h r, es decr: udmesoales: ( ( ( f (,r.r 9 s demás r 3 valores Etoces E r 9 9 r dr ( V dr d(.r Esperaza de ua suma de varables aleatoras d Sea e dos varables aleatoras arbtraras. Etoces E ( E( + E( 3 +. Dem. e el teorema ateror cosderamos S (, es dscreta [ ] H( x, p( x, ( Z E H(, H ( x, x+ E ( x + p( x, ( x, R ( x, R Aplcado la propedad dstrbutva separado e dos sumas E ( Z ( x + p( x, x p( x, + p( x, ( x, R ( x, R ( x, R

19 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell x p( x, + p( x, x p( x, + p( x, Pero p ( x, p( x p ( x, q(, por lo tato x p( x + q( E( + E( Para el caso cotuo la demostracó es aáloga, cambado sumatoras por tegrales. Podemos geeralzar la propedad ateror a u úmero fto cualquera de varables aleatoras: Sea,,..., varables aleatoras arbtraras. Etoces: ( E( + E( +... E( E + E + o, e otacó más cocetrada,: E ( (leeremos: la esperaza de la suma es la suma de las esperazas Dem. Se deduce por duccó completa sobre el úmero de varables aleatoras. Observacó: se deduce que la esperaza verfca la propedad leal: E a a E Eemplos: - Vamos a aplcar alguas de las propedades aterores para calcular de ua maera alteratva la esperaza matemátca de ua varable aleatora dstrbuda bomalmete. Sea etoces ua v.a. B(,p. a vmos que podemos escrbr dode cada se la puede cosderar B (, p, además,,..., so depedetes Etoces E( P( + P( P( p para cualquer Por lo tato E( E( E( + E( E( p+ p p p Observacó: muchas veces es coveete descompoer ua varable aleatora como suma de otras más smples para facltar los cálculos - Esperaza de ua v.a. bomal egatva Cuado se trató la v.a. bomal egatva se do cuál era su esperaza. Ahora damos ua demostracó Sea v.a. bomal egatva co parámetros r p, es decr ~ BN ( r, p S defmos (. veces

20 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell : úmero de repetcoes del expermeto requerdos hasta el º éxto : úmero de repetcoes del expermeto adcoales requerdos hasta el º éxto 3 : úmero de repetcoes del expermeto adcoales requerdos hasta el 3º éxto e geeral : úmero de repetcoes del expermeto adcoales después del (- ésmo éxto requerdos hasta el -ésmo éxto Etoces cada varable tee dstrbucó geométrca co parámetro p Por lo tato r E( E( r E( + E( E( r r p p p p p r veces r 3- Esperaza de ua v.a. hpergeométrca S ~ H (, M, N etoces E( M N Para facltar la demostracó supogamos que teemos N bolllas e ua ura de las cuales M so roas N-M so blacas. Queremos hallar el úmero esperado de bolllas roas extraídas Defmos las varables s la ésma bollla roa caso cotraro Las varables,,... M o so depedetes Se puede escrbr M, además es extraída N E P ( ( N Por lo tato N ( E( + E( E( E( E M 4 N 4N 443 N N M Mr M veces M N E geeral la esperaza de u producto de varables aleatoras o es gual al producto de las esperazas S (, es ua varable aleatora bdmesoal tal que e so varables aleatoras depedetes, etoces: E (. E(.E( (leeremos: la esperaza del producto es el producto de las esperazas. Dem. (caso cotuo

21 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Sea Z H(,. sea f ( x, la fdp couta de la v.a. (, que establece que E ( Z E[ H(,] H( x, f( x, E (. ( x. f( x, dxd, teemos: dxd. Pero sedo e varables aleatoras depedetes es f ( x, g( x h(, dode g ( x (. Etoces, usado el teorema h so las fdp margales de e que sabemos cocde co las fdp de e tomadas como varables aleatoras udmesoales. Luego: E (. ( x. g( x h( dxd xg( x dx h( E (.E(, d dode e la últma gualdad tuvmos e cueta la defcó de esperaza de v.a. udmesoales. Eemplo: Nuevamete cosderamos el sguete eemplo Supogamos que debdo a umerables causas cotrolables la correte la ressteca r de u crcuto varía aleatoramete de forma tal que puede cosderarse como varables aleatoras I R depedetes. Supogamos que las correspodetes fdp so: r r 3 g( h( r demás valores 9 demás valores Nos teresa cosderar el voltae v. r de maera que podemos defr la varable aleatora Hallar el valor esperado o esperaza matemátca del voltae: E ( V. Como I R so depedetes, usado la propedad ateror ( V E( I E( R E r r 3 E ( I ( d E ( R 3 3 r 9 dr E ( V V I. R. Varaza de ua suma de varables aleatoras. V ( + V( + V( + σ co σ E(. E(.E( Dem. Escrbmos la varaza e su forma alteratva 3

