PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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- Paula Iglesias Carrasco
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1 FCULTD DE INGENIERÍ U N M ROILIDD Y ESTDÍSTIC Iree atrca Valdez y lfaro reev@servdor.uam.mx
2 T E M S DEL CURSO. álss Estadístco de datos muestrales. 2. Fudametos de la Teoría de la probabldad. 3. Varables aleatoras. 4. Modelos probablístcos comues. 5. Varables aleatoras coutas. 6. Dstrbucoes muestrales.
3 CONTENIDO TEM 2 2. Fudametos de la teoría de la probabldad. Obetvo: El alumo comprederá el cocepto de probabldad, así como los teoremas e los que se basa esta teoría. 2. Expermetos determístcos y aleatoros. Evetos y espaco de evetos. 2.2 Cocepto de probabldad, cálculo de probabldades a través de téccas de coteo y dagramas de árbol. 2.3 Defcó axomátca de la probabldad. 2.4 robabldad couta, margal y codcoal, evetos depedetes. robabldad total, teorema de bayes.
4 FUNDMENTOS DE L TEORÍ DE L ROILIDD CONCETOS ÁSICOS
5 DEFINICIONES REVIS FENÓMENO EXERIMENTO: Es todo aquel acto o accó que se realza co el f de observar sus resultados y cuatfcarlos. Los feómeos puede clasfcarse de acuerdo al tpo de resultados e: Determístco Es aquel cuyos resultados se puede predecr de atemao. robablístco aleatoro Es aquel e el que para las lmtacoes actuales del coocmeto cetífco, o se puede predecr co certeza el resultado.
6 ESCIO DE EVENTOS l couto de todos los posbles resultados de u expermeto aleatoro se le deoma ESCIO DE EVENTOS S. cada posble resultado del espaco le llamaremos ELEMENTO. U EVENTO e geeral es u couto de evetos smples o posbles resultados del expermeto. S el eveto está compuesto por u úco elemeto le llamaremos EVENTO SIMLE. S el eveto o tee gú resultado posble se le deoma EVENTO VCÍO. El espaco de evetos puede ser FINITO o INFINITO y a su vez DISCRETO O CONTINUO
7 EJEMLO: ESCIO DE EVENTOS Expermeto: rroar dos dados y observar la suma de los putos de las caras que queda haca arrba. Sea: Y = los putos del prmer dado Y 2 = los putos del segudo dado X = Y +Y 2 Cuál es el espaco de evetos de X? S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2 } S = { x 2 x 2, x } Nota: debe observarse, e este caso, que el resultado x=4 puede presetarse s Y =2 y Y 2 =2, o be s Y = y Y 2 =3. Lo msmo ocurre co otros valores.
8 EJEMLO: ESCIO DE EVENTOS S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2 } lguos evetos de este espaco so: = { 2, 4, 6, 8, 0, 2 } = { 7, 0, } C = { 3, 5, 7, 9, } LGUNS OERCIONES ESTOS CON EVENTOS: C = S C D = D D = { 9 } C = = { 0 } Nota: debe observarse, e este caso, que el resultado x=4 puede presetarse s Y =2 y Y 2 =2, C = { 3, 5, 7, 9, 0, } C = { 7, } o s Y = y Y 2 =3. Lo msmo ocurre co otros valores.
9 DEFINICIONES REVIS Evetos mutuamete excluyetes: S se tee dos o más evetos que perteece a S y al realzar el expermeto solo puede ocurrr uo u otro, pero o smultáeamete. or eemplo: = Evetos colectvamete exhaustvos: S la uó de los evetos es gual al especo de evetos. or eemplo: = S Evetos mutuamete excluyetes y colectvamete exhaustvos: S se cumple las dos codcoes aterores or eemplo: = y además = S
10 EVENTOS MUTUMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVMENTE EXHUSTIVOS: S 2 3 k S, =, 2,... k =, =, 2,... k Todos los evetos perteece al espaco de evetos S. La terseccó de todos los evetos es el couto ulo. = S, =, 2,... k La uó de todos los evetos es gual al especo de evetos.
11 CONCETO DE ROILIDD Del latí probabltas, verosmltud verus, verdadero y smls semeate. Fudada apareca de verdad, caldad de probable, que puede suceder. DIFERENTES INTERRETCIONES DE ROILIDD SUJETIV CLÁSIC FRECUENTIST
12 INTERRETCIÓN SUJETIV DE L ROILIDD De acuerdo co esta terpretacó, la probabldad de u eveto es el grado de certdumbre que tee ua persoa, o grupo de persoas, acerca de la ocurreca de u eveto. puede ser que se base e la expereca o e certa formacó que se tega. Ua probabldad gual a cero dca ua certeza absoluta de que el eveto o ocurrrá y ua probabldad gual a 00% dca ua certeza absoluta de que el eveto ocurrrá.
