ANÁLISIS ESTADÍSTICO DEL CONTROL DE CALIDAD EN LAS EMPRESAS

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1 UNIVERIDAD de VALLADOLID ECUELA de INGENIERÍA INDUTRIALE INGENIERO TÉCNICO INDUTRIAL, EPECIALIDAD EN MECÁNICA PROYECTO FIN DE CARRERA ANÁLII ETADÍTICO DEL CONTROL DE CALIDAD EN LA EMPREA Autor: Galca Adrés, Eduardo Tutor: García Terá, José María Dto: Costruccoes Arqutectócas, IT, MMC y TE EPTIEMBRE 0

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3 INTRODUCCIÓN AL MUETREO DE ACEPTACIÓN Y AL CONTROL DE PROCEO Cocetos revos La alcacó de la estadístca e la verfcacó del cumlmeto de determadas egecas de caldad e la dustra está basada e el estudo y evaluacó de la varabldad, matera objeto de la Estadístca. E el resete royecto de f de carrera e el que se va a alcar herrametas muy útles ara u amlo sector emresaral, como so el muestreo de acetacó y el cotrol del roceso de fabrcacó, se eoe, de forma reva, alguos cocetos teórcos e matera estadístca ecesaros ara fudametar y desarrollar aquellas así como los osterores formes de la emresa aalzada. Los rmeros caítulos cotee alguos cocetos báscos como so los sucesos, las meddas de tedeca cetral como la meda y las meddas de dsersó como el recorrdo, la varaza y la desvacó tíca. També aarece recogdo el coceto de robabldad y alguas de sus roedades, juto co las varables aleatoras y sus meddas característcas. E el cuarto caítulo se cluye alguos de los modelos de robabldad dscretos y cotuos, de los cuales e uestro forme de muestreo de acetacó emlearemos el modelo bomal, cuya ley de robabldad vee eresada medate: P q!! La fereca estadístca, auque solo la estmacó utual, es objeto de desarrollo e el caítulo 5. E cuato a la estmacó or tervalos de cofaza se ha cludo alguos casos e el Aeo C. Todo ello os ermte estmar la meda, la varaza y la desvacó estádar oblacoal, es decr, del lote comleto ara ua muestra o como e uestro caso ara varas: ˆ ˆ a! q ˆ (Co u a que obteemos de la tabla E) El coceto de Muestreo de acetacó objeto del caítulo 6 se fudameta e que u adecuado cotrol de caldad debe clur la seccó de los lotes de roductos a la etrada del roceso ara asegurar que cumle las esecfcacoes co u grado de cofaza determado. Esta seccó es el rocedmeto utlzado ara tomar la decsó de acetar o rechazar los lotes. Tos de seccoes Cero seccoes: Cosste e acetar el lote s realzar gua seccó. Iseccó al 00%: e basa e revsar todos los elemetos del lote. Muestreo de acetacó: Cosste e la seccó de arte del lote (muestras). Vetajas e coveetes del muestreo de acetacó El muestreo de acetacó tee las sguetes vetajas resecto a la seccó al 00%:. Tee u meor macto ecoómco al seccoar meos elemetos.. La decsó de acetar el lote o se realza eza a eza, so que afecta al lote e su totaldad.

4 . Es útl ara la alcacó de ruebas destructvas e la seccó. Las desvetajas so las sguetes:. Este la osbldad de acetar lotes que osea ecesvos elemetos o coformes (error de to II) al o aarecer e la muestra o rechazar lotes que e su cojuto tee ocos elemetos o coformes (error de to I) or o ser la muestra sufcetemete reresetatva del lote.. e requere más coocmetos téccos ara desarrollar el muestreo. Tos de laes de muestreo egú el to de arámetro que se utlce, los laes de muestreo se clasfca e: Estudo or varables Estudo or atrbutos: mles, dobles o múltles Las declaracoes a utlzar resecto del lote so las sguetes: H H 0 : c : r e la que: Muestreo smle: acetar el lote rechazar el lote H H H 0 : c : r : c Muestreo doble o múltle: r acetar el lote rechazar el lote tomar ua ueva muestra c - Número mámo de elemetos o coformes de la muestra ara acetar el lote. r - Número mímo de elemetos o coformes de la muestra ara rechazar el lote., - Número de elemetos o coformes estetes e las muestras, corresodete al estmador de la característca de la rueba. Curva característca de oeracó (CCO) La curva característca de oeracó (CCO), també llamada de acetacó, es la gráfca que rereseta la robabldad de acetar el lote (P a ) e fucó de la robabldad de o coformdad () o orcetaje de o coformdad ( 00 ) de las ezas. Característcas determates de los laes de muestreo Para seleccoar el la de muestreo más adecuado uede teerse e cueta, e relacó co la robabldad de acetacó P a de lotes de dferetes fraccoes defectuosas, las sguetes característcas:. El resgo del cosumdor, β.. El resgo del roductor, α.. El vel de caldad acetable, NCA. 4. El vel de caldad límte, NCL. 5. El orcetaje de dfereca, 0. Caldad Meda de alda (CM) La Caldad Meda de alda (CM) o Average Outgog Qualty (AOQ) dca la robabldad de o coformdad meda de los elemetos ( ) de u cojuto de lotes homogéeos que se obtee desués de alcar el roceso de seccó al 00% co

5 reoscó de elemetos o coformes a los lotes que o suera la seccó. Es e deftva, la caldad que recbe realmete el cosumdor. Normas E uestros formes de emresa sólo se ha emleado las ormas MIL-TD-05D, ero e la memora del royecto se ha cludo la Dodge Romg ara el muestreo or atrbutos y la MIL-TD-44 ara el muestreo or varables. El Cotrol de rocesos objeto del caítulo 7 está basado e el cotrol vsual a través de gráfcas que ermte ajustar y cotrolar la eacttud y recsó de u rocedmeto. e utlza de maera geeralzada e la dustra como técca ara la vglaca de los rocesos de roduccó a f de detfcar y rever de forma rematura la aarcó de varacoes. Tos de gráfcas E el aálss ara el cotrol or varables se va a utlzar dos gráfcas dsttas, ua deomada asocada a la eacttud, y otra deomada o R asocada a recsó, lo que da ombre a las gráfcas (- o -R). E cotrol or atrbutos, uede realzarse bajo cuatro modaldades, que se dfereca fudametalmete e la forma de regstrar los defectos: a) Por fraccó defectuosa: e regstra la roorcó (o el orcetaje, 00 ) de roductos defectuosos sobre el total de udades de cada muestra. b) Por úmero de roductos defectuosos: e aota el úmero de roductos defectuosos d =. hallados e cada muestra. c) Por úmero de defectos: e regstra el úmero total de defectos D ecotrados e cada muestra. d) Por utos de demérto: Asgado ua utuacó W j a cada clase de defecto j, se calcula los utos totales Q j de demérto de los defectos D j ecotrados e cada muestra : Q W j D. Esta modaldad corresode al cotrol or utos de demérto j e cada muestra. També uede hacerse el cotrol or utos de demérto or udad e cada muestra : q = Q /. Esecfcacoes o los límtes fjados or el clete, fabrcate o orma, a artr de los cuales se decde s la roduccó es o o válda. Ha de ser cumldos de forma oblgatora. La líea cetral ( LE ) y los límtes esecfcados sueror e feror ( LE, LEI ) se obtee del valor omal del arámetro de estudo (M) y de su toleraca (t, t ), de forma que so fjados drectamete, s gú to de lateameto estadístco: Aálss de la caacdad de u sstema t M t M M ma m M t M t co t Medate el cotrol estadístco de ua característca se asegura que la varabldad de su eacttud y recsó sgue u comortameto ormal debdo a causas o asgables, detro de los límtes de admsbldad ( 6 ). t

6 CM (ct. elemetos defectuosos) Probabldad de acetacó Muestreo de acetacó de los rodametos e ha solctado a uestro roveedor que os sumstre los rodametos ara la fabrcacó de uestros motores eléctrcos y se va a revsar lotes de.000 udades cada uo. Para comrobar la caldad de dchos lotes y ver s se aceta, se ha establecdo u la de muestreo trle, que se realzará e ocasoes. Para ello emleamos la orma MIL-TD-05D y se establece u vel de seccó geeral II, u NCA =,5% y u NCL = 0%. Muestra = c = 0 r = 4 Muestra = c = r = 6 Muestra = c = 5 r = 6 Curva Caract. de Oeracó (CCO) y Curva de Caldad Meda de alda (CM) CCO Curva Característca de Oeracó (CCO), 0,9 CM 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, Porcetaje de defectuosos e el lote 00 Curva de Caldad Meda de alda (CM) 0,05 0,0 0,05 0,0 0,05 0,0 0, ,05 0, 0,5 0, 0,5 0, Porcetaje de o coformdad 00

7 Rago de la muestra Rago de la muestra Meda de la muestra Meda de la muestra Desv.Est. de la muestra Desv.Est. de la muestra Meda de la muestra Meda de la muestra Cotrol del roceso de los rodametos Co el aso del temo se ha decddo vertr e maquara ara oder fabrcar osotros msmos las dsttas ezas ara la fabrcacó de los motores eléctrcos, etre las que se ecuetra los rodametos, y así o deeder de otros. Co lo que ahora vamos realzar u cotrol del roceso de los rodametos ates de motarlos e los motores eléctrcos. Para ello vamos a tomar 5 muestras daras de 5 rodametos cada ua, de lues a veres. Estos datos será tabulados y reresetados gráfcamete e los dagramas de cotrol de rocesos. Desués realzaremos u aálss de dcho roceso, comrobado las dsttas aomalías e él y sus osbles solucoes e caso de ecestarlas. LC-LC-LCI LE-LE-LEI Gráfca - Gráfca - 5,0 5,05 LC=5,059 LE=5,05 5,05 LE=5,05 LC=5,0479 5,00 _ LE=5 =5,000 5,00 LE=5 _ =5,000 4,95 4, Muestras LEI=4,95 LCI=4,94 4, Muestras LCI=4,956 LEI=4,95 0,0 0,5 0,06 LC=0,0697 0,0 0,05 LC=0,086 _ =0,0480 0,04 0,0 _ =0,08 0,00 LCI=0 0,00 LCI= Muestras Muestras Gráfca -R Gráfca -R 5,0 5,05 LC=5,0567 LE=5,05 5,050 5,05 LE=5,05 LC=5,046 5,00 _ LE=5 =5,000 5,000 LE=5 _ =5,000 4,95 4, Muestras LEI=4,95 LCI=4,946 4,975 4, Muestras LCI=4,9544 LEI=4,95 0,4 0,6 LC=0,68 0, 0, 0, LC=0,07 0,08 _ R=0,080 0, _ R=0,098 0,04 0,0 LCI=0 0,00 LCI= Muestras Muestras

8 Putos de demérto or udad, q Cotrol del roceso de fabrcacó de los motores eléctrcos El forme de cotrol del roceso de fabrcacó de motores eléctrcos se ha hecho recolado los datos de los 4 trmestres del año 0. Para ello se ha elaborado u cotrol de caldad or utos de demérto, segú el cual odemos catalogar e 4 tos los dsttos defectos que se uede resetar. Este to de cotrol ha sdo documetado or Dodge y Torrey, que los clasfca e fucó de su gravedad y les da u eso de W a =00, W b =50, W c =0 y W d =l utos de demérto segú la gravedad del defecto. e ha tomado 0 muestras daras, de lues a veres, durate todo el año 0, de tal forma que o todos los meses se ha obtedo la msma catdad de muestras.,0 Gráfca de cotrol or utos de demérto LC=,75,5 LA=,90,0 0,5 _ q=0,668 0,0 LC=LA= Mes seccoado 9 0

9 UNIVERIDAD de VALLADOLID ECUELA de INGENIERÍA INDUTRIALE INGENIERO TÉCNICO INDUTRIAL, EPECIALIDAD EN MECÁNICA PROYECTO FIN DE CARRERA ANÁLII ETADÍTICO DEL CONTROL DE CALIDAD EN LA EMPREA Autor: Galca Adrés, Eduardo Tutor: García Terá, José María Dto: Costruccoes Arqutectócas, IT, MMC y TE EPTIEMBRE 0

10 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Itroduccó al royecto. Atecedetes El resete royecto f de carrera ha sdo desarrollado ara la ttulacó de Igeería Técca de la esecaldad de Mecáca or el alumo Eduardo Galca Adrés.. Eucado del Proyecto Desarrollo de los cocetos de aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas y alcacó ráctca.. Objetvos del Proyecto El objetvo de este royecto es realzar u estudo de los rocesos de caldad utlzados e las emresas, tato e la rececó como e el roceso de fabrcacó de los elemetos que se desea observar y decdr lo más coveete ara estos. 4. Justfcacó del Proyecto El motvo que os lleva a realzar este royecto es el de oder troducr los cocetos y los asos a segur ara la realzacó de uos formes que os ermta tomar decsoes e la rececó de los elemetos medate muestreos y evtar así acetar lotes que o se ha seccoado (cero seccoes) o las seccoes del lote comleto (seccó al 00%). També se retede mostrar alguos tos de cotrol del roceso de caldad e la fabrcacó y de las osbles solucoes que se uede latear frete a los dversos fallos que ocurra durate el roceso. 5. Descrcó del Proyecto E el resete royecto f de carrera, se va a hacer u aálss estadístco a los rocesos de caldad e las emresas co alcacó a u caso cocreto. Icalmete se troducrá los cocetos que luego utlzaremos ara desarrollar los rocesos de muestreo de acetacó y de fabrcacó. Caítulos, y e comezará co uos cocetos báscos de estadístca y de robabldad y a cotuacó los de varable estadístca, etre los cuales aarece la meda, varaza, desvacó tíca que será emleados costatemete juto co la eseraza, que emlearemos e el caítulo de la fereca estadístca. Caítulo 4 e eumerará los dsttos modelos de robabldad, tato ara varables cotuas como dscretas.

11 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 El tema de la fereca estadístca ermtrá, etre otras cosas, determar la meda, varaza y desvacó tíca oblacoal a artr de los valores corresodetes a ua o varas muestras. Esto os ayudará a obteer los arámetros característcos corresodetes a u lote de ezas. Caítulos 6 y 7 Ua vez troducdos dchos cocetos, se aalzará las dsttas característcas de los laes de muestreo de acetacó y de cotrol de rocesos, co sus tos y alguas de las ormas que se uede emlear ara desarrollar los formes. e mostrará como reresetar gráfcamete las dsttas cualdades de uestro la y a artr de ellas, tomar decsoes. Caítulo fal A artr de aquí se desarrollará los formes de uestra emresa etre los que vamos a ecotrar u muestreo de acetacó de rodametos y cotroles de rocesos, uo ara los rodametos, que como se drá e el forme los fabrcaremos osotros co el aso del temo, y otro ara la fabrcacó de motores eléctrcos. Por últmo se dcará las coclusoes obtedas e el desarrollo del royecto, el resuuesto y la bblografía emleada e su desarrollo. Aeos També se adjutará e el Aeo, tablas utlzadas e el desarrollo de este royecto.

12 ÍNDICE Caítulo - Estadístca Descrtva Itroduccó Eermeto estadístco (E) Uverso, esaco de muestreo o oblacó (U) uceso o eveto (A) de u eermeto E Elemetos de u suceso ( ) Tos de sucesos Oeracoes co sucesos Varables estadístcas Tos de varables Meddas de tedeca cetral e muestras Meda muestral Meda muestral de valores agruados Medaa Meddas de dsersó e muestras Rago o recorrdo Varaza muestral Desvacó tíca Varaza muestral de valores agruados Estadístco muestral Estadístcos de la meda muestral... 9 Caítulo - Probabldad Itroduccó Proedades de la robabldad... Caítulo - Varables aleatoras Itroduccó Varables aleatoras dscretas Varables aleatoras cotuas Meddas característcas de ua varable aleatora Meda ( Varaza (σ ) y desvacó estádar o tíca (σ) Eseraza (E) y varaza (V) Proedades de la eseraza.... 7

13 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 4 - Modelos de Probabldad Itroduccó Modelos dscretos Dstrbucoes defdas sobre u eermeto de Beroull Beroull (Be()) Bomal. (B(,)) Hergeométrca (H(N,,D)) Aromacó de la fucó bomal a la hergeométrca..... Otros.... Modelos cotuos Normal (N( )) Normal estádar (N( =)) (Tabla B) Teorema cetral del límte Otros... 4 Caítulo 5 - Ifereca estadístca Estmacó de arámetros Estmacó or utos Isesgado Estmador sesgado de la meda oblacoal co ua muestra Estmador sesgado de la meda oblacoal co varas muestras Estmador sesgado de la varaza oblacoal co ua muestra Estmador sesgado de la varaza oblacoal co varas muestras Estmador sesgado de la desvacó estádar co ua muestra Estmador sesgado de la desvacó estádar co varas muestras Cossteca Efceca ufceca Estmacó or tervalos de cofaza... 4 Caítulo 6 - Muestreo de acetacó Itroduccó Defcoes Tos de seccoes Proceso ara el muestreo de acetacó... 45

14 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Vetajas e coveetes del muestreo de acetacó Formacó de lotes y seleccó de muestras eleccó de la muestra El roceso de medcó Tos de laes de muestreo Plaes de muestreo or atrbutos Pla de muestreo de acetacó smle Pla de muestreo de acetacó doble Pla de muestreo de acetacó múltle Asectos estadístcos Fucoes estadístcas de dstrbucó Iflueca del tamaño de la muestra Lotes de tamaño grade Lotes de tamaño equeño Curva característca de oeracó (CCO) Pla de muestreo deal Proedades de las curvas característcas de oeracó Obtecó de la CCO e el muestreo de acetacó smle Obtecó de la CCO e el muestreo de acetacó doble Obtecó de la CCO e el muestreo de acetacó múltle Ídces de caldad ara los laes de muestreo de acetacó Caracterstcas determates de los laes de muestreo Resgo del cosumdor, β Resgo del roductor, α Nvel de Caldad Acetable (NCA) Nvel de caldad límte (NCL) Porcetaje de dfereca, Plaes de muestreo ara resgos de roductor y cosumdor establecdos Resolucó or aromacó a la fucó ormal Resolucó or relacó de robabldades de o coformdad Caldad Meda de alda (CM) Lmte de Caldad Meda de alda (LCM) Tamaño de Muestra Medo (TMM) Muestreo smle Muestreo doble Muestreo múltle Iseccó Total Meda (ITM) Muestreo smle... 88

15 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestreo doble Muestreo múltle stemas ara el método de muestreo de seccó Tablas de muestreo de rececó or atrbutos Tablas DODGE-ROMIG MIL-TD-05D y ANI/AQC Z Cotrol de caldad de rececó or varables MIL-TD Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos Itroduccó Modo, tamaño y frecueca e la toma de muestras Aálss del roceso Ajuste del roceso Cotrol estadístco del roceso Cotrol or atrbutos de rocesos de fabrcacó Dagramas de cotrol or atrbutos Cotrol or úmero de ezas defectuosas Cotrol or úmero de defectos Cotrol or utos de demérto Cotrol or varables de rocesos de fabrcacó Toma de muestras Dagramas de cotrol or varables smlfcados Gráfcas Coocdos la meda y desvacó estádar oblacoal (, ) Estmadas la meda y desvacó estádar oblacoal a artr de muestras Gráfcas -R Coocdos la meda y desvacó estádar oblacoal (, ) Estmadas la meda y desvacó estádar oblacoal a artr de muestras Dagramas de cotrol ara datos dvduales Esecfcacoes Aálss de la caacdad de u sstema Caacdad e ídce de caacdad del roceso MUETREO DE ACEPTACIÓN DE RODAMIENTO Lote - Pla de muestreo... 50

16 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Curva característca de Oeracó (CCO) y Curva de Caldad Meda de alda (CM) CCO CM Prmer muestreo Muestra Muestra Muestra egudo muestreo Muestra Tercer muestreo Muestra Muestra Estmacó de la Meda y la Desvacó estádar oblacoal Estmador sesgado de la meda oblacoal co varas muestras y muestreos Estmador sesgado de la desvacó estádar oblacoal co varas muestras y muestreos... 6 Lote - Pla de muestreo Prmer muestreo Muestra Muestra Muestra egudo muestreo Muestra Muestra Muestra Tercer muestreo Muestra Muestra Estmacó de la Meda y la Desvacó estádar oblacoal Estmador sesgado de la meda oblacoal co varas muestras y muestreos Estmador sesgado de la desvacó estádar oblacoal co varas muestras y muestreos CONTROL DEL PROCEO DE LO RODAMIENTO Itroduccó Cotrol del roceso Gráfcos de cotrol... 78

17 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Gráfco Gráfco (eacttud) Gráfco (recsó) Gráfco -R Gráfco (eacttud) Gráfco R (recsó) Aálss de los datos Gráfco Gráfco (eacttud) Gráfco (recsó) Gráfco -R Gráfco (eacttud) Gráfco R (recsó) Aálss de la caacdad del sstema Caacdad e ídce de caacdad del roceso... 9 CONTROL DEL PROCEO DE FABRICACIÓN DE MOTORE ELÉCTRICO Cotrol de caldad del roceso Recolacó de datos y cálculo de los arámetros Gráfca de cotrol or utos de demérto... 0 CONCLUIONE... 0 PREUPUETO DEL PROYECTO ANEO Aeo A Modelos de dstrbucó dscretos TABLA A - FUNCIÓN DE DITRIBUCIÓN BINOMIAL TABLA A - FUNCIÓN DE DITRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA... 5 Aeo B... 4 Modelos de dsrbucó cotuos... 4 TABLA B - FUNCIÓN DE DITRIBUCIÓN NORMAL... 4 Aeo C... 4 Itervalos de cofaza... 4 Aeo D Muestreo de acetacó... 46

18 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D NCA ( ) NCA TABLA D NCL ( ) NCL TABLA D MUETREO IMPLE, DODGE-ROMIG TABLA D MUETREO IMPLE, DODGE-ROMIG (CONTINUACIÓN) TABLA 4D MUETREO DOBLE, DODGE-ROMIG... 5 TABLA 4D MUETREO DOBLE, DODGE-ROMIG (CONTINUACIÓN)... 5 MIL-TD-05D... 5 TABLA 5D - CÓDIGO DE TAMAÑO DE LA MUETRA TABLA 6D VALORE DEL NIVEL DE CALIDAD ACEPTABLE (NCA) TABLA 7D - PLANE DE MUETREO IMPLE PARA INPECCIÓN NORMAL TABLA 8D PLANE DE MUETREO IMPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA TABLA 9D PLANE DE MUETREO IMPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA TABLA 0D - PLANE DE MUETREO DOBLE PARA INPECCIÓN NORMAL TABLA D PLANE DE MUETREO DOBLE PARA INPECCIÓN RIGUROA TABLA D PLANE DE MUETREO DOBLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA. 6 TABLA D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN NORMAL... 6 TABLA 4D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN NORMAL (CONTINUACIÓN)... 6 TABLA 5D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN NORMAL (FINAL) TABLA 6D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA TABLA 7D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA (CONTINUACIÓN) TABLA 8D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA (FINAL) TABLA 9D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA TABLA 0D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA (CONTINUACIÓN) TABLA D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA (FINAL) TABLA D - MIL-TD-44 (Tablas A-l y A-)... 7 TABLA D - MIL-TD-44 (Tabla B-l)... 7 TABLA 4D - MIL-TD-44 (Tabla B-)... 7 TABLA 5D - MIL-TD-44 (Tabla B-8) Aeo E... 75

19 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Cotrol estadístco de rocesos TABLA E PARÁMETRO PARA EL CONTROL ETADITICO DE PROCEO. 76

20 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas

21 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo - Estadístca Descrtva. - Itroduccó E este rmer caítulo se va a desarrollar alguos cocetos que osterormete se utlzará co mucha frecueca e el cotrol de caldad, como uede ser los sucesos ara el tema del muestreo de acetacó o també las meddas de tedeca cetral que os servrá además ara el cotrol del roceso de fabrcacó y or suuesto el to de varable, que se emleará e ambos caítulos. Alguos de los cocetos aquí defdos os srve ara troducr otros más adelate, como es el caso de los estadístcos ara el caítulo de la fereca estadístca. Como rmer coceto teemos que la Estadístca Descrtva es la rama de la Estadístca dedcada a la recogda, recolacó y reduccó de uos datos a uas ocas meddas descrtvas y gráfcos, ermtedo coocer las característcas estetes e la oblacó o cojuto de datos... - Eermeto estadístco (E) Es u roceso cuyo resultado está sujeto a certdumbre, y que cumle co las sguetes codcoes: - No se cooce el resultado artcular que va a ocurrr e cada caso, ero sí el cojuto de todos los osbles resultados. - Puede reetrse co las msmas codcoes. - Los resultados obtedos so aleatoros... - Uverso, esaco de muestreo o oblacó (U) Es cualquer cojuto de datos, objetvo de uestro terés que caracterza el feómeo... - uceso o eveto (A) de u eermeto E Es u subcojuto del uverso (U) del eermeto E formado or uo o varos de los resultados osbles. U suceso (A) ocurre cuado se cosdera al meos uo de sus resultados Elemetos de u suceso ( ) Partes e las que se dvde u suceso Tos de sucesos Elemetal. Aquel que está formado or u solo elemeto. Caítulo - Estadístca Descrtva

22 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Comuesto. Formado or más de u elemeto. eguro. Es el que ocurre semre, ya que cocde co el uverso (U). Imosble. El que o ocurre uca. e smbolza medate el cojuto vacío Oeracoes co sucesos - Iterseccó de sucesos. C A B : A y B El resultado de la oeracó terseccó ( ) de dos sucesos (A, B) es u suceso (C) formado or los elemetos comues a los sucesos que se tersecta (A, B). Nota - C A B : A y B sgfca C es gual a la terseccó de A y B, formado or los elemetos tal que erteezca a A y a B La terseccó de sucesos tee, etre otras, las sguetes roedades: Comutatva: A B B A Asocatva: A B C A BC A B C - uceso cludo e otro. B A Es cuado todos los elemetos de u suceso (B) erteece també al otro suceso (A). U suceso (A) obtedo or la terseccó de otros (A, A, ) está cludo e cada uo de ellos. Nota - A A A... A A, A A, A A,... A B A sgfca B está cludo e A. A A A A... A A, A A, A A,... sgfca A es gual a la terseccó de los msmos A, A, A, etoces A está cludo e los sucesos A, A, A,. - Uó de sucesos. C A B : A ó B s reetcó El resultado de la oeracó uó ( ) de dos sucesos (A, B) es u suceso (C) formado or los elemetos s reetcó de los sucesos que se ue (A, B). Posterormete se aalzará la robabldad de la uó de sucesos justfcado la o aarcó de elemetos reetdos. La uó de sucesos tee, etre otras, las sguetes roedades: Comutatva: A B B A Asocatva: A B C A BC A B C Caítulo - Estadístca Descrtva 4

23 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Nota - C A B : A ó B s reetcó sgfca C es gual a la uó de A y B, formado or los elemetos tal que erteezca s reetcó a A ó a B. - ucesos comatbles. A B C... Ocurre cuado algú elemeto es comú a todos los sucesos aalzados. La codcó de sucesos comatbles es que el suceso terseccó de todos ellos o sea el cojuto vacío. - ucesos comatbles. A B C També deomados ecluyetes o dsjutos. Aarece cuado gú elemeto es comú a todos los sucesos aalzados. La codcó de sucesos comatbles es que su terseccó sea el cojuto vacío ( ).. - Varables estadístcas e va a trabajar co cojutos de datos asocados al carácter o característca objeto de estudo, que deomaremos varable estadístca, y se reresetará or ua letra mayúscula:, Y, Z. A artr de ahora os referremos a los cojutos de datos como varables. Como e esta arte se va a tratar de descrbr y aalzar estas varables, debemos dstgur los dsttos tos que hay, lo cual os va a ermtr utlzar las herrametas estadístcas aroadas... - Tos de varables Las varables estadístcas uede ser de dos tos:. Varables cualtatvas o atrbutos: descrbe cualdades y o toma valores umércos. Ejemlos: Provcas esañolas, aíses de la U. E., vel de estudos, meses del año, clasfcar ua eza como acetable o defectuosa.... Varables cuattatvas: toma valores umércos. A su vez uede ser: Dscretas: ólo toma u úmero fto o fto umerable de valores dsttos (geeralmete úmeros aturales o eteros). Ejemlos: úmero de comras de u roducto e u mes, el año de fabrcacó de u vehículo, úmero de etradas de ce veddas e u tervalo de temo, resultado de lazar u dado, úmero de hjos... Cotuas: Toma valores e u tervalo de IR. Geeralmete corresode a medr magtudes cotuas, or ejemlo, eso, altura, temeratura, tesdad de correte, el temo etre dos llamadas telefócas, el temo de servco o de oeracó Caítulo - Estadístca Descrtva 5

24 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas de ua máqua, etc. Ua característca esecal de este to de varables es que sus valores uca so observables co eacttud, so que deede (las observacoes) de la recsó del strumeto de medda. - Elemetos que utlzaremos ara resumr la formacó que ofrece uestros datos: e deoma frecueca total al úmero total de dvduos observados o úmero total de datos, N. e deoma frecueca absoluta de la modaldad M (valor o tervalo I), al úmero de dvduos o úmero de datos que reseta esta modaldad,. e deoma frecueca relatva de la modaldad M (valor o tervalo I), al cocete F N N la varable cosderada es cuattatva, se uede defr además: Frecueca absoluta acumulada hasta la modaldad M, (valor o tervalo I): umero de dvduos o umero de datos, N, que reseta ua modaldad meor o gual que ésta; se defe como N... j j Frecueca relatva acumulada hasta la modaldad M, (valor o tervalo I) al cocete: F N N o F f f f j f j. - Meddas de tedeca cetral e muestras.. Meda muestral se tee ua muestra estadístca de valores (,,, ) se defe la meda muestral ( ) como la meda artmétca de dchos valores:... Caítulo - Estadístca Descrtva 6

25 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... Meda muestral de valores agruados los datos se ecuetra agruados e frecuecas de las que se cooce el valor medo m de cada ua, el valor de la meda muestral ( ) se obtee medate f f m.. Medaa Otra medda de tedeca cetral es la medaa, o valor que dvde la muestra e dos artes co el msmo úmero de elemetos. Para ello habrá que ordear los elemetos de la muestra e forma crecete (cluyedo los valores reetdos) y la medaa se defe,,...,... M s es mar s es ar 4. Meddas de dsersó e muestras Estas meddas dca lo rómos o alejados que está los datos, be etre sí, o resecto a algua medda de cetralzacó. 4.. Rago o recorrdo (), (),..., (k) so los datos, ordeados de meor a mayor, se deoma recorrdo a (k) (), es decr, a la dfereca etre el mayor y el meor dato. El recorrdo es fácl de calcular, lo que hace que sea ua medda muy utlzada, or ejemlo e cotrol de caldad. Además tee détcas udades que la varable. embargo, reseta el coveete de ser ua medda muy sesble a valores etremos Varaza muestral se tee ua muestra estadístca de valores (,,, ) se defe la varaza muestral medate la eresó: Caítulo - Estadístca Descrtva 7

26 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo - Estadístca Descrtva 8... que se uede trasformar e como 4.. Desvacó tíca La desvacó estádar muestral () es la raíz cuadrada de la varaza muestral ( ) Varaza muestral de valores agruados los datos se ecuetra agruados e frecuecas, de las que se cooce el valor medo m el valor de la meda muestral ( ) se obtee co m f

27 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 5. - Estadístco muestral U estadístco muestral ( ) es cualquer valor obtedo de las observacoes de ua muestra aleatora. Ejemlos de estadístcos so la meda, varaza o desvacó estádar de cada muestra (,, ). Como el estadístco muestral ( ) es fucó de los datos de la muestra aleatora, su valor está sometdo a certdumbre, or lo que es ua varable aleatora. se obtee dos valores del msmo estadístco de dos muestras dferetes de ua msma oblacó, estos valores será dsttos etre sí. Por eso los valores de las medas ( ), varazas ( ) y desvacó estádar muestral ( ) de dsttas muestras de la msma oblacó so dsttas etre s (Fgura.). Uverso descoocdo descoocdo Muestra Muestra ˆ ˆ ˆ ˆ Fgura. e deoma dstrbucó muestral a la dstrbucó robablístca de la varable aleatora corresodete al estadístco muestral. Este dstrbucoes muestrales que se utlza amlamete, como es la dstrbucó muestral de la meda muestral ( ) Estadístcos de la meda muestral de u uverso co comortameto ormal de meda y varaza descoocdos Caítulo - Estadístca Descrtva 9

28 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo - Estadístca Descrtva 0, N U se etrae ua muestra aleatora (suceso M) de elemetos (,...,, ), cada elemeto ( ) de la muestra aleatora (M) es a su vez ua varable aleatora. Cada elemeto es comatble co el resto de elemetos de la muestra ( j ara j ), y tedrá la msma dstrbucó robablístca del uverso,,,,...,,, N N N M U M N U Como se uede obteer dsttas muestras aleatoras del uverso (M, M,, M k ),,,,...,,,,,,...,,,,,,...,,, N N N M U M N N N M U M N N N M U M N U k k k k k k k k y la meda muestral de cada muestra ( j ) es dstta, la meda muestral ( ) es ua varable aleatora co meda y varaza a determar.,, N N U Para determar la relacó etre la meda y varaza de la meda muestral co la meda y varaza del uverso, se alca la roedad reroductva de la dstrbucó ormal ara fucoes de sucesos ecluyetes ( j co )

29 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo - Estadístca Descrtva roveetes de u úco uverso (todos los elemetos del uverso tee la msma meda y varaza j, j ) a a N N a a a,,.. como la fucó meda muestral se obtee de la eresó a las relacoes etre la meda ( ), varaza ( ) y desvacó estádar ( ) de la meda muestral ( ) co la meda ( ), varaza ( ) y desvacó estádar ( ) del uverso del que rovee so luego la varable aleatora meda muestral ( ) sgue ua fucó ormal de meda, varaza y desvacó estádar ( ) que se relacoa co la meda ( ), varaza ( ) y desvacó estádar ( ) del uverso del que rovee los elemetos de las muestras, de eresó N, (Fgura.)

