Universidad Nacional del Litoral. Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA. Ingeniería en Informática

Transcripción

1 Uversdad Nacoal del Ltoral Facultad de Igeería y Cecas Hídrcas ESTADÍSTICA Igeería e Iformátca Mg. Ig. Susaa Valesberg Profesor Ttular

2 MODELOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

3 SITUACIONES A RESOLVER I- El úmero de cletes que llega a u baco es ua varable de terés. S el úmero romedo or hora es de 10 cletes teresa determar: La robabldad de que e u muto llegue al meos 3 cletes. Y la robabldad de que llegue a lo sumo cletes e 6 mutos. II- Alguos ecoomstas ha rouesto que haya u cotrol de salaros y recos ara combatr la flacó, ero otros cosdera que esos cotroles o so efectvos orque trata los efectos y o las causas de la flacó. Ua recete ecuesta revela que el 40 % de los argetos adultos está a favor de u cotrol de recos y salaros. S se seleccoara 5 adultos aleatoramete: Cuál sería la robabldad de que guo esté a favor del ctado cotrol? Cuál la robabldad de que como mámo 3 esté a favor del cotrol? Por térmo medo, cuátos estará a favor del cotrol?

4 III- U fabrcate de automóvles comra los motores a ua comañía dode se fabrca bajo estrctas esecfcacoes y ormas de caldad. El fabrcate recbe u lote de 40 motores. Su la ara acetar el lote cosste e seleccoar 8 de forma aleatora y someterlos a rueba. S ecuetra que gú motor reseta seros defectos aceta el lote; de otra forma, lo rechaza. Se sabe que el lote cotee dos motores co seros defectos etoces teresa averguar: Cuál es la robabldad de acetar el lote? Cuál es la robabldad de que haya dos motores defectuosos e la muestra eamada? De los 8 motores eamados, cuátos se esera que sea defectuosos?

5 INTRODUCCIÓN La alcacó de la teoría de robabldad e stuacoes reales, cocretas, que reseta ua regulardad e el lateo, ha orgado ua sere de modelos que las resuelve. Los geeros realza suuestos resecto del roblema a resolver, esto los lleva a descrcoes aálogas y a formas matemátcamete guales a las de los modelos robablístcos. E este caítulo o sólo se reseta los modelos ara varables aleatoras dscretas más usados ara fes ráctcos, so que també se brda alguas ocoes de los mecasmos or los cuales se ha orgado cada dstrbucó. Esto últmo es de suma mortaca ara u geero, ya que la esteca de tales mecasmos uede descrbr ua stuacó físca de su terés, y ésta es ua razó más mortate que la buea aromacó matemátca de algú modelo.

6 Modelo Beroull Modelo Bomal Modelo Posso Modelo Hergeométrco

7 MODELO BERNOULLI Los resultados de los eermetos uede seararse e dos categorías mutuamete ecluyetes: éto o fracaso; or ejemlo mdo y me equvoco o mdo y o me equvoco, o llueve o o llueve etc. Puede etoces defrse la varable aleatora de to Beroull y asgársele valores (arbtraros ero muy ráctcos) a los evetos ates mecoados:

8 =0 fracaso =1 éto f()=, 1, 1 0 Esta fucó deberá cumlr co las codcoes de ua fucó de robabldad

9 CARACTERÍSTICAS DEL MODELO E() = f( )=0.(1- )+1.= V()= _ ( - E() ) f( )= = (0 - ) (1 - )+(1 - ). = = (1 - )+(1 - ). = Var = (1- )(+1- )

10 MODELO BINOMIAL S se realza ua sere de ruebas de to Beroull cuyos resultados sea mutuamete deedetes y s la robabldad de éto ermaece varable e todas ellas se orga u uevo modelo deomado BINOMIAL. Para determar la dstrbucó corresodete se aalza el úmero total de étos e ruebas Beroull cada ua co robabldad favorable gual a. Se cosderará 3 ruebas y se aalzará las robabldades de éto:

11 - Ngú éto: 0 ; 0 ; 0 ; (1 - ) 3 - U éto : 1 ; 0 ; 0 ; ó 0 ; 1 ; 0 ; ó 0 ; 0 ; 1 cada secueca es u eveto, que etre sí so mutuamete ecluyetes cuya robabldad es : ( 1 - ) ; de esta maera la robabldad de u éto es : 3 ( 1 - ) - Dos étos : 1 ; 1 ; 0 ; ó 1 ; 0 ; 1 ; ó 0 ; 1 ; 1 ; uevamete cada secueca es u eveto que es ecluyete de los restates : ( 1 - ) y el total : 3 ( 1 - ). - Tres étos : 1 ; 1; 1; ; ; = 3

12 geeralzado P(X = )= (1 - ) - coefcete bomal =!!( - )!