22 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell ( E[ + ] ( E( [ ] V + +. Desarrollamos los cuadrados aplcamos la propedad leal de la esperaza: V [ ] ( + E( E( + E( E( ( ( {[ ( ] ( ( [ ( ] } + E. + E E + E E + E Agrupado coveetemete: V ( + { E( [ E( ]} + { E( [ E( ]} + E(. E( E( V ( + V( + { E(. E( E( } { }, es decr ( + V( + V( + σ V σ (. E(.E( E se la llama la covaraza de e. Observacoes: - Teedo presete la defcó de la desvacó estádar de ua v.a. : V( propedad ateror la podemos escrbr: ( + σ + σ + σ V - Aálogamete se prueba que V( σ + σ σ σ, vemos que a la 3- e so depedetes, etoces V ( + V ( V( + V( Esto es porque s las varables aleatoras e so depedetes, etoces (. E(.E( Por lo tato la covaraza vale cero : ( ( ( σ E. E.E. E. 4- Podemos geeralzar, usado el prcpo de duccó completa, al caso de varables aleatoras depedetes: S,,..., so varables aleatoras depedetes etoces: V ( V( + V( V( o, e forma más compacta, V V(. 5- Vemos que la esperaza de la suma de dos varables aleatoras e es gual a la suma de las esperazas E ( + E( + E( cualesquera sea e. E cambo la varaza de la suma de las varables aleatoras e es, e geeral, gual a la suma de las varazas, V ( + V( + V(, sólo s e so varables depedetes. Eemplos: - Podemos eemplfcar la aplcacó de las propedades de la varaza, calculado uevamete la varaza de ua v.a. dstrbuda bomalmete co parámetros p. Sea etoces ua v.a. B(,p. Vmos que se puede escrbr: 4

23 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell , dode las varables aleatoras so depedetes etre sí tee todas la msma dstrbucó: B(, p,,..., Etoces, tratádose de varables aleatoras depedetes V ( V( + V( V( todas la varazas so guales podemos escrbr la suma como veces ua cualquera de ellas: V V. Pero ( ( V( ( [ ( ] E E. a vmos que (. p+ ( p E Además es: E(. p+ ( p p Etoces: V( E( E( p [ ] p p( p Luego: V V p p ( ( ( que es el resultado que habíamos obtedo a partr de la defcó llevado las sumas volucradas a la forma del desarrollo de u bomo de Newto. - Varaza de ua v.a. bomal egatva a vmos que podemos escrbr r, dode cada varable tee dstrbucó geométrca co parámetro p Por lo tato p V( V( + V( V( r r p Covaraza Sea e dos varables aleatoras. La covaraza de e se defe: {[ E( ].[ E( ]} E(. E( E( Cov (, E. Notacó: la otacó usual para la covaraza de e es σ o Cov (, La últma gualdad surge de desarrollar el producto aplcar las propedades de la esperaza: E E. E E..E E. + E E {[ ( ][ ( ]} { ( ( ( ( } Teedo presete que E ( E ( so costates: E{ [ E( ]. [ E( ]} E(. E(.E( E( E( + E( E( E(. E(.E( La esperaza e la defcó debe pesarse de la sguete maera (supoedo que la v.a. (, es cotua: (, E{ H(, } H( x, f( x dxd co H( x, [ x E( ].[ E( ] Cov,. a vmos la sguete propedad 5