30 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Uverso Muestra ( elemetos) Muestra ( elemetos) ˆ ˆ ˆ ˆ N, Fgura. El roblema es que auque se coozca que la fucó meda muestral ( ) es ormal co meda ( ), varaza ( ) y desvacó estádar ( ) se descooce sus valores ya que la meda ( ) y la varaza ( ) del uverso so descoocdas. Caítulo - Estadístca Descrtva

31 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo Probabldad Caítulo - Probabldad. - Itroduccó El térmo robabldad se refere al estudo de la aleatoredad y la certdumbre. E cualquer stuacó dode odría ocurrr uo de varos resultados osbles, la teoría de la robabldad roorcoa métodos ara cuatfcar las robabldades relacoadas co varos resultados. La robabldad se va a utlzar sobre todo ara reresetar las Curvas Característcas de Oeracó (CCO) y las de Caldad Meda de alda (CM). També servrá ara ver los resgos del roductor y del cosumdor.. - Proedades de la robabldad La robabldad e geeral cumle las sguetes roedades medatas que os será útles ara calcular robabldades asocadas a certos sucesos de terés: [0,] ) ( A P ) ( U P ) ( ) ( ) ( A P A P A A P s dsjutos dos a dos 0 Ø) ( P ) ( ) ( ) / ( A P B P A B P B A ) ( ) ( A P A P ) ( ) ( B P A P B A ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P La robabldad ara la uó de más de dos sucesos ( or ejemlo): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B A P C B P C A P B A P C P B P A P C B A P

32 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas. - Itroduccó Caítulo - Varables aleatoras E este caítulo vamos a defr los tos de varables aleatoras, dscretas y cotuas, ara osterormete defr la eseraza y sus roedades, que e uestro estudo de caldad os servrá e el tema de la fereca estadístca, que se verá más adelate, ara estmar la meda y la desvacó estádar oblacoal. Dado u esaco muestral U asocado a u eermeto aleatoro, llamaremos varable aleatora (v.a.) defda sobre U a ua alcacó de U e IR. Dada ua varable aleatora defda sobre el cojuto de sucesos de u eermeto aleatoro, llamaremos soorte de, que se deota or, al cojuto de osbles valores (úmeros reales) de la varable aleatora. Observacó El soorte de ua varable aleatora uede ser dscreto o cosstr e u tervalo de IR. E los dos ejemlos aterores, = {0, }. El soorte de la varable aleatora se uede cosderar como u uevo esaco muestral, sobre el que se uede defr ua robabldad relacoada co la robabldad defda sobre el esaco muestral orgal U, de la sguete forma: dado A IR, P( A) P({ u U / ( u) A}) P( A) Esta robabldad se deoma robabldad asocada a la v.a., ley de robabldad de la v.a. o dstrbucó de la v.a.. Cada varable aleatora dstta (es decr, co soorte o dstrbucó dstta) costtuye u modelo robablístco. Ahora os cetraremos e el estudo de estos modelos.. - Varables aleatoras dscretas Ua varable aleatora es dscreta s su soorte es dscreto, es decr, s cosste e u úmero fto o umerable de resultados: = {,,...,,...}. La ley de robabldad o dstrbucó de ua varable aleatora dscreta queda determada or los valores P( ) = P( = ), =,,... e uede eteder la defcó de robabldad a cualquer úmero real, defédola como cero ara todos los, =,,... A esta fucó defda e IR. se la deoma fucó de robabldad o de masa de la varable aleatora. Otra forma de defr la dstrbucó de ua v.a. dscreta es medate la fucó de dstrbucó: Caítulo Varables aleatoras 4

33 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Llamaremos fucó de dstrbucó de la varable aleatora a la fucó: F : IR. [0, ] defda or: F() = P( ).. - Varables aleatoras cotuas Dremos que ua varable aleatora es cotua s este ua fucó f: IR. IR., tegrable, tal que: (a) f ( ) 0ara todo IR. (b) f ( ) d (c) P( ) = f ( t) dt A dcha fucó se la deoma fucó de desdad de la varable aleatora. A artr de lo desarrollado e la troduccó de este uto, se deduce que f() descrbe el comortameto a largo lazo (es decr, cuado el úmero de observacoes tede a fto) de la varable. Llamaremos fucó de dstrbucó de la varable aleatora a la fucó: F : IR. [0, ] defda or: F() = P( ) Meddas característcas de ua varable aleatora Las meddas característcas asocadas a ua v.a. recbe el msmo ombre que e el caso de varables estadístcas y se terreta de détca forma. E este caso, ara dstgur uas y otras, se rereseta co letras gregas. Vamos a defr a cotuacó las rcales. Podrá observarse que e el caso dscreto, las defcoes so totalmete aálogas a las dadas ara v. estadístcas, s e éstas se camba frecueca relatva or robabldad. Caítulo Varables aleatoras 5

34 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Meda ( ) La meda ( ) roorcoa ua dcacó de la tedeca cetral de la varable. Deededo del to de varable aleatora (), se defe medate las eresoes Para varables aleatoras () dscretas Para varables aleatoras () cotuas f d Varaza (σ ) y desvacó estádar o tíca (σ). La varaza (σ ) roorcoa ua dcacó de la dsersó de la varable resecto de la meda ( ), deededo del to de varable aleatora (), se defe medate las eresoes Para varables aleatoras () dscretas Para varables aleatoras () cotuas f d La desvacó estádar o tíca (σ) es la raíz cuadrada de la varaza (σ ) Eseraza (E) y varaza (V) es ua varable aleatora, e y H los valores obtedos a través de la alcacó de ua fucó H a la varable aleatora, el valor eserado de Y se defe medate la sguete eresó ara dscretas EY H y ara cotuas E Y H f d y f e aalza ahora la eseraza de dos fucoes característcas. - H d Caítulo Varables aleatoras 6

35 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ara dscretas H EH E ara cotuas H EH E f d luego - H E Para dscretas Y E Para cotuas Y E luego E V f d e uede obteer otra eresó ara la determacó del valor de la varaza de ua varable aleatora (V()) cosderado que E, luego s y se tee Y H E E E E E E E E E E E E E EY EH E E E E E E or lo que V E E Proedades de la eseraza. e Y so varables aleatoras dscretas y a u escalar costate, a) La eseraza y varaza de u escalar (a) so Caítulo Varables aleatoras 7

36 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo Varables aleatoras 8 a a a a E 0 a a a E E a a V b) La eseraza y varaza del roducto de u escalar (a) or ua varable aleatora () so E a a a a E V a E E a E a E a a E a E a V c) La eseraza del roducto de varables aleatoras so y y Y E, e la que y, es la robabldad cojuta, e el caso de que las varable aleatoras, Y sea deedetes etre sí. las varables aleatoras so deedetes y y, E Y E y y y y y, y Y E d) La eseraza y varaza de la suma de las varable aleatoras es E Y E y y y y Y E,Y Cov Y V V E Y E Y E E Y E Y E E E Y E E Y E Y E E Y E E Y E Y Y E Y E Y E Y V Las msmas eresoes sería váldas ara el caso de varables aleatoras cotuas.

37 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas. - Itroduccó Caítulo 4 - Modelos de Probabldad E este caítulo vamos a ver alguos de los modelos que se emleará e el osteror desarrollo teórco del royecto y e los formes de emresa.. Modelos dscretos.. - Dstrbucoes defdas sobre u eermeto de Beroull U eermeto aleatoro se deoma de Beroull s verfca las dos codcoes sguetes:. El eermeto cosste e observar elemetos de ua oblacó y clasfcarlos e dos categorías: éto y fracaso (que deomaremos E y F).. Las observacoes so deedetes. Para u eermeto de Beroull llamaremos a la robabldad de que u elemeto esté e E y q = a la robabldad de que esté e F. obre los eermetos de Beroull se uede defr varos modelos de varables aleatoras:... - Beroull (Be()) La varable aleatora que modelza la clasfcacó de u elemeto observado e u eermeto de Beroull como E ó F, tee ua dstrbucó que llamaremos Beroull de arámetro. Lo deotaremos or Be La robabldad de éto (=) o fracaso (=0) se eresa medate, q co 0, El estudo se alca al resultado de u úco eermeto or lo que la fucó de robabldad es, s q s 0 La eseraza y varaza de esta varable aleatora so Caítulo 4 - Modelos de Probabldad 9

38 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas E 0q V 0q... - Bomal. (B(,)) La varable aleatora que modelza el úmero de elemetos, etre observados que tee la característca E, tee ua dstrbucó que llamaremos bomal de arámetros y. Lo deotaremos or B, El estudo corresode a ua combacó de eermetos tomados de e, or lo que, utlzado térmos combatoros, la fucó de robabldad es! q q co 0,,,,!! La eseraza y varaza de esta dstrbucó so E V q La robabldad () se uede obteer també a artr de la Tabla A de la fucó de dstrbucó bomal del Aeo A. Las tablas so ara valores de Hergeométrca (H(N,,D)) La varable aleatora cuya dstrbucó se deoma hergeométrca de arámetros N, y D, se defe sobre eermetos que cosste e observar elemetos de ua oblacó y clasfcarlos e dos categorías, éto y fracaso, (es decr, que cumle la codcó de los eermetos de Beroull), ero e los que las observacoes o so deedetes (o cumle la codcó de los eermetos de Beroull). Corresode a modelzar el úmero de dvduos que tee la característca de terés, de (dferetes) observados de ua oblacó fta, de tamaño N, cuado e la oblacó hay D dvduos co esa característca. La deotaremos or metras que la fucó de robabldad es H N,, D D N D N, co 0,,,,m D r r U (N = 6) D= r r4 r5 r6 muestra ( = ) Caítulo 4 - Modelos de Probabldad 0

39 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas La eseraza y varaza de esta dstrbucó so D N D D N N N N E V La robabldad () se uede obteer també a artr de la Tabla A de la fucó de dstrbucó hergeométrca del Aeo A. Las tablas so ara alguos valores Aromacó de la fucó bomal a la hergeométrca La fucó de dstrbucó bomal, corresodete al úmero de étos e B,, co robabldad eermetos q co 0,,,, se aroma a la dstrbucó hergeométrca, corresodete al úmero () de defectos de etre los de ua muestra, co D defectos e u uverso de N elemetos HN,,D, co robabldad D N cuado la fraccó de muestreo (/N) de la hergeométrca es equeña (/N 0,). lo ateror se cumle, la dstrbucó bomal (B(,)) co robabldad D / N roorcoa ua buea aromacó a la dstrbucó hergeométrca (H(N,,D)) N D B, D / N HN,, D co / N 0,.. Otros Los modelos defdos aterormete so como veremos más adelate los que se utlza ara este to de trabajos, e fucó de la roorcó muestra-lote. Pero hay otros modelos que ta sólo se va a eumerar a cotuacó: Detro de los eermetos de Beroull odemos ecotrar los modelos de Pascal, Bomal egatva y Geométrca. Y aarte de estos teemos los de la Multomal y de Posso. Caítulo 4 - Modelos de Probabldad

40 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas. Modelos cotuos.. - Normal (N( )) Dstrbucó de robabldad cotua que eresa el comortameto de la varable aleatora asocado al error de medcó. se cumle lo ateror, se dce que la varable aleatora () sgue ua fucó ormal de arámetros y, corresodetes al valor medo ( ) y a la varaza ( ). La fucó de desdad de robabldad es N, f e 0 el resto La fucó acumulatva de dstrbucó es F P e La eseraza y varaza de la dstrbucó ormal so E V Las reresetacoes gráfcas de la fucó de desdad de dstrbucó co dsttas eserazas y varazas aarece a cotuacó (Fgura 4.). d Fgura 4. Caítulo 4 - Modelos de Probabldad

41 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Y co las msmas eserazas y dsttas varazas (Fgura 4.) Fgura Normal estádar (N( =)) (Tabla B) Resulta mosble evaluar la tegral corresodete a la fucó de dstrbucó s recurrr a métodos umércos, y aú así cada evaluacó se ha de realzar ara cada ar de arámetros característcos,, s embargo la trasformacó de varables z ermte que la evaluacó sea deedete de,, geerado ua ueva varable aleatora Z deomada ormal estádar Z co meda 0 y varaza. N 0, a artr de N, La fucó de desdad de robabldad de la fucó ormal estádar es f z e 0 z el resto La gráfca de esta fucó es la sguete (Fgura 4.): z Caítulo 4 - Modelos de Probabldad

42 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Teorema cetral del límte Fgura 4. La suma de varables aleatoras,,, ormales y ecluyetes de meda varaza, N y varaza y, també es ua fucó ormal de meda Y.. N, co N, el úmero () de varables aleatoras sumadas es grade, auque cada ua de las varables aleatoras o sea ormal, la varable aleatora corresodete a la suma (Y) se uede cosderar co dstrbucó róma a la ormal. Esto se roduce cuado gua de las varazas ( forma otable e la varaza de la suma ( ormal Z obteda or el cambo de varable Z Y ) de las varables fluye de ), or lo que la varable aleatora se comorta segú la fucó ormal estádar N 0, tede a fto. Z cuado.. Otros Al gual que e los modelos dscretos ta sólo veremos la dstrbucó ormal ero eumeraremos algú otro como or ejemlo el Eoecal, Uforme, Ch cuadrada o T. Caítulo 4 - Modelos de Probabldad 4

43 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 - Ifereca estadístca Es el roceso medate el cual la formacó obteda de datos de ua muestra se utlza ara llegar a coclusoes del uverso del que se seleccoó. Las téccas de fereca estadístca se uede clasfcar e estmacó de arámetros y ruebas de hótess. Esto os servrá ara que cuado realcemos los muestreos de acetacó, odamos estmar el valor de la meda y de la desvacó estádar oblacoal del lote que queremos seccoar y e los rocesos de fabrcacó odamos aalzar la caacdad de uestro sstema.. - Estmacó de arámetros Es el uso de estadístcos ara evaluar algú arámetro de la oblacó. e cosdera dos tos de estmadores: Estmacó or utos. e obtee u valor (ˆ ) como estmacó del arámetro ( ). Estmacó or tervalos. e obtee u tervalo ( a b ) detro del cual se estma (bajo certa robabldad) que se ecuetra el arámetro ( ).. - Estmacó or utos Las roedades que ha de teer los estmadores or utos so: - Isesgado. - Cossteca. - Efceca. 4- ufceca... - Isesgado U estmador (ˆ ) es sesgado (o tee auseca de sesgo o tedeca) resecto de u arámetro ( ) s la eseraza del estmador cocde co el arámetro ˆ E Es decr, que el estmador ( ˆ ) es sesgado s su fucó de desdad de robabldad está cetrada e el valor verdadero del arámetro ( ) Estmador sesgado de la meda oblacoal co ua muestra es ua varable aleatora co meda oblacoal de la que se obtee ua muestra estadístcas (M) de valores, la meda de esa muestra ( ) es estmador sesgado de la meda de la oblacó. Para ello, a artr de la defcó de meda muestral se determa su eseraza Caítulo 5 - Ifereca estadístca 5

44 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 - Ifereca estadístca 6 E E E E y como E E E luego la meda muestral ( ) es estmador sesgado de la meda oblacoal ( ). ˆ... - Estmador sesgado de la meda oblacoal co varas muestras es ua varable aleatora co meda oblacoal de la que se obtee k muestras estadístcas (M j ) de valores cada ua ( j, j,, j ), la meda de la varable aleatora meda muestral (que se rereseta medate o ) es estmador sesgado de la meda de la oblacó. Para ello, a artr de la defcó de meda de la meda muestral se determa su eseraza k j j k j j k j j k j j j j E k E k k E E k y como k j j k j j k E E E k E luego se comrueba que la meda de la meda muestral ( ) es estmador sesgado de la meda oblacoal ( ).

45 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 - Ifereca estadístca 7 ˆ La determacó de la meda de la meda muestral ( ) se obtee medate k k j j... - Estmador sesgado de la varaza oblacoal co ua muestra es ua varable aleatora ormal co meda y varaza oblacoal, de la que se obtee ua muestra estadístca de valores (,,, ), la varaza muestral de la muestra es estmador sesgado de la varaza oblacoal. Para ello, a artr de la defcó de varaza muestral ( ) se determa su eseraza ( E ) E E E E eresó e la que E E E y como E E E E E E E E E E

46 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 - Ifereca estadístca 8 e la que teedo e cueta la eresó de la varaza (V()), V E E E E V que la eseraza de ua varable aleatora es la meda del uverso y que la varaca es la desvacó estádar del uverso, eresoes que susttudas e las aterores, V E E V E V E E y a artr de la eseraza de ua varable al cuadrado y de la eseraza y varaza de la meda muestral ( ) se obtee la esera de la meda muestral al cuadrado V E E V E V E E, susttudas e la eresó ateror E E E E y falmete E E E E co lo que se comrueba que la varaza muestral de la muestra ( ) es estmador sesgado de la varaza del uverso ( ) ˆ

47 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 - Ifereca estadístca 9 embargo, desvacó estádar muestral ( ) o es estmador sesgado de la desvacó estádar del uverso ( ), como se verá a cotuacó Estmador sesgado de la varaza oblacoal co varas muestras es ua varable aleatora co meda y varaza oblacoal, de la que se obtee k muestras estadístcas (M j ) de valores cada ua ( j, j,, j ), la varaza muestral es estmador sesgado de la varaza oblacoal ˆ. Para ello, a artr de la defcó de varaza muestral meda ( ) se determa su eseraza ( E ) k k E k E k k E E E k k j k j k j k j co lo que se comrueba que la varaza muestral meda de las muestras ( ) es estmador sesgado de la varaza del uverso ( ) ˆ Estmador sesgado de la desvacó estádar co ua muestra. Como ya se ha dcado, la desvacó estádar muestral ( ) o es estmador sesgado de la desvacó estádar del uverso ( ). es ua varable aleatora ormal co desvacó estádar de la que se obtee ua muestra estadístca de valores (,,, ), co meda, varaza y desvacó estádar muestral,, defdas medate

48 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 - Ifereca estadístca 40 se uede demostrar que la eseraza de la desvacó estádar ( ), corresoderte a su estmador sesgado, es a E co a dode alcado la roedad de recurreca de la fucó gamma a quebrados co deomador ermte obteer el valor de a ara muestras de dsttos tamaños a 0,886 0,9 0,940 0,95 0,959 0,965 co lo que el térmo a es estmador sesgado de la desvacó estádar del uverso ( ˆ ) a ˆ e comrueba que cuato mayor es el úmero de elemetos de la muestra (), el arámetro a tede a y los estmadores sesgado e sesgado corresodetes a u muestra coverge. a ˆ cuado es mayor que Estmador sesgado de la desvacó estádar co varas muestras es ua varable aleatora co meda oblacoal de la que se obtee k muestras estadístcas (M j ) de valores cada ua ( j, j,, j ), la meda de la varable aleatora desvacó estádar muestral (que se rereseta medate ) es estmador sesgado de la desvacó estádar de la oblacó.

49 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 5 - Ifereca estadístca 4 Para obteer el sesgo y elmarlo, a artr de la defcó de meda de la desvacó estádar muestral ( ) se determa su eseraza k j j k j j k j j k j j j j j j E k E k k E E k y como k j j k j j a a k E a E E k E luego se comrueba que la meda de la desvacó estádar muestral ( ) es estmador sesgado de la desvacó estádar oblacoal ( ), cuyo sesgo es a. El estmador sesgado de la desvacó estádar oblacoal es a ˆ..- Cossteca e cosdera cuado el valor estmado (ˆ ) es rómo a su arámetro ( ), or lo que su dfereca es equeña (meor que 0 ) semre que el tamaño de la muestra sea grade ( ) ˆ lm P e admte s demostrar que la meda muestral ( ) es estmador cosstete de la meda oblacoal ( )...- Efceca se tee dos estmadores ( ˆ, ˆ ) de u msmo arámetro ( ), será más efcete aquel que tega meos varaza, lo cual dca que el valor estmado ( ˆ ) es rómo a su arámetro ( ). ˆ ˆ ˆ ˆ V V que efcete más

50 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.4.- ufceca U estmador (ˆ ) es sufcete de u arámetro ( ) s basta or s solo ara su estmacó..- Estmacó or tervalos de cofaza ea ua varable aleatora co dstrbucó que deede de u arámetro θ descoocdo y sea,..., ua muestra aleatora smle de. Llamaremos tervalo de cofaza de vel, ( (0, )) a u tervalo (L(,...,), L(,...,)), cuyos etremos so varables aleatoras que deede de la muestra, tal que el ( )00% de los tervalos costrudos a artr de las osbles muestras de tamaño, cotee a θ. E este estudo o vamos a realzar gua estmacó or tervalos de cofaza, ero s se adjutará alguos e los aeos ues forma arte de la teoría de la fereca estadístca. E el Aeo C se ha recogdo alguos tos de tervalos de cofaza, además de los vstos hasta ahora. Caítulo 5 - Ifereca estadístca 4

51 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 6 - Muestreo de acetacó. - Itroduccó U adecuado cotrol de caldad debe clur la seccó de los lotes de roductos a la etrada del roceso ara asegurar que cumle las esecfcacoes co u grado de cofaza determado. Esta seccó es el rocedmeto utlzado ara tomar la decsó de acetar o rechazar los lotes... - Defcoes Iseccó. Lote. Medcoes y esayos de característcas de u elemeto. Cojuto defdo y homogéeo de algú roducto o servco. Tamaño del lote (N). Elemeto. Muestra. Número de elemetos de u lote. Parte de u lote que se uede cosderar de forma dvdual. Cojuto de elemetos erteecetes a u lote e los que se hace las medcoes. Tamaño de muestra (). Número de elemetos de la muestra. Coformdad/o coformdad. Defecto. Cumlmeto/cumlmeto de u requsto. No coformdad que cumle algua esecfcacó e valda el elemeto. Muestreo de acetacó. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 4

52 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Cotrol de rececó que se alca a roductos o servcos e el co del roceso, co el que se comrueba s cumle las esecfcacoes de caldad. Programa de muestreo Procedmetos de obtecó de muestras y crteros de acetacó del lote... - Tos de seccoes Las seccoes uede ser de los sguetes tos:. Cero seccoes. Cosste e acetar el lote s realzar gua seccó. Es adecuado cuado se tee alta cofaza e el roceso de fabrcacó (asocado a su establdad, caacdad e seccoes revas satsfactoras). També se alca cuado el efecto causado or la esteca de udades o coformes es equeño resecto al coste de realzar la seccó.. Iseccó al 00%. e basa e revsar todos los elemetos del lote. e utlza cuado las o coformdades, or muy escaso que sea su úmero, uede roducr u macto mortate.. Muestreo de acetacó. Cosste e la seccó de arte del lote (muestras). e usa cuado se utlza esayos destructvos (como ruebas de ressteca) o el coste de la seccó al 00% es mucho mayor que el orgado or las osbles udades o coformes del lote. Este varos tos de muestreo o formas de hacer la etraccó de la muestra ara que sea reresetatva de la oblacó:. Muestreo aleatoro Es el más utlzado. Cosste e elegr las udades de la muestra sguedo las reglas del azar: Todos los elemetos del lote debe teer gual oortudad de ser elegdos ara formar arte de la muestra. ería equvalete a umerar los elemetos del lote y etraerlos utlzado ua tabla de úmeros aleatoros.. Muestreo aleatoro estratfcado e alca cuado la oblacó cotee gruos de dsttas categorías. Para la etraccó de muestras se rocede dvdedo el lote e los gruos o "estratos" que queremos esté reresetados roorcoalmete e la muestra. El úmero de elemetos a etraer de Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 44

53 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas cada estrato suele ser roorcoal a su tamaño; de lo cotraro habría que oderar luego los resultados. Detro de cada gruo o estrato se toma las udades de muestra de forma aleatora, como e el to ateror.. Muestreo sstemátco Puede ser, a su vez, uro o aleatoro. E el muestreo sstemátco uro la etraccó de muestras se hace sguedo ua frecueca determada (lote dámco: roceso de fabrcacó) o ua cadeca dada (lote estátco: artda recbda del roveedor), s elegr al azar. E este to de muestreo es osble que la etraccó de las muestras esté e fase co u cclo artcular del roceso de roduccó, co lo que la muestra o sería reresetatva de toda la oblacó. E el muestreo sstemátco aleatoro la eleccó se hace també co ua frecueca o cadeca dadas, ero se busca el azar aleatorzado la eleccó de la rmera muestra. Naturalmete, s el roceso es heretemete aleatoro (or ejemlo, fabrcacó automátca, lote de ezas a grael) basta alcar el muestreo sstemátco uro.. - Proceso ara el muestreo de acetacó El roceso comeza cuado ua emresa recbe u lote de u roducto que ha de cumlr co uas determadas característcas (esecfcacoes). Ates de cororar los elemetos del lote al roceso de roduccó, se verfca su caldad y se decde s se aceta o se rechaza. las característcas a aalzar so dscotuas (atrbutos), el muestreo se caracterza or el tamaño de lote (N), el tamaño de la muestra a seccoar () y el úmero mámo de elemetos o coformes que se cosdera admsble ara acetar el lote (c). Por ejemlo, u muestreo defdo or los sguetes arámetros N = 600, = 0, c = sgfca que e u lote de 600 elemetos se toma ua muestra de 0 elemetos ara su seccó, de forma que s se ecuetra u úmero de o coformdades () meor o gual que, el lote es acetado, ero s se ecuetra o más, el lote es rechazado (Fgura 6.). Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 45

54 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Lote de roductos Muestra Fgura Vetajas e coveetes del muestreo de acetacó El muestreo de acetacó tee las sguetes vetajas resecto a la seccó al 00%:. Tee u meor macto ecoómco al seccoar meos elemetos.. La decsó de acetar el lote o se realza eza a eza, so que afecta al lote e su totaldad.. Es útl ara la alcacó de ruebas destructvas e la seccó. Las desvetajas so las sguetes:. Este la osbldad de acetar lotes que osea ecesvos elemetos o coformes (error de to II) al o aarecer e la muestra (Fgura 6.). Lote de roductos Muestra Fgura 6. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 46

55 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas o rechazar lotes que e su cojuto tee ocos elemetos o coformes (error de to I) or o ser la muestra sufcetemete reresetatva del lote (Fgura 6.). Lote de roductos Muestra Fgura 6.. e requere más coocmetos téccos ara desarrollar el muestreo... - Formacó de lotes y seleccó de muestras La formacó de u lote uede flur e la efcaca del muestreo, or lo que los elemetos de u lote ha de ser lo más homogéeos osble, vglado que las udades que lo forma debe haber sdo roducdas co las msmas codcoes 6M (mao de obra, materal, maquara, método, medo ambete y medcó). Los rocesos de fabrcacó de dsttos lotes de u msmo eddo uede ser dsttos, or lo que se debe seccoar cada lote de forma dvdual, evtado la geeralzacó de los resultados de la seccó de u lote a los demás... - eleccó de la muestra Todos los muestreos de acetacó basa su acerto e que los elemetos seleccoados ara la seccó sea reresetatvos del lote. Auque es dfícl de cosegur, se uede elmar fluecas subjetvas e la seleccó alcado métodos aleatoros. La técca utlzada e la seleccó aleatora de elemetos e el muestreo de acetacó es dstta a la utlzada e el cotrol estadístco, ya que o se desea cotrolar el roceso a lo largo del temo so verfcar las esecfcacoes de u lote. El rocedmeto ara obteer ua muestra aleatora es asgar úmeros cosecutvos a cada elemeto del lote seleccoado medate u roceso aleatoro úmeros, de forma que los elemetos asocados será los que forme la muestra a verfcar El roceso de medcó e etede or medcó el roceso de comaracó de ua característca determada co u atró de refereca. El ser humao semre hzo uso de la medcó ara comarar o cuatfcar dferetes magtudes. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 47