13 INTERRETCIÓN CLSIC DE L ROILIDD Sea S es el úmero de elemetos, gualmete posbles y mutuamete excluyetes, del espaco muestral S de u expermeto aleatoro, y sea el úmero de elemetos de u eveto cualquera de ese espaco muestral. La probabldad de que ocurra el eveto, alrealzarel expermeto, es la proporcó de co respecto a S. = S
14 INTERRETCIÓN FRECUENTIST DE L ROILIDD S u expermeto aleatoro se eecuta veces bao las msmas codcoes, y m de los resultados so favorables al eveto, la probabldad de que ocurra el eveto al realzar uevamete el expermeto es: = lím m Ua forma comú de calcular la probabldad aproxmada de u eveto, desde el puto de vsta frecuetsta, es dvdedo el úmero de veces que ocurre, ; etre el úmero total de veces que se efectúa el expermetos, S ó smplemete. =
15 EJEMLOS DE INTERRETCIONES DE L ROILIDD SUJETIV: Está ublado, hay u 70% de probabldad de lluva. CLÁSIC: S e u grupo hay 40 geeros y 20 arqutectos, la probabldad de que al seleccoar aleatoramete a ua persoa del grupo, su profesó sea de geero es: 40/60 = 4/6. FRECUENTIST: l sacar de ua ura muy grade 00 pelotas, se observaro 30 roas y 70 blacas. La probabldad de que al sacar otra pelota ésta sea blaca es: 70/00 =7/0. se descooce cuátas pelotas hay detro de la ura
16 XIOMS DE ROILIDD Sea S el espaco de evetos de u expermeto, y E u eveto cualquera de S.. S = 2. E 0 3. S para E, E 2,. se cumple que E E =, para toda, etoces: E E 2.= E + E 2 +
17 TEOREMS DERIVDOS DE LOS XIOMS Sea S el espaco muestral de u expermeto, y E u eveto cualquera de S.. = E, para cualquer E S 3. Regla de la adcó para cualesquera evetos: S y perteece a S, se cumple que: = + -
18 ROILIDD CONDICIONL Supógase dos coutos y que perteece al espaco muestral S S se sabe que ya ocurró el eveto, la probabldad de que també haya ocurrdo se escrbe: y se lee la probabldad de dado. equvale a calcular la probabldad de cuado el espaco muestral se reduce a. ero també, s dvdmos umerador y deomador etre s teemos: S S y aálogamete:
19 ROILIDD CONJUNT Supógase dos evetos y que perteece al espaco muestral S La probabldad couta de y, es la probabldad de que ocurra el eveto y el eveto de maera smultáea. Despeado de la expresó dada ates para probabldad codcoal se tee: o be:
20 EVENTOS INDEENDIENTES Supógase dos evetos y que perteece al espaco muestral S Se dce que es depedete de s resulta que =, lo que sgfca que el eveto o fluye e absoluto para la realzacó o o del eveto. S es éste el caso, y puesto que teemos que: y por lo tato, los evetos y so depedetes s, y solo s: Teorema: s y so depedetes, etoces: y so depedetes. y so depedetes. y so depedetes.
21 TEOREM DE L MULTILICCIÓN R ROILIDD CONDICIONL Sea, 2, evetos cualesquera de u espaco muestral S S los evetos y so depedetes, etoces: E ua ura hay 60 esferas azules y 40 roas, cuál es la probabldad de que al sacar tres cosecutvamete s regresarlas, la secueca sea: {a,a,r} {a,a,r} Calcular la probabldad de que la secueca sea {a,a,r} s cada que se saca ua esfera se observa el color y se regresa a la ura.
22 Eemplo: ROILIDD CONDICIONL, CONJUNT Y MRGINL E u curso de verao de regularzacó los alumos scrtos se dstrbuye como se muestra e la tabla. certo profesor se le asgará aleatoramete a u alumo. RIMER GRDO SEGUNDO GRDO TERCER GRDO Sumas FÍSIC QUÍMIC MTEMÁTEMÁTICS Sumas La probabldad de que le asge u alumo de prmer grado de físca es de 46/350. robabldad couta. La probabldad de que le asge u alumo de físca de cualquer grado es /350. robabldad margal. S le asgaro u alumo de químca, la probabldad de que éste sea de tercer grado es 42/27. robabldad codcoal.
23 ROILIDD MRGINL robabldad margal de u eveto es la probabldad smple de ese eveto, pero expresada como ua suma de probabldades coutas. E u curso de verao de regularzacó los alumos scrtos se dstrbuye como se muestra e la tabla. certo profesor se le asgará aleatoramete a u alumo. C RIMER GRDO SEGUNDO GRDO TERCER GRDO Sumas F Q M FÍSIC QUÍMIC MTEMÁTEMÁTICS Sumas odemos observar, co base e el regló de sumas, que la probabldad del eveto es smplemete 43/350, pero també: = F + Q + M = 46/ / /350 = 43/350 álogamete, co base e la columa de sumas, podemos ver que Q = 27/350, pero també: Q = Q + Q + Q C = 45/ / /350 = 27/350
24 S ROILIDD TOTL 2 3 k Cosderese que el espaco muestral S está partcoado e k evetos mutuamete excluyetes y colectvamete exhaustvos; y que e el msmo espaco muestral S se defe u eveto, que puede teer alguas terseccoes co los evetos. La probabldad total del eveto puede expresarse como la suma de las terseccoes del eveto co los eveto = k k
25 ROILIDD TOTL Cosderese la probabldad total del eveto : Recordado que para cada eveto : Susttuyedo éste últmo hecho e la expresó para la probabldad total de : 2 k 2 2 k k Co lo que la probabldad total de també se escrbe: k k
26 TEOREM DE YES S 2 3 k Recordado que para u eveto : y que la probabldad total del eveto es: k Susttuyedo II e I obteemos: k k I II III
27 TEOREM DE YES TEOREM DE YES: k k e III obteemos el: Susttuyedo la sguete expresó
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