24 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell S e so varables aleatoras depedetes, etoces Cov (,. Dem. Segú vmos, s e so varables aleatoras depedetes, etoces (. E(.E( se sgue la propedad. Propedades de la covaraza Las sguetes propedades so útles su verfcacó se dea como eercco - Cov ( a+ b, c+ d bdcov(, - Cov ( +, Z Cov(, Z + Cov(, Z m m 3- Cov, Cov( 4- Cov (, V (, E, de dode Eemplo: Varaza de ua v.a. hpergeométrca M N M N S ~ H (, M, N etoces V ( N N N Para facltar la demostracó supogamos que teemos N bolllas e ua ura de las cuales M so roas N-M so blacas. Queremos hallar la varaza del úmero de bolllas blacas extraídas Como ates defmos las varables s la ésma bollla roa es extraída caso cotraro Las varables,,... M o so depedetes Se puede escrbr M, además N E P ( ( N N V ( E( N N N N ( E( Por lo tato ( V ( V ( + Cov(, V M M < M Por otro lado Cov ; E( E( E( ( E( (, etoces N( N ( Cov( ; N( N N 6

25 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Aplcado alguos pasos algebracos se llega a Reemplazado V ( V ( + Cov( ( Cov( ; N ( N N N N M + N N N N M, M < M N Nuevamete, luego de alguos cálculos algebracos se llega a N V ( M N N N M N N Coefcete de correlacó leal. E realdad más que la covaraza aquí os teresa cosderar ua catdad relacoada co σ que segú veremos os dará formacó sobre el grado de asocacó que exste etre e. Más cocretamete os cotará s exste algú grado de relacó leal etre e. Esa catdad es el coefcete de correlacó leal. E el msmo setdo e que podemos teer ua dea aproxmada sobre la probabldad de u suceso A s repetmos el expermeto cosderamos las ocurrecas de A e las repetcoes, así podemos teer també ua prmera dea sobre la exsteca de ua relacó fucoal, específcamete ua relacó leal, etre e s cosderamos u dagrama de dspersó. Cosste e,, e u sstema de coordeadas. dbuar pares de valores ( x meddos de la varable aleatora ( E la fgura mostramos dversas stuacoes posbles. (x x x a b c x De la fgura a se deducría que etre e o ha gú tpo de relacó fucoal. La fgura b sugere la posbldad de que exsta ua relacó fucoal que correspode a ua parábola. La fgura c, por su parte, sugere ua relacó leal etre e. Este últmo es el comportameto que os teresa caracterzar. Co ese f defmos el coefcete de correlacó leal como sgue: 7

26 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell ua varable aleatora bdmesoal. Defmos el coefcete de correlacó leal etre Cov(, e como ρ σ σ Sea (, E cosecueca: ρ {[ E( ]. [ E( ]} V( V. ( (. E(.E( V( V. ( E E. Daremos ua sere de propedades de sgfcado. ρ que os permtrá establecer más cocretamete su Propedad S e so varables aleatoras depedetes etoces ρ. Dem. medata a partr del hecho que s e so depedetes etoces E ( E( E( Observacó: La versa o es ecesaramete certa. Puede ser que ρ s embargo e o sea varables aleatoras depedetes. E efecto s teemos ua v.a. bdmesoal (, que da lugar a u dagrama de dspersó como el que se muestra e la fgura, veremos que correspodería a u coefcete de correlacó leal ρ s embargo la fgura sugere que etre e exste la relacó fucoal +, es decr e so v.a. depedetes. E realdad, como veremos, ρ es ua medda de la exsteca de ua relacó leal etre e ua crcufereca se alea mucho de ua líea recta x - Propedad : Dem. ρ 8

27 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell S cosderamos la v.a. σ + σ etoces V ( V ( Cov(, V ( + ρ σ σ σ σ σ σ Implcado que ρ V ( V ( Por otro lado: V + ( ρ Implcado que ρ σ σ σ σ Cov(, σ σ ρ Propedad 3 : S ρ, etoces co probabldad es A. + B dode A B so costates. Dem. S ρ etoces ρ o ρ S ρ etoces de la demostracó ateror se deduce que V + ( + ρ, lo que mplca que la v.a. Z σ σ σ + tee varaza cero. Segú la σ terpretacó de varaza podemos deducr (e forma tutva que la v.a. o tee dspersó co respecto a su esperaza, es decr la v.a. Z es ua costate co probabldad σ Por lo tato esto mplca que A. + B co A < σ σ Aálogamete ρ mplca que A. + B co A > σ Propedad 4 : S e so dos varables aleatoras tales que A. + B, dode A B so costates, etoces ρ. S A > es ρ s A < es ρ. Dem. se dea como eercco Observacó: Claramete las propedades aterores establece que el coefcete de correlacó leal es ua medda del grado de lealdad etre e. 9