56 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas La evolucó de la medcó, desde los rmeros strumetos de medda, asado or la vecó del "ous", hasta la costruccó del rmer torllo mcrométrco, ha sdo eorme, ero corresodó a ua rmera etaa que se etedó hasta medados del sglo asado. A artr de 870 comeza la era de la recsó, desarrolládose strumetos de medcó cada vez más sofstcados, hasta alcazar la tecología electróca que osee e la actualdad. Cuado se dce que al medr se comara ua característca determada co u atró de refereca, e realdad o se hace drectamete: la comaracó se realza co u strumeto de medda (calbre, balaza, almer, etc.), que es comarado a su vez, eródcamete, co el atró. El rocedmeto que se sgue ara comarar el strumeto de medda co el atró se deoma calbracó. Medate el roceso de medcó se obtee formacó de cada udad de roducto medda, e lo que a su caldad se refere. Pero la medcó va mucho más allá: o sólo ermte coocer la udad de roducto medda, so que uede hacerse etesva a la caldad del lote, a la caldad del roceso de fabrcacó y a la caldad de la medda msma. Etre las característcas a medr se dstgue dos tos: Varables y atrbutos. La logtud de ua eza uede determarse e catdad y udad de medda co el emleo de, or ejemlo, u e de rey, obteedo así ua observacó de to varable. Comarado el resultado de la observacó co las esecfcacoes odría decdrse la acetacó o el rechazo de la eza e cuestó. e llegaría a la msma coclusó (eza acetable o rechazable) s se comara la eza co u calbre asa-o asa. E este últmo caso la observacó obteda sería del to atrbuto. Etre el uso de u sstema de medcó or varables o or atrbutos este dferecas cosderables: - El coste de u strumeto de medcó or atrbutos suele ser mucho más bajo que el de varables. embargo, el strumeto de medcó de varables suele ser uversal, metras que el de medcó de atrbutos es esecífco. - Para maejar strumetos de medcó or atrbutos o se recsa coocmetos esecífcos. Los strumetos ara varables requere esecalzacó. - La medcó de atrbutos es ráda E el caso de varables es ecesaro tomar la lectura del strumeto, que hace el roceso más leto. - Cuado se trabaja co atrbutos, el úmero de observacoes ara lograr determada formacó es bastate mayor que s se emlea varables. - El regstro de datos to atrbuto es secllo. e comlca cuado se trata de varables. E cuato a la caldad de la medda o recsó del strumeto, defremos dos térmos Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 48

57 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas de gra terés: Cetrado y dsersó. La recsó de cetrado P c es la caacdad que tee u strumeto ara obteer el valor verdadero de u roducto, como resultado del romedo de múltles medcoes reetdas de ese roducto efectuadas co dcho strumeto. La recsó de dsersó P d se etede como la caacdad que tee el strumeto ara reetr resultados cuado se efectúa varas medcoes de la msma característca de u roducto. La dfereca etre el valor verdadero y el valor meddo uede ser debda tato a falta de recsó de cetrado como de recsó de dsersó del strumeto de medda. a) b) c) Fgura 6.4 a) los mactos está cetrados, ero muy dsersos. e dría que el strumeto emleado ara efectuar estos "dsaros" está cetrado, es decr, o osee error sstemátco, uesto que la meda de los resultados se corresode co el cetro de la daa o valor verdadero. embargo, los mactos etremos se aleja bastate del cetro, dado lugar a ua desvacó cosderable. No tee etoces recsó de dsersó. La recsó de dsersó aumeta e la medda e que la desvacó dsmuye (Fgura 6.4.a). b) se observa utos muy jutos, lo cual sgfca buea recsó de dsersó, ero como todo el cojuto se aleja del cetro de la daa aarece u error sstemátco cosderable. El strumeto aquí emleado o tee recsó de cetrado (Fgura 6.4.b). c) rereseta la stuacó deal. Los mactos está muy jutos, es decr, o este dsersó. Por agruarse e el cetro de la daa, o hay error sstemátco, es decr, este també recsó de cetrado (Fgura 6.4.c). Para covertr u strumeto del to a) al to c) es ecesaro someterlo a rearacó. Esta rearacó (geeralmete, elmacó de holguras y juegos) suele ser dfícl y costosa, y e ocasoes o es osble llevarla a cabo (defectos de dseño). U strumeto descetrado b) resulta más secllo de covertr e c). e trata de calbrar el strumeto, comarádolo co u atró, y cetrádolo medate los dsostvos de reglaje y ajuste de que dsoga. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 49

58 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas. - Tos de laes de muestreo egú el to de arámetro que se utlce, los laes de muestreo se clasfca e: Estudo or varables Estudo or atrbutos - mles - Dobles - Múltles Las varables so característcas de caldad e las que la valoracó se realza medate ua varable cotua, metras que los atrbutos so característcas que se clasfca como acetables o o acetables. El cotrol de caldad de rececó se suele efectuar or atrbutos, ya que su técca se ajusta mejor al cotrol de muestras, ero es també osble realzarlo or varables... - Plaes de muestreo or atrbutos o el cojuto de rocedmetos de muestreo, ruebas de hótess y crteros de acetacó de dchas ruebas cuado la seleccó es determsta (ato/o ato). Procedmeto de muestreo e basa e etraer de forma aleatora ua muestra de elemetos del lote. Prueba de hótess Las declaracoes a utlzar resecto del lote so las sguetes: Muestreo smle: Muestreo doble o múltle: H H 0 : c : r acetar el lote rechazar el lote H H H 0 : c : r : c r acetar el lote rechazar el lote tomar ua ueva muestra e la que: c - Número mámo de elemetos o coformes de la muestra ara acetar el lote. r - Número mímo de elemetos o coformes de la muestra ara rechazar el lote. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 50

59 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas, - Número de elemetos o coformes estetes e las muestras, corresodete al estmador de la característca de la rueba. Crtero de acetacó Cada elemeto de la muestra se clasfca como coforme o o coforme a las esecfcacoes. el estmador (úmero de elemetos o coformes de las muestras, ) es meor o gual que u úmero redefdo (c ) el lote comleto es acetado c acetar el lote E caso de que el estmador ( ) sea mayor que otro úmero redefdo (r ), el lote comleto es rechazado c rechazar el lote E alguos tos de muestreo este ua tercera ocó c r tomar ua ueva muestra E caso de que el estmador ( ) esté etre los límtes de acetacó (c ) y rechazo (r ) se toma ua ueva muestra Pla de muestreo de acetacó smle e basa e tomar la decsó de acetar del lote a artr de los datos obtedos de ua úca muestra, ara lo que se cosdera los sguetes arámetros, fjados de atemao: N - Tamaño del lote - Tamaño de la muestra c - Número mámo de elemetos o coformes de la muestra ara acetar el lote (límte sueror de acetacó). r - Número mímo de elemetos o coformes de la muestra ara rechazar del lote (límte feror de rechazo). Este úmero es el etero cosecutvo a c c. r - Varable asocada al úmero de elemetos o coformes estetes e la muestra. La decsó se toma segú el sguete rocedmeto:. Acetar el lote cuado el estmador (úmero de elemetos o coformes de la muestra ) sea meor o gual que el límte sueror de acetacó del lote (c ). Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 5

60 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 0 c acetar el lote. Rechazar el lote cuado el estmador ( ) sea mayor que el límte feror de rechazo c (e este caso c ). r c r rechazar el lote El flujograma de decsó aarece reflejado e la fgura sguete (Fgura 6.5). Fgura 6.5 Para la determacó osteror de las robabldades es mortate determar los sucesos de acetacó y rechazo. E este caso el suceso de acetacó vee dado or metras que el suceso de rechazo es Re ch. Ace. 0 c... - Pla de muestreo de acetacó doble c r e basa e tomar la decsó de acetar el lote a artr de los resultados obtedos e u mámo de dos muestras, ara lo que se cosdera los sguetes arámetros, fjados de atemao. N - Tamaño del lote. - Tamaño de la rmera muestra. c - Número mámo de elemetos o coformes de la rmera muestra ara acetar el lote (límte sueror de acetacó co la rmera muestra). Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 5

61 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas r - Número mímo de elemetos o coformes de la rmera muestra ara rechazar el lote (límte feror de rechazo co la rmera muestra). - Número de elemetos o coformes estetes e la rmera muestra. - Tamaño de la seguda muestra c - Número mámo de elemetos o coformes de la suma de la rmera y seguda muestras ara acetar el lote (límte sueror de acetacó co la seguda muestra). r - Número mímo de elemetos o coformes de la suma de la rmera y seguda muestras ara rechazar el lote (límte feror de rechazo co la seguda muestra). Este úmero es el etero cosecutvo a c ( c ). r - Número de elemetos o coformes estetes e la seguda muestras. Las decsoes se toma segú el sguete rocedmeto:. Acetar el lote cuado el estmador de la rmera muestra (úmero de elemetos o coformes de la rmera muestra ) sea meor o gual que el límte sueror de acetacó del lote co la rmera muestra (c ). 0 c acetar el lote. Rechazar el lote cuado el estmador de la rmera muestra (úmero de elemetos o coformes de la rmera muestra ) sea mayor que el límte feror de rechazo co la rmera muestra (r ). r rechazar el lote. Cuado el estmador de la rmera muestra ( ) o cumla co las codcoes aterores, tomar ua seguda muestra de elemetos. c r tomar ua seguda muestra 4. Acetar el lote cuado el estmador de la seguda muestra (suma de los elemetos o coformes de la rmera y seguda muestras, + ) sea meor o gual que el límte sueror de acetacó del lote co la seguda muestra (c ). c r y c acetar el lote o be, oerado c r y c 0 acetar el lote Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 5

62 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 5. Rechazar el lote s el estmador de la seguda muestra (suma de los elemetos o coformes de la rmera y seguda muestras, + ) es mayor o gual que el límte feror de rechazo del lote co la seguda muestra (r ), co ( c ). r c r y r rechazar el lote El flujograma de decsó aarece reflejado e la fgura sguete (Fgura 6.6). Fgura 6.6 El suceso de acetacó de este la de muestreo es o be oerado rmera muestra eguda muestra Ace. 0 c c r c rmera muestra eguda muestra Ace. 0 0 c c r c metras que el suceso de rechazo de este la de muestreo es Prmera muestra eguda muestra Re ch. r c r r Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 54

63 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas o be oerado Prmera muestra eguda muestra Re ch. r c r r Aquellos casos e que se aceta se rechaza el lote, vee defdos or Nueva muestra Prmera muestra. c r... - Pla de muestreo de acetacó múltle Corresode a ua etesó del la de muestreo de acetacó doble cuado el úmero de muestras a tomar es sueror a dos. e basa e cosderar los sguetes arámetros fjados de atemao: N - Tamaño del lote. - Tamaño de la rmera muestra. c - Número mámo de elemetos o coformes de la rmera muestra ara acetar el lote (límte sueror de acetacó co la rmera muestra). r - Número mímo de elemetos o coformes de la rmera muestra ara rechazar el lote (límte feror de rechazo co la rmera muestra). - Número de elemetos o coformes estetes e la rmera muestra. - Tamaño de la seguda muestra c - Número mámo de elemetos o coformes de la suma de la rmera y seguda muestras ara acetar el lote (límte sueror de acetacó co la seguda muestra). r - Número mímo de elemetos o coformes de la suma de la rmera y seguda muestras ara rechazar el lote. (límte feror de rechazo co la seguda muestra). - Número de elemetos o coformes estetes e la seguda muestra. - Tamaño de la tercera muestra c - Número mámo de elemetos o coformes de la suma de la rmera, seguda y tercera muestras ara acetar el lote (límte sueror de acetacó co la tercera muestra). Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 55

64 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas r - Número mímo de elemetos o coformes de la rmera, seguda y tercera muestras ara rechazar el lote (límte feror de rechazo co la tercera muestra). - Número de elemetos o coformes estetes e la tercera muestra. - Tamaño de la -ésma muestra c - Número mámo de elemetos o coformes de la suma de las muestras ara acetar el lote (límte sueror de acetacó co la -ésma muestra). r - Número mímo de elemetos o coformes de la suma de las muestras ara rechazar el lote. (límte feror de rechazo co la -ésma muestra). Este úmero es el etero cosecutvo a c ( r c ). - Número de elemetos o coformes estetes e la -ésma muestra. Las decsoes se toma segú el sguete rocedmeto:. Acetar el lote cuado el estmador de la rmera muestra (úmero de elemetos o coformes de la rmera muestra, ) sea meor o gual que el límte sueror de acetacó del lote co la rmera muestra (c ). 0 c acetar el lote. Rechazar el lote cuado el estmador de la rmera muestra (úmero de elemetos o coformes de la rmera muestra ) sea mayor o gual que el límte feror de rechazo co la rmera muestra (r ). r rechazar el lote. Cuado el estmador de la rmera muestra ( ) o cumla co las codcoes aterores, tomar ua seguda muestra de elemetos. c r tomar ua seguda muestra 4. Acetar el lote cuado el estmador de la seguda muestra (suma de los elemetos o coformes de la rmera y seguda muestras, + ) sea meor o gual que el límte sueror de acetacó del lote co la seguda muestra (c ). c r y c acetar el lote o be, oerado c r y c 0 acetar el lote Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 56

65 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 6 - Muestreo de acetacó Rechazar el lote cuado el estmador de la seguda muestra (suma de los elemetos o coformes e la rmera y seguda muestras, + ) es mayor o gual que el límte feror de rechazo del lote co la seguda muestra (r ). lote el rechazar r y r c o be, oerado lote el rechazar r y r c 6. Cuado el estmador de la seguda muestra ( + ) o cumla co las codcoes aterores, tomar ua tercera muestra de elemetos. muestra ua tercera tomar r c 7. Acetar el lote cuado el estmador de la tercera muestra (suma de los elemetos o coformes de la rmera, seguda y tercera muestras, + + ) es meor o gual que el límte sueror de acetacó del lote co la tercera muestra (c ). lote el acetar c y r c y r c o be, oerado lote el acetar c y r c y r c 0 8. Rechazar el lote cuado el estmador de la tercera muestra (suma de los elemetos o coformes e la rmera, seguda y tercera muestras, + + ) es mayor o gual que el límte feror de rechazo del lote co la tercera muestra (r ). lote el rechazar r y r c y r c o be, oerado lote el rechazar r y r c y r c 9. Cuado el estmador de la tercera muestra ( + + ) o cumla co las codcoes aterores, tomar ua cuarta muestra de 4 elemetos.

66 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas c r tomar ua cuarta muestra 0. Reetr el roceso hasta la muestra -ésma. El flujograma de decsó aarece reflejado e la fgura sguete (Fgura 6.7). Fgura 6.7 El suceso de acetacó de este la de muestreo es rmera muestra Ace. 0 c c r c Tercera muestra eguda muestra c r c r c o be oerado Ace. rmera muestra 0 c c r 0 c c r c r 0 c Tercera muestra eguda muestra Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 58

67 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas metras que el suceso de rechazo de este la de muestreo es Prmera muestra Re ch. r c r r Tercera muestra eguda muestra c r c r r o be oerado Re ch. Prmera muestra r c r r c r c r r Tercera muestra eguda muestra Aquellos casos e que se aceta se rechaza el lote, vee defdos or Prmera muestra Nueva muestra Asectos estadístcos c r c r c r eguda muestra Es mortate dferecar etre la robabldad de que u elemeto del lote sea o coforme () y la de acetar el lote (P a ). El valor de la robabldad de que u elemeto del lote sea o coforme () se cooce o estma, metras que la robabldad de acetar el lote (P a ) se obtee de la ateror medate fucoes estadístcas de dstrbucó asocadas a las característcas de las muestras Fucoes estadístcas de dstrbucó se tee u lote e el que cada uo de sus elemetos uede ser clasfcado como o coforme a esecfcacoes (=) o coforme (=0), se geera ua varable aleatora () que sgue ua fucó de dstrbucó de to Beroull ( Be) co robabldad de éto ara cada elemeto (e este caso o coformdad). E el aálss de muestras, a la robabldad se la deoma robabldad de o coformdad, sedo 00 orcetaje de o coformdad. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 59

68 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Iflueca del tamaño de la muestra Lotes de tamaño grade E el caso e que el rocedmeto se alque a lotes de tamaño grade (N) resecto del tamaño () de la muestra (cosderado como tamaño grade cuado se cumle N 0 ), la varable aleatora () corresodete al úmero de ezas o coformes (étos de los dsttos eermetos Beroull) sgue ua fucó de dstrbucó B, ), cuya robabldad vee defda or bomal ( q e la que q Lotes de tamaño equeño el lote es de tamaño equeño (N) resecto del tamaño () de la muestra ( N 0 ), el úmero de ezas o coformes es ua varable aleatora () que sgue ua fucó de dstrbucó hergeométrca ( HN,,D) e la que el úmero de elemetos o coformes del lote D se obtee medate D N E este caso la fucó de robabldad asocada es D N N Curva característca de oeracó (CCO) La curva característca de oeracó (CCO), també llamada de acetacó, es la gráfca que rereseta la robabldad de acetar el lote (P a ) e fucó de la robabldad de o coformdad () o orcetaje de o coformdad ( 00 ) de las ezas (asocado al error de to II). Estos dos arámetros se cotraoe etre sí de forma que al aumetar uo dsmuye el otro. Cualquer la de muestreo está caracterzado medate su CCO. Los valores de los utos de la curva e u caso de muestreo de acetacó smle se obtee fjado el tamaño del lote (N), el de la muestra () y el úmero mámo de elemetos o coformes ara acetar la muestra (c). E la fgura 6.8 aarece la CCO ara el la de muestreo = 60, tamaño de lote grade y c= D Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 60

69 Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Curva característca de acetacó. Muestreo or atrbutos. Dstrbucó bomal.,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* E las CCO hay que resaltar lo sguete: Fgura 6.8 E el caso hotétco de que todas las ezas fuera ótmas, la robabldad de o coformdad sería ula (=0), y la robabldad de acetar el lote sería total (P a =). E ezas () de muy alta caldad la robabldad de o coformdad sería róma a cero ( 0) y la robabldad de acetar el lote sería alta (P a ). egú va dsmuyedo la calda de las ezas, la robabldad de o coformdad () aumeta, y la robabldad de acetar el lote (P a ) dsmuye. Para ezas de baja calda la robabldad de o coformdad () es elevada, y la robabldad de acetar el lote (P a ) reducda. Como ya se ha dcado, s el tamaño del lote (N) es grade resecto del tamaño de la muestra () ( N 0 ), la varable aleatora () corresodete al úmero de elemetos o coformes de la muestra sgue ua dstrbucó bomal. A la CCO de esta dstrbucó se la deoma de to B. N 0 B, CCO to B embargo, s el tamaño del lote (N) es equeño resecto del tamaño de la muestra () ( N 0 ) la varable aleatora () corresodete al úmero de elemetos o coformes de la muestra sgue ua dstrbucó hergeométrca. A la CCO de esta dstrbucó se la deoma de to A. N 0 H, N, D CCO to A Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 6

70 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Las CCO to A so más recsas, ero la mayor secllez y buea aromacó de las CCO to B ha geeralzado su uso e aquellos casos e los que se cumle las codcoes ecesaras ara su alcacó Pla de muestreo deal El la de muestreo deal estaría asocado a u rocedmeto que asegurase tato el rechazo de las muestras que tega ua robabldad de o coformdad () sueror a u certo valor, como la acetacó de las que tega ua robabldad () feror a ese valor. La CCO deal asocada a este la de muestreo tedía ua forma tal como la que aarece a cotuacó (Fgura 6.9). Fgura 6.9 No este gú la de muestreo que cumla esta codcó, y que sea caaz de hacer ua dscrmacó erfecta etre los lotes acetables y rechazables e fucó de la robabldad de o coformdad de las ezas () dcada. Co el objetvo de obteer curvas que se arome a este comortameto, se dseña laes de muestreo de acetacó que tega alta robabldad de acetar lotes acetables (P a elevado co bajo), y baja robabldad de acetar lotes rechazables (P a bajo co elevado) Proedades de las curvas característcas de oeracó Las roedades de las CCO so las sguetes:. No este u la de muestreo deal que determe s error los lotes acetables de los rechazables. emre este resgo de rechazar lotes acetables (error de to I) y acetar lotes rechazables (error de to II).. Al aumetar co la msma roorcó tato el tamaño de la muestra () como el úmero mámo de elemetos o coformes ara acetar el lote (c), aumeta la caacdad ara determar la caldad del lote. Esta roedad aarece reflejada e la fgura 6.0 Cuado el tamaño de la muestra () y el úmero de acetacó (c) crece de forma roorcoal, el valor de la robabldad de acetacó (P a ) mejora (tede a cero más rádo) y, or lo Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 6

71 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas tato, este mayor robabldad (P a ) de acetar muestras co baja robabldad de o coformdad de los elemetos () y meor robabldad (P a ) de acetar muestras co alta robabldad de o coformdad de los elemetos (). Fgura 6.0. aumeta el tamaño de la muestra () y de su lote (N) de forma roorcoal mateedo el límte de elemetos o coformes ara acetar el lote (c), la robabldad de acetar el lote (P a ) dsmuye ara la msma roorcó de o coformdad (). E la fgura 6. arece las CCO ara =N /0 y c = 0. Fgura aumeta el valor del úmero mámo de elemetos o coformes ara acetar el lote (c), ara u msmo orcetaje de o coformdad del elemeto () aumeta la robabldad de acetar el lote (P a ). E la fgura 6. aarece las CCO to B ara el la de muestreo = 60, co dsttos valores del úmero mámo de elemetos o coformes ara acetar el lote (c). Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 6

72 Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Curva característca de acetacó. Muestreo or atrbutos. Dstrbucó bomal.,0 0,8 0,6 0,4 0, , Porcetaje de o coformdad 00* Fgura Ua coclusó de lo ateror es que los laes de muestreo co u úmero de acetacó de elemetos o coformes ulo (c = 0) o semre so los más aroados. La fgura 6. corresode a laes de muestreo to B de característcas = 0 c = (color rojo, líea cotua gruesa), y = 0 c = 0 (color azul, líea dscotua fa). La robabldad (P a ) de acetar lotes co orcetaje de o coformdad del elemeto () bajo, y rechazar los de orcetaje de o coformdad del elemeto () alto es mayor e la curva co c=. c= c=0 Fgura La flueca del tamaño de lote (N) es equeña. Las CCO de to A (dstrbucó hergeométrca) debdo a su mayor recsó so adecuadas ara lotes de tamaño equeño resecto de la muestra ( N 0 ), metras que las to B (dstrbucó bomal) se utlza ara lotes de tamaño grade ( N 0 ) s ecesva érdda de recsó. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 64

73 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas E la fgura 6.4 se muestra las CCO ara dos laes de muestreo smle to A (hergeométrca) de característcas N = 00, = 80 c = y N = 800, = 80 c = ; y u la de muestreo to B (bomal) ara tamaño de lote grade (que tede a fto), de característcas N = If., = 80 y c =, e la que se areca que la dfereca etre las tres curvas es equeña. Fgura Obtecó de la CCO e el muestreo de acetacó smle Como ya se dcó, el suceso de acetacó lote vee eresado medate Ace. 0 c o be Ace. 0 c Al ser todos los elemetos del suceso ecluyetes etre sí 0 c la robabldad acetar el lote (P a ) es la robabldad de su uó, lo que corresode a la suma de las robabldades de cada uo de los elemetos del suceso P P a P Ace. P c P 0 c 0 P P c P Las gráfcas de las CCO que determa la robabldad acetar el lote (P a ) se obtee or utos. E el caso bomal (to B) la CCO se determa varado la robabldad de o coformdad de los elemetos (), fjados el úmero de elemetos de la muestra () y el límte de acetacó de elemetos o coformes (c). E este caso la robabldad de acetacó (P a ) vee dada or c 0 Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 65

74 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 66 c c c a q q P P 0 0 0!!! E el caso hergeométrco (to A) la CCO també se obtee or utos varado la robabldad de o coformdad a artr del úmero de o coformdades estetes e el lote (D). La relacó etre la robabldad de o coformdad del elemeto () y el úmero de o coformdades del lote (D) vee dada or N D Para obteer los utos de la curva se fja el úmero de elemetos del lote (N) y de la muestra (). E este caso la robabldad de acetacó del lote (P a ) vee dada or c c c a N N D N D N D D N D N D P P 0 0 0!!!!!!!!! Obtecó de la CCO e el muestreo de acetacó doble E este caso el rocedmeto de acetacó ermte dscrmar más fáclmete los lotes ótmos de los que o lo so. El suceso de acetacó es muestra eguda muestra rmera c r c c Ace 0 0. e el que al ser todos los elemetos ecluyetes etre sí, la robabldad de su uó es la suma de las robabldades, y la robabldad de la terseccó el roducto de las robabldades c P c P c c P P P c r c c P Ace P P a E el caso bomal (to B) la robabldad de cada uo de los térmos es q q P!!! E el caso hergeométrco (to A) la relacó etre la robabldad de o coformdad del elemeto () y el úmero de o coformdades del lote (D) o varía

75 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 67 N D y la robabldad de cada uo de los térmos es!!!!!!!!! N N D N D N D D N D N D P Obtecó de la CCO e el muestreo de acetacó múltle El suceso de acetacó es muestra Tercera muestra eguda muestra rmera c r c r c c r c c Ace e el que al ser todos los elemetos ecluyetes etre sí, la robabldad de su uó es la suma de las robabldades, y la robabldad de la terseccó el roducto de las robabldades ) (. c P r c P c c P c P c c P c P P P c r c r c c r c c P Ace P P a Nuevamete, e el caso bomal (to B) la robabldad de cada uo de los térmos es q q P!!! y e el caso hergeométrco (to A) la relacó es N D y la robabldad de cada uo de los térmos es

76 Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas P D N D N! D! D! N D!! N D! N!!N! Ídces de caldad ara los laes de muestreo de acetacó E el estudo se va a cosderar úcamete las CCO to B (Bomal, asocadas a laes de muestreo smles, dobles y múltles (Fgura 6.4). B ) Cuado se utlza el muestreo de acetacó ara el aálss de lotes semre se roduce u coflcto de tereses etre roveedor y clete. Por u lado, el roveedor desea que se acete todos los lotes roducdos co alta caldad (que todos los lotes co robabldad de o coformdad de los elemetos () baja sea acetados), or otro, el clete desea que se rechace todos los lotes de baja caldad (que todos los lotes co robabldad de o coformdad () de los elemetos alta sea rechazados). Curva característca de acetacó. Muestreo or atrbutos. Dstrbucó bomal.,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* Fgura 6.4 embargo, ambos tereses o uede ser satsfechos de maera smultáea co u la de muestreo de acetacó, ya que semre este la osbldad de acetar lotes rechazables (error de to II) o rechazar lotes acetables (error de to I). Para determar la robabldad de que esto ocurra se emlea el test de hótess ulateral. Dcho test arte de defr las sguetes hótess: a) Hótess ula: la caldad del lote es buea ( bajo). b) Hótess alteratva: la caldad del lote es mala ( elevado). H H o : la caldad : la caldad del lote es buea del lote es mala Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 68

77 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Para determar u la de muestreo es ecesaro acordar etre el roveedor y el clete el úmero de elemetos de la muestra () y el úmero mámo de elemetos defectuosos ara acetar el lote (c), lo que se cosgue a artr de defr los veles de caldad acetable (NCA) y caldad límte (NCL) Caracterstcas determates de los laes de muestreo Para seleccoar el la de muestreo más adecuado uede teerse e cueta, e relacó co la robabldad de acetacó P a de lotes de dferetes fraccoes defectuosas, las sguetes característcas:. El resgo del cosumdor, β.. El resgo del roductor, α.. El vel de caldad acetable, NCA. 4. El vel de caldad límte, NCL. 5. El orcetaje de dfereca, La caldad salete meda, CM, y su límte, LCM Resgo del cosumdor, β Es el resgo de acetar lotes co u gra úmero de ezas defectuosas. e rereseta medate la letra grega β y equvale a la robabldad P a que tee el cosumdor de acetar lotes co u orcetaje de defectuosos tolerado t determado. Geeralmete, se establece u resgo del cosumdor, ara estos lotes defectuosos, de β =0%. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 69

78 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas E la Fgura 6.5 se uede comrobar que: Fgura Curva.- Co el la N=000, =00 y c=0, el cosumdor acetará lotes co u t = % de ezas defectuosas el 0% de las veces (resgo del cosumdor). - Curva.- Co el la N=00, =0 y c=0, el orcetaje tolerado de defectuosos ha aumetado ara el msmo resgo del cosumdor β =0%, ya que el 0% de las veces admtrá lotes co u t =0 5% de ezas defectuosas. se modfca el resgo del cosumdor β (robabldad de acetacó P a ), se observa que se matee etre las dos curvas característcas aáloga relacó etre los orcetajes defectuosos tolerados t de cada ua de ellas. Para β =0%, e la curva es t =l 5% y e la curva es t =7 5%. Por ello, ara u β =0%, el t corresodete, orcetaje defectuoso tolerado e el lote (PDTL ó ), da ua medda relatva de la rgurosdad de cada la. Vculada al resgo del cosumdor este ua defcó umérca de u lote o coforme, deomada NCL. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 70

79 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Resgo del roductor, α Es el resgo que tee el roductor de que le rechace lotes co ua roorcó de ezas defectuosas equeña. e rereseta medate la letra grega α y equvale a la robabldad P r que tee el roductor de que le rechace u lote co u orcetaje de defectuosos t determado. Es, or lo tato, la robabldad comlemetara de la de acetacó ara ese t, es decr, P r = α, o sea, P a = α. Fgura 6.6 E las curvas característcas de los laes, reresetadas e la Fgura 6.6, se uede estudar el resgo del roductor, ua vez fjado el resgo del cosumdor. E el la N=000, =00 y c=0, ara orcetaje de defectuosos t = %, el resgo del cosumdor es β =0% y el del roductor α = 0%. Igualmete, se observa que los lotes co u % de defectuosos so rechazados el 00-7= 6% de las veces y los lotes co u 0 5% de defectuosos, el 00-6= 9% de las veces. Es obvo que el la elegdo está ejercedo ua sobreroteccó cotra la acetacó de u lote que osee ua caldad sueror a la egda, lo que aumetará cosderablemete los costos, al rechazar costatemete lotes co ua caldad acetable. E la Fgura 6.6 també uede observarse que cuato mayor es el tamaño de la muestra, mayor será la roteccó del roductor. Por cosguete, es coveete llegar a u acuerdo razoable etre roductor y cosumdor, ara elegr u la que satsfaga a ambos. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 7

