APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD Agosto Dcembre DAVID RUELAS RODRÍGUEZ

2 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD AGOSTO DICIEMBRE Programa de clases Estos aputes fuero revsados ajustados para cubrr por completo el temaro del curso de Probabldad del Departameto de Estadístca del Isttuto Tecológco Autóomo de Méco (ITAM) para el semestre Agosto Dcembre. El documeto o es u lbro de teto so ua sítess de las prcpales defcoes teorema coceptos métodos de la Probabldad. S embargo esta complacó puede teerse como refereca e el estudo de otras materas que depede fudametalmete de la Probabldad; por ejemplo Estadístca Ecoometría Procesos Estocástcos Fazas. Cada seccó fue escrta co la faldad de revsar rápdamete la teoría dedcar la maor parte del tempo de clase a: () la demostracó aálss de los prcpales resultados; () a la resolucó de ejerccos que ejemplfca la aplcacó de la Probabldad. Los aputes de la Seccó sobre Fudametos de Probabldad so más largos que los demás pues clue detalles sobre la Teoría de Cojutos teoremas sobre sumas seres que so útles e el cálculo de probabldades el estudo de las varables aleatoras. Al co del documeto se corporó u ídce para facltar la búsqueda de algú tema e partcular. Al fal del documeto se preseta como aeo el Materal de Apoo para el Curso de Probabldad repartdo durate las clases de este semestre cluedo las pregutas de los 48 ejerccos revsados e clase. Esta es la cuarta versó de estos aputes completos. Esta versó es práctcamete gual a la del semestre Agosto Dcembre pero se corrgero alguas referecas a las tareas correspodetes al semestre Agosto Dcembre. Sé que todavía puede estr errores que alguos tetos puede ser mejorados así que cualquer cometaro es bevedo al correo electróco davdruelas@hotmal.com. Agradezco la partcpacó de ms alumos de este semestre que co sus pregutas cometaros cotrbue a la mejora de estos aputes. Davd Ruelas Rodríguez Dcembre DAVID RUELAS RODRÍGUEZ

3 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD AGOSTO DICIEMBRE Programa de clases Ídce. Fudametos de Probabldad Feómeos aleatoros e certdumbre Espacos muestrales evetos Nocoes sobre Teoría de Cojutos... - Defcoes represetacó de cojutos... - Cojutos umércos Operacoes co cojutos Espacos muestrales evetos Efoques de la probabldad Probabldad Clásca Probabldad Frecuetsta Probabldad Subjetva Desarrollo aomátco de la probabldad Téccas de coteo cálculo de probabldades... - Téccas de coteo Sumas Productos Sumas útles e Probabldad Aomas de Probabldad Probabldad codcoal e depedeca Probabldad Codcoal Probabldad Cojuta Probabldad Margal Regla de la Multplcacó Idepedeca estadístca Regla de Probabldades Totales Teorema de Baes Varables Aleatoras Defcó propedades de varables aleatoras dscretas absolutamete cotuas Fucoes de masa desdad dstrbucó acumulada Fucó de masa de probabldad (f.m.p.) Fucó de desdad de probabldad (f.d.p.) Fucó de dstrbucó acumulada (f.d.a.) Característcas umércas de las varables aleatoras Esperaza varaza mometos de varables aleatoras Propedades del valor esperado la varaza Meddas poblacoales Meddas de tedeca cetral Meddas de localzacó Meddas de dspersó Meddas de smetría forma... - DAVID RUELAS RODRÍGUEZ