28 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell 6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 6. Suma de varables aleatoras depedetes Cuado se estudaro las varables aleatoras bdmesoales se habló de ua fucó de varable aleatora bdmesoal. E partcular se ombró la suma de varables aleatoras, pero o se do ada sobre la dstrbucó de esa v.a. suma. Es a meudo mportate saber cuál es la dstrbucó de ua suma de varables aleatoras depedetes. Cosderamos alguos eemplos e el caso dscreto - Suma de varables aleatoras depedetes co dstrbucó Posso ( ~ depedetes ; ( ~ ; ( ~ λ λ λ λ + + P P P Dem. Cosderamos el eveto { } + como uó de evetos excluetes { },, etoces ( +!! ( (, ( ( e e P P P P λ λ λ λ e depedetes ( ( ( e e e ( ( (!!!!!!! λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Bomo de Newto O sea + tee dstrbucó Posso co parámetro λ λ + - Suma de varables aleatoras bomales depedetes, ( ~ depedetes ;, ( ~ ;, ( ~ p B p B p B + + Dem. Nuevamete cosderamos el eveto { } + como uó de evetos excluetes { },, etoces + + p p p p P P P P ( ( ( (, ( ( e depedetes + p p ( E la expresó ateror s r > etoces r

29 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Por últmo usamos la sguete detdad combatora etoces P( + p ( p O sea + tee dstrbucó bomal co parámetros + p Observacó: e los dos casos aterores se puede geeralzar el resultado a varables aleatoras depedetes, usado el prcpo de duccó completa, es decr - S,,..., so varables aleatoras depedetes dode ~ P( λ para todo,,..., etoces ~ P( λ - S,,..., so varables aleatoras depedetes dode ~ B(, p para todo,,..., etoces ~ B(, p Suma de varables aleatoras ormales depedetes S e so dos varables aleatoras cotuas depedetes co desdades g(x h( respectvamete se puede probar (o lo demostraremos aquí que la v.a. Z + tee desdad dada por f + ( z g( z h( d Usado esto se puede demostrar el sguete mportate resultado: S e so varables aleatoras depedetes dode ~ N( µ, σ ~ N( µ, σ + ~ N( µ + µ, σ + σ etoces Por duccó completa se puede geeralzar este resultado a varables: S,...,, so varables aleatoras depedetes dode ~ N(,,,..., etoces ~ N( µ, σ µ σ para todo µ σ µ a σ teemos: De lo ateror del hecho que ~ N(, a + b ~ N(a + b, S,...,, so varables aleatoras depedetes dode ~ N(, µ σ para todo,,..., etoces a ~ N( aµ, aσ dode a, a,..., a so úmeros reales Se dce que a