80 Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Vculada al resgo del roductor este la defcó umérca de u lote acetable, deomada NCA Nvel de Caldad Acetable (NCA) El Nvel de Caldad Acetable (NCA) o Accetaqle Qualty Lmt (AQL) es el valor que se va a cosderar como mámo admsble ara la robabldad de o coformdad ( NCA ) o orcetaje de o coformdad (00 NCA ) de los elemetos. La robabldad del NCA ( NCA ) juto co la robabldad de acetar el lote co este NCA (P a, NCA ) so fjados or el aalsta, y ermte determa u uto sobre la gráfca de las CCO or la que ase u cojuto de ellas. E ua rueba de hótess ulateral, a la robabldad de acetar la hótess ula ( H 0 ) cuado es verdadera (corresodete a que la caldad del lote es buea co el NCA, P a,nca ), se le asga el valor del comlemetaro al vel de sgfcacó (α), fjado or el técco. P a,nca metras que la robabldad de rechazo co el NCA (P r,nca ) deomada resgo del roductor, corresodete a rechazar la hótess ula H o cuado es verdadera (error de to I), se le asga el valor del vel de sgfcacó (α) (Fgura 6.7). P r, NCA (Pr,NCA) =,0 Nvel de caldad acetable (NCA). 0,8 (Pa,NCA) = - Probabldad de acetacó (Pa) 0,6 0,4 0, 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* Fgura 6.7 Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 7

81 Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas La robabldad de acetar u lote que tega ua robabldad de acetacó (P a ) gual o sueror a la del NCA (P a, NCA ) debe ser alta, or lo que se suele tomar u vel de sgfcacó de =0,05, al cual le corresode ua robabldad de acetacó del NCA (P a, NCA ) de P 0,05 0,95 (Fgura 6.8) a, NCA Como se ha dcado, defdos la robabldad del NCA ( NCA ) y la robabldad de acetar este vel de caldad (P a,nca ), sobre la gráfca de CCO se uede determar u uto or el que ase curvas que cumla co dchos arámetros. Nvel de caldad acetable (NCA).,0 - ( NCA, -) 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 NCA =0,5 Porcetaje de o coformdad 00* Fgura 6.8 Cada CCO to B se caracterza or del úmero mámo de elemetos o coformes ara la acetacó (c) y el úmero de elemetos de la muestra (), arámetros que so deedetes etre sí ara u NCA defdo. Para determar el úmero de elemetos de la muestra () se toma u valor del úmero mámo de elemetos o coformes ara la acetacó (c) y a artr de la robabldad de los elemetos co el vel de caldad acetable ( NCA ) y la robabldad de acetar el lote co ese vel ( P a, NCA ) se latea ua ecuacó co ua cógta. Por ejemlo, ara CCO to B se utlza la eresó bomal P c a, NCA NCA 0 NCA Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 7

82 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas embargo la determacó del valor de o es seclla. Por ejemlo ara c= se tedría que obteer de la eresó a, NCA NCA NCA NCA NCA P Para smlfcarlo, e el caso de las CCO to B se utlza la Tabla D del Aeo D e la que aarece el roducto de la robabldad de los elemetos () or el úmero de elemetos de la muestra () ara dsttos valores del úmero mámo de elemetos o coformes ara la acetacó (c) y robabldades de acetar el lote (P a ). El rocedmeto ara su alcacó es el sguete: a) e arte de tomar u valor ara el úmero de elemetos o coformes ara la acetacó (c). b) A artr de la tabla se obtee el roducto del úmero de elemetos de la muestra or la robabldad de o coformdad ( NCA ) ara la robabldad de acetar el lote co el NCA cosderado (P a,nca ). c) El úmero de elemetos de la muestra () se calcula dvdedo el valor obtedo de la tabla etre la robabldad de o coformdad del elemeto ara el NCA ( NCA ). d) e redodea el valor de la dvsó al etero más rómo Nvel de caldad límte (NCL) El Nvel de Caldad Límte (NCL) o Lmtg Qualty Level (LQL) es el valor que se va a cosderar como mímo admsble ara la robabldad de o coformdad ( NCL ) o orcetaje de o coformdad (00 NCL ) de los elemetos. La robabldad del NCL ( NCL ) juto co la robabldad de acetar el lote co este NCL (P a, NCL ) ermte determa u uto sobre la gráfca de las CCO or la que ase u cojuto de ellas. E ua rueba de hótess ulateral, a la robabldad de acetar la hótess ula ( H 0 ) cuado es falsa (auque se acete el lote su caldad o es buea) ara este NCL (P,NCL ), se le asga el valor, deomado resgo del cosumdor, corresodete al error de to II. P, NCL (Fgura 6.9) NCA Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 74

83 Probabldad de acetacó (Pa) Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Nvel de caldad límte (NCL).,0 0,8 0,6 0,4 0, (Pa,NCL) = 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* Fgura 6.9 Al ser el NCL u vel o satsfactoro, su robabldad acetarlo debe ser baja (geeralmete de 0,05 o 0,0). Como se ha dcado, defdos la robabldad del vel NCL ( NCL ) y la robabldad de acetar este vel de caldad (P a,ncl ), sobre la gráfca de CCO se uede determar u uto or el que ase curvas que cumla co dchos arámetros (Fgura 6.0). Nvel de caldad límte (NCL).,0 0,8 0,6 0,4 0, ( NCL, ) 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* NCL =6 Fgura 6.0 Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 75

84 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Nuevamete, ara determar el úmero de elemetos de la muestra () se toma u valor del úmero mámo de elemetos o coformes ara la acetacó (c) y a artr de la robabldad de los elemetos co el vel de caldad límte ( NCL ) y la robabldad de acetar el lote co ese vel ( P a,ncl ) se latea ua ecuacó co ua cógta de dfícl resolucó. P c a, NCL NCL 0 Para smlfcarlo, e el caso de las CCO to B se utlza la Tabla D del Aeo D e la que aarece los valores del roducto de la robabldad de los elemetos ara el NCL ( NCA ) or el úmero de elemetos de la muestra () ara dsttos valores del úmero mámo de elemetos o coformes ara la acetacó (c) y robabldades de acetar el lote o resgos del roductor (P a,ncl ). El rocedmeto ara su alcacó es el msmo que el vsto e el NCA Porcetaje de dfereca, 0 e deoma así al orcetaje de ezas defectuosas 0 tal que la robabldad de acetacó (o de rechazo) del lote que le cotee, sea del 50%. Es decr, corresode al orcetaje defectuoso que reseta gual resgo ara el cosumdor que ara el roductor (α = β =50%). Alguos laes de muestreo, como el stemá de Muestreo Normal Phls, se basa e este crtero de resgo comartdo. E la Fgura 6.6 (resgo del roductor) uede observarse que la robabldad de acetacó P a = β =50%= α (resgo comartdo), corresode e el la: - L=000, =00, c=0 (curva ), al orcetaje de ezas defectuosas (orcetaje de dfereca) 0 =0 7%. - L=00, =0, c=0 (curva ), al 0 = 4%. - L=00, =0, c=0 (curva ), al 0 = 6 7%. - L=50, =5, c=0 (curva 4), al 0 = 4%. NCL Plaes de muestreo ara resgos de roductor y cosumdor establecdos e uede establecer al msmo temo como codcoes del la de muestreo tato el resgo del roductor (P r,nca ) co su robabldad de de o coformdad de los elemetos corresodete ( NCA ), como el resgo del cosumdor (P a,ncl ) co su robabldad de acetacó ( NCL ), tal como muestra la fgura 6. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 76

85 Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Nvel de caldad Nvel de acetable caldad límte (NCA) (NCL). y límte (NCL).,0 - ( NCA, -) 0,8 0,6 0,4 0, ( NCL, ) 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* Fgura 6. A dfereca de los casos aterores, ara determar las CCO o es ecesaro suoer el úmero de elemetos o coformes ara la acetacó del lote (c), so que se odrá determar tato este arámetro como el úmero de elemetos de la muestra (). Para CCO to B se cosderará las eresoes bomales de robabldad de acetacó del NCA (P a,nca ) y de robabldad de acetacó del NCL (P a,ncl ) c a, NCA NCA 0 P c a, NCL NCL 0 P Igual que e los casos aterores, la determacó de los valores de y c o es drecta, or lo que se utlzará métodos de resolucó aromados. NCA NCL Resolucó or aromacó a la fucó ormal e desarrolla la resolucó del úmero de elemetos o coformes ara la acetacó del lote (c) y el úmero de elemetos de la muestra () e laes de muestreo smles to B ara resgos de roductor () y cosumdor () establecdos, a artr de la aromacó de la dstrbucó bomal (B(,)) a la ormal estádar (N(=0,=)). La aromacó será válda cuado se cumla los sguetes crteros: Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 77

86 Probabldad de acetacó (Pa) Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Error de to I - ua vez obtedos los valores de y c se cumle que 5 q 5. y - La dstrbucó ormal ha de teer la msma meda () y desvacó tíca () que la dstrbucó bomal a la que se aroma, E Var B, B A artr de los eucados de la rueba de hótess H H 0, N, q : la caldad del lote es buea : la caldad del lote es mala q ara que se rechace el lote cuado es acetable (error de to I) la robabldad de rechazo asocada al vel de caldad acetable (P r,nca ) ha de ser meor que el resgo del roductor (), o be la robabldad de acetacó (P a,nca ) mayor que -(Fgura 6.) P P r, NCA a, NCA (Pr,NCA) =,0 Nvel de caldad acetable (NCA). Error de to I 0,8 (Pa,NCA) = - 0,6 0,4 0, 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* Fgura 6. Este error de to I uede ocurrr e la fucó bomal cuado el valor del estmador de la rueba de hótess () sea sueror al valor de acetacó del lote (c) Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 78

87 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas B, Error to I c y e la fucó ormal equvalete medate N, q Error to I c NCA NCA NCA La estadarzacó de esta fucó ormal se realza a artr del cambo de varable, y el valor límte de la varable aleatora ( z c ) ara que aarezca el error de to I es z c c z c NCA NCA q NCA cuyo domo corresodete al rechazo aarece reflejado e la fgura 6. Z c Error de to II Fgura 6. Para que se acete el lote cuado es rechazable (error de to II) la robabldad de acetacó asocada al vel de caldad límte (P a,ncl ) ha de ser meor que (Fgura 6.4). P a, NCL Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 79

88 Probabldad de acetacó (Pa) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Nvel de caldad límte (NCL).,0 0,8 0,6 0,4 0, Error de to II (Pa,NCL) = 0,0 0 0,5,5,5,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Porcetaje de o coformdad 00* Fgura 6.4 Este error de to II uede ocurrr e la fucó bomal cuado el valor del estmador de la rueba de hótess () sea meor o gual al valor de acetacó del lote (c) B, y e la fucó ormal equvalete medate Error to II c N, q Error to II c NCL NCL NCL La estadarzacó de esta fucó ormal se realza a artr del cambo de varable, y el valor límte de la varable aleatora ( z c ) ara que aarezca el error de to II es z c z c c NCL NCL q NCL cuyo domo corresodete a la acetacó aarece reflejado e la fgura 6.5 Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 80

89 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Z c stema de ecuacoes Fgura 6.5 Luego el sstema de ecuacoes a resolver so z c NCA NCA q NCA z c NCL NCL q NCL a artr de las cuales se uede obteer los valores de c y z c z NCL q NCL NCL NCA q z NCL NCL NCA NCL q NCA Resolucó or relacó de robabldades de o coformdad Otra forma de obteer la CCO es a artr de la relacó de robabldades de o coformdad de cada elemeto, basado e los sguetes asos: a) e dvde el valor de NCA etre NCL ara teer u valor de refereca NCA NCL b) A artr de las tablas (D y D) del Aeo D se obtee la relacó P a,- dvddo or P a ara cada valor de c. c) Los valores obtedos se comara co el de refereca ara buscar el más rómo. Como los valores obtedos o se ajusta al valor de refereca, se toma los dos valores adyacetes al de refereca a los que corresode dos valores de c que se utlzara ara el aálss. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 8

90 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas d) Para cada valor de c se determa el úmero de elemetos de la muestra () segú lo dcado e los rocesos segudos e los NCA y NCL, co lo que se obtee cuatro valores. e) Para la determacó de u úco valor del úmero de elemetos de la muestra () se utlza uo de los sguetes crteros: a. El de tamaño de muestra meor. b. El de tamaño de muestra mayor. c. El que satsfaga el resgo del roductor () y se arome más al resgo del cosumdor () (se seleccoaría a artr de su reresetacó gráfca). d. El que satsfaga el resgo del cosumdor () y se arome más al resgo del roductor () (se seleccoaría a artr de su reresetacó gráfca) Caldad Meda de alda (CM) La Caldad Meda de alda (CM) o Average Outgog Qualty (AOQ) (Fgura 6.6) dca la robabldad de o coformdad meda de los elemetos ( ) de u cojuto de lotes homogéeos que se obtee desués de alcar el roceso de seccó al 00% co reoscó de elemetos o coformes a los lotes que o suera la seccó. Es e deftva, la caldad que recbe realmete el cosumdor. Ua forma de caracterzar la bodad de u la de muestreo de acetacó ara u cojuto de lotes homogéeo es calcular la Curva de Caldad Meda de alda (CCM) tras la seccó, que relacoa cada robabldad de o coformdad ates de la seccó () co ua robabldad de o coformdad ( ) tras la seccó y reoscó de o coformdades e los lotes rechazados. los lotes etra e el roceso de seccó co ua robabldad de o coformdad del elemeto, ua arte de ellos será acetados co robabldad P a, metras que otros será rechazados co robabldad -P a. al gruo de lotes rechazado se le alca u la de muestreo al 00% reoedo los elemetos o coformes, se asegura que al fal del roceso e estos lotes o esta elemetos o coformes. embargo, e el gruo de lotes acetados la robabldad de o coformdad es meor o gual al valor refjado (). Luego al jutar los lotes acetados y rechazados tras su seccó al 00%, el cojuto tedrá u valor de robabldad de o coformdad del elemeto dstto al cal (). Este valor de robabldad de o coformdad del elemeto a la salda de la seccó se obtee multlcado la robabldad de o coformdad del elemeto ( ara los lotes acetados y 0 ara los rechazados co reoscó al 00%) or la robabldad de Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 8

91 Porcetaje de o coformdad a la salda 00*' Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas acetacó del lote (P a ara los lotes acetados y -P a ara los rechazados co reoscó al 00%) CM Pa.. ( N ) 0. ( Pa ). ( N ) N Para lotes muy grades y tamaños de muestra equeños (N >> ), la fórmula se reduce a: CM ' P 0 a Pa Pa Este método es váldo ara muestras smles, dobles y múltles. Curva Curva de caldad romedo meda de salda. de salda. Muestreo Muestreo or atrbutos. or atrbutos. Dstrbucó bomal. 0,04 0,0 0,0 0,0 0, Porcetaje de o coformdad 00* Fgura Lmte de Caldad Meda de alda (LCM) El Lmte de la Caldad Meda de alda (LCM) o Average Outgog Qualty Lmt (AOQL) (Fgura 6.7) es el valor mámo de la robabldad de o coformdad a la salda ( ) tras la seccó al 00% y reoscó de o coformdades e lotes rechazados. Rereseta el eor valor medo de caldad que se uede obteer tras el rograma de seccó co reoscó al 00% de lotes. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 8

92 Porcetaje de o coformdad a la salda 00*' Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Curva Curva de romedo caldad meda de salda. de salda. Muestreo Muestreo or atrbutos. or atrbutos. Límte de Dstrbucó Caldad Meda bomal. de salda (LCM). 0,04 0,0 0,0 0,0 0,0 0, Porcetaje de o coformdad 00* Fgura Tamaño de Muestra Medo (TMM) El Tamaño de muestra medo (TMM) o Average mle Number (AN) es el úmero medo de elemetos seccoados or lote sguedo u roceso de muestreo (secllo, doble o múltle) ara tomar la decsó de acetacó o rechazo cosderado la seccó al 00% de los lotes rechazados. e obtee multlcado el tamaño de cada muestra aalzada or la robabldad de que se tome la decsó co dcha muestra, suma de la robabldad de acetacó más la de rechazo Muestreo smle E el caso del muestreo smle el TMM es costate, e gual al tamaño de la muestra, ya que la robabldad de que se tome ua decsó co la rmera (y úca) muestra es del 00% ( P ). TMM P - Número de elemetos de la rmera muestra. P - Probabldad de tomar ua decsó basádose e los resultados de la rmera muestra. Por lo que e la rmera muestra los crteros de acetacó y rechazo so Ace. muestra rmera c muestra Pr mera 0 Re ch. r Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 84

93 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas al ser comatbles etre sí, la robabldad de tomar ua decsó co la rmera muestra es P Muestreo doble c r 0 E el caso de muestreo de acetacó doble la TMM vee dada or e la que TMM P P - Número de elemetos de la rmera muestra. - Número de elemetos de la seguda muestra. P - Probabldad de tomar ua decsó basádose e los resultados de la rmera muestra. P - Probabldad de tomar ua decsó basádose e los resultados de la seguda muestra. La robabldad de tomar ua decsó e cada muestra está asocada a los sucesos de acetacó o rechazo corresodetes. E el caso del muestreo doble, los sucesos de acetacó y rechazo so los sguetes rmera muestra eguda muestra Ace. 0 0 c c r c Prmera muestra eguda muestra Re ch. r c r r Por lo que e la rmera muestra los crteros de acetacó y rechazo so Ace. muestra rmera 0 Re ch. r c muestra Prmera que al ser comatbles etre sí, la robabldad de tomar ua decsó co la rmera muestra es P c r metras que e la seguda muestra, los crteros de acetacó y rechazo so Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 85

94 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 86 muestra eguda c r c Ace 0. muestra eguda r r c ch. Re que al ser comatbles etres sí, la robabldad de tomar ua decsó co la seguda muestra es 0 r r c c r c P O teedo e cueta que al ser ecluyetes y comlemetaros etre sí los resultados de acetacó y rechazo de la rmera y seguda muestra, el de la seguda se uede calcular de forma seclla medate P P luego P P P P P P TMM Muestreo múltle E el caso del muestreo de acetacó múltle la TMM es vee dada or k k P P P P TMM e la que - Número de elemetos de la muestra. P - Probabldad de tomar ua decsó basádose e los resultados de la muestra. Nuevamete, la robabldad de tomar ua decsó e cada muestra está asocada a los sucesos de acetacó o rechazo corresodetes. E el caso del muestreo múltle, los sucesos de acetacó y rechazo so dsttos e cada muestra. Recordamos que los crteros so muestra Tercera muestra eguda muestra rmera c 0 r c r c c 0 r c c 0 Ace. muestra Tercera muestra eguda muestra mera Pr r r c r c r r c r Re ch.

95 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 87 Por lo que e la rmera muestra los crteros de acetacó y rechazo so muestra rmera c 0. Ace muestra mera Pr r ch. Re al ser comatbles etre sí, la robabldad de tomar ua decsó co la rmera muestra es r c 0 P e la seguda muestra, los crteros de acetacó y rechazo so muestra eguda c 0 r c. Ace muestra eguda r r c ch. Re al ser comatbles etre sí, la robabldad de tomar ua decsó co la seguda muestra es r r c c 0 r c P e la tercera muestra, los crteros de acetacó y rechazo so muestra Tercera c 0 r c r c. Ace muestra Tercera r r c r c ch. Re al ser comatbles etre sí, la robabldad de tomar ua decsó co la tercera muestra es r r c r c c 0 r c r c P De esta forma se ría obteedo la robabldad de tomar la decsó de cada ua de las muestras. Nuevamete, al ser ecluyetes y comlemetaras etre sí los resultados de acetacó y rechazo de todas las muestras, la de la últma se uede calcular de forma seclla medate k k P P P P luego, ara el caso de u muestreo trle

96 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 88 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P TMM... - Iseccó Total Meda (ITM) La Iseccó Total Meda (ITM) es el úmero de elemetos seccoados tato e el roceso de muestreo como e el de rectfcacó al 00% de los lotes rechazados. La dfereca co el Tamaño Medo de la Muestra (TMM) vsto aterormete es que éste corresode al úmero de elemetos seccoados úcamete e el roceso de muestreo, metras que e la ITM se cluye el roceso de rectfcacó de los lotes o acetados Muestreo smle E el caso de muestreo de acetacó smle, la ITM corresode al Tamaño de la Muestra Medo (TMM) utlzado ara tomar la decsó de acetacó o rechazo, a los que se añadrá el 00 % de los lotes rechazados, obtedo medate el roducto de la robabldad de rechazo del lote (P r ) multlcado or el úmero de elemetos o seccoados e el TMM (N-). la robabldad de rechazo del lote es P r, la ITM es: N P TMM ITM r... - Muestreo doble guedo el msmo rocedmeto, el ITM de muestreo de acetacó doble es: r r N P N P TMM ITM... - Muestreo múltle E el caso de muestreo de acetacó múltle, la ITM es: r r r N P N P N P TMM ITM... - stemas ara el método de muestreo de seccó... - Tablas de muestreo de rececó or atrbutos Las tablas de muestreo ara la seccó or atrbutos cotee ua coleccó de laes de muestreo, relatvamete fácles de seleccoar, alcar e terretar, de acuerdo co las característcas del cotrol revsto.

97 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Las rmeras tablas edtadas, coocdas or el ombre de sus autores H. F. Dodge y H. G. Romg, fuero mcalmete utlzadas or la Bell Telehoe ystem. Posterormete se ublcaro ara uso geeral e 94 co el título: "Tablas de seccó de muestreo. Muestreo smle y doble". El lbro cotee tablas de muestreo smle y doble ara dos crteros de acetacó. La MIL-TD 05, orma del Gobero de los Estados Udos ara la seccó de muestreo or atrbutos, es la más utlzada. Cotee ua coleccó de laes de muestreo, juto co u Maual de umstro y Logístca H 05, que lo coverte e u rocedmeto muy comleto ara efectuar u muestreo de acetacó, lote a lote, or medo de atrbutos. Auque este otras tablas, como or ejemlo el stema de Muestreo Normal Phls, basado e el establecmeto de gual resgo (50%) ara el roductor que ara el cosumdor, las dos ctadas aterormete sgue sedo las más utlzadas, sobre todo las últmas Tablas DODGE-ROMIG Cotee tablas de muestreo smle y doble e las que uede etrarse co dos tos de datos: To A) Porcetaje Defectuoso Tolerado e el Lote, PDTL ó t (e la termología glesa LTPD, Lot Tolerace Percet Defectves, o smlemete LT) y To B) Límte de la Caldad alete Meda, LCM, ofrecedo e total cuatro tos de laes. Las tablas roorcoa los sguetes arámetros: - Muestreo smle: úmero de udades de la muestra,, y úmero de udades defectuosas ermtdo e la muestra, c. - Muestreo doble: úmero de udades de las muestras, y ; su suma, + ; y úmero de udades defectuosas ermtdo e las muestras, c y c. - Tablas de muestreo smle Para seleccoar los laes de muestreo smle se uede artr, como se ha dcho aterormete, de dos gruos de datos: To A) e etra e las tablas co el PDTL ó t, el tamaño del lote L, y la caldad meda del roceso o caldad etrate, s se cooce. Las tablas (ocho) de muestreo smle PDTL ó t está cofeccoadas atededo a los sguetes crteros:. e adota u resgo del cosumdor β =0%, robabldad de acetacó de lotes co u determado orcetaje defectuoso, PDTL ó t. El PDTL ó, uede tomar ocho valores: 0 5%, %, %, %, 4%, 5%, 7% y 0%. Co estos datos se uede elegr la tabla Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 89

98 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas adecuada.. El tamaño del lote L uede varar de a udades, agruadas e 8 tervalos. Co este dato se elge la fla adecuada de la tabla.. La caldad meda del roceso o caldad etrate está clasfcada e ses tervalos, cuyos valores deede del PDTL de la tabla. Co este dato se elge la columa que mejor se adata a las ecesdades revstas. E efecto, s uede estmarse la caldad meda del roceso, el la de muestreo asocado a ella reduce la seccó total, teedo e cueta que, aturalmete, los lotes rechazados requere ua seccó comleta. o se cooce la caldad meda del roceso, se etra e la tabla or la columa de la derecha, que establece u mayor tamaño de muestra y u crtero de acetacó más ermsvo (LCM mayor); este la recola datos más rádamete y da a los lotes bueos ua mayor robabldad de acetacó. E la tabla se obtee el tamaño de la muestra, el úmero de udades defectuosas ermtdo c y el Límte de la Caldad alete Meda, LCM. La Tabla D del Aeo D cluye, como ejemlo, la tabla Dodge-Romg de Muestreo smle ara u Porcetaje Defectuoso Tolerado e el Lote PDTL=% y Resgo del Cosumdor β =0%. To B) e etra e las tablas de muestreo (trece) co el Límte de la Caldad alete Meda LCM, el tamaño del lote L y la caldad meda del roceso o caldad etrate, s se cooce. Estas tablas de muestreo está calculadas ara los valores sguetes:. El LCM uede varar del 0 % al 0% segú trece valores, lo que ermte elegr la tabla adecuada.. El tamaño del lote L varía de a udades, agruadas e 8 tervalos. Nos ermte seleccoar la fla de la tabla.. La caldad meda del roceso o caldad etrate está clasfcada e ses tervalos, cuyos valores deede del LCM de la tabla. Ello ermte elegr la columa. Caso de descoocerse la caldad meda del roceso, se adota la columa derecha de la tabla, que establece u tamaño de muestra mayor ara u orcetaje defectuoso tolerado e el lote, PDTL ó t, meor. La Tabla D del Aeo D rereseta, como ejemlo, la tabla Dodge-Romg de Muestreo smle ara u Límte de la Caldad alete Meda LCM=%. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 90

99 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas - Tablas de muestreo doble Las tablas de muestreo doble está cofeccoadas de la msma maera que las tablas de muestreo smle, eceto que, como es atural, se ha revsto dos tamaños de muestras y dos úmeros de acetacó. E las Tablas E y E del Aeo D se ha reresetado, como ejemlo, sedas tablas Dodge-Romg ara muestreo doble: ua, to A, ara Porcetaje Defectuoso Tolerado e el Lote PDTL=5% y Resgo del Cosumdor β =0%, y otra, to B, ara u Límte de la Caldad alete Meda LCM=7% MIL-TD-05D y ANI/AQC Z.4 E 94 u gruo de geeros de los laboratoros Bell Telehoe dseñó or rmera vez u la de muestreo de acetacó ara ua seccó lote or lote or atrbutos, deomado JAN-TD-05. E 97 lo adotó la IO y se deomó orma teracoal IO/DI-859. Este es el método de muestreo más acetado de forma mudal. Esta orma cotemla tres tos de muestreo: ecllo, doble y múltle, ya aalzadas aterormete. Tos de seccó Para cada uo de estos tos de muestreo este la osbldad de seccó: Normal. Es la que se realza calmete. Rgurosa. e emlea cuado el hstoral recete de caldad del roducto o es bueo. Los requstos de acetacó so más estrctos que e el caso ormal. Reducdo. e emlea cuado el hstoral recete de caldad del roducto es bueo. Los requstos de acetacó so meos estrctos que e el caso ormal. Los rocedmetos o reglas de cambo etre tos de seccó debe alcarse deedetemete de la clase de o coformdades (Fgura 6.8). Los crteros de cambo so: Cambo de ormal a rgurosa. dos de cco lotes cosecutvos ha resultado o acetables. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 9

100 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Cambo de rgurosa a ormal. cco lotes cosecutvos ha sdo cosderados acetables. Cambo de ormal a reducda. Cuado dez lotes cosecutvos ha sdo acetables. Cambo de reducda a ormal. Cuado se obtee u rechazo o la roduccó comeza a ser rregular. Nveles de seccó Fgura 6.8 La orma MIL-TD-05D roorcoa 7 veles de seccó, tres geerales (I, II y III) y cuatro esecales (-, -, -, -4). El tamaño de la muestra deederá del tamaño del lote y del vel de seccó. Este tres veles de seccó: Nvel I. e seccoa tamaños de muestra aromadamete la mtad de los del vel II. Nvel II. Es el que se usa ormalmete. Nvel III. e seccoa tamaños de muestra aromadamete el doble de los del vel II. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 9

101 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Los veles esecales -, -, -, -4 uede ser utlzados co tamaños de muestra relatvamete equeños y co resgos de muestreo elevados. Tamaños de muestras Los tamaños de las muestras se desga a artr del tamaño del lote (N) y del vel de seccó medate u códgo umérco, tal como muestra la Tabla 5D del Aeo D. Plaes de muestreo Los laes de muestreo aarece reflejados e las tablas de la 7D a la D. Etrado co la letra del códgo del tamaño de muestra y ara el NCA (Obtedo de la tabla 6D) deseado se obtee el tamaño de muestra () y el úmero de elemetos de acetacó (c) y rechazo (r) corresodetes... - Cotrol de caldad de rececó or varables las característcas a seccoar uede medrse e ua escala varable y se desea establecer la rececó lote or lote, uede emlearse el muestreo or varables. Para ello se seleccoa las udades de la muestra de acuerdo co ua buea ráctca de muestreo, se calcula los arámetros de stuacó y de dsersó, y se alca los sguetes crteros: - Para límte de esecfcacó sueror: L. E.. k - Para límte de esecfcacó feror: L. E. I. k - Para límtes a ambos lados rge las relacoes aterores más la eresó: DTM sedo: = meda de la muestra, k = costate de acetacó (desvacó ormal, varable estadarzada de la dstrbucó ormal) que, juto co el tamaño de muestra, refleja los resgos de acetacó y rechazo, heretes al la de muestreo, = medda de dsersó o varabldad, que uede ser: = varabldad estmada artedo de la desvacó to de la muestra, R/d = varabldad estmada artedo del recorrdo medo R de N subgruos de la muestra [fórmula de hewhart], (ver valores de d e la Tabla D del Aeo D), Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 9