13 La fucó de dstrbucó uede obteerse hacedo la suma de todos los valores de la fucó masa meores o guales que : F() = P(X )= f( )

14 CARACTERÍSTICAS DEL MODELO E(X) = =0 f( )=! = 0. 0!(-0)! 0 q! +1. 1!( -1)! 1 q !!( - )! q 0 = = 0 + ( -1)! ( -1)! q q 0 = (q ( -1) - q + -1 )= = (+ q ) -1 E()=

15 Var(X)= E[X - E(X) ] = E( X ) - E (X) E( X )= =0 q - = ya que el rmer termo es cero, la suma se toma desde1

16 = =1 ( - 1)!! ( - )! -1 q - = =1 ( - 1)! ( - 1)! ( - )! -1 q - hacedo = j +1, ara = 1, j = 0, =, j = - 1!=( - 1)! = j!( j +1) -1 =0 j ( - 1)! ( j )!( j +1)( - j - 1)! j q -1- ( j j +1)= [ -1 =1 j - 1 j j q -1- j j + -1 =0 j - 1 j j q -1- j ]

17 El dotermo de la suma es 1;se aalza el 1º, ya -1 ( -1)! j ( - )!( -1) j que j = = j j!( -1- j )! ( j -1)! j( - -( j -1))! sacado factor comu ( -1), se cosgue -1 j=1 - j -1 j-1 hacedo j = k +1, k vara de0 a - co lo cual q -1- j - k=0 - k k q --k = 1 E( X ] = [(-1)+1] = - +

18 Var(X)= = (1- ) Var(X)= q

19 Estos msmos resultados odría haberse obtedo de forma mucho más seclla or cosderar a la varable aleatora X como la suma de varables deedetes détcamete dstrbudas como Beroull, co eseraza y varaza q

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21 MODELO POISSON S se cremeta y se hace equeña, ero el úmero romedo de evetos e el tervalo total ermaece costate e gual a. el modelo Bomal da lugar al modelo de Posso. Cosderado la fucó masa del modelo Bomal e el límte, esto es co 0 y y llamado λ =.

22 f 1 )! ( )! 1))( ( )...( 1)( ( 1! 1 )! (! 1! 1 )!!(! ) (! e = )= f()= P (X -

23 CARACTERÍSTICAS E(X)= =0 e -! = = e ( - 1)! = e ( - 1)! = 1 E(X)=

24 Var(X)= E( X ) - E (X) E( X )= =0 e -! = =0-1 e (-1)! - = = =1-1 - e ( -1)! s y = -1 y+1=, luego y=0 y e (y +1) y! - = y=0 y - y e y! + y=0 - y e y! y=0 y - y e y! = E(Y)= y=0 - y e = 1 y! Var(X)=

25 Geeralmete este modelo se vcula a aquellos evetos que ocurre e ua udad de temo, luego el eríodo de temo e el que se realza el aálss costtuye ua secueca de ruebas deedetes cada ua co dstrbucó Bomal. S se tomara ara el aálss u tervalo de temo gual al doble o al trle del cal se verá que el arámetro es també gual al doble, al trle, etc., marcado esto la deedeca del temo de este modelo y or ello vculado a los rocesos estocástcos. Se etede or rocesos estocástcos a aquellos e los que teresa la secueca, e el temo, de ocurreca de evetos.

26 U feómeo ara ser clasfcado como roceso de Posso debe cumlr co las sguetes codcoes: a- Estacoaredad: esto sgfca que la robabldad de que ocurra u eveto dado e u tervalo de temo muy equeño Δt, es roorcoal a ese temo e gual a λδt. b- No multlcdad: esto es que la robabldad de que ocurra dos o más evetos e u tervalo de temo Δt es desrecable comarado co λδt. c- Ideedeca: el úmero de evetos e algú tervalo de temo es deedete del úmero de evetos e algú otro tervalo de temo.

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29 MODELO HIPERGEOMÉTRICO Este modelo surge cuado se realza u muestreo s reoscó de ua oblacó fta co sus elemetos clasfcados e dos categorías. S N es el total de elemetos de los cuales hay k de ua categoría y N-k de otra, al realzar ua etraccó de elemetos, s reoscó, cada etraccó que se realce osterormete es deedete del resultado de la etraccó ateror co lo cual va cambado la robabldad de éto.

30 P (X = )= f()= k N - - k N

31 CARACTERÍSTICAS Para obteer las característcas es osble decr que la varable aleatora X es la suma de varables como e el caso Bomal, ero co la dfereca que aquí las so deedetes. ero como ara sumar las eserazas o se ecesta que las varables aleatoras sea deedetes es osble obteer la eseraza de la sguete forma:

32 dode cada E () es la robabldad de e la ésma rueba: k/n, s o se sabe que ha ocurrdo e ruebas aterores o osterores: E(X) = E( 1 )+ E( )+...+ E( ) E(X)= k N

33 La varaza e cambo o es adtva ara varables deedetes. Pero se obtee la sguete eresó: N-/ N-1 el factor de correccó or muestreo s reoscó. Var(X) = * * q * N - N -1

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35 RESOLUCIÓN DE LAS SITUACIONES PRESENTADAS Stuacoes a resolver

36 I- Modelo? Posso: ! 6m / 1 0.3! m / 60 10/ / e X P cl e X P X P X P cl h cl

37 II- Modelo? Bomal: 5*0.4 * ) ( 0, , : X E q X P q X P A P favordel cotrol a A

38 III- Modelo? Hergeométrco: * / * ) ( 0, , N k E N K N K X P N K N K X P K N K seros defectos tee gú motor s lote el aceta se N