30 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell es ua combacó leal de varables aleatoras. Eemplos: - La evoltura de plástco para u dsco magétco está formada por dos hoas. El espesor de cada ua tee ua dstrbucó ormal co meda.5 mlímetros desvacó estádar de. mlímetros. Las hoas so depedetes. a Determe la meda la desvacó estádar del espesor total de las dos hoas. b Cuál es la probabldad de que el espesor total sea maor que 3.3 mlímetros? Solucó: Sea las varables aleatoras : espesor de la hoa e : espesor de la hoa Etoces ~ N(.5,. ; ~ N(.5,. e depedetes a S defmos la v.a. Z: espesor total de las dos hoas, etoces Z + Por lo tato Z ~ N(.5+.5,. +. es decr Z ~ N( 3,. E cosecueca E ( Z 3, σ Z V ( Z. b Se pde calcular P ( Z > 3.3 Z P ( Z > 3.3 P > Φ Φ... ( Tego tres mesaes que ateder e el edfco admstratvo. Sea : el tempo que toma el - ésmo mesae (,,3, sea 4 : el tempo total que utlzo para camar haca desde el edfco etre cada mesae. Supoga que las so depedetes, ormalmete dstrbudas, co las sguetes medas desvacoes estádar: µ 5 m, σ 4, µ 5, σ, µ 3 8, σ 3, µ 4, σ 4 3 Peso salr de m ofca precsamete a las. a.m. deseo pegar ua ota e m puerta que dce regreso a las t a.m. A qué hora t debo escrbr s deseo que la probabldad de m llegada después de t sea.? Solucó: Defmos la v.a. Z: tempo trascurrdo desde que salgo de m ofca hasta que regreso, etoces T Por lo tato T 4 ~ N 4 4 µ, σ, se pde hallar t tal que P ( T > t. µ σ t 5 5 Etoces P ( T > t Φ., es decr Φ t t 5 Buscado e la tabla de la ormal.33 t El acho del marco de ua puerta tee ua dstrbucó ormal co meda 4 pulgadas desvacó estádar de /8 de pulgada. El acho de la puerta tee ua dstrbucó ormal co meda de pulgadas desvacó estádar de /6 de pulgadas. Supoer depedeca. a Determe la dstrbucó, la meda la desvacó estádar de la dfereca etre el acho del marco de la puerta. b Cuál es la probabldad de que la dfereca etre el acho del marco de la puerta sea maor que ¼ de pulgada?.

31 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell c Cuál es la probabldad de que la puerta o quepa e el marco?. Solucó: Sea las varables aleatoras : acho del marco de la puerta e pulgadas : acho de la puerta e pulgadas Etoces ~ N( 4, (/8, ~ N( 3.875, (/6, e depedetes a Se pde la dstrbucó de -, E(, σ V ( E ( E( E( V ( V ( + V ( + σ Por lo tato 5 ~ N.5, 6 b Se pde la probabldad P ( > / ( / 4 P > Φ Φ Φ( < o equvaletemete <, por lo tato c S la puerta o etra e el marco etoces se da el eveto { } { } ( P < Φ Φ Φ Supogamos que las varables aleatoras e deota la logtud el acho e cm, respectvamete, de ua peza. Supogamos además que e so depedetes que ~ N(,., ~ N(5,.. Etoces Z + es ua v.a. que represeta el perímetro de la peza. Calcular la probabldad de que el perímetro sea maor que 4.5 cm. Z, o sea Z ~ N( 4,. Solucó: teemos que ~ N( + 5,. +. La probabldad pedda es P ( Z > 4.5, etoces P ( Z > 4.5 Φ Φ Φ. 5 6 ( S se aplca dos cargas aleatoras a ua vga voladza como se muestra e la fgura sguete, el mometo de flexó e debdo a las cargas es a + a. a Supoga que so v.a. depedetes co medas 4 KLbs respectvamete, desvacoes estádar.5. KLbs, respectvamete. S a 5 pes a pes, cuál es el mometo de flexó esperado cuál es la desvacó estádar del mometo de flexó? b S está ormalmete dstrbudas, cuál es la 3

32 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell probabldad de que el mometo de flexó supere 75 KLbs? Solucó: Sea la v.a. Z: mometo de flexó e, etoces Z 5 + Por lo tato a E Z 5E( + E( ( V ( Z σ Z b S está ormalmete dstrbudas, etoces Z ~ N 5, 4 Por lo tato ( 75 P Z > Φ Φ Φ( Promedo de varables aleatoras ormales depedetes S,...,, so varables aleatoras depedetes dode ~ N( µ, σ,,..., etoces la v.a. meda µ varaza σ tee dstrbucó ormal co para todo Dem. Notar que es u caso partcular de combacó leal de varables aleatoras dode a para todo,,..., Además e este caso µ µ σ σ para todo,,..., Por lo tato, tee dstrbucó ormal co esperaza µ µ µ µ varaza σ σ σ σ σ Es decr, ~ N µ, Observacó: a se lo llama promedo muestral o meda muestral 4