102 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ' = varabldad coocda, DTM = desvacó to máma. Las crcustacas que acoseja la alcacó del cotrol de rececó or varables, so las sguetes:. La característca a seccoar es ua varable o es caaz de ser uesta e ua escala varable.. La seccó or atrbutos es demasado costosa (temo de seccó, aturaleza destructva del esayo, etc.).. La seccó or atrbutos o da sufcete formacó y se desea coocer també la cuatía de la varacó. 4. La varable que se cosdera resode, al meos aromadamete, a ua dstrbucó ormal o de Gauss. Las característcas que dstgue u la de muestreo or varables, de u la or atrbutos, so las sguetes:. e obtee ua roteccó equvalete, co u tamaño de muestra más equeño.. Puede alcarse solamete a la acetacó o rechazo de ua característca de seccó.. Por lo geeral mlca mayores costes admstratvos. e requere u ersoal más hábl, se ecesta más cálculos, se comete más errores de cálculo, y requere u equo de seccó más caro. 4. Geeralmete ofrece ua base más aroada ara mejorar la caldad y da mucha más formacó e stuacoes de rechazo. Al cosderar s covee alcar el muestreo or atrbutos o or varables a ua característca de seccó, u estudo suerfcal uede ctar al emleo del últmo sstema, ero u aálss del coste acoseja a meudo la eleccó del rmero MIL-TD-44 Auque este muchas fuetes autorzadas de laes de rececó basados e el muestreo or varables, aquí sólo se descrbrá co detalle la orma MIL-TD-44. Como la MIL-TD-05, este documeto se ha covertdo e ua orma de uso correte ara las emresas rvadas. La MIL-TD-44 tee cuatro seccoes: A, B, C y D. Las dos Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 94

103 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas rmeras será objeto de elcacó detallada. - La eccó A cotee ua descrcó geeral de los laes de muestreo. Establece ormas ara el uso de los laes, clasfcacó de defectos, eresó de la dscoformdad, Nvel de Caldad Acetable (NCA), resetacó del roducto, acetabldad del lote, seleccó de muestras, cambos e la severdad de seccó, y rocedmetos esecales ara la alcacó de laes de muestreo mtos (de varables y atrbutos). alvo las ecesaras adcoes y cambos requerdos ara la terretacó de varables, las struccoes ara la alcacó de los laes, cocde co las ya descrtas ara el cotrol or atrbutos. La eccó A cotee també ua Tabla de coversó del NCA (Tabla D sueror del Aeo D) y ua Tabla de letras de códgo de tamaño muestral (Tabla D feror del Aeo D) e fucó del tamaño del lote y el vel de seccó (de I a V) adotado. A meos que se esecfque otra cosa, se rescrbe el uso del Nvel IV. Es evdete que los veles más altos corresode a laes más rgurosos. Las letras de códgo so reresetatvas del tamaño de muestra que se ha de tomar. Las curvas característcas ara todos los laes se halla cludas també e la eccó A. Este catorce NCA a utlzar, cocdetes co los cotedos e la MIL-TD-05. Los sectores uede cosultar esta seccó, al determar el NCA y la letra de códgo del tamaño de muestra, y observar los resgos heretes a la alcacó del la. La eccó B cotee struccoes ara la alcacó de los laes del método de desvacó to descoocda, ara límtes de esecfcacó smle y dobles; tablas maestras ara las seccoes ormal, rgurosa y reducda; tablas ara la estmacó del orcetaje defectuoso, emleado el método de desvacó to; struccoes y tablas ara estmar la caldad meda; crteros ara la seccó reducda y rgurosa; valores de F ara DTM (desvacó to máma), y ejemlos de cálculo. E dcha seccó se esecfca dos tos de métodos de cálculo. Los emleados al rco de este aartado se desga or Forma, y es la úca que desarrollaremos aquí. La coversó de las desvacoes ormales e orcetaje de la curva de Gauss, más allá de los límtes de esecfcacó, ates de la alcacó de los crteros, se desga or Forma (o euesta aquí). E la MIL-TD-44, hay ejemlos de cálculo que muestra los rocedmetos ara alcar los crteros de acetacó de las Formas y a u roblema cuado sólo este u límte de esecfcacó. e emlea el método de desvacó to descoocda. La Tabla 4D del Aeo D, que reroduce la Tabla B- de la MIL-TD-44, y la Tabla B-4 de la msma (o reresetada aquí) corresode a la seccó reducda emleado los métodos de la Forma y de la Forma, resectvamete. Las codcoes ara staurar la seccó reducda so las sguetes: Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 95

104 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Codcó A. Los 0 lotes recedetes (o cualquer otro úmero de lotes desgado) ha estado bajo seccó ormal y guo ha sdo rechazado. Codcó B. El orcetaje defectuoso estmado ara cada uo de estos lotes recedetes es meor que el límte feror alcable, mostrado e la Tabla B-7 de la MIL- TD-44; o, ara crtos laes de muestreo, el orcetaje defectuoso es gual a cero ara u úmero esecfcado de lotes cosecutvos. Codcó C. La roduccó se realza a u rtmo estable. e restaura la seccó ormal s, durate la seccó reducda, tee lugar cualquera de las sguetes codcoes: Codcó D. se ha rechazado u lote. Codcó E. la meda estmada del roceso es mayor que el NCA. Codcó F. la roduccó se hace rregular o se retrasa. Codcó G. Otras codcoes que acoseje la remlatacó de la seccó ormal. La seccó rgurosa se mlata cuado la meda estmada del roceso determada medate los 0 lotes recedetes (o cualquer otro úmero de lotes desgado) es mayor que el NCA, y cuado más de u certo úmero, T, de estos lotes, tee estmacoes de orcetaje defectuoso que ecede del NCA. La meda calculada del roceso es la meda artmétca oderada de los orcetajes defectuosos de los lotes recedetes desgados. Los valores de T se da e la Tabla B-6 de la MIL-TD-44, ara la meda del roceso, ara cco, dez o quce lotes. la letra de códgo del tamaño de muestra o es la msma ara todas las muestras emleadas, el uso de la Tabla ctada se determa or la letra corresodete al tamaño de la meor de las muestras emleadas e cualquera de los lotes cludos e la estmacó de la meda del roceso. La seccó ormal se restaura s la meda de roceso estmada de los lotes bajo seccó rgurosa es gual o feror al NCA. La Forma uede emlearse també ara el caso de límtes a ambos lados (límtes de esecfcacó sueror e feror). Las catdades (- )/s y ( -I)/s debe ser guales o mayores que k, ara que el lote sea acetable. Para determar la Desvacó To Máma (DTM) se busca e la Tabla 5D del Aeo D el valor aroado de F. La DTM se calcula hallado el roducto de F y (-I). El crtero de acetacó ege que DTM sea gual o mayor que la desvacó to, segú la eresó. - La eccó C es alcable a la stuacó de varabldad descoocda y es eactamete la msma que la eccó B, eceto que las tablas se basa e cálculos que emlea el recorrdo medo R como medda de varabldad. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 96

105 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas - La eccó D es alcable a la stuacó de varabldad coocda y está dsuesta como las eccoes B y C, ero al ser la varabldad coocda, o se estma a artr de los datos de la muestra. Caítulo 6 - Muestreo de acetacó 97

106 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos. - Itroduccó El cotrol estadístco de rocesos o PC (tatstcal Process Cotrol) está basado e el cotrol vsual a través de gráfcas que ermte ajustar y cotrolar la eacttud y recsó de u rocedmeto. e utlza de maera geeralzada e la dustra como técca ara la vglaca de los rocesos de roduccó a f de detfcar y rever de forma rematura la aarcó de varacoes. E los rocesos de roduccó se retede alcazar uos estádares de caldad que ermta la fabrcacó masva de roductos, de forma que su varabldad sea la meor osble, hecho que faclta su reettvdad. La varacó e cualquer roducto es ua característca evtable, asocada dsttas causas eglobadas e los deomados 6M (mao de obra, materal, maquara, método, medo ambete y medcó) de forma que auque se realce ua tesa caactacó de oeraros, verfcacó de materales, calbracó de las máquas, ajuste de rocedmetos, cotrol de factores ambetales y ajuste de los aaratos de seccó o se uede llegar a evtar. embargo hay causas esecífcas de esta varabldad, como uede ser la falta de formacó del oeraro, el uso de materal o maquara e malas codcoes, la alcacó de rocedmetos, etoro o equos de seccó adecuados, que e caso de ser detectadas odría ser fáclmete corregdos, aumetado la caldad del roducto. Teedo e cueta lo ateror, cualquer roceso uede ser cosderado como u sstema e el que se roduce etradas asocadas a varables aleatoras que uede ser clasfcadas e cotrolables y o cotrolables, a artr de las cuales se obtee uos resultados verfcables, que tras su aálss ermte la otmzacó del sstema (Fgura 7.). Fgura 7. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 98

107 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Las varables que afecta a todo roceso se clasfca e: Varables o asgables (o cotrolables). o debdas a causas aleatoras o aturales del rocedmeto, muy frecuetes y dfícles tato de detectar como de elmar (que roduce el deomado rudo de fodo). Varables asgables (cotrolables). o debdas a causas o aleatoras o o aturales del rocedmeto, oco frecuetes e sstemas correctamete ajustados y fácles tato de detectar como de determar su orge. ua vez ajustado el rocedmeto medate la determacó y lmtacó de las varables cotrolables, el roceso sufre equeñas fluctuacoes debdo a varables o cotrolables, dfíclmete asgables a ua causa esecífca, se dce que el roceso está bajo cotrol estadístco (lo que ermte que su comortameto sea reettvo y redecble). embargo, cuado la varacó del roceso es debda a varables cotrolables y fáclmete asgables a ua causa esecífca, el roceso tede a stuarse fuera de cotrol estadístco. El uso de las gráfcas de cotrol es u rocedmeto utlzado ara rever la aarcó de varacoes e los rocesos que afecta de maera egatva a la caldad del roducto, debdo a causas asgables, y or lo tato detfcables. Ua vez detectada su aarcó, se uede vestgar sus causas y emreder las accoes correctoras corresodetes... - Modo, tamaño y frecueca e la toma de muestras Modo de toma de muestras Las muestras hay que tomarlas semre de forma aleatora. La seleccó de elemetos e ua muestra se uede realzar de dos maeras: a) E u state determado. Los elemetos de la muestra se toma e el msmo state or lo que la varacó del arámetro de estudo etre dchos elemetos es míma, s embargo faclta su deteccó etre dsttas muestras, lo que mejora la determacó de las causas de varacó atrbubles e cada state. b) E u tervalo de temo. Los elemetos de la muestra se toma e dsttos states or lo que es más fácl que esta varacó del arámetro de estudo etre los elemetos de ua Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 99

108 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas msma muestra, lo que faclta la deteccó temraa de causas atrbubles e el temo. Ideedetemete del método emleado ara obteer las muestras, los lotes de los que se obtega deberá ser homogéeos, etededo como tales que las ezas que lo forma haya sdo obtedas e las msmas codcoes (msmo oeraro, máqua rocedmeto, ). Tamaño de las muestras Para decdr el tamaño de las muestras se suele teer e cueta los sguetes crteros: - Cuato más grade es el tamaño de la muestra, más se aroma los límtes de cotrol al valor cetral, or lo que so más sesbles a equeñas varacoes. Para detectar cambos relatvamete grades (del orde de ) so sufcetes tamaños de muestra de 4 a 6 elemetos. - Cuato más grade es el tamaño de la muestra, mayor es el coste de seccó. - Cuado las ruebas a realzar mlque la destruccó del elemeto, el tamaño de la muestra ha de ser el mímo osble. 4- Cuado las muestras so equeñas se reduce el resgo de que el cambo se roduzca durate su obtecó, lo que o quedaría correctamete reflejado debdo a que la meda está fludo or las restates observacoes. La coclusó es utlzar u tamaño de muestra ta equeño como sea osble, ero que a la vez ermta detectar el cambo de la magtud requerda Ua alteratva a cremetar el tamaño de muestra ara aumetar la sesbldad del roceso es utlzar límtes de atecó o, lo que se cosgue añadedo codcoes adcoales, como se verá osterormete. Frecueca La frecueca de muestreo se relacoa co la frecueca de ajuste del roceso y el vel de cofaza que se tega e el msmo, de forma que ara rocesos que se desajusta de forma ráda la frecueca ha de ser mayor que e rocesos estables... - Aálss del roceso El cotrol estadístco está basado e la toma de decsó sobre s el roceso se ecuetra o o detro de los límtes admsbles, decsó que se toma utlzado las ruebas de hótess. E geeral estas ruebas de hótess so blaterales, co ua declaracó del to Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 00

109 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas H H 0 : 0 : 0 roceso bajo cotrol roceso fuera de cotrol y cuyo crtero de acetacó ara la hótess ula ( H 0 ) es que el estadístco de rueba ) se ecuetre detro de los límtes de acetacó defdos medate ( 0 dode: k 0 k k arámetro umérco asocado al vel de cofaza ( ) a defr or el aalsta - desvacó estádar oblacoal del arámetro e estudo Cuado el arámetro k vale el método se deoma 6 (Fgura 7.), ya que defe u domo de acetacó de logtud gual a 6 desvacoes tícas resecto del arámetro de estudo ( a cada lado del valor del arámetro ) 0 Fgura 7. Las gráfcas que se va a utlzar ermte determar de forma vsual s u roceso está bajo cotrol estadístco 6. A artr de coocer los valores de la meda y desvacó tíca oblacoal (,, o ˆ, ˆ, e los casos e que sea coocdos o estmados, resectvamete), se defe los valores sguetes: Líea Cetral (LC): Tedeca cetral del arámetro ( o ˆ ). Límte de Cotrol ueror (LC): Límte sueror de acetacó. LC o LC ˆ ˆ Límte de Cotrol Iferor (LCI): Límte feror de acetacó. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 0

110 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas LCI o LCI El roceso de cotrol de u sstema se dvde e dos etaas: Ajuste y cotrol... - Ajuste del roceso El ajuste del roceso se basa e defr el valor y los límtes de comortameto debdo a su varacó or causas ormales co los que se cosdera que el arámetro e estudo ( ) está bajo cotrol. Meda y varaza de la fucó de arámetros coocdos E caso de que a artr de la eereca se cooce los valores de la meda y desvacó tíca oblacoal (, ) se uede defr Líea Cetral (LC): ˆ ˆ Límte de Cotrol ueror (LC): LC Límte de Cotrol Iferor (LCI): LCI Por lo que se determa los límtes de la varacó ormal ara desarrollar su cotrol co lo que el roceso de ajuste se da or termado. Meda y varaza de la fucó de arámetros estmados se descooce dchos valores, se ha de realzar su estmacó medate muestras. Para ello se etrae k muestras aleatoras (M, M,, M k ). e faclta el roceso s todas so del msmo tamaño. Como la varable aleatora corresodete al arámetro a cotrolar ( ) sgue ua ley de comortameto ormal (o tedete a ser ormal segú el teorema cetral del límte) co meda y desvacó tíca,, cada uo de los elemetos de las muestras ( j ) reroduce e el arámetro este comortameto. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 0

111 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 0 k k k k k k k k, N, N, N,...,, M U M, N, N, N,...,, M U M, N, N, N,...,, M U M, N U A artr de estas muestras, se estma la meda y varaza del arámetro de estudo ( ˆ, ˆ ) co los que se defe Líea Cetral (LC): ˆ Límte de Cotrol ueror (LC): ˆ ˆ LC Límte de Cotrol Iferor (LCI): ˆ ˆ LC Por lo que se determa los límtes de la varacó ormal del cotrol embargo, o se uede asegurar que todas las muestras que se ha utlzado ara el ajuste del sstema esté bajo cotrol. Para ello se va a segur el sguete rocedmeto. Como cada muestra ( j M ) tedrá ua meda muestral del arámetro ( j ) dstta, se calcula j j y su valor ( j ) se localzará co u uto sobre la gráfca. Dchos utos se suele ur geerado ua líea quebrada la varacó de estos utos es ormal segurá ua curva de Gauss. Al aalzar la localzacó de los utos corresodetes a las medas muéstrales ( j ) del arámetro de estudo ( ) uede aarecer dos stuacoes: - Que todos los utos se ecuetre detro de los límtes de acetacó.

112 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas E este caso se aceta los límtes de cotrol obtedos y se cosdera que el roceso está ajustado. - Que alguo de los utos se ecuetre fuera de los límtes de acetacó. E este caso o se aceta los límtes obtedos. Habrá que aalzar las causas que ha oddo roducr esta aomalía, y e caso e el que sea asgables se elma la o las muestras e las que el uto está fuera de los límtes y se calcula co los valores o elmados los uevos límtes de acetacó. e el aálss se utlza varas gráfcas al msmo temo, la muestra de causas asgables cuyo valor está fuera de los límtes de acetacó se elma de todas las gráfcas. Co estos uevos límtes se cosdera que el roceso queda ajustado (o se vuelve a llevar los utos corresodetes a las medas muestrales sobre la gráfca). E cualquera de los dos casos, se llega a ua stuacó e la que se ha determado los límtes corresodetes al ajuste del roceso, defdos como los de fluctuacó atural del sstema debdo a causas o cotrolables. Este roceso de ajuste se realzará tato sobre las gráfcas de eacttud () como sobre la recsó ( o R) como se verá más adelate Cotrol estadístco del roceso Ua vez que el roceso se ecuetra ajustado, el rocedmeto segudo ara el cotrol estadístco del roceso es el sguete: e etrae k muestras aleatoras (M, M,, M k ) todas del msmo tamaño. Cada muestra ( M j ) tedrá ua meda muestral del arámetro ( j ) dstta, j cuyo valor ( j ) se llevará sobre la gráfca co los límtes del ajuste ateror (el roceso ya está ajustado), geerado ua líea quebrada. Aálss de la fluctuacó atural Cuado el sstema está bajo cotrol sgue ua varacó atural segú la cual el 68,% de los utos está detro del tervalo de acho resecto del valor cetral, el 95,5% está detro del tervalo de acho (lo que corresode al,6% etre y j Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 04

113 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ) y el 99,7% está detro del tervalo de acho (lo que corresode al,% etre y ), ecotrádose úcamete el 0,5% fuera de estos límtes e cada lado (Fgura 7.). 0,5%,%,6%,6%,% 0,5% 68,% 95,5% 99,7% Fgura 7. el uto corresodete a la muestra j y el valor medo de esta muestra (j, j ) está detro de los límtes de acetacó j se aceta la hótess ula ( H0 : 0 roceso bajo cotrol ) y se cosdera que el sstema se ecuetra bajo cotrol estadístco detro de los límtes de acetacó 6 co ua robabldad de error de to II (acetar la hótess ula cuado es falsa). el uto (j, j ) está fuera de los límtes de acetacó o j j se rechaza la hótess ula ( H0 : 0 roceso bajo cotrol ) y se aceta la alteratva ( H : 0 roceso fuera de cotrol ), cosderádose que el sstema se ecuetra fuera de cotrol estadístco 6, sedo la robabldad de aarcó del error de to I (rechazar la hótess ula cuado es certa) (Fgura 7.4). Fgura 7.4 Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 05

114 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas El error de to I co robabldad corresodete a que se rechace la hótess ula ( H 0 ) sedo verdadera aarecerá cuado la fluctuacó atural del sstema haga que u uto se ecuetre fuera de los límtes de acetacó, hecho mrobable ya que ocurrrá,7 veces de cada 000. El error de to II co robabldad, corresodete a que se acete la hótess ula ( H 0 ) cuado es falsa. Deede de la dstaca (d) etre el valor del arámetro real ( ) y el de rueba ( 0 ), de la desvacó tíca muestral que, ara el aálss de las medas asocado a la eacttud ( ), se obtee de la desvacó tíca del uverso ( ) dvdda etre la raíz cuadrada del úmero de elemetos de la muestra () 0 d Fgura 7.5 Tos de gráfcas E el aálss ara el cotrol or varables se va a utlzar dos gráfcas dsttas, ua deomada asocada a la eacttud, y otra deomada o R asocada a recsó, lo que da ombre a las gráfcas (- o -R). El uso de las gráfcas -R es debdo a la mayor smlcdad del cálculo de los ragos muestrales (R) frete a las desvacoes estádar muestrales (). A artr de llevar los valores de las muestras a la gráfca ajustada se etede mejor la dfereca etre las dos maeras de toma de muestras. Como ya se dcó, el caso de toma de muestras e u state determado faclta la deteccó de la varacó etre dsttos states, descoocedo el comortameto que se roduce etre ellas, metras que s los elemetos de la muestra se toma e dsttos states se faclta la deteccó de varacó a lo largo del temo (Fgura 7.6). Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 06

115 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Crteros alteratvos de rechazo Fgura 7.6 La caacdad de las gráfcas de cotrol ara detectar equeñas fluctuacoes del arámetro de estudo ( j ), debdo a que el aálss se realza co la meda muestral ( j ), ha motvado el desarrollo de crteros alteratvos ara el rechazo de la hótess ula. Estos crteros se basa e la troduccó de codcoes adcoales ara determar s u sstema está fuera de cotrol, auque las medas muestrales esté detro de los límtes de acetacó. Para ello se cosdera los domos y e el estudo. Las codcoes so las sguetes: - Dos de tres utos sucesvos está fuera de los límtes e el msmo lado de la líea cetral (LC) (Fgura 7.7). Fgura Cuatro de cco utos sucesvos está fuera de los límtes e el msmo lado de la líea cetral (LC) (Fgura 7.8). Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 07

116 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Fgura ete utos sucesvos está e el msmo lado de la líea cetral (LC) (Fgura 7.9). Fgura Ocho utos sucesvos crecetes o decrecetes (Fgura 7.0). Fgura Ocho utos sucesvos stuados etre los límtes y (Fgur 7.). Fgura 7. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 08

117 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 6- Quce utos sucesvos stuados etre los límtes (Fgura 7.). Fgura Catorce utos sucesvos stuados alteratvamete a cada lado de la líea cetral (LC) (Fgura 7.). Fgura 7. Este roceso de cotrol se realzará tato sobre las gráfcas de eacttud () como sobre la recsó ( o R) como se verá más adelate. Patroes de comortameto de u sstema Para su comresó se va a utlzar las sguetes gráfcas ara u estudo formado or 5 elemetos or muestra (corresodetes a los 5 utos or muestra) y 4 muestras. - Gráfca de meddas. La oscó de los utos corresode al valor del arámetro de estudo de cada uo de los elemetos de la muestra. De cada ua de las muestras se obtee su meda muestral ( ) y su varacó (e este caso defdo medate el rago R ). La lea cetral corresode a la meda de las medas muestrales. Esta gráfca, auque es muy reresetatva, o se suele utlzar (Fgura 7.4). Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 09

118 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Fgura Dagrama de cotrol de medas. Los valores de las medas muestrales se troduce e la gráfca de cotrol co sus límtes ya ajustados. E este caso los utos ha sdo susttudos or los símbolos y o se ha udo etre sí medate ua líea quebrada (Fgura 7.5). Fgura Dagrama de cotrol de ragos. Los valores de los ragos muestrales se troduce e la gráfca de cotrol co sus límtes ya ajustados. E este caso los utos ha sdo susttudos or los símbolos R y o se ha udo etre sí medate ua líea quebrada (Fgura 7.6). Fgura 7.6 Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 0

119 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 4- Dagrama de fucoes ormales. El comortameto de la eacttud y recsó está asocad a la meda y desvacó estádar de las dstrbucoes ormales corresodetes a cada ua de la muestras, que se rereseta de forma dvdual (e la fgura o se ha reresetado todas las muestras). Esta gráfca, auque es reresetatva, o se suele utlzar (Fgura 7.7). Proceso bajo cotrol estadístco Fgura 7.7 Cuado u sstema se ecuetra bajo cotrol estadístco, los valores corresodetes a las medas y desvacoes está detro de los límtes, or lo que su comortameto se uede cosderar ormal. Cuado el sstema está bajo cotrol estadístco se aceta la hótess ula e todas las muestras tato e eacttud como e recsó, or lo que se cosdera que todas las muestras sgue el msmo comortameto ormal tato e su valor medo como e su desvacó tíca. Las cuatro gráfcas reresetadas e la msma mage sería las sguetes (Fgura 7.8). Fgura 7.8 Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

120 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Proceso fuera de cotrol or varacó de la eacttud E este caso, auque e todas las muestras se aceta la hótess ula e cuato a recsó (R), o ocurre lo msmo e cuato a eacttud ( ) (Fgura 7.9). Fgura 7.9 Proceso fuera de cotrol or varacó de la recsó. E este caso, auque e todas las muestras se aceta la hótess ula e cuato a eacttud ( ), o ocurre lo msmo e cuato a recsó (R) (Fgura 7.0). R Fgura 7.0 Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

121 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Cambo reeto o gradual de vel (Fgura 7.) Fgura Cotrol or atrbutos de rocesos de fabrcacó El cotrol de la caldad durate el roceso suoe la racoalzacó de muchos objetvos de caldad ara lograr la mejor versó de las horas-hombre emleadas e el cotrol. El sstema de cotrol de caldad que debe emlearse es aquél que ermte efectuar el trabajo a u coste total de caldad ótmo. El térmo atrbuto, tal como se emlea e cotrol de caldad, es la roedad que tee ua udad del roducto de ser buea o mala, es decr, de estar o o de acuerdo co las esecfcacoes. La seccó or atrbutos está geeralmete asocada a los calbres asa-o asa, que ermte clasfcar las udades seccoadas e dos gruos: udades detro de las esecfcacoes y udades fuera de ellas. Medate seccó vsual se uede també searar las udades e dos categorías: buea o mala. La stuacó sí o o, buea o mala, es tíca de ua seccó or atrbutos. El cotrol de caldad or atrbutos de rocesos dustrales se realza comrobado s los roductos e curso de fabrcacó osee o o certa característca, s sus dmesoes está o o detro de certos límtes, o s tee o o defectos admsbles. Como orma geeral, los roductos que o suera la verfcacó se deoma defectuosos. El cotrol de caldad or atrbutos, tee alcacoes be defdas, como:. Cuado se trata de cotrolar característcas o medbles, como el asecto.. Cuado o teresa medr las característcas a cotrolar, orque es más ecoómco y rádo comrobar co u calbre asa-o asa s ua dmesó está detro de toleracas.. Cuado teresa cotrolar varos defectos smultáeamete. Al gráfco cofeccoado ara cotrolar este to de meddas de caldad se le cooce como Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

122 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas dagrama de cotrol or atrbutos. Costtuye u strumeto muy valoso ara el cotrol global de la caldad de u roceso, ara señalar erturbacoes e las característcas de caldad, sobre todo al rco del desarrollo del rograma de cotrol de caldad, y ara facltar formacó sobre la caldad a la dreccó... - Dagramas de cotrol or atrbutos E cotrol or atrbutos, uede realzarse bajo cuatro modaldades, que se dfereca fudametalmete e la forma de regstrar los defectos: a) Por fraccó defectuosa: e regstra la roorcó (o el orcetaje, 00 ) de roductos defectuosos sobre el total de udades de cada muestra. b) Por úmero de roductos defectuosos: e aota el úmero de roductos defectuosos d =. hallados e cada muestra. c) Por úmero de defectos: e regstra el úmero total de defectos D ecotrados e cada muestra. d) Por utos de demérto: Asgado ua utuacó W j a cada clase de defecto j, se calcula los utos totales Q j de demérto de los defectos D j ecotrados e cada muestra : Q W j D. Esta modaldad corresode al cotrol or utos de demérto j e cada muestra. També uede hacerse el cotrol or utos de demérto or udad e cada muestra : q = Q /. Cada modaldad tee alcacoes esecífcas como veremos más adelate. Las dstrbucoes de frecueca de la fraccó defectuosa, de los roductos defectuosos, de los defectos cotrolados o de los utos de demérto, se rereseta medate curvas que sgue e geeral la ley bomal o la de Posso, segú sea el tamaño de la muestra (), e relacó co el tamaño del lote (N), y la caldad de éste. e uede cosderar que sgue la ley bomal cuado: 0,N; 50; 0 0. Y sgue la ley de Posso cuado: 50; 0,0. Cuado 8, tato la ley bomal como la de Posso, uede asmlarse a la dstrbucó ormal (de Lalace-Gauss). Ver Fgura 7.. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 4

123 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Fgura 7. - Alcacó de las leyes de Posso, Bomal y Normal E todas las modaldades de seccó or atrbutos de rocesos de fabrcacó, la alcacó del cotrol se realza co arreglo al sguete esquema:. e defe las característcas a cotrolar.. e rograma la toma de muestras.. e verfca las característcas de los roductos. 4. e traza el dagrama de cotrol, co la líea cetral y las líeas de los límtes de cotrol (e ocasoes, també las líeas de los límtes de atecó). 5. e aalza el dagrama y se corrge la fabrcacó s es ecesaro Cotrol or fracco defectuosa Cosderemos e rmer lugar uo de los dagramas de cotrol más acetados: el de la fraccó defectuosa (o del orcetaje defectuoso 00). Es muy fácl de adatar y uede usarse ara cotrolar los atrbutos dstrbudos bomalmete. Normalmete, se emlea ara cotrolar la caldad del roducto cuado el orcetaje deal de defectuosos debe ser feror al 0%. Para la medcó de característcas de atrbutos ajeos a la caldad o es recso teer e cosderacó el techo del 0%. Esta cfra es, e realdad, u valor arbtraro. La justfcacó ara lmtar el orcetaje de defectuosos al 0% o meos, resde e el efecto que ejerce sobre la dreccó u valor de, or ejemlo, el 5% de udades defectuosas. Cuado se esera u orcetaje sueror al 0% uede eresarse la roorcó como defectos or udad, que suea mejor y es ua eresó más válda. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 5

124 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas e calcula la fraccó defectuosa cosderada e cada muestra seccoada, dvdedo el úmero de roductos defectuosos d hallados e la muestra etre el úmero total de los roductos que la comoe, : = d /, y s se oe e forma de orcetaje: 00 = 00. d /. Añadremos que e esta modaldad de muestreo or atrbutos, uede vararse el tamaño de las muestras, de ua toma a otra, ero o es acosejable. Valor equvalete a la meda: d ó d k. sedo k el úmero de muestras, d =. y = s es costate Valor equvalete a la desvacó to de las medas muéstrales: m ( ) Límtes de cotrol sueror e feror: L. C.. m L. C. I. m Límtes de atecó sueror e feror: L. A.. m L. A. I. m.) Característcas a cotrolar: Realmete, e este cotrol hay que destacar dos artculardades muy teresates: a) Que las característcas cotrolables so mucho más umerosas que e el cotrol or varables, que sólo seccoa las característcas medbles. b) E el cotrol or atrbutos uede verfcarse ua sola característca, como e el cotrol or varables, o varas al msmo temo, resultado así este cotrol mucho más rádo y ecoómco e determados casos. Por regla geeral, se refere cotrolar solamete ua característca, ues hay alguas cuyos defectos so fácles de corregr y otros muy dfícles, cuado o mosbles. Y també orque los dagramas suele estár muy fluecados or los defectos fácles, que se reseta e mayor roorcó que los dfícles..) Toma de muestras: Advertremos que debe realzarse al azar y, e líeas geerales, de la msma forma que ara u cotrol or varables. La úca dfereca esecal es que, Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 6