4 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD AGOSTO DICIEMBRE Programa de clases.4. Fucó Geeradora de Mometos Desgualdades de Chebshev de Jese Dstrbucó de ua Trasformacó de ua Varable Aleatora Dstrbucó de Trasformacoes de Varables Aleatoras Dscretas Dstrbucó de Trasformacoes de Varables Aleatoras Cotuas Método de la f.d.a Método de la trasformacó moótoa Método de la f.g.m Dstrbucoes Importates Dstrbucoes Beroull Bomal Dstrbucó Beroull Dstrbucó Bomal Dstrbucó Posso Dstrbucó Uforme Cotua Dstrbucoes Gamma Epoecal J Cuadrada Dstrbucó Gamma Ep Gamma Dstrbucó Epoecal..4.. Dstrbucó J Cuadrada. Gamma Dstrbucó Normal Dstrbucoes Multvaradas Fucoes de probabldad cojuta margales Fucoes de probabldad codcoales Varables aleatoras depedetes Valor esperado de ua trasformacó de varables aleatoras Mometos cojutos covaraza coefcete de correlacó Propedades de Esperaza Varaza Covaraza Fucó geeradora de mometos cojuta Dstrbucó de trasformacoes de varables aleatoras Dstrbucó de trasformacoes de varables aleatoras dscretas Dstrbucó de trasformacoes de varables aleatoras cotuas Método de la fucó de dstrbucó acumulada Método de la fucó geeradora de mometos Teorema de cambo de varable para fucoes vectorales Dstrbucó de suma de varables aleatoras depedetes DAVID RUELAS RODRÍGUEZ v

5 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD AGOSTO DICIEMBRE Programa de clases 5. Dstrbucó Normal Multvarada Fucoes de desdad cojuta margales codcoales de la Dstrbucó Normal Bvarada Fucó geeradora de mometos de la Dstrbucó Normal Bvarada Idepedeca de varables aleatoras co Dstrbucó Normal Bvarada Combacoes leales de varables aleatoras co Dstrbucó Normal Bvarada Dstrbucó Normal Multvarada Aeo: Materal de Apoo para el Curso de Probabldad DAVID RUELAS RODRÍGUEZ v

6 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó. Fudametos de Probabldad.. Feómeos aleatoros e certdumbre Fgura. FENÓMENOS ALEATORIOS Característcas Tpos de feómeos Feómeo determístco Feómeo aleatoro Aleatoro sgfca al azar es decr que su resultado es varable descoocdo prevamete (v.gr. juegos de azar) Resultado certo Msmas causas o atecedetes coduce a los msmos resultados o efectos Resultado certo Msmas causas o atecedetes o ecesaramete coduce a los msmos resultados o efectos La Estadístca estuda los feómeos aleatoros Está oretada a modelar la varabldad Permte cuatfcar la certdumbre Fgura. PROBABILIDAD INFERENCIA ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA Probabldad S compro u boleto de Melate qué ta factble es que gae el premo prcpal? es más fácl gaar el Melate o la Lotería? S etro e ua rfa es mportate saber cuátos boletos está a la veta? S ho llueve qué ta seguro es que mañaa també llueva? S el Ídce de Precos Cotzacoes (IPC) cerra ho a la alza es fácl que també mañaa lo haga? Cuáta mercacía debo teer e el almacé para evtar demada satsfecha e m empresa? Ifereca Estadístca (Estadístca Matemátca Muestreo) Proceso ductvo (de lo partcular a lo geeral) que permte obteer coclusoes sobre la poblacó a partr del estudo de ua muestra Sempre este posbldad de error se mde e térmos de probabldad Muestra Ifereca estadístca Muestreo Poblacó De qué tamaño debe ser ua muestra para determar el porcetaje de la poblacó que está a favor del Partdo A? Cómo se estma el greso promedo de la poblacó? Ecoometría (Regresó Proóstco de Negocos Seres de Tempo) Tpo de cambo Peso / Lbra Pesos por Lbra (MN/GBP) 9 Observado Proóstco feb- mar- abr- ma- ju- jul- ago- sep- oct- Fuete: Cuál es el proóstco para el tpo de cambo Peso / Lbra? Qué tervalos garatza certo vel de cofaza? Co base e u cojuto de precos catdades observadas cuál es la fucó de demada estmada? La Estadístca es la rama de las Matemátcas que permte modelar la varabldad cuatfcar la certdumbre herete a los feómeos aleatoros DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