33 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Eemplo: Ua máqua embotelladora puede regularse de tal maera que llee u promedo de µ ozas por botella. Se ha observado que la catdad de cotedo que sumstra la máqua preseta ua dstrbucó ormal co σ oza. De la produccó de la máqua u certo día, se obtee ua muestra de 9 botellas lleas (todas fuero lleadas co las msmas poscoes del cotrol operatvo se mde las ozas del cotedo de cada ua. a Determar la probabldad de que la meda muestral se ecuetre a lo más a.3 ozas de la meda real µ para tales poscoes de cotrol b Cuátas observacoes debe clurse e la muestra s se desea que la meda muestral esté a lo más a.3 ozas de µ co ua probabldad de.95? Solucó: a Sea las varables aleatoras : cotedo e ozas de la botella,,..., 9 ~ N µ, para cada. Etoces ( Por lo tato ~ N µ,. Se desea calcular 9.3 P( µ.3 P(.3 µ.3 P σ.3 µ.3 P P.9 σ σ σ Φ( b Ahora se pretede que P ( µ.3 P(.3 µ.3.95 µ.3 σ σ µ.9φ(.9 Φ(.9 σ Etoces.3 µ.3 µ P( µ.3 P P σ σ σ Medate la tabla de la acumulada de la ormal estádar se tee que µ P.3.3 Φ (.3.95 Φ( ( O sea S tomamos 43, etoces P ( µ.3 será u poco maor que.95 5

34 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell 6. - Teorema cetral del límte Acabamos de ver que la suma de u úmero fto de varables aleatoras depedetes que está ormalmete dstrbudas es ua varable aleatora també ormalmete dstrbuda. Esta propedad reproductva o es exclusva de la dstrbucó ormal. E efecto, por eemplo, a vmos que exste varables aleatoras dscretas que la cumple, es el caso de la Posso la Bomal. E realdad, la propedad que le da a la dstrbucó ormal el lugar prvlegado que ocupa etre todas las dstrbucoes es el hecho de que la suma de u úmero mu grade, rgurosamete u úmero fto umerable, de varables aleatoras depedetes co dstrbucoes arbtraras (o ecesaramete ormales es ua varable aleatora que tee, aproxmadamete, ua dstrbucó ormal. Este es, esecalmete, el cotedo del Teorema cetral del límte (T.C.L.: Sea,,..., varables aleatoras depedetes co E ( µ V ( σ para todo,,...,, es decr depedetes détcamete dstrbudas Sea la v.a. S Dem. s demostracó sea Etoces lm P( Z z Φ( z Z S µ. σ z S, esto es µ lm z e σ π x P Observacoes: E S E E V S V V S µ Por lo tato Z es la v.a. S estadarzada σ - Notar que ( ( µ ( ( σ S µ S - Notar que µ µ P z P z P, por lo tato també se puede eucar σ σ σ el Teorema cetral del límte de la sguete forma Sea,,..., varables aleatoras depedetes co E ( µ V ( σ para todo,,...,, es decr depedetes détcamete dstrbudas µ Sea la v.a. promedo muestral sea Z. σ Etoces lm P( Z z Φ( z z, esto es µ lm z e σ π x P dx dx Dode µ Z es el promedo muestral estadarzado σ 6

35 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell 3- Auque e muchos casos el T.C.L. fucoa be para valores de pequeños, e partcular dode la poblacó es cotua smétrca, e otras stuacoes se requere valores de mas grades, depededo de la forma de la dstrbucó de las. E muchos casos de terés práctco, s 3, la aproxmacó ormal será satsfactora s mportar cómo sea la forma de la dstrbucó de las. S < 3, el T.C.L. fucoa s la dstrbucó de las o está mu aleada de ua dstrbucó ormal 4- Para terpretar el sgfcado del T.C.L., se geera (por computadora valores de ua v.a. expoecal co parámetro λ. 5, se calcula el promedo de esos valores. Esto se repte veces, por lo tato teemos valores de la v.a.. Hacemos u hstograma de frecuecas de, esto es, tomamos u tervalo ( a, b dode cae todos los valores de, lo subdvdmos e tervalos mas chcos de gual logtud. La frecueca de cada subtervalo es la catdad de valores de que cae e dcho subtervalo. Se grafca estas frecuecas obteédose los gráfcos sguetes que se puede cosderar ua aproxmacó a la verdadera dstrbucó de. Se observa que a medda que aumeta el valor de los gráfcos se va hacedo más smétrcos, parecédose a la gráfca de ua dstrbucó ormal Eemplos: - Supógase que 3 strumetos electrócos D, D,...,D 3, se usa de la maera sguete: ta proto como D falla empeza a actuar D. Cuado D falla empeza a actuar D 3, etc. Supógase que el tempo de falla de D es ua v.a. dstrbuda expoecalmete co parámetro λ. por hora. Sea T el tempo total de operacó de los 3 strumetos. Cuál es la probabldad de que T exceda 35 horas? 7