125 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas como el úmero de defectos ecotrados e cada muestra será e geeral equeño, se coge muestras mucho mayores que e el cotrol or varables: =50 ó más udades, co objeto de aumetar la sesbldad de la rueba..) Verfcacó de roductos y resetacó de datos: La verfcacó de los roductos recogdos e cada muestreo se realza de acuerdo co la característca que se trata de cotrolar. A veces basta ua seccó vsual; otras la alcacó de u calbre asa-o asa, ara clasfcar las ezas e correctas o defectuosas. E geeral, uede decrse que la verfcacó es más ráda que e el cotrol or varables y, a esar de que las udades que comoe cada muestra es mayor, resulta e cojuto el cotrol más rádo y ecoómco. 4.) Trazado del dagrama de cotrol: Ua vez obtedos los datos de las k muestras, se rocede al trazado del dagrama de cotrol, que costa de ua líea cetral (aralela al eje de abscsas), trazada or el valor obtedo ara ; dos líeas aralelas a aquella ara los límtes de cotrol, ua ara el sueror LC y otra ara el feror LCI; y otras dos líeas aralelas terores ara los límtes de atecó, ua ara el sueror LA y otra ara el feror LAI (Fgura 7.). Fgura 7. A cotuacó, se va llevado los valores de la fraccó defectuosa de cada muestra, a sus ordeadas corresodetes. todos los utos está ahora detro de cotrol, se Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 7

126 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas adota los uevos valores como deftvos. Puede suceder (como e este caso) que e el eríodo relmar aarezca alguos utos, corresodetes a alguas fraccoes defectuosas asladas, que se sale de los límtes de cotrol. se vestga las causas y se ecuetra, uede rescdrse de estas muestras y calcularse s ellas el uevo valor de la líea cetral y los uevos límtes sueror e feror de cotrol y de atecó. Habédose descuberto y corregdo la causa que rovocó la aormaldad e la toma de muestras úm., se elma los datos de esta muestra y se recalcula los arámetros (Fgura 7.4) e traza el uevo dagrama y como todos los utos está detro de cotrol, se adota este dagrama como deftvo. Fgura 7.4 Para hacer ua comrobacó estadístca uede agruarse ua sere de subgruos e uo solo y calcular la meda de la fraccó defectuosa de dcha sere, ara ver s varía e más de tres sgma del valor de la fraccó defectuosa tomada como ormal. E caso afrmatvo, uede adotarse este uevo valor como ormal ara la roduccó futura. 5.) Aálss del dagrama de cotrol: Ua vez solucoadas las cdecas relmares, s se reseta, tal como hemos vsto e el árrafo ateror, y s el dagrama trazado co las rmeras muestras arece ormal, hay que decdr s se aceta como váldas la líea cetral y las de los límtes de cotrol, es decr, s resulta admsbles esa fraccó defectuosa meda y su dsersó. o se aceta, habrá que revsar el roceso y/o el tervalo de toleraca, ya que o uede lograrse mejor caldad co los elemetos de que se dsoe e ese mometo. E el Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 8

127 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas caso de que se estme el roceso satsfactoro y se acete la líea cetral y las de los límtes como deftvas, se rologa ara que srva de guía a la roduccó futura, y se rosgue el cotrol de uevas muestras. Para cada ua de éstas, se aota e el cuadro el úmero de la muestra, el tamaño de la msma y el úmero de roductos defectuosos d ecotrado; se calcula y se rereseta e el dagrama de cotrol. cae algú uto fuera de los límtes de cotrol, es muy robable que esta causas de varacó e el roceso, or lo que debe recederse medatamete a efectuar ua vestgacó, ara saber bajo qué codcoes se hzo la roduccó del lote a que erteece la muestra. se ecuetra el motvo de los utos fuera de cotrol y se uede corregr las causas, ara que o vuelva a ocurrr e la roduccó futura, se aula los datos de esa muestra y se cotúa el muestreo como s ada hubese ocurrdo. El valor medo de la fraccó defectuosa, debe revsarse de vez e cuado, co objeto de oerar lo más rómo osble a su verdadero valor. Es mejor hacerlo a tervalos regulares: cada mes, cada dos meses o cada 0 ó 40 muestras. No obstate, los cambos de la meda haca ua roduccó mejor, sólo debe admtrse s o reercute ecoómcamete sobre la roduccó; las varacoes de la meda haca orcetajes defectuosos mayores, debe evtarse, estudado sus causas, orque se deterora la caldad s beefco ecoómco Cotrol or úmero de ezas defectuosas E cotrol or úmero de roductos defectuosos es, e realdad, ua smlfcacó a efectos de cálculo del cotrol or fraccó defectuosa, y se utlza cuado todas las muestras está comuestas del msmo úmero de roductos (). Valor d equvalete a la meda: d. ó d d. k sedo k el úmero de muestras y = s es costate Valor equvalete a la desvacó to de las medas muéstrales: m.. ( ) d. ( ) Límtes de cotrol sueror e feror: L. C.. d m L. C. I. d m Límtes de atecó sueror e feror: L. A.. d m L. A. I. d m Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 9

128 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Como semre, s u límte feror (de cotrol o de atecó) es egatvo, se tomará el valor cero ara ese límte. Por lo demás, todo lo dcho ara el cotrol or fraccó defectuosa, sobre las característcas que se cotrola, la toma de muestras, la seccó de los roductos, resetacó de datos e terretacó de dagramas, tee lea alcacó al cotrol or úmero de ezas defectuosas (Fgura 7.5). Fgura 7.5 Ua objecó frecuete sobre los dagramas de cotrol or fraccó defectuosa o or úmero de roductos defectuosos, es el mortate tamaño de la muestra que se ecesta seccoar ara obteer ua formacó fdedga sobre la caldad del lote. Por ello, los talleres cuyos rocesos está caracterzados or equeños lotes (or ejemlo, de a 0 ezas/lote), debería desestmar el uso de dcho gráfco. Certamete s es equeña, debería ser sufcetemete grade ara que esta ua buea robabldad de obteer udades defectuosas e la muestra. De otra maera, la aarcó de ua sola udad defectuosa stuará a la muestra fuera de cotrol Cotrol or úmero de defectos Los defectos (o cualquer otro suceso de terés) uede cotrolarse medate u dagrama de forma semejate a la fraccó defectuosa (o orcetaje) y al úmero de ezas defectuosas. La codcó ara emlear el úmero de defectos D como ua eresó de rechazo es que el área de robabldad de ocurreca de u defecto sea muy costate de ua udad de seccó a otra. Ua udad de seccó uede estar costtuda or la Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 0

129 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas udad de roducto, 0 udades, 00 udades u otra catdad elegda (or ejemlo, el roo tamaño de muestra ). el tamaño de muestra ermaece costate, el resultado de la seccó uede eresarse e úmero de defectos, cosderádose mlíctamete referdos a cada muestra. Al adotar el úmero de defectos or 00 udades se guarda certo aralelsmo co el orcetaje defectuoso, lo que uede ser teresate s se desea emlear la orma MIL- TD-05 ara cotrol a largo lazo (Fgura 7.6). Valor D equvalete a la meda: D k D sedo k el úmero de muestras y suoemos costate Valor equvalete a la desvacó to de las medas muéstrales: m D Límtes de cotrol sueror e feror: L. C.. D m L. C. I. D m Límtes de atecó sueror e feror: L. A.. D m L. A. I. D m algú límte feror es egatvo, se tomará el valor cero ara dcho límte. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

130 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Fgura 7.6 Ua vez trazados los utos corresodetes a las k = 0 ó 0 muestras, hay que aalzar, como semre, s la líea cetral uede darse o o or deftva, sguedo el msmo roceso aalítco elcado ara el dagrama de cotrol or fraccó defectuosa. Este cotrol or atrbutos está esecalmete dcado cuado e cada udad de roduccó se uede resetar varos defectos smlares que, cluso s que la eza sea rechazable, hace que desmerezca su asecto y resetacó, y so or lo tato u dcador de la caldad. Cuado los defectos valorados tee dstta mortaca, se les calfca de acuerdo co ua utuacó que odere su gravedad, y se establece etoces u cotrol or utos de demérto, como veremos a cotuacó. El verdadero valor del dagrama de cotrol resde e su estádar y e los límtes de decsó ara realzar el cotrol de la caldad actual y "correte". El aálss del eríodobase se realza eclusvamete co el f de estmar la ejecucó asada, de forma que ueda establecerse los estádares obtebles y los límtes aturales de decsó Cotrol or utos de demérto E sstema de valoracó or utos de demérto uede utlzarse ara el cotrol del roceso de fabrcacó or atrbutos, como se ha dcho aterormete, y tee ua esecal utldad cuado se comrueba la esteca de dsttos tos de defectos, que reseta dferetes grados de gravedad (or ejemlo: defectos crítcos, graves, mayores, meores, etc.); este to de cotrol ha sdo documetado or Dodge y Torrey. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

131 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas El la de muestreo or utos de demérto requere que los defectos se clasfque y valore de acuerdo co su mortaca. se clasfca los dferetes defectos que uede resetarse e el roducto objeto de seccó, e M clases, a cada clase j se le asgará ua utuacó W j segú la gravedad de ese to de defecto (a mayor gravedad, mayor utuacó de demérto). E el la Dodge-Torrey los defectos se estructura e M = 4 clases (A, B, C y D), de mayor a meor gravedad, co ua calfcacó (oderacó o eso) de W a =00, W b =50, W c =0 y W d =l utos de demérto or clase de defecto, resectvamete. La utuacó de demérto meda Q de cada muestra, ara u eríodo-base o de refereca determado, e el que se ha seccoado k muestras de udades de roducto cada ua, suuesto costate el tamaño de la muestra, será: Valor Q equvalete a la meda: Q k k Q k jm j W k j. D j jm j W j k. D j edo: k = úmero de muestras M = úmero de clases Q = W. j D j = Putos de demérto totales de la muestra -ésma. W j = Putuacó de demérto del defecto de clase j-ésma. D j = Número de defectos de la clase j-ésma hallados e la muestra -ésma. D j = D j = Número total de defectos de la clase j-ésma (e las k muestras). Valor equvalete a la desvacó to de las medas muéstrales: m C M ( W j. W j. D j j k k k D j ) edo: D j = D j = Número total de defectos de la clase j-ésma (e las k muestras). Factor de varacó estádar C de demértos or muestra: Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

132 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas C k jm j W k j. D j jm j W j k. D j Límtes de cotrol sueror e feror: L. C.. Q m L. C. I. Q m Límtes de atecó sueror e feror: L. A.. Q m L. A. I. Q m Fgura 7.7 Ua vez reresetado el dagrama ha de decdrse s el estádar de caldad obtedo, eresado e utos de demérto Q 9, or cada muestra de = 00 udades (ó q= Q/ = 9 /00 = utos de demérto or udad), es acetable. o lo fuera, habría que revsar el roceso de fabrcacó ara lograr que roduzca artículos co mayor caldad (meos utos de demérto). Pero s el estádar es acetable, se rereseta el dagrama de cotrol corresodete, que se rologa ara ermtr la aotacó de los utos de demérto Q de las muestras seccoadas e los meses sucesvos, comrobado que se matee detro de cotrol. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 4

133 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Como e los aterores tos de cotrol or atrbutos: - e la determacó del estádar y reresetacó e el dagrama, algua de las muestras queda fuera de los límtes de cotrol, se aalza las causas que rodujero tal aormaldad. se descubre y se hablta meddas ara solucoarlas, uede desrecarse esa muestra e el cálculo de u uevo estádar, que reresetará ua roduccó de mejor caldad. - Covee, eródcamete, recalcular los arámetros que defe el dagrama de cotrol, hacedo terver los datos de todas las muestras seccoadas hasta ese mometo, ara aromarlo cada vez más a la dstrbucó real del roceso. e aalzará y corregrá las causas que ueda ocasoar el deteroro del estádar, or cuestó de caldad y orque suele llevar aarejados erjucos ecoómcos. el tamaño de la muestra o es costate, como suele suceder cuado se hace seccoes al 00%, los utos de demérto obtedos e cada muestra o so comarables, or lo que se requere referrlos a la udad de roducto. E ese caso, la utuacó de demérto meda q or udad de roducto se obtedrá medate la eresó: q Q k jm j k W j. D j jm W j j k. D j y costturá el estádar de demértos or udad, líea cetral del dagrama de cotrol de demértos or udad. e establece u factor de varacó ormal c de demértos or udad, cuyo valor es: c jm j W j. k D j jm j W j. D j La desvacó to del estádar de los utos de demérto or udad e las muestras vale: m c edo: / k = Promedo de los valores (tamaños de las muestras), s o se dfereca e gra maera. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 5

134 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Los límtes de cotrol y de atecó del dagrama será: L. C. q m L. A. q m e asa, lógcamete, de este to de cotrol de demértos or udad al cotrol de demértos or muestra, sedo el tamaño muestral costate, multlcado todas estas eresoes or. E efecto, Q = q. y C = c., or lo que la desvacó to de la meda muestral y los límtes de cotrol y de atecó se ve multlcados també or (Fgura 7.8). Fgura 7.8 Como e los casos aterores, este es el mometo de decdr s el estádar de caldad obtedo, eresado e utos de demérto or udad q=0 656 es o o acetable. o lo es, habrá que revsar el roceso de fabrcacó ara lograr que roduzca artículos co mayor caldad (meos utos de demérto). Pero s el estádar es acetable, se rereseta el dagrama de cotrol corresodete, que se rologa ara ermtr la aotacó de los utos de demérto or udad q = Q / de las muestras seccoadas e los meses sucesvos, comrobado que se matee detro de cotrol Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 6

135 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas. - Cotrol or varables de rocesos de fabrcacó La característca de caldad es la que uede medrse cuattatvamate or medo de ua escala de valores. Al gual que ocurre e la medcó de varables, la magtud de las desvacoes uede determarse co el msmo to de strumetos de medda, de esta forma se obtee más formacó sobre la característca de caldad que se eama, que e el caso de medcó de atrbutoslógcamete, esta formacó adcoal sólo odrá lograrse co mayor gasto, ya que, e geeral, los strumetos de medcó de varables reseta mayores costos de adquscó, coservacó y uso. Frecuetemete, la versó hecha es retable or la formacó adcoal obteda y or la reduccó lograda e la duracó de la seccó. Eucemos alguos ejemlos de característcas varables: temeratura, resó, ressteca a la traccó, dmesoes, dureza, acdez, etc. Los útles emleados ara medr estas característcas varables so també más o meos famlares. Frecuetemete, las característcas ormalmete cosderadas como atrbutos, so suscetbles de coversó a ua escala de varables. U ejemlo es la arecacó del sabor. Además de estmar el sabor de u almeto o bebda como bueo o malo, uede asgarse valores utuales de bue o mal sabor ara graduacó de to varable. eguramete, el método de cotrol estadístco de caldad or varables más coocdo es el dagrama de cotrol meda-recorrdo ( y R ). Auque costtuye u strumeto muy mortate del cotrol de caldad, ha recbdo demasada atecó e la lteratura, así como e los cursos de eseñaza académca e dustral. La gra dfusó de este método rovoca que sea alcado e muchas crcustacas e las que o está ecoómcamete justfcado. Advertremos que es u strumeto de cotrol que sólo debería emlearse ara u orcetaje muy equeño del total de las característcas de caldad. embargo, cuado su uso está justfcado, costtuye u strumeto muy mortate y efcaz ara el cotrol de la caldad de los rocesos. Realmete, el cotrol de caldad or varables de u roceso de roduccó se desarrolla de acuerdo co el sguete esquema:. e establece los objetvos del cotrol.. e defe y valora la característca a verfcar.. e rograma la toma de muestras. 4. e verfca las característcas e los roductos. 5. e traza los dagramas de cotrol. 6. e aalza los dagramas y se corrge la fabrcacó s resulta ecesaro. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 7

136 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Por lo geeral, el rmer aso ara alcar el cotrol de caldad cosste e establecer erfectamete los objetvos del cotrol, fjado las etaas del roceso de roduccó que teresa cosderar. Ahora be, las tres codcoes que debe cumlr el cotrol de caldad del roceso so: a) Que sea osble alcarlo s arar la fabrcacó, etorecerla, ues s así o fuera, e geeral los erjucos ocasoados sería suerores a los beefcos. b) Que sea útl y arovechables sus resultados ara corregr s fuera ecesaro la fabrcacó. c) Que sea ecoómcamete teresate, ues el terés ecoómco es el que se ersgue, geeralmete, e los rocesos dustrales. Las característcas que defe los roductos y que cofgura or lo tato su caldad, uede teer ua mortaca muy dstta, ues metras ua equeña varacó de alguas, como or ejemlo la dmesó de ua eza que ha de ajustarse e otra, uede hacer totalmete servble el roducto, la varacó de otras uede o afectar a su utlzacó. egú esto covee dstgur las característcas de u roducto segú su mortaca, ara o cotrolar más que las que sea absolutamete ecesaras, y evtar el costo y el deslfarro que suodría cotrolarlas todas, y o desechar ezas co defectos secudaros, erfectamete utlzables. E cocordaca co este crtero, se ha clasfcado las característcas de los fabrcados, segú su mortaca e: crítcas, rcales, secudaras y accesoras. Naturalmete, las característcas crítcas so las que afecta a la segurdad del roducto, como la comoscó de u medcameto. Estas característcas se cotrola, e geeral, utaramete (al 00%). Característcas rcales so las que afecta a la utldad del roducto. Por ejemlo, el límte elástco de u muelle, las dmesoes que ha de ajustarse e otras ezas, y e geeral las característcas fudametales de todos los roductos: olor de u erfume, color de ua tura, ressteca de ua eza mecáca fudametal, etc. Igualmete, las característcas secudaras so las que o afecta a la utlzacó fudametal de u roducto, como or ejemlo la logtud del eje de u motor, cuyo dámetro es característca rcal. Accesoras so las característcas que afecta eclusvamete a la resetacó, semre que ésta o sea fudametal (cosa que ocurre e los objetos de adoro, ya que e ellos la resetacó sí morta)... - Toma de muestras E cotrol de caldad de ua roduccó cas uca se realza al 00%, so or muestras comuestas de u úmero de elemetos, semre el msmo e cada muestra, tomados Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 8

137 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas co ua frecueca redetermada, y desde luego al azar. El úmero de elemetos que comoe cada muestra (tamaño muestral), e el cotrol or varables de u roceso de roduccó se acoseja que sea de 4 ó 5, ues so úmeros que da cálculos secllos y cocetes decmales eactos al hacer las medas artmétcas. Alguas veces, s embargo, or razoes de efcaca u otros motvos, se utlza muestras de mayor úmero de elemetos. La frecueca de las etraccoes se fja e cada caso artcular e fucó del grado de vglaca que se quere ejercer, de la frecueca de los ajustes que se cosdere ecesaros, y també del coste de la seccó. La frecueca ótma sería aquélla que redujera al mímo los costes de la seccó or muestreo, ero ermtedo descubrr efcazmete los cambos e el roceso. La eereca, más el coocmeto del temo de emeorameto del roceso, tal como el desgaste de la herrameta, cotamacó químca y reduccó de la ressteca, e la mayor arte de los casos, facltará al usuaro la deduccó de la mejor frecueca de muestreo. o se tee gua eereca, la roorcó de muestras deberá ser ecesaramete elevada, ara desceder a medda que se gae e coocmetos sobre el roceso. e acoseja seccoar al rco el 0% de la roduccó, reducedo la seccó al 5%, e cuato se comruebe que la roduccó está e cotrol, e cluso al 5% s se coserva el cotrol satsfactoramete. El tervalo de temo etre tomas de muestras sucesvas uede calcularse or la sguete fórmula: sedo: I = Itervalo de temo etre seccoes. I = N.t u =. K. t u N = Catdad fabrcada etre dos seccoes sucesvas (tamaño del lote). t u = Temo utaro de fabrcacó = Tamaño de la muestra. K = N/, es decr, úmero de veces que el lote cotee a la muestra: ara ua seccó del 0% vale N/=N/0 ln=0; ara ua seccó del 5% vale N/=N/0 05N=0; ara ua seccó del 5% vale N/=N/0 05N=40. Cualquera que sea el resultado del cálculo, se redodea los tervalos e fraccoes de hora (cuartos o medas horas). La toma de muestras se hace, e geeral, de los roductos saldos de la máqua, Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 9

138 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas recogedo al azar del materal acumulado durate el temo trascurrdo etre dos seccoes sucesvas. Es recomedable que las vstas de seccó, ara la recogda de muestras, o sea rgurosamete regulares, ara evtar que ueda cocdr co varacoes eródcas del roceso. Verfcaco de caracterstcas y resetaco de datos Para cotrolar las característcas a verfcar e las muestras, debe utlzarse strumetos de medda, be comrobados y cuya recsó sea sueror a la de las esecfcacoes. or ejemlo, las meddas vee co ua recsó de cetésmas de mlímetro, los strumetos debe arecar mcras. Los datos obtedos, uede ser las meddas, o be las dferecas etre la medda atró y las obtedas e el roceso de fabrcacó... - Dagramas de cotrol or varables smlfcados... - Gráfcas - Las gráfcas - ermte determar s u roceso está bajo cotrol estadístco 6 a artr del coocmeto o estmacó de la meda y desvacó estádar oblacoal (, ) del arámetro de estudo ( ) Coocdos la meda y desvacó estádar oblacoal (, ) - Gráfca (eacttud) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral or lo que su meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral so Coocdos los valores del uverso (, ), se defe los límtes de acetacó: Líea Cetral (LC): Límte de Cotrol ueror (LC): LC A Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 0

139 Valores Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Límte de Cotrol Iferor (LCI): LCI A dode los valores de A se ecuetra tabulados ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol (Fgura 7.9). Gráfcos - Gráfco (Eacttud) 6,60 6,55 6,50 6,45 Valores muestrales LC LC LIC 6, Muestas - Gráfca (recsó) Fgura 7.9 e va a grafcar utos corresodetes a la fucó desvacó estádar muestral () e la que or lo que su meda, varaza y desvacó estádar de la desvacó estádar muestral, ) fucó de la desvacó estádar muestral so (, E a E a E E a a a Coocdos los valores del uverso (, ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): a Límte de Cotrol ueror (LC): LC a a a a B6 Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

140 Muestras Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Límte de Cotrol Iferor (LCI): LCI a a a a B5 dode los valores de B 6, B5 se ecuetra tabulados ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol (Fgura 7.0). Gráfcos - Gráfco (Precsó) 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,0 0,0 0,0 0, Valores Valores muestrales LCs LCs LICs Fgura Estmadas la meda y desvacó estádar oblacoal a artr de muestras - Gráfca (eacttud) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral ( ) a artr de la meda de las medas muestrales ( ) j j La meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate k j k j ˆ ˆ ˆ a Estmados los valores de la meda muestral ( ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): ˆ Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos

141 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos Límte de Cotrol ueror (LC): A a ˆ ˆ LC Límte de Cotrol Iferor (LCI): A a ˆ ˆ LCI dode el valor de A se ecuetra tabulado ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol (Fgura 7.). Gráfcos - Gráfco (Eacttud) 6,0 6,5 6,40 6,45 6,50 6,55 6,60 6, Muestas Valores Valores muestrales LC LC LIC Fgura 7. - Gráfca (recsó) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó desvacó estádar muestral () e la que k j j k La meda, varaza y desvacó estádar de la desvacó estádar muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ a a ˆ a ˆ a a a ˆ ˆ a Estmados los valores del uverso, se defe los sguetes límtes:

142 Valores Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Líea Cetral (LC): ˆ Límte de Cotrol ueror (LC): a a ˆ ˆ LC a B4 a a Límte de Cotrol Iferor (LCI): ˆ ˆ a a LCI a B a a dode los valores de B 4, B se ecuetra tabulados ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol. E el caso e que B sea egatva, se toma el valor 0 (Fgura 7.). Gráfcos - Gráfco (Precsó) 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 Valores muestrales LCs LCs LICs 0,0 0, Muestras... - Gráfcas -R Fgura 7. Igual que e el caso ateror, las gráfcas -R ermte determar s u roceso está bajo cotrol estadístco 6 a artr de la determacó de la meda y desvacó estádar oblacoal (, ). e utlza or la smlcdad de la determacó de los resduos muestrales R Coocdos la meda y desvacó estádar oblacoal (, ) - Gráfca (eacttud) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 4

143 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas El resduo muestral de la muestra de elemetos se defe como la dfereca etre el mámo y el mímo de los valores R ma,, m,, La meda de los resduos muestrales de k muestras se defe medate,,,, R k k R k ma,, m,,,, k,, E la que sumado y restado la meda oblacoal ( ) y multlcado y dvdedo or la desvacó estádar oblacoal ( ) se estadarzada la varable aleatora ormal (Z) R k k k ma,, m,, ma,, m,,, ma k,,,, m k,,,,,,,,, k M ma Z,,Z mz,,z,,, m k,,, u meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral so Coocdos los valores del uverso (, ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): Límte de Cotrol ueror (LC): LC A Límte de Cotrol Iferor (LCI): LCI A dode los valores de A se ecuetra tabulados ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol (Fgura 7.). Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 5

144 Valores Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Gráfcos -R Gráfco (Eacttud) 6,60 6,55 6,50 6,45 Valores muestrales LC LC LIC 6, Muestas - Gráfca R (recsó) Fgura 7. e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda de los resduos muestrales ( R ) e la que R ma,, m,, R k k R or lo que su meda, varaza y desvacó estádar del rago muestral ( R, R, R ) fucó del rago muestral (s demostrar) so d d d R coocdos los valores del uverso ( R R, R R ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): R d Límte de Cotrol ueror (LC): LC R R d d d d D Límte de Cotrol Iferor (LCI): LCI R R d d d d D dode los valores de D, D, d, d se ecuetra tabulados ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol. E el caso ee. que D sea egatvo, se toma el valor 0 (Fgura 7.4). Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 6

145 Valores Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Gráfcos -R Gráfco R (Precsó) 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, Muestras Valores muestrales LCr LCr LICr Fgura Estmadas la meda y desvacó estádar oblacoal a artr de muestras - Gráfca e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral j j k j k j La meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó del rago muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ R d ˆ R R R d ˆ R d R ˆ d Estmados los valores del uverso, se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): ˆ Límte de Cotrol ueror (LC): R LC ˆ ˆ A d R Límte de Cotrol Iferor (LCI): R LCI ˆ ˆ A R d Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 7

146 Valores Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas dode el valor de A se ecuetra tabulado ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol (Fgura 7.5). Gráfcos -R Gráfco (Eacttud) 6,65 6,60 6,55 6,50 6,45 6,40 6,5 6, Muestas Valores muestrales LC LC LIC Fgura Gráfca R e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda de los resduos muestrales ( R ) e la que R ma,, m,, R k k R or lo que su meda, varaza y desvacó estádar ( R,R ) s demostrar so R ˆ R R R d ˆ R R d R R d ˆ R d R d coocdos los valores del uverso ( Líea Cetral (LC): ˆ R R R, R ), se defe los sguetes límtes: Límte de Cotrol ueror (LC): ˆ ˆ d d LC R R R R R R D4 d d Límte de Cotrol Iferor (LCI): ˆ ˆ d d LCI R R R R R R D d d Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 8

147 Valores Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas dode los valores de D 4, D se ecuetra tabulados ara dsttos tamaños muestrales (), a artr de los cuales se traza las rectas límte de acetacó (LC, LC, LCI) ara realzar los rocesos de ajuste y cotrol. E el caso e que D sea egatvo, se toma el valor 0 (Fgura 7.6). Gráfcos -R Gráfco R (Precsó) 0,0 0,5 0,0 0,5 0,0 Valores muestrales LCr LCr LICr 0,05 0, Muestras Fgura Dagramas de cotrol ara datos dvduales Es referble u gráfco de medas ( = 4 ó 5) a u gráfco de datos dvduales (=l), cuado el úmero de éstos dsoble es sufcete. embargo, a veces se tee ocos datos y, etoces, el trazado de las lecturas dvduales uede ser de algú valor, ara fes de cotrol. Co frecueca es útl, juto a u gráfco dvdual, u gráfco de recorrdo móvl, e el cual e u gruo de lecturas hay - recorrdos móvles de dos lecturas ( = ) -,,..., - e llama recorrdos móvles orque, e cada caso, la rmera lectura deja de teer efecto y se agrega la sguete lectura a la sere. U recorrdo móvl uede comoerse de cualquer úmero de lecturas dvduales deseadas ( = varable). E geeral, es u método ara suavzar los datos, ara fes de terretacó. Los límtes de cotrol se establece de la msma maera que ates. embargo, cada recorrdo deede del ateror, de forma que u valor trazado o tee or sí msmo gual sgfcado que e u gráfco de recorrdos covecoal. Los utos trazados debe costtur + tervalos searados, ates de que se haga deedetes. Las dos rmeras lecturas de recorrdo móvl, so deedetes etre sí, ero la rmera y la tercera o. Naturalmete, las coclusoes tradcoales de sgfcacó sólo uede hacerse sobre muestras deedetes. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 9

148 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 40 - Grafco (eacttud) LC ˆ ˆ, a ˆ Para > 8 a ˆ ˆ d R LC ˆ ˆ d R LCI El valor de d lo obteemos de la Tabla 7E del Aeo E, ara = s tomamos lecturas ara cada recorrdo móvl. - Grafco R (recsó) R R LC 4 R. D LC R. D LCI Los valores de D y D 4 los obteemos de la Tabla 7E del Aeo E.