7 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Fgura. PROBABILIDAD La Probabldad ace como cosecueca de la quetud de modelar los juegos de azar e el sglo VII Sus precursores fuero Blase Pascal (6 66) Perre Fermat (6 665) Probabldad La Probabldad es la rama de las Matemátcas de la Estadístca que se ecarga del estudo formal de las reglas de la certdumbre que permte modelar feómeos aleatoros La Probabldad es ua ceca formal La probabldad es ua medda umérca del grado de certdumbre o certdumbre respecto a la ocurreca de u eveto futuro Este dsttos efoques para establecer esta medda Muchos feómeos ecoómcos faceros socales bológcos etc. preseta u comportameto probablístco smlar al presetado e los juegos de azar.. Espacos muestrales evetos... Nocoes sobre Teoría de Cojutos DEFINICIONES Y REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS Def. Cojuto. Es ua coleccó o agrupacó de elemetos. Notacó de cojutos. Usualmete los cojutos se deota medate letras maúsculas sus elemetos medate letras músculas. Por ejemplo: A = {a a a }. Perteeca. U elemeto puede: Perteecer a u cojuto deotado por A; o No perteecer a u cojuto deotado por A. Def. Cojuto Uverso (). Es el cojuto que cotee a todos los elemetos. Def. Cojuto Vacío (). Es el cojuto que o cotee elemetos. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

8 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Def. Subcojuto. Es u cojuto cuos elemetos correspode a los de otro cojuto. B A deota que B es u subcojuto de A. Formalmete la relacó de cotecó se establece de la sguete maera: B A B A Por ejemplo s C es el cojuto de las letras del alfabeto D es el cojuto de las vocales etoces D C es decr todos los elemetos de D está cotedos e C. Def. Cardaldad. Es el úmero de elemetos que tegra u cojuto o la medda de u cojuto. S A es u cojuto #A o A deota su cardaldad. Por ejemplo s C es el cojuto de las letras del alfabeto (e español s letras dobles) D es el cojuto de las vocales etoces #C = 7 #D = 5. Proposcó ) S B A etoces #B #A ) # = Represetacó de cojutos. Los cojutos puede epresarse aalítcamete: Por etesó s se escrbe cada uo de los elemetos del cojuto. Por compresó s se establece ua regla que permte detfcar a todos los elemetos del cojuto. La represetacó gráfca de los cojutos puede hacerse medate Dagramas de Ve o Dagramas de Ve-Euler. Por ejemplo s es el cojuto de los úmeros eteros ( = Z) A el cojuto de los dígtos B el cojuto de los dígtos maores a 6: Tabla. Cojuto Descrpcó Represetacó por etesó Represetacó por compresó A Dígtos A = { } A = { 9} B Dígtos maores a 6 B = {7 8 9} B = { A > 6} Fgura.4 = Z B A Observe cómo #A = #B =. Además como B A etoces #B #A. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

9 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó CONJUNTOS NUMÉRICOS Def. Números Naturales (N). N = {...} Los úmeros aturales se utlza para cotar o eumerar. La cardaldad de N es fto umerable. Def. Números Eteros (Z). Z = {......} Los úmeros eteros clue a los úmeros aturales (N Z) a sus egatvos al cero. La cardaldad de Z també es fto umerable (#N = #Z) a que es posble establecer ua relacó uo a uo etre los elemetos de Z los de N como se muestra a cotuacó: Fgura.5 Z = {... } Def. Números Racoales (Q). N = { } Q = m : m Z Los úmeros racoales so todas las fraccoes co epasó decmal fta o fta peródca. Por ejemplo Q. Los racoales clue a los eteros a los aturales (N Z Q). Sorpredetemete la cardaldad de Q també es fto umerable. El matemátco ruso Georg Cator (845 98) deó la forma de establecer ua relacó uo a uo etre los elemetos de Q los de N como se muestra e la sguete fgura. Los úmeros co u recuadro puteado o ha que eumerarlos pues está repetdos. Para clur al cero los egatvos smplemete ha que car la eumeracó por el cero luego cotar doble cada úmero (el postvo el egatvo). DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -4