36 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Solucó: S : tempo de falla del strumeto D,,..., 3 Etoces ~ Exp (. para,,..., 3 El tempo total de operacó de los 3 strumetos es T, dode 3 E ( T E 3 E( V ( T V 3 V ( 3 3. T 3 Etoces por T.C.L. ~ N(, aproxmadamete pues 3 3 La probabldad pedda es T P ( T > 35 P > Φ Φ T.C.L. ( 84 - Supoga que el cosumo de calorías por día de ua determada persoa es ua v.a. co meda 3 calorías desvacó estádar de 3 calorías. Cuál es la probabldad de que el promedo de cosumo de calorías daro de dcha persoa e el sguete año (365 días sea etre ? Solucó: Defmos las varables aleatoras : catdad de calorías que ua persoa cosume e el día,,..., 365 Se sabe que E ( 3 V ( σ 3 S etoces E ( 3 V ( La probabldad pedda es P( P Φ Φ 3 Φ ( 4.5 Φ( 3.4 T.C.L. Aplcacoes del Teorema cetral del límte Aproxmacó ormal a la dstrbucó bomal El Teorema cetral del límte se puede utlzar para aproxmar las probabldades de alguas varables aleatoras dscretas cuado es dfícl calcular las probabldades exactas para valores grades de los parámetros. 8

37 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell Supogamos que tee ua dstrbucó bomal co parámetros p. Para calcular P( debemos hacer la suma P( P( o recurrr a las tablas de la F.d.a., pero para valores de grades o exste tablas, por lo tato habría que hacer el cálculo e forma drecta muchas veces es laboroso. Como ua opcó podemos cosderar a como suma de varables aleatoras más smples, específcamete, s defmos s e la í ésma repetcó de ε ocurre éxto,,..., caso cotraro etoces cada se la puede cosderar B (, p, además,,..., so depedetes Podemos escrbr s es grade etoces tedrá aproxmadamete ua dstrbucó ormal co parámetros p p( p, es decr µ. p Z N(, s es lo sufcetemete grade σ. p( p Observacoes: - La aproxmacó ormal a la dstrbucó bomal fucoa be au cuado o sea mu grade s p o está demasado cerca de cero o de uo. E partcular la aproxmacó ormal a la bomal es buea s es grade, p > 5 ( p > 5, pero es más efectvo aplcar esta aproxmacó cuado p > ( p > - Correccó por cotudad. Acabamos de ver que s B(,p etoces, para sufcetemete grade, podemos cosderar que aproxmadamete es N[.p,.p( p ]. El problema que surge de medato s deseo calcular, por eemplo, la probabldad de que (co alguo de los valores posbles,,,, es que la bomal es ua dstrbucó dscreta tee setdo calcular probabldades como P ( metras que la ormal es ua dstrbucó cotua, e cosecueca, P ( puesto que para ua varable aleatora cotua la probabldad de que ésta tome u valor aslado es cero. Esto se resuelve s se cosdera P ( P + També se puede usar esta correccó para meorar la aproxmacó e otros casos, específcamete e lugar de P( calculamos P ( P + e lugar de P ( P E los gráfcos sguetes se muestra para dferetes valores de p cómo aproxma la dstrbucó N( p, p( p a la dstrbucó B (, p 9

38 Parte Varables aleatoras bdmesoales Prof. María B. Ptarell p p p p p..3. p Eemplos: - Sea B(5,.4. Hallar las probabldades exactas de que 8 8 comparar estos resultados co los valores correspodetes ecotrados por la aproxmacó ormal. Solucó: De la tabla de la F.d.a. de la bomal ecotramos P ( P ( 8 P( 8 P( Ahora usamos la aproxmacó ormal 8.5 ( 8 ( 8.5 p P P P Φ( ( p p correccó por cotudad