149 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 4. - Esecfcacoes. o los límtes fjados or el clete, fabrcate o orma, a artr de los cuales se decde s la roduccó es o o válda. Ha de ser cumldos de forma oblgatora. La líea cetral ( LE ) y los límtes esecfcados sueror e feror ( LE, LEI ) se obtee del valor omal del arámetro de estudo (M) y de su toleraca (t, t ), de forma que so fjados drectamete, s gú to de lateameto estadístco (Fgura 7.7). M t t t t M M ma. m. M M t t Fgura 7.7 Las esecfcacoes afecta úcamete a la eacttud, or lo que va a dcar los límtes coocdos el arámetro de estudo (M) y de su toleraca sueror e feror (t, t ) Líea Cetral (LE): LE M. Límte de Cotrol ueror (LE): LE M t Límte de Cotrol Iferor (LEI): LEI M t Aálss de la caacdad de u sstema. Medate el cotrol estadístco de ua característca se asegura que la varabldad de su eacttud y recsó sgue u comortameto ormal debdo a causas o asgables, detro de los límtes de admsbldad ( 6 ). Co las esecfcacoes se dca las característcas que ha de teer el arámetro de estudo segú las ecesdades del clete, també detro de los límtes de admsbldad ( LE LEI ). E fucó de estos dos crteros uede aarecer dsttas stuacoes: Caso 6 LE LEI y sstema bajo cotrol estadístco. E este caso el sstema se comorta de forma ótma ya que los valores está detro de los límtes de cotrol estadístco del roceso sedo estos más restrctvos que las esecfcacoes del clete, tal como muestra la fgura sguete (Fgura 7.8). Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 4

150 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas LE LC 00 Valores LC LCI LEI 85 8:00 8:0 9:00 9:0 0:00 0:0 :00 :0 :00 :0 :00 :0 4:00 4:0 Fgura 7.9 embargo o semre el comortameto del sstema sgue este atró. Caso 6 LC es. LCIes. y sstema bajo cotrol estadístco. los límtes de esecfcacó del clete so más restrctvos que los límtes de cotrol estadístco del sstema, el sstema e su comortameto ormal o es caaz de cumlr co las esecfcacoes y or lo tato o es váldo, deedetemete de que los valores se ecuetre bajo cotrol (Fgura 7.9) LC LE Valores LC LEI LCI :00 8:0 9:00 9:0 0:00 0:0 :00 :0 :00 :0 :00 :0 4:00 4:0 Fgura 7.40 Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 4

151 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Caso 6 LC es. LCIes. y sstema fuera de cotrol estadístco. los límtes de esecfcacó del clete so meos restrctvos que los límtes de cotrol estadístco del sstema, ero los valores se ecuetra fuera de cotrol, auque el sstema está caactado, o está fucoado de forma adecuada, or lo que es ecesara su revsó ara buscar las varables asgables que lo stúa fuera de cotrol (Fgura 7.40). 0 0 LE LC Valores 0 LC LCI 00 LEI :00 8:0 9:00 9:0 0:00 0:0 :00 :0 :00 :0 :00 :0 4:00 4:0 Fgura 7.4 Caso 6 LC es. LCIes. y sstema fuera de cotrol estadístco. Es el caso más desfavorable. Ocurre s los límtes de esecfcacó del clete so más restrctvos que los límtes de cotrol estadístco del sstema, y además los valores se ecuetra fuera de cotrol. E este caso el sstema o está caactado y además o fucoa de forma adecuada, or lo que o es váldo (Fgura 7.4). Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 4

152 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 0 LE 0 LC Valores 0 LC LCI 00 LEI :00 8:0 9:00 9:0 0:00 0:0 :00 :0 :00 :0 :00 :0 4:00 4:0 Fgura Caacdad e ídce de caacdad del roceso. Caacdad del roceso. e defe como caacdad de u roceso el valor 6 corresodete al LC LCI del comortameto ormal ajustado. 6 LC LCI Ídce de caacdad del roceso. Es la relacó etre la dfereca de los límtes de esecfcacó del clete ( LE LEI ) y la caacdad del roceso ( 6 ). C P LE LEI 6 LE LEI LC LCI el roceso tee caacdad ara fabrcar el roducto el ídce de caacdad ( C ) ha de ser mayor que la udad, acosejádose el valor C,. Cuato mayor sea el ídce de caacdad ( C ), más facldad tedrá el roceso ara cosegur el objetvo de forma adecuada. Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 44

153 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Fgura 7.4 La codcó ara alcar el ídce de caacdad ( C ) es que el roceso esté cetrado resecto del valor omal del arámetro de estudo (M), lo que dca que la líea cetral (LE) del comortameto atural del sstema ( o ˆ e el caso de la eacttud) está róma al valor omal del arámetro de estudo (M). E caso cotraro se utlza el ídce M o ˆ M C k defdo medate la eresó C k co LE ˆ mímo ˆ LEI E la fgura se comrueba como auque la caacdad del royecto es mayor que la udad ( C ) al o ecotrarse el sstema cetrado resecto del valor omal del arámetro de estudo (M), el ídce caacdad. C k es meor que la udad y el sstema o tee Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 45

154 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Fgura 7.4 Caítulo 7 - Cotrol estadístco de rocesos 46

155 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas PROYECTO DE FIN DE CARRERA INFORME DEL MUETREO DE ACEPTACIÓN DE RODAMIENTO Y DEL CONTROL DEL PROCEO DE FABRICACIÓN DE ETO Y DE LO MOTORE ELÉCTRICO Tutor: José María García Terá Alumo: Eduardo Galca Adrés Fecha: 5/06/0 Igeería Técca Idustral esecaldad Mecáca INFORME 47

156 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Itroduccó Los resetes formes de muestreo de acetacó y de cotrol del roceso tee como objetvo realzar u estudo de los rodametos recbdos or arte del roveedor, ara la costruccó de motores eléctrcos, los cuales será osterormete aalzados. La rmera arte del forme cosstrá e realzar varos muestreos de acetacó de los lotes de rodametos sumstrados or el roveedor, del cual se dará los datos comletos del la a cotuacó. E la seguda arte, se decde otar or fabrcar osotros msmos las ezas ecesaras ara el motaje de los motores eléctrcos, se realzará u cotrol del roceso de los rodametos, ates de su motaje e los motores. E la últma arte se comrobará los defectos que ueda teer los motores eléctrcos fabrcados y se regstrará ara ver s uestra roduccó es correcta o o. INFORME 48

157 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas MUETREO DE ACEPTACIÓN DE RODAMIENTO INFORME 49

158 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Lote - Pla de muestreo e ha solctado a uestro roveedor que os sumstre los rodametos ara la fabrcacó de uestros motores eléctrcos y se va a revsar lotes de.000 udades cada uo. Para comrobar la caldad de dchos lotes y ver s se aceta, se ha establecdo u la de muestreo trle, que se realzará e ocasoes. Para ello emleamos la orma MIL-TD-05D y se establece u vel de seccó geeral II, u NCA =,5% y u NCL = 0%. Para obteer los arámetros del muestreo de acetacó c y r seguremos los asos que os marca la orma:. E la tabla 5D del aeo obteemos el códgo ara uestro lote de.000 rodametos, que e este caso sería: Tamaño del lote de.0 a.00 co u Nvel de Iseccó geeral II Letra K. E la tabla 6D del aeo obteemos el valor del NCA que vamos a usar e la tabla osteror. Para u NCA =,5% estamos etre,65 y,79 NCA =,5%. A cotuacó estableceremos los arámetros del la. E uestro caso es ua seccó ormal, la de muestreo múltle, letra K y NCA =,5%, or lo tato vamos a la tabla 4D y obteemos los sguetes datos: Muestra = c = 0 r = 4 Muestra = c = r = 6 Muestra = c = 5 r = 6 La tercera muestra tee de arámetros c = y r = 8, ero se ha establecdo como r = 6 y como r = c + teemos que c = 5, ya que al ser u muestreo trle o se va a tomar más muestras e caso de o cumlr co el la. El dato del rodameto que vamos a cotrolar es el dámetro tero co uas 0,050 0,050 esecfcacoes de 5 mm. Los valores que se ecuetre fuera de los límtes establecdos or las toleracas se cosderará o acetables (muestreo or atrbutos). U rmer cálculo que se uede realzar, dadas las toleracas egdas, es el de los t M t Límtes de Esecfcacó: Líea Cetral de Esecfcacó (LE): LE M 5 mm Límte de Esecfcacó ueror (LE): LE M t 5 0,05 5, 050 mm Límte de Esecfcacó Iferor (LEI): LEI M t 5 0,05 4, 950 mm INFORME 50

159 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas INFORME Curva característca de Oeracó (CCO) y Curva de Caldad Meda de alda (CM) Dado que los muestreos sgue el msmo la, las curvas CCO y CM so guales e todos CCO Vamos a costrur la curva CCO to B (to Bomal), ara el caso de muestreo trle, y ara reresetarla utlzaremos la ley de robabldad, que vee eresada medate: q q P!!! El suceso de acetacó está formado or los sguetes evetos: (,,0 ) (,,) (,,0 ) (,0, ) (,0,) (,0,0 ),,0 ) (,,) (,,0 ) (,, ) (,,) (,,0 ) ( (,0, ),0, ) (,0,) (,0,0 ) ( (,4,0 ) (,,) (,,0 ) (,, ) (,,) (,,0 ) (,, ) (,, ) (,,) (,,0 ) (,0 ) (0 ) Co sus robabldades asocadas corresodetes. 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( Para u valor or ejemlo de = 0, sería 0,094 ó 9,4%:

160 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Los cálculos y la reresetacó se ha realzado medate ua hoja de Ecel. A cotuacó se mostrará la tabla de datos y su reresetacó gráfca. 0 0,05 0,05 0,075 0, 0, ,445 0,94 0,08 0,04 0,04 0 0,65 0,6 0,4 0, 0, ,45 0,66 0,69 0,0 0,4 0 0,07 0,40 0,8 0,4 0, ,007 0,05 0,8 0,88 0,09 P a 0,965 0,66 0,90 0,094 0, ,5 5 7,5 0,5 0,5 0,75 0, 0,5 0,5 0,75 0 0,006 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,0 0,04 0,006 0,00 0,00 0,000 0,085 0,047 0,05 0,0 0,006 0,00 0,50 0,00 0,06 0,05 0,08 0, ,9 0,54 0, 0,07 0,045 0,05 P a 0,008 0,00 0,00 0,000 0,000 0, ,5 0,5 5 7,5 E este caso el NCA y el NCL está establecdos or osotros así que ara obteer los resgos del roductor y del cosumdor se calcula de la sguete forma: P c a, NCA NCA 0 c a, NCL NCL 0 P Cosderado ua robabldad de o coformdad de,5% ara el NCA y y ua NCA NCL robabldad de o coformdad de,5% ara el NCL ( NCA y NCL ), realzado los cálculos se obtee las robabldades de acetacó ara el vel de caldad acetable y vel de caldad límte, cuyos valores so: P a, NCA 0,965 P a, NCL 0, 094 INFORME 5

161 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Esto dca que co este muestreo el vel de caldad acetable (NCA) asocado a la robabldad de que se rechace u lote o resgo del roductor, cuado el orcetaje de o coformdad de los elemetos es feror al,5% (=0,05) es feror a la P r,nca =0,05 o sueror a P a,nca =-0,05=0,965 (96,5%), metras que el vel de caldad límte (NCL) asocado a la robabldad de que se acete u lote o resgo del cosumdor, cuado el orcetaje de o coformdad de los elemetos es sueror al 0% (=0,0) es feror a P a,ncl =0,094 (9,4%) INFORME 5

162 Probabldad de acetacó Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Curva Característca de Oeracó (CCO), 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, Porcetaje de defectuosos e el lote 00 INFORME 54

163 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - CM Para la curva de Caldad Meda de alda (CM) de to B, la obtecó de los dsttos utos se obtee multlcado el valor de (robabldad de o coformdad) or el de P a (robabldad de acetacó): ' P a A cotuacó se reresetará la curva co los datos obtedos de la hoja de cálculo. 0 0,05 0,05 0,075 0, 0,5 P a 0,965 0,66 0,90 0,094 0,06 ' 0 0,04 0,0 0,0 0,009 0,00 0,5 0,75 0, 0,5 0,5 0,75 P a 0,008 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 ' 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 INFORME 55

164 CM (ct. elemetos defectuosos) Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Curva de Caldad Meda de alda (CM) 0,05 0,0 0,05 0,0 0,05 0,0 0, ,05 0, 0,5 0, 0,5 0, Porcetaje de o coformdad 00 INFORME 56

165 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Prmer muestreo... - Muestra Tabla de datos 5,00 5,00 4,960 4,970 5,00 4 4,970 5, , , ,00 5 5, , , , , , ,00 8 4, ,90 8 4, , , , ,00 9 5,00 0 5,00 5, ,990 4,990 4,990 4,970 4,990 Como uede comrobarse e la tabla, hay utos de la muestra que se ecuetra fuera de los Límtes de Esecfcacó. Por lo tato o cumle co las esecfcacoes, ya que el úmero de ezas que o cumle ( = ) es mayor que el valor de acetacó (c = 0). Vamos a aalzarlo a cotuacó ara ver s rechazamos el lote o etraemos otra muestra. 0 c 0 0 No cumle c r 0 4 Luego sí que se etrae ua seguda muestra INFORME 57

166 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestra Tabla de datos 5,00 5,00 5,00 4,970 5, ,970 4, , , , , , ,00 6 4, ,00 6 4, ,00 8 4, , , ,00 8 4,90 9 5, , ,00 0 4,970 5,00 0 4,990 5,00 4,960 5,000 4,970 E este caso os sucede gual que co la rmera muestra. El úmero de ezas váldas del muestreo ( = ) + ( = ), es mayor que el valor de acetacó c =, luego tamoco cumle co los límtes de esecfcacó, tal y como mostramos a cotuacó. c 4 No cumle Ahora veremos s se etrae ua tercera muestra o s se rechaza el lote. c r 4 6 Luego sí que se uede etraer ua últma muestra INFORME 58

167 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestra Tabla de datos 4,980 5,00 5,00 5,00 4, ,980 4, ,00 5 5,00 4 5,00 5 5,00 6 5,00 5 5,00 6 4, , , , ,00 7 5, , , , ,00 0 4, , ,970 5,00 0 4,970 5,00 4,990 5,000 4,90 Dado que solo odíamos teer como mámo rodametos correctos, y que + = 4 y c = 5, uestro la se cumle orque =. A cotuacó la comrobacó. c e aceta el lote a falta de comrobar los resultados de los otros muestreos. INFORME 59

168 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - egudo muestreo... - Muestra Tabla de datos 5,00 5,040 4,980 4,960 5,00 4 4,980 5, , ,00 4 4, , , , , , , ,00 8 4, , , , , , ,00 9 5,00 0 5,00 4, ,970 4,980 5,00 5,00 5,00 E este segudo la de muestreo, la muestra ya cumle co lo establecdo e el la, orque al ser = c = 0, y or lo tato se acetará el lote s el últmo muestreo cumle co uestro la 0 c e acetará el lote s el sguete muestreo també cumle. INFORME 60

169 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.4. - Tercer muestreo Muestra Tabla de datos 4,970 5,00 4,960 5,00 5, ,990 5, , ,00 4 5,00 5 5,00 6 4, , , , , , ,00 7 4, ,90 9 4, , , , ,00 0 5,00 5,00 0 4,990 4,990 5,00 5,040 5,00 Como uede comrobarse e la tabla, hay utos de uestra muestra que se ecuetra fuera de los Límtes de Esecfcacó. Por lo tato o cumle co las esecfcacoes, ya que el úmero de ezas que o cumle ( = ) es mayor que el valor de acetacó (c = 0). Vamos a aalzarlo a cotuacó ara ver s rechazamos el lote o etraemos otra muestra. 0 c 0 0 No cumle c r 0 4 Luego sí que se etrae ua seguda muestra INFORME 6

170 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Muestra Tabla de datos 5,00 5,040 5,00 5,00 5,00 4 4,980 4, , ,00 4 5, , , , , ,00 6 4, , , ,00 8 4, , , , , ,00 0 4,970 5,00 0 4,990 5,040 4,970 5,00 5,00 E esta seguda muestra teemos rodametos que o cumle co los límtes establecdos ( = ), la suma ( = ) + ( = ) = 6, suera el valor de c =, luego hay que comrobar s se etrae ua tercera muestra o o. c 6 No cumle Ahora veremos s se etrae ua tercera muestra o s se rechaza el lote. c r 6 6 Luego tamoco cumle y se rechaza el lote de.000 rodametos de este roveedor. e decde or tato devolver a este roveedor el lote de rodametos ara que se ecargue de realzar ua seccó al 00% o lo que cosdere oortuo. el sguete lote se rechazase de uevo se asaría a ua seccó rgurosa y de rechazarse otro desués del cambo buscaríamos otro roveedor de rodametos. Ates vamos a estmar la meda y la desvacó estádar oblacoal de este roveedor. INFORME 6

171 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.5. - Estmacó de la Meda y la Desvacó estádar oblacoal Para estmar los valores de la meda y desvacó estádar oblacoal emlearemos la teoría de la fereca estadístca que hemos elcado e el royecto ara el caso de varas muestras y desués lo alcaremos ara los tres muestreos Estmador sesgado de la meda oblacoal co varas muestras y muestreos ˆ La determacó de la meda de la meda muestral ( ) se obtee medate k j j k 5,005 4,9978 5,0006 Luego la meda estmada del rmer muestreo sería ˆ 5, 000 5,000 e haría lo msmo ara los otros muestreos y tedríamos: ˆ 5,006 y ˆ 5,000 Co lo que la meda oblacoal estmada sería: ˆ ˆ ˆ ˆ 5,00 5, Estmador sesgado de la desvacó estádar oblacoal co varas muestras y muestreos ˆ La determacó de la varaza meda ( ) se obtee medate k j y ara la desvacó estádar k 0, , , ,0004 0, ,0004 INFORME 6

172 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 0,08475 ˆ ˆ a 0,08475 La desvacó estádar estmada del rmer muestreo sería ˆ 0,08475 e haría lo msmo ara los otros muestreos y tedríamos: ˆ 0, y ˆ 0,09896 Co lo que la desvacó estádar oblacoal estmada sería: ˆ ˆ ˆ ˆ 0, ,0 INFORME 64

173 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Lote - Pla de muestreo Como hemos dcho al fal del forme ateror se va a comrobar u segudo lote. Dado que el la es el msmo, todos los arámetros y las curvas CCO y CM so guales. Muestra = c = 0 r = 4 Muestra = c = r = 6 Muestra = c = 5 r = 6 INFORME 65

174 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Prmer muestreo... - Muestra Tabla de datos 5,00 5,00 4,960 4,990 5,00 4 4,970 5, , ,00 4 4, , , , , , ,00 7 5, , , , , , ,00 0 5,00 9 5,00 0 5,00 5, ,990 4,990 5,00 4,980 5,000 Como uede comrobarse e la tabla, hay utos de uestra muestra que se ecuetra fuera de los Límtes de Esecfcacó. Por lo tato o cumle co las esecfcacoes, ya que el úmero de ezas que o cumle ( = ) es mayor que el valor de acetacó (c = 0). Vamos a aalzarlo a cotuacó ara ver s rechazamos el lote o etraemos otra muestra. 0 c 0 0 No cumle c r 0 4 Luego sí que se etrae ua seguda muestra INFORME 66

175 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestra Tabla de datos 4,980 5,00 4,990 4,990 5,00 4 4,970 5,00 4 5,00 5 5, ,00 5 5, , , , , ,00 7 5,00 8 5, , , ,00 8 5, ,00 0 5,00 9 5, ,00 4, ,970 4,990 4,980 4,980 4,960 E este caso os sucede gual que co la rmera muestra. El úmero de ezas váldas del muestreo ( = ) + ( = 0), es mayor que el valor de acetacó c =, luego tamoco cumle co los Límtes de esecfcacó, tal y como mostramos a cotuacó. c 0 No cumle Ahora veremos s se etrae ua tercera muestra o s se rechaza el lote. c r 4 Luego sí que se uede etraer ua últma muestra INFORME 67

176 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestra Tabla de datos 5,000 5,00 5,000 4,990 5,00 4 4,970 5,00 4 4, ,00 4 5,00 5 5,00 6 4, , , ,00 6 4, ,00 8 5, , , ,00 8 5, , ,00 9 5, ,00 4, ,970 5,00 4,990 4,990 4,980 E esta muestra s que se cumle el la, ya que + + = y c = 5, ya que = 0. A cotuacó la comrobacó. c e aceta el lote a falta de comrobar los resultados de los otros muestreos. INFORME 68

177 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - egudo muestreo... - Muestra Tabla de datos 5,00 5,00 5,000 5,000 5,00 4 4,970 5,00 4 4, ,00 4 4, ,00 6 4, , , ,00 6 5,00 7 5,00 8 4, , , , ,00 9 5, ,00 9 5,00 0 5,00 5,00 0 4,990 4,970 5,00 4,980 5,00 Como uede comrobarse e la tabla, hay uto de uestra muestra que se ecuetra fuera de los Límtes de Esecfcacó. Por lo tato o cumle co las esecfcacoes, ya que el úmero de ezas que o cumle ( = ) es mayor que el valor de acetacó (c = 0). Vamos a aalzarlo a cotuacó ara ver s rechazamos el lote o etraemos otra muestra. 0 c 0 0 No cumle c r 0 4 Luego sí que se etrae ua seguda muestra INFORME 69

178 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestra Tabla de datos 4,940 5,000 5,00 4,990 5,00 4 5,00 5,00 4 5,00 5 4, , , , , , ,00 6 5,00 7 5,00 8 4, , , ,00 8 5,00 9 5,00 0 5,00 9 5,00 0 5,00 4, ,990 4,960 4,980 4,980 4,970 Nuevamete os sucede gual que co la rmera muestra. El úmero de ezas váldas del muestreo ( = ) + ( = ), es mayor que el valor de acetacó c =, luego tamoco cumle co los Límtes de esecfcacó, tal y como mostramos a cotuacó. c No cumle Ahora veremos s se etrae ua tercera muestra o s se rechaza el lote. c r 4 Luego sí que se uede etraer ua últma muestra INFORME 70

179 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestra Tabla de datos 5,00 5,040 5,000 4,960 5,00 4 4,980 5,00 4 4, ,00 4 5,00 5 5,00 6 4, , , ,00 6 5, ,00 8 5, , , , ,00 9 5,00 0 5,00 9 5, ,980 4, ,980 5,00 5,00 4,990 4,990 E esta muestra s que se cumle el la, ya que + + = y c = 5, ya que = 0. A cotuacó la comrobacó. c e aceta el lote a falta e fucó del últmo muestreo. INFORME 7

180 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Tercer muestreo... - Muestra Tabla de datos 5,040 5,00 5,000 4,960 5, ,990 5,00 4 4, ,00 4 4, ,00 6 4, , , ,00 6 5,00 7 5,00 8 5, , , , ,00 9 5, ,00 9 5,00 0 5,00 4, ,960 4,960 5,00 4,980 5,00 Como uede comrobarse e la tabla, hay uto de uestra muestra que se ecuetra fuera de los Límtes de Esecfcacó. Por lo tato o cumle co las esecfcacoes, ya que el úmero de ezas que o cumle ( = ) es mayor que el valor de acetacó (c = 0). Vamos a aalzarlo a cotuacó ara ver s rechazamos el lote o etraemos otra muestra. 0 c 0 0 No cumle c r 0 4 Luego sí que se etrae ua seguda muestra INFORME 7

181 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas... - Muestra Tabla de datos 5,040 5,00 5,00 4,990 4, ,00 5,00 4 5,00 5 4, , , ,00 5 4, , ,00 6 5,00 7 5,00 8 4, , , ,00 8 5, ,00 0 5,00 9 5,00 0 5,00 4, ,960 4,980 4,970 4,990 4,970 E esta muestra el úmero de ezas váldas del muestreo ( = ) + ( = 0), es gual que el valor de acetacó c =, luego cumle co los Límtes de esecfcacó, tal y como mostramos a cotuacó y or lo tato o es ecesara ua tercera muestra. Al cumlrse los muestreos se aceta el lote de.000 rodametos de este roveedor. c 0 í cumle y se aceta el lote Tal y como se ha dcho se aceta este lote y se matee la seccó ormal co este roveedor y deededo de los lotes sucesvos se realzará cambos e el vel de seccó de ser ecesaro, so se matedrá el que teemos. INFORME 7

182 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.4. - Estmacó de la Meda y la Desvacó estádar oblacoal Para estmar los valores de la meda y desvacó estádar oblacoal emlearemos la teoría de la fereca estadístca que hemos elcado e el royecto ara el caso de varas muestras y desués lo alcaremos ara los tres muestreos Estmador sesgado de la meda oblacoal co varas muestras y muestreos ˆ La determacó de la meda de la meda muestral ( ) se obtee medate k j j k 5,0048 4, ,99975 Luego la meda estmada del rmer muestreo sería ˆ 5,0008 5,0008 e haría lo msmo ara los otros muestreos y tedríamos: ˆ 5,00098 y ˆ 4,99975 Co lo que la meda oblacoal estmada sería: ˆ ˆ ˆ ˆ 5, , Estmador sesgado de la desvacó estádar oblacoal co varas muestras y muestreos ˆ La determacó de la varaza meda ( ) se obtee medate k j y ara la desvacó estádar k 0, , , , , , INFORME 74

183 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 0, ˆ ˆ a 0, La desvacó estádar estmada del rmer muestreo sería ˆ 0, e haría lo msmo ara los otros muestreos y tedríamos: ˆ 0,0476 y ˆ 0,0548 Co lo que la desvacó estádar oblacoal estmada sería: ˆ ˆ ˆ ˆ 0,0505 0,05 INFORME 75

184 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas CONTROL DEL PROCEO DE LO RODAMIENTO INFORME 76

185 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas. - Itroduccó Co el aso del temo se ha decddo vertr e maquara ara oder fabrcar osotros msmos las dsttas ezas ara la fabrcacó de los motores eléctrcos, etre las que se ecuetra los rodametos, y así o deeder de otros. Co lo que ahora vamos realzar u cotrol del roceso de los rodametos ates de motarlos e los motores eléctrcos. Para ello vamos a tomar 5 muestras daras de 5 rodametos cada ua, de lues a veres. Estos datos será tabulados y reresetados gráfcamete e los dagramas de cotrol de rocesos. Desués realzaremos u aálss de dcho roceso, comrobado las dsttas aomalías e él y sus osbles solucoes e caso de ecestarlas.. - Cotrol del roceso Los datos de las dsttas muestras ha sdo recogdos a cotuacó. Muestra 4 5 Meda Rec. Var. Desv. 5,00 4,970 4,990 5,00 5,040 5,006 0,070 0,00 0,07 5,00 5,000 4,960 4,940 5,00 4,99 0,090 0,00 0,09 5,00 4,980 4,970 5,00 5,000 5,000 0,060 0,00 0,06 4 4,990 5,00 5,400 5,060 4,980 5,088 0,40 0,0 0,77 5 5,040 5,060 4,960 5,040 5,000 5,00 0,00 0,00 0, ,940 5,00 5,000 4,960 4,990 4,984 0,090 0,00 0,05 7 5,00 4,980 4,960 5,00 5,040 5,006 0,080 0,00 0,04 8 4,950 4,960 4,990 5,00 5,040 4,990 0,090 0,00 0,07 9 5,000 4,940 5,00 5,00 4,980 4,99 0,090 0,00 0,04 0 5,040 5,00 5,00 4,960 5,000 5,008 0,080 0,00 0,0 4,980 4,960 5,000 5,00 5,040 5,00 0,080 0,00 0,04 5,00 5,040 4,970 4,990 4,960 4,996 0,080 0,00 0,05 4,960 4,970 5,00 5,00 4,980 4,990 0,070 0,00 0,09 4 5,070 5,060 5,00 4,980 4,970 5,00 0,00 0,00 0, ,980 4,990 5,040 5,00 4,990 5,00 0,060 0,00 0,04 6 4,990 5,00 5,00 4,970 4,990 4,998 0,060 0,00 0,0 7 5,040 5,00 4,970 5,00 4,980 5,004 0,070 0,00 0,09 8 4,960 5,00 5,00 5,040 4,960 5,000 0,080 0,00 0,08 9 4,850 4,840 4,860 5,00 4,960 4,904 0,70 0,006 0, ,00 4,990 5,00 4,980 4,960 4,994 0,060 0,00 0,06 4,970 5,040 4,980 5,040 4,990 5,004 0,070 0,00 0,04 5,000 5,00 4,970 5,000 5,060 5,008 0,090 0,00 0,0 5,00 5,00 5,040 4,970 4,960 5,00 0,080 0,00 0,05 4 4,960 5,00 4,970 5,00 5,040 5,00 0,080 0,00 0,06 5 5,060 4,90 5,000 5,040 4,940 4,994 0,0 0,00 0,058 Meda total 5,0006 0,098 0,00 0,04 INFORME 77

186 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas. - Gráfcos de cotrol Ahora vamos a reresetar los gráfcos de cotrol - y -R a artr de los datos de las muestras obtedas a lo largo del roceso. e calculará e todos los casos la líea cetral y los límtes de cotrol del roceso y se comarará co los de esecfcacó, calculados a artr de las toleracas defdas or el clete o orma usada, que e este caso las hemos muesto osotros. Tal y como defmos e la teoría, se cosdera el caso de meda y desvacó estádar oblacoales estmadas a artr de muestras. 0,050 0,050 Las esecfcacoes de los rodametos so: 5 mm. Líea Cetral de Esecfcacó (LE): LE M 5 mm Límte de Esecfcacó ueror (LE): LE M t 5 0,05 5, 050 mm Límte de Esecfcacó Iferor (LEI): LEI M t 5 0,05 4, 950 mm INFORME 78

187 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Gráfco - Las gráfcas - ermte determar s u roceso está bajo cotrol estadístco 6 a artr del coocmeto o estmacó de la meda y desvacó estádar oblacoal (, ) del arámetro de estudo ( ) Gráfco (eacttud) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral ( ) a artr de la meda de las medas muestrales ( ) j k j j j k La meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ ˆ ˆ a Estmados los valores de la meda muestral ( ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): ˆ 5,0006 5,000 Límte de Cotrol ueror (LC): LC ˆ ˆ A a LC 5,059 5,0006,470 0,0497 5,059 Límte de Cotrol Iferor (LCI): LCI ˆ ˆ A a LCI 4,94 dode el valor de A lo obteemos de la tabla E del Aeo. 5,0006,470 0,0497 4,94 INFORME 79

188 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas INFORME Gráfco (recsó) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó desvacó estádar muestral () e la que k k j j La meda, varaza y desvacó estádar de la desvacó estádar muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ ˆ ˆ a a a a a a a ˆ ˆ Estmados los valores del uverso, se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): 0,0497 ˆ Límte de Cotrol ueror (LC): 0,086 LC 0,086 0,0497,0890 ˆ ˆ 4 B a a a a a LC Límte de Cotrol Iferor (LCI): 0 0, ˆ ˆ B a a a a a LCI dode los valores de 4, B B los obteemos de la tabla E del Aeo.

189 Desv.Est. de la muestra Meda de la muestra Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Gráfca - 5,0 5,05 LC=5,059 LE=5,05 5,00 4,95 _ LE=5 =5,000 LEI=4,95 LCI=4,94 4, Muestras ,0 0,5 0,0 0,05 LC=0,086 _ =0,0480 0,00 LCI= Muestras INFORME 8

190 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Gráfco -R Igual que e el caso ateror, las gráfcas -R ermte determar s u roceso está bajo cotrol estadístco 6 a artr de la determacó de la meda y desvacó estádar oblacoal (, ). e utlza or la smlcdad de la determacó de los resduos muestrales R Gráfco (eacttud) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral j k j j j k La meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó del rago muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ R d ˆ R R R d ˆ d R ˆ d R Estmados los valores del uverso, se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): ˆ 5,0006 5,000 Límte de Cotrol ueror (LC): R LC ˆ ˆ A d LC 5,057 Límte de Cotrol Iferor (LCI): R LCI ˆ ˆ A d LCI 4,944 R R 5,0006 0,5770 0,098 5,0567 5,0006-0,5770 0,098 4,946 dode el valor de A lo obteemos de la tabla E del Aeo. INFORME 8

191 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas INFORME Gráfco R (recsó) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda de los resduos muestrales ( R ) e la que R,, m,, ma k R R k or lo que su meda, varaza y desvacó estádar ( R R, ) s demostrar so R R R ˆ ˆ ˆ d d R d R R d d R R R R coocdos los valores del uverso ( R R, ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): 0,098 ˆ R R Límte de Cotrol ueror (LC): 0,07,40 0,098 ˆ ˆ 4 D R d d R d d R R LC R R Límte de Cotrol Iferor (LCI): 0 0 0,098 ˆ ˆ D R d d R d d R R LCI R R dode los valores de 4, D D los obteemos de la tabla E del Aeo.