10 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Fgura.6 m S a los úmeros racoales se agrega los Números Irracoales (I) es decr aquellos cua epasó decmal es fta o peródca (v.gr. e ) se obtee los Números Reales (R). Fgura.7 Q I R N Z No es posble establecer ua relacó uo a uo etre los elemetos de N los de I o los de R (Teorema de Cator) de modo que la cardaldad de I de R es fto o umerable es decr u fto mucho maor que el fto umerable (#R >> #N). Desde el puto de vsta matemátco los Números Reales forma u campo ordeado completo co característcas téccas mu sofstcadas. Desde el puto de vsta probablístco basta cosderar de maera cal que sobre R es posble: Hablar de límtes cotudad (e el setdo del Cálculo Dferecal e Itegral); Defr meddas (v.gr. tempo logtud peso probabldad). Por ser u campo R es u cojuto co dos operacoes (adcó multplcacó) que satsface aomas de asocatvdad comutatvdad elemeto eutro elemeto verso dstrbutvdad de la multplcacó sobre la adcó. Como R es campo ordeado es posble establecer ua relacó de orde (<) cueta co u valor absoluto ( ). Adcoalmete como R es u campo completo satsface el postulado Arqumedeao (todos sus elemetos está acotados ferormete por el recíproco de u úmero atural) el aoma del supremo (cada subcojuto cueta co ua míma cota superor). DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -5

11 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó OPERACIONES CON CONJUNTOS Def. Igualdad de cojutos. Dos cojutos so guales s cotee los msmos elemetos. Formalmete: A = B A B B A Def. Cojuto Complemeto. El cojuto complemeto de A deotado por A c es el cojuto de los elemetos de que o está e A. Formalmete: A c A Fgura.8 A A c Teorema c ) A A c ) c Es mportate señalar que los Dagramas de Ve so u bue puto de partda para demostrar resultados de la Teoría de Cojutos s embargo o costtue demostracoes formales. Def. Uó de Cojutos (). La uó de los cojutos A B deotada por AB es el cojuto formado por todos los elemetos de A más todos los elemetos de B. Formalmete: AB A ó B Fgura.9 A B AB DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -6

12 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Def. Iterseccó de Cojutos (). La terseccó de los cojutos A B deotada por AB o AB es el cojuto formado por todos los elemetos comues de A B. Formalmete: AB A B Fgura. A B AB Def. Dfereca de cojutos. La dfereca de los cojutos A meos B deotada por A B es el cojuto formado por los elemetos de A que o está e B. Formalmete: A B A B Fgura. A B A B Teorema. A B = AB c Def. Cojutos Mutuamete Ecluetes (m.e.). Se dce que A B so mutuamete ecluetes s o tee elemetos comues. Formalmete: A B so mutuamete ecluetes AB = Fgura. A B DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -7

13 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Def. Cojutos Ehaustvos. Se dce que A B so cojutos ehaustvos s sus elemetos abarca por completo el cojuto uverso. Formalmete: A B so ehaustvos AB = Fgura. A B Teorema. ) A A c so mutuamete ecluetes.e. AA c = ) A A c so ehaustvos.e. AA c = Ejerccos E E. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS Propedades de comutatvdad asocatvdad dstrbutvdad de. ) AB = BA (comutatvdad de la uó) ) AB = BA (comutatvdad de la terseccó) ) A(BC) = (AB)C (asocatvdad de la uó) v) A(BC) = (AB)C (asocatvdad de la terseccó) v) A(BC) = (AB)(AC) (dstrbutvdad de la uó sobre la terseccó) v) A(BC) = (AB) (AC) (dstrbutvdad de la terseccó sobre la uó) Propedades de la uó e terseccó co. ) A = ) A = A ) A = A v) A = DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -8