192 Rago de la muestra Meda de la muestra Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Gráfca -R 5,0 5,05 5,00 LC=5,0567 LE=5,05 _ LE=5 =5,000 4,95 LEI=4,95 LCI=4,946 4, Muestras ,4 0, 0, LC=0,07 0, _ R=0,098 0,0 LCI= Muestras INFORME 84

193 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Aálss de los datos Como uede verse, tato e la tabla como e los gráfcos de cotrol, hay muestras (4 y 9) que se ecuetra fuera de los límtes de cotrol y de esecfcacó y or lo tato hay que aalzarlas y corregrlas: - Muestra 4: El valor de 5,400mm se debe a ua equvocacó del oeraro a la hora de regstrar la medda del dámetro tero del rodameto que es e realdad 5,040mm. - Muestra 4: E la msma muestra os ecotramos co la medda de 5,060mm que se debe a u error de fabrcacó. Al ser u dámetro tero, o dsoemos de las herrametas ara reducr el tamaño de dcha dmesó, es decr, ara añadr materal y que se ecuetre etre los límtes de esecfcacó, así que este rodameto es descartado de la muestra. Al retrarlo el 4 = 5 asa a 4 = 4. - Muestra 9: E este caso, como se uede ver e la tabla, hay valores correctos que se ecuetra or debajo de los límtes de esecfcacó. Como ya se dcó, los datos recogdos e este forme so de tomar 5 muestras al día durate 5 días. E el caso de esta muestra, so los valores correctos además de cosecutvos y desués guo (detro de la msma muestra). Esto se debe a que la herrameta de uestra máqua ecargada de aumetar el dámetro tero del rodameto esta desgastada y o llega al límte feror establecdo or las toleracas. Ua vez susttuda la herrameta or otra ueva se vuelve a etraer rodametos y se regstra sus valores. Los uevos datos y cálculos so los sguetes: INFORME 85

194 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Muestra 4 5 Meda Recorrdo Varaza Desv. Tíca 5,00 4,970 4,990 5,00 5,040 5,006 0,070 0,00 0,0709 5,00 5,000 4,960 4,940 5,00 4,99 0,090 0,00 0,0870 5,00 4,980 4,970 5,00 5, ,060 0,00 0, ( 4 =4) 4,990 5,00 5,040 4,980 5,005 0,060 0,00 0, ,040 5,060 4,960 5,040 5,000 5,0 0,00 0,00 0, ,940 5,00 5,000 4,960 4,990 4,984 0,090 0,00 0, ,00 4,980 4,960 5,00 5,040 5,006 0,080 0,00 0, ,950 4,960 4,990 5,00 5,040 4,99 0,090 0,00 0, ,000 4,940 5,00 5,00 4,980 4,99 0,090 0,00 0, ,040 5,00 5,00 4,960 5,000 5,008 0,080 0,00 0,045 4,980 4,960 5,000 5,00 5,040 5,00 0,080 0,00 0,0466 5,00 5,040 4,970 4,990 4,960 4,996 0,080 0,00 0,065 4,960 4,970 5,00 5,00 4,980 4,99 0,070 0,00 0, ,070 5,060 5,00 4,980 4,970 5,0 0,00 0,00 0, ,980 4,990 5,040 5,00 4,990 5,00 0,060 0,00 0, ,990 5,00 5,00 4,970 4,990 4,998 0,060 0,00 0, ,040 5,00 4,970 5,00 4,980 5,004 0,070 0,00 0, ,960 5,00 5,00 5,040 4, ,080 0,00 0, ,980 5,00 4,970 5,00 4,960 4,99 0,070 0,00 0, ,00 4,990 5,00 4,980 4,960 4,994 0,060 0,00 0, ,970 5,040 4,980 5,040 4,990 5,004 0,070 0,00 0,065 5,000 5,00 4,970 5,000 5,060 5,008 0,090 0,00 0,07 5,00 5,00 5,040 4,970 4,960 5,00 0,080 0,00 0, ,960 5,00 4,970 5,00 5,040 5,00 0,080 0,00 0, ,060 4,90 5,000 5,040 4,940 4,994 0,0 0,00 0,0588 Meda total 5,0008 0,080 0,00 0,08 INFORME 86

195 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.4. - Gráfco Gráfco (eacttud) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral ( ) a artr de la meda de las medas muestrales ( ) j k j j j k La meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ ˆ ˆ a Estmados los valores de la meda muestral ( ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): ˆ 5,0008 5,000 Límte de Cotrol ueror (LC): LC ˆ ˆ A a LC 5,048 5,0008,470 0,08 5,0479 Límte de Cotrol Iferor (LCI): LCI ˆ ˆ A a LCI 4,95 5,0008,470 0,08 4,956 dode el valor de A lo obteemos de la tabla E del Aeo. INFORME 87

196 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas INFORME Gráfco (recsó) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó desvacó estádar muestral () e la que k k j j La meda, varaza y desvacó estádar de la desvacó estádar muestral (,, ) fucó de la desvacó estádar muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ ˆ ˆ a a a a a a a ˆ ˆ Estmados los valores del uverso, se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): 0,08 ˆ Límte de Cotrol ueror (LC): 0,070 LC 0,0697 0,08,0890 ˆ ˆ 4 B a a a a a LC Límte de Cotrol Iferor (LCI): 0 0,08 0 ˆ ˆ B a a a a a LCI dode los valores de 4, B B los obteemos de la tabla E del Aeo.

197 Desv.Est. de la muestra Meda de la muestra Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Gráfca - 5,05 LE=5,05 LC=5,0479 5,00 LE=5 _ =5,000 4,95 LCI=4,956 LEI=4, Muestras LC=0,0697 0,06 0,04 _ =0,08 0,0 0,00 LCI= Muestras INFORME 89

198 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.5. - Gráfco -R Gráfco (eacttud) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda muestral j k j j j k La meda, varaza y desvacó estádar de la meda muestral (,, ) fucó del rago muestral se estma a artr de k muestras de elemetos medate ˆ R d ˆ R R R d ˆ d R ˆ d R Estmados los valores del uverso, se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): ˆ 5,0008 5,000 Límte de Cotrol ueror (LC): R LC ˆ ˆ A d LC 5,047 Límte de Cotrol Iferor (LCI): R LCI ˆ ˆ A d LCI 4,954 R R 5,0008 0,5770 0,080 5,046 5,0008-0,5770 0,080 4,9544 dode el valor de A lo obteemos de la tabla E del Aeo. INFORME 90

199 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas INFORME Gráfco R (recsó) e va a grafcar utos corresodetes a la fucó meda de los resduos muestrales ( R ) e la que R,, m,, ma k R R k or lo que su meda, varaza y desvacó estádar ( R R, ) s demostrar so R R R ˆ ˆ ˆ d d R d R R d d R R R R coocdos los valores del uverso ( R R, ), se defe los sguetes límtes: Líea Cetral (LC): 0,080 ˆ R R Límte de Cotrol ueror (LC): 0,68,40 0,080 ˆ ˆ 4 D R d d R d d R R LC R R Límte de Cotrol Iferor (LCI): 0 0 0,080 ˆ ˆ D R d d R d d R R LCI R R dode los valores de 4, D D los obteemos de la tabla E del Aeo.

200 Rago de la muestra Meda de la muestra Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Gráfca -R 5,050 LE=5,05 LC=5,046 5,05 5,000 LE=5 _ =5,000 4,975 4,950 LCI=4,9544 LEI=4, Muestras ,6 LC=0,68 0, 0,08 _ R=0,080 0,04 0,00 LCI= Muestras INFORME 9

201 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas 4. - Aálss de la caacdad del sstema Medate el cotrol estadístco de ua característca se asegura que la varabldad de su eacttud y recsó sgue u comortameto ormal debdo a causas o asgables, detro de los límtes de admsbldad ( 6 ). Co las esecfcacoes se dca las característcas que ha de teer el arámetro de estudo segú las ecesdades del clete, també detro de los límtes de admsbldad ( LE LEI ). E uestro caso teíamos e u rco, ates de revsar las ezas defectuosas del roceso, que 6 LE LEI y sstema fuera de cotrol estadístco Es el caso más desfavorable. Ocurre s los límtes de esecfcacó del clete, osotros msmos e este caso, so más restrctvos que los límtes de cotrol estadístco del sstema, y además los valores se ecuetra fuera de cotrol. Nuestro sstema o estaba or tato caactado y además o fucoaba de forma adecuada, or lo que o era váldo. Desués se rocedó a aalzar las ezas que o se ecotraba detro de los límtes de cotrol del roceso y se corrgero quedado 6 LE LEI y sstema bajo cotrol estadístco Así uestro sstema se comorta de forma ótma ya que los valores está detro de los límtes de cotrol estadístco del roceso sedo estos más restrctvos que las esecfcacoes que hemos establecdo Caacdad e ídce de caacdad del roceso Caacdad del roceso. e defe como caacdad de u roceso el valor 6 corresodete al LC LCI del comortameto ormal ajustado. 6 LC LCI - Ates de las correccoes: 6 0,8 Gráfca - 6 0, Gráfca -R - Desués de las correccoes: 6 0,095 Gráfca - 6 0,09 Gráfca -R Ídce de caacdad del roceso. INFORME 9

202 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Es la relacó etre la dfereca de los límtes de esecfcacó del clete ( LE LEI ) y la caacdad del roceso ( 6 ). C P LE LEI 6 LE LEI LC LCI LE LEI 0,00 - Ates de las correccoes: C P 0, 847 Gráfca - 6 0,8 LE LEI 0,00 C P 0,885 Gráfca -R 6 0, LE LEI 0,00 - Desués de las correccoes: C P, 05 Gráfca - 6 0,095 LE LEI 0,00 C P,087 Gráfca -R 6 0,09 Como uede verse, ates de las correccoes el roceso o teía caacdad ara fabrcar el roducto ya que C, ero desués sí ( C ). Es acosejable u C, que e este caso o se cumle. Cuato mayor sea el ídce de caacdad ( C ), más facldad tedrá el roceso ara cosegur el objetvo de forma adecuada, luego aú se odría mejorar uestro roceso. La codcó ara alcar el ídce de caacdad ( C ) es que el roceso esté cetrado resecto del valor omal del arámetro de estudo (M), lo que dca que la líea cetral (LE) del comortameto atural del sstema ( o ˆ e el caso de la eacttud) está róma al valor omal del arámetro de estudo (M). E uestro caso s se cumle: 5,0008 5,000mm y M 5, 000mm INFORME 94

203 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas E caso cotraro se utlza el ídce C k defdo medate la eresó C k co LE ˆ mímo ˆ LEI INFORME 95

204 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas CONTROL DEL PROCEO DE FABRICACIÓN DE MOTORE ELÉCTRICO INFORME 96

205 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas INFORME Cotrol de caldad del roceso e va a mostrar a cotuacó u forme de cotrol del roceso de fabrcacó de motores eléctrcos que se ha hecho recolado los datos de los 4 trmestres del año 0. Para ello se ha elaborado u cotrol de caldad or utos de demérto, segú el cual odemos catalogar e 4 tos los dsttos defectos que se uede resetar. Este to de cotrol ha sdo documetado or Dodge y Torrey, que los clasfca e fucó de su gravedad y les da u eso de W a =00, W b =50, W c =0 y W d =l utos de demérto segú la gravedad del defecto. e ha tomado 0 muestras daras, de lues a veres, durate todo el año 0, de tal forma que o todos los meses se ha obtedo la msma catdad de muestras (el úmero de muestras de cada mes se ha recogdo e las tablas que se eodrá a cotuacó). Debdo a que las muestras ha sdo dsttas deededo de cada mes, e lugar de hacer u cotrol de demértos or muestra, se ha hecho or udad, co lo que las ecuacoes emleadas ha sdo las sguetes. k M j j j j k k M j j j j D W D W Q q.. M j j j j M j j k j j D W D W c.. La desvacó to del estádar de los utos de demérto or udad e las muestras vale: c m edo: k / = Promedo de los valores (tamaños de las muestras), s o se dfereca e gra maera. Los límtes de cotrol y de atecó del dagrama será: m q C L.. m q A L.. A cotuacó se recoge las hojas Ecel usadas ara el cálculo de todos los datos

206 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas CLAE DE DEFECTO j PUNTO DE DEMERITO POR DEFECTO W j ENERO D j NUMERO DE DEFECTO D j FEBRERO D j PRIMER TRIMETRE DEL 0 MARZO D j TOTAL D j ENERO W j. D j PUNTO DE DEMERITO W j. D j FEBRERO W j. D j MARZO W j. D j TOTAL W j. D j A () B () C () D (4) 7 7 Putos de demérto totales Tamaño de la muestra Putos de demérto or udad 0,668 0,486 0,964 0,709 0,07 W j. D j CLAE DE DEFECTO j PUNTO DE DEMERITO POR DEFECTO W j ABRIL D 4j NUMERO DE DEFECTO D j MAYO D 5j EGUNDO TRIMETRE DEL 0 JUNIO D 6j TOTAL D j ABRIL W j. D 4j PUNTO DE DEMERITO W j. D j MAYO W j. D 5j JUNIO W j. D 6j TOTAL W j. D j A () B () C () D (4) Putos de demérto totales Tamaño de la muestra Putos de demérto or udad 0,9 0,465,8 0,705 9,75 W j. D j INFORME 98

207 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas CLAE DE DEFECTO j PUNTO DE DEMERITO POR DEFECTO W j JULIO D 7j NUMERO DE DEFECTO D j AGOTO D 8j TERCER TRIMETRE DEL 0 EPTIEMBRE D 9j TOTAL D j JULIO W j. D 7j PUNTO DE DEMERITO W j. D j AGOTO W j. D 8j EPTIEMBRE W j. D 9j TOTAL W j. D j A () B () C () D (4) Putos de demérto totales Tamaño de la muestra Putos de demérto or udad 0,986 0,570 0,78 0,76,065 W j. D j CLAE DE DEFECTO j PUNTO DE DEMERITO POR DEFECTO W j OCTUBRE D 0j NUMERO DE DEFECTO D j NOVIEMBRE D j CUARTO TRIMETRE DEL 0 DICIEMBRE D j TOTAL D j OCTUBRE W j. D 0j PUNTO DE DEMERITO W j. D j NOVIEMBRE W j. D j DICIEMBRE W j. D j TOTAL W j. D j A () B () C () D (4) Putos de demérto totales Tamaño de la muestra Putos de demérto or udad 0,75 0,450 0,8 0,496,5 W j. D j INFORME 99

208 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Recolacó de datos y cálculo de los arámetros AÑO Putos de demérto totales Por udad ENERO 47 0,668 FEBRERO 0 0,486 MARZO 0,964 ABRIL 8 0,9 MAYO 07 0,465 JUNIO 69,8 JULIO 7 0,986 AGOTO 0,570 EPTIEMBRE 55 0,78 OCTUBRE 69 0,75 NOVIEMBRE 99 0,450 DICIEMBRE 59 0,8 Q = W j. D j 749 W j. D j = /k 8, Gráfco de cotrol or utos de demérto Q W D j q / / 0,668 j c W D / j 8,507 c Desv. to m 0,6 LC q,75 m LCI q -0,47 0 m LA q,90 m LAI q -0,055 0 m INFORME 00

209 Putos de demérto or udad, q Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas.. - Gráfca de cotrol or utos de demérto,0 Gráfca de cotrol or utos de demérto LC=,75,5 LA=,90,0 0,5 _ q=0,668 0,0 LC=LA= Mes secoado 9 0 Tal y como vemos e la gráfca, uestro roceso de fabrcacó es correcto ya que todos los utos se ecuetra detro de los límtes, tato de cotrol como de acetacó. algua de uestras muestras, hubese quedado fuera de los límtes de cotrol, se habría aalzado las causas que rodujero tal aormaldad, y de descubrrse y haberse habltado meddas ara solucoarlas, odría desrecarse esas muestras e el cálculo de u uevo estádar, que reresetaría ua roduccó de mejor caldad. INFORME 0

210 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas CONCLUIONE E los rmeros caítulos de este royecto de f de carrera se ha elcado muchos de los cocetos ecesaros ara su desarrollo y auque alguos de ellos o se ha emleado e el desarrollo de uestros formes, sí que es ecesaro ombrarlos y e alguos casos elcarlos ues estos se uede hacer de varas maeras. Los formes, como se ha oddo ver a lo largo del royecto, so uas herrametas muy útles ara las emresas. E el caso de los muestreos de acetacó orque os ermte a la etrada del roceso asegurar que cumle las esecfcacoes co u grado de cofaza determado. Cosegumos o acetar lotes s realzar gua seccó (cero seccoes) cuado o se tee ua alta cofaza e el roceso de fabrcacó es ecesaro revsar todos los elemetos del lote (seccó al 00%) que e caso de esayos destructvos sería absurdo. Evdetemete estos rocesos o está eetos de errores, que como hemos vsto e la arte teórca del royecto los hay de tos: Rechazar lotes que e su cojuto tee ocos elemetos o coformes (error de to I) or o ser la muestra sufcetemete reresetatva del lote. Acetar lotes que osea ecesvos elemetos o coformes (error de to II) al o aarecer e la muestra. Como se ha vsto se ha utlzado las ormas MIL-TD-05D ara los formes euestos ya que las de Dodge Romg so váldas úcamete ara muestreos smles o dobles. e odría haber utlzados la ormas MIL-TD-44 ya que los datos recogdos so varables ero se ha otado or clasfcarlos como rodametos acetables o o acetables ara realzar u muestreo or atrbutos ya que su técca se ajusta mejor al cotrol de muestras. El cotrol estadístco de rocesos es també muy útl orque está basado e el cotrol vsual a través de gráfcas que ermte ajustar y cotrolar la eacttud y recsó de u rocedmeto. e utlza de maera geeralzada e la dustra como técca ara la vglaca de los rocesos de roduccó a f de detfcar y rever de forma rematura la aarcó de varacoes. E los rocesos de roduccó se retede alcazar uos estádares de caldad que ermta la fabrcacó masva de roductos, de forma que su varabldad sea la meor osble, hecho que faclta su reettvdad. La varacó e cualquer roducto es ua característca evtable de forma que auque se realce ua tesa caactacó de oeraros, verfcacó de materales, calbracó de las máquas, ajuste de rocedmetos, cotrol de factores ambetales y ajuste de los aaratos de seccó o se uede llegar a evtar. embargo hay causas esecífcas de esta varabldad, como uede ser la falta de formacó del oeraro, el uso de materal o maquara e malas codcoes, la alcacó de rocedmetos, etoro o equos de seccó adecuados, que e CONCLUIONE 0

211 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas caso de ser detectadas odría ser fáclmete corregdos, aumetado la caldad del roducto, tal y como hemos vsto e uestro forme del cotrol del roceso de fabrcacó de los rodametos. CONCLUIONE 0

212 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas PREUPUETO DEL PROYECTO COTE DIRECTO E coceto de costes mutables drectamete al royecto se tedrá e cueta e este estudo los sguetes: Coste de ersoal: Igeero Técco. El temo revsto a vertr e cada ua de las tareas del royecto y su coste ecoómco, tomado como coste hora de,68, sería: ACTIVIDAD HORA COTE To Fase Igeero Técco FAE Ivestgacó reva Plateameto de tareas 4,04 Estudo y documetacó 4 588,4 Horas de vestgacó totales ,00 Geeracó de las hojas de cálculo Plateametos estadístcos Horas emleadas e la geeracó de las hojas de cálculo Cálculo y Aálss 4 8, Verfcacoes 4, ,00 Cálculos estadístcos 0 40,40 Aálss de resultados 6 8,08 Horas emleadas e el cálculo y resultados 6 49,00 Iforme fal Elaboracó ,00 Presetacó 7 95,76 Horas emleadas e redactar el forme fal ,76 TOTAL 80.46,40 Coste revsto total de ersoal:.46,40 PREUPUETO 04

213 ÍNDICE Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Costes de los elemetos utlzados: - Costes de amortzacó del movlzado: se tedrá e cueta el corresodete a los elemetos a utlzar: e de rey, PC y software. EQUIPO Iversó cal CV( ) Temo amortzacó ( años) Valor resdual (VR ) Coste de amortzacó ( /h) Pe de rey dgtal 00, ,0 Wdows P 6,00 0 0,05 Offce 00 50,00 0 0,04 4 Mtab 6.96,00 0,9 5 PC.00, , 6 Imresora Láser 6,57,5 0,09 El coste de amortzacó revsto a comutar de cada uo de los elemetos al resete royecto sería: Ídce Horas de utlzacó Coste de Amortzacó ( ) 4 0,58 40,4 40, , , 6 0 0,9 Costes totales revstos de amortzacó: 75, PREUPUETO TOTAL DEL PROYECTO: - Coste de ersoal:.46,40 - Costes de amortzacó: 75, TOTAL:.57,7 PREUPUETO 05

214 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas BIBLIOGRAFÍA Probabldad y estadístca ara geería y admstracó - Wllas W. Hes Cotrol de Caldad - Dale H. Besterfeld Probabldad Y Estadístca Para Igeería Y Cecas - Jay L. Devore Autes de la asgatura de métodos estadístcos de la geería Ágel de Uña Probabldad y Estadístca ara cecas e geerías - Rosaro Delgado de la Torre (Delta Publcacoes) Fabldad y caldad Tomos I, II y Aeos César Paleca Mogí y Aracel Martí Paero BIBLIOGRAFÍA 06

215 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO ANEO 07

216 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Aeo A Modelos de dstrbucó dscretos ANEO 08

217 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA A - FUNCIÓN DE DITRIBUCIÓN BINOMIAL ANEO 09

218 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 0

219 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

220 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

221 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

222 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 4

223 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 5

224 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 6

225 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 7

226 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 8

227 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 9

228 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 0

229 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

230 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

231 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

232 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 4

233 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA A - FUNCIÓN DE DITRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA D N D N, co 0,,,,m D ANEO 5

234 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 6

235 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 7

236 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 8

237 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 9

238 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 0

239 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

240 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

241 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO

242 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 4

243 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 5

244 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 6

245 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 7

246 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 8

247 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 9

248 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 40

249 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Aeo B Modelos de dsrbucó cotuos ANEO 4

250 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA B - FUNCIÓN DE DITRIBUCIÓN NORMAL z Probabldad de la fucó ormal estádar P Z z f z Valor = Área bajo la curva z 0 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 z 0 0, ,5099 0, ,597 0,5595 0,5994 0,59 0,5790 0,588 0, , 0,598 0,5480 0, ,557 0, ,5596 0,5656 0, ,574 0,5755 0, 0, 0,5796 0,587 0, , ,5948 0,5987 0,6057 0,6064 0,606 0,6409 0, 0, 0,679 0,67 0,655 0,690 0,607 0,668 0, ,644 0,6480 0,657 0, 0,4 0,6554 0,6590 0,6676 0, ,6700 0,6764 0,6774 0,6808 0,6849 0,6879 0,4 0,5 0,6946 0, , ,7094 0, , ,76 0,7566 0,7904 0,740 0,5 0,6 0,7575 0,7907 0,77 0,7565 0,789 0,745 0,7457 0, ,7575 0, ,6 0,7 0, ,765 0,7644 0,7670 0,7705 0,777 0,7767 0,7795 0,780 0,7854 0,7 0,8 0,7884 0,790 0,7989 0,7967 0, ,804 0,805 0, ,8057 0,87 0,8 0,9 0,8594 0,8859 0,8 0,88 0,869 0,8894 0,847 0,898 0,8646 0,889 0,9 0,844 0,8475 0,8464 0, ,8508 0,854 0,8554 0, ,8599 0,864, 0,864 0, , , ,8786 0,8749 0, , ,8800 0,8898,, 0,8849 0, , , ,895 0,8945 0,8967 0, ,8997 0,9047,, 0,900 0, , ,9084 0, ,949 0,908 0,9466 0,96 0,9774,,4 0,994 0,907 0,90 0,964 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0,9056 0,989,4,5 0,99 0,9448 0,9574 0,9699 0,98 0,994 0,9406 0,9479 0,9495 0,94408,5,6 0,9450 0,9460 0,9478 0, , ,9505 0,9554 0,9554 0,955 0,95449,6,7 0,9554 0,9567 0,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,967,7,8 0, , ,9656 0,9668 0,967 0, , ,9696 0, ,9706,8,9 0,978 0,979 0,9757 0,970 0,978 0,9744 0, , ,9765 0,97670,9 0,9775 0, ,978 0,9788 0,979 0,9798 0,9800 0, ,984 0,9869, 0,984 0,9857 0,9800 0,984 0,988 0,984 0,9846 0, ,9857 0,98574,, 0,9860 0, , ,987 0, , , , , ,98899,, 0,9898 0, ,9898 0,9900 0,9906 0,9906 0, ,99 0,994 0,9958,,4 0,9980 0,990 0,994 0,9945 0,9966 0,9986 0,9905 0,994 0,994 0,996,4,5 0,9979 0,9996 0,994 0,9940 0, ,9946 0, ,9949 0, ,9950,5,6 0,9954 0, , ,9957 0, , , ,996 0,996 0,9964,6,7 0,9965 0, , ,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,9970 0,9978 0,9976,7,8 0, ,9975 0, , , ,9978 0, , ,9980 0,99807,8,9 0,998 0,9989 0,9985 0,998 0,9986 0,9984 0, ,9985 0, ,9986,9 0, , , , ,9988 0, , ,9989 0, ,99900, 0,9990 0, ,9990 0,999 0,9996 0,9998 0,999 0,9994 0,9996 0,9999,, 0,999 0,9994 0,9996 0,9998 0, ,9994 0, , , ,99950,, 0,9995 0,9995 0, , , , ,9996 0,9996 0, ,99965,,4 0, , , , ,9997 0,9997 0,9997 0, , ,99976,4,5 0, , , , , ,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998,5,6 0, , , , , , , , , ,99989,6,7 0, , , , ,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999,7,8 0,9999 0,9999 0,9999 0, , , , , , ,99995,8,9 0, , , , , , , , , ,99997,9 dz = 0 z = ANEO 4

251 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Aeo C Itervalos de cofaza ANEO 4

252 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 44

253 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas ANEO 45

254 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas Aeo D Muestreo de acetacó ANEO 46

255 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D NCA ( ) NCA c P a,nca =0,99 =0,0 P a,nca =0,95 =0,05 valor = NCA P a,nca =0,90 =0,0 0 0,00 0,05 0,05 0,49 0,55 0,5 0,46 0,88,0 0,8,66,,745 4,79,970,4 5,785,6,5 6,0,86,895 7,906,98 4,656 8,507 4,695 5,4 9 4,0 5,46 6, 0 4,77 6,69 7,0 5,48 6,94 7,89 6,099 7,690 8,646 6,78 8,464 9, ,477 9,46 0,00 ANEO 47

256 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D NCL ( ) NCL c P a,ncl =0,0 P a,ncl =0,05 =0,0 =0,05 valor = NCL P a,ncl =0,0 =0,0 0,0,996 4,605,890 4,744 6,68 5, 6,96 8,406 6,68 7,754 0, ,994 9,54, ,75 0,5,08 6 0,5,84 4,57 7,77,48 6,000 8,995 4,44 7,40 9 4,06 5,705 8,78 0 5,407 6,96 0,45 6,598 8,08,490 7,78 9,44,8 8,958 0,668 4,9 4 0,8,886 5,446 ANEO 48

257 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D MUETREO IMPLE, DODGE-ROMIG ANEO 49

258 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D MUETREO IMPLE, DODGE-ROMIG (CONTINUACIÓN) ANEO 50

259 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 4D MUETREO DOBLE, DODGE-ROMIG ANEO 5

260 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 4D MUETREO DOBLE, DODGE-ROMIG (CONTINUACIÓN) ANEO 5

261 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas MIL-TD-05D ANEO 5

262 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 5D - CÓDIGO DE TAMAÑO DE LA MUETRA ANEO 54

263 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 6D VALORE DEL NIVEL DE CALIDAD ACEPTABLE (NCA) ANEO 55

264 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 7D - PLANE DE MUETREO IMPLE PARA INPECCIÓN NORMAL ANEO 56

265 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 8D PLANE DE MUETREO IMPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA ANEO 57

266 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 9D PLANE DE MUETREO IMPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA ANEO 58

267 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 0D - PLANE DE MUETREO DOBLE PARA INPECCIÓN NORMAL ANEO 59

268 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D PLANE DE MUETREO DOBLE PARA INPECCIÓN RIGUROA ANEO 60

269 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D PLANE DE MUETREO DOBLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA ANEO 6

270 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN NORMAL ANEO 6

271 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 4D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN NORMAL (CONTINUACIÓN) ANEO 6

272 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 5D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN NORMAL (FINAL) ANEO 64

273 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 6D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA ANEO 65

274 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 7D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA (CONTINUACIÓN) ANEO 66

275 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 8D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN RIGUROA (FINAL) ANEO 67

276 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 9D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA ANEO 68

277 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 0D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA (CONTINUACIÓN) ANEO 69

278 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D PLANE DE MUETREO MÚLTIPLE PARA INPECCIÓN REDUCIDA (FINAL) ANEO 70

279 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D - MIL-TD-44 (Tablas A-l y A-) NOTA.- Las letras de códgo del tamaño de muestra dadas e el cuero de la tabla, so alcables cuado se emlea los veles de seccó dcados. ANEO 7

280 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA D - MIL-TD-44 (Tabla B-l) Notas.- Para celda vacía, emlear el la de muestreo de la celda feror co datos de esa columa, es decr, el determado or el tamaño de la muestra y or el valor de k. Cuado el tamaño de muestra es gual o mayor que el tamaño del lote, debe seccoarse todas las udades del lote. ANEO 7

281 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 4D - MIL-TD-44 (Tabla B-) Notas.- Para celda vacía, emlear el la de muestreo de la celda feror co datos de esa columa, es decr, el determado or el tamaño de la muestra y or el valor de k. Cuado el tamaño de muestra es gual o mayor que el tamaño del lote, debe seccoarse todas las udades del lote. ANEO 7

282 Aálss estadístco del cotrol de caldad e las emresas TABLA 5D - MIL-TD-44 (Tabla B-8) ANEO 74

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