14 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Propedades de la uó e terseccó co subcojutos. ) B A AB = A ) B A AB = B Lees de De Morga. So propedades de la uó e terseccó de complemetos propuestas por el matemátco glés August De Morga (86 87). A B c c ) c A B c c ) A B A B c Gráfcamete la prmera Le de De Morga se puede verfcar como se muestra a cotuacó. Note que estos gráfcos o costtue ua demostracó formal. Fgura.4 A B A B AB (AB) c A c B c A c B c (AB) c = A c B c La uó e terseccó de cojutos se puede geeralzar. S A A A N so cojutos (pudedo cluso ser = ) etoces: A A A A deota la uó de todos los cojutos; A A A A deota la terseccó de todos los cojutos. Lees de De Morga (para cojutos). ) A A c c ) c A A c Ejerccos E E4 E5 E6. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -9

15 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó... Espacos muestrales evetos. Def. Epermeto Aleatoro (EA). Es u proceso medate el cual se obtee ua observacó o u dato cuo resultado o puede predecrse ates de su realzacó por lo tato está sujeto al azar. Por ejemplo so epermetos aleatoros: El lazameto de u volado. El gro de ua ruleta. El desarrollo de ua partda de Bgo Yak o Keo. El úmero de palabras cotedas e 5 págas elegdas al azar e u dccoaro. Def. Espaco Muestral (). Es el cojuto tegrado por todos los posbles resultados de u epermeto aleatoro o de u feómeo aleatoro. A sus elemetos se les deota por se deoma putos del espaco muestral. Def. Eveto. Es u subcojuto del espaco muestral. Se dce que u eveto ocurre s al realzar el epermeto aleatoro se observa cualquera de sus elemetos. Por ejemplo s se cosdera el epermeto aleatoro e el que se laza u dado hoesto co caras umeradas del al 6 etoces el espaco muestral es = { 4 5 6} S además se defe A = Eveto e que el resultado es par; B = Eveto e que el resultado es 6 etoces A = { 4 6} B = {6}. Def. Espaco de Evetos (A ). Es la clase de todos los evetos asocados a u epermeto aleatoro. Matemátcamete el espaco de evetos es u sgma álgebra (-algebra) o Campo de Borel cumple co las sguetes propedades. Propedades del espaco de evetos. ) A es decr sempre clue al vacío (eveto mposble); ) ) A A A c A es decr los complemetos está cludos; A A A A A es decr las uoes umerables está cludas. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

16 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó De ) ) se fere que el propo espaco muestral esta cludo e el espaco de evetos A (eveto seguro) aplcado las Lees de De Morga co las propedades ) ) se puede coclur que també las terseccoes umerables está cludas e A. Por ejemplo s ua ura cotee bolas umeradas del al se cosdera el epermeto aleatoro e que se elge ua bola al azar se regstra su umero etoces = { } A clue: {} { } { } = {} { } {} { } A es el cojuto poteca de es decr el cojuto que clue a todos los posbles subcojutos de. De acuerdo co la cardaldad de los espacos muestrales se clasfca e dscretos o cotuos: Espaco muestral dscreto: fto o fto umerable; Espaco muestral cotuo: fto o umerable. Ejerccos E7 E8 E9... Efoques de la probabldad Cocepto de probabldad. La probabldad es ua medda umérca del grado de certdumbre o certdumbre respecto a la ocurreca de u eveto defdo detro de u espaco muestral. Este dsttos efoques para establecer esta medda: Probabldad Clásca. Probabldad Frecuetsta. Probabldad Subjetva. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

17 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó... Probabldad Clásca Fgura.5 ENFOQUE CLÁSICO DE LA PROBABILIDAD Característcas No requere del desarrollo de gú epermeto aleatoro Se defe co base e el razoameto lógco ates de efectuar el epermeto Se utlza para calcular probabldades asocadas a espacos equprobables es decr aquellos e los que cada puto del espaco muestral tee la msma posbldad de ser observado Defcó de probabldad Bajo el efoque clásco la probabldad del eveto A se defe como: P(A) = Casos favorables Casos totales = #A # Observacó: Como A la cardaldad del eveto A es u etero postvo meor o gual a la cardaldad del espaco muestral: Dvdedo etre # > : Y por defcó de probabldad bajo el efoque clásco: # #A # puede ser cluso meddas por ejempo logtud e R área e R etc. #A # #A # P(A) # # Ejerccos E E.... Probabldad Frecuetsta Fgura.6 ENFOQUE FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD Característcas Defcó de probabldad Bajo el efoque frecuetsta la probabldad es la frecueca relatva límte de u eveto S u epermeto se repte veces el eveto A ocurre (A) veces etoces la probabldad del eveto A bajo el efoque frecuetsta se defe como: Es adecuada para modelar feómeos e los que este regulardad estadístca es decr que los resultados tee la msma posbldad de ser observados al repetr sucesvamete u epermeto bajo las msmas codcoes El cálculo de probabldades bajo este efoque requere que el epermeto aleatoro pueda repetrse e codcoes smlares P(A) = lm (A) Observacó: (A) es la frecueca relatva de la -ésma repetcó (A) cueta el úmero de veces que ocurre A al realzar repetcoes etoces: Dvdedo etre tomado el límte cuado : Y por defcó de probabldad bajo el efoque frecuetsta: lm (A) lm (A) P(A) lm Ejercco E. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

18 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó... Probabldad Subjetva. Fgura.7 ENFOQUE SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD Característcas de la probabldad bajo el efoque subjetvo La probabldad del eveto A se basa e el grado de credbldad sobre la ocurreca de dcho eveto de forma que P(A) Refleja el setmeto de ua persoa respecto a la cofaza sobre la veracdad de ua proposcó (subjetva) Se asga a evetos que ocurre ua sola vez (v.gr. éto e la perforacó de u pozo petrolero ssmos de gra tesdad huracaes) Se relacoa co la Estadístca Baesaa Por ejemplo: U geero geofísco cosdera que la probabldad de que durate el prómo año ocurra u ssmo de más de 8 grados Rchter es..4. Desarrollo aomátco de la probabldad..4.. Téccas de coteo cálculo de probabldades. La Combatora o Cálculo Combatoro es el cojuto de téccas matemátcas que permte cotar de maera efcete. Def. Muestreo: Es el procedmeto para elegr los elemetos de ua muestra a partr de ua poblacó. Ha dos tpos de muestreo: S reemplazo o s repetcó: Se elge el elemeto se observa sus característcas se aparta de la poblacó. Cada elemeto puede ser elegdo a lo más ua vez. Co reemplazo o co repetcó: Se elge el elemeto se observa sus característcas se corpora uevamete a la poblacó. Cada elemeto puede ser elegdo más de ua vez. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

19 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó TÉCNICAS DE CONTEO Dagramas de árbol: Gráfco que muestra todos los posbles resultados e u epermeto aleatoro que faclta el coteo de los elemetos del espaco muestral de los evetos. Ejercco E. Regla de la Multplcacó (Coteo) S u epermeto puede descompoerse e r partes la -ésma parte se puede hacer de formas = r etoces el epermeto se puede realzar de r formas. Ejercco E4. Regla de la Suma (Coteo) E ocasoes es ecesaro descompoer el epermeto e partes que o puede ocurrr smultáeamete (m.e.); e este caso sus posbldades debe sumarse. Ejerccos E5 E6. Def. Factorales S Z + etoces! = ( )! dode! = Relacó de recurreca Codcó cal Como el factoral de depede del factoral de se dce que los factorales se defe a través de u relacó de recurreca o relacó recursva. Este tpo de relacoes requere de ua codcó cal (! = e el caso de los factorales). Observacó: = 4 4! = 4! = 4! = 4! = 4! como! = = 4 DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -4

20 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Etoces alteratvamete los factorales se puede defr de la sguete maera: S Z + etoces! = ( )() Comúmete los factorales se puede obteer fáclmete e las calculadoras a través del botó!. ECEL. Factorales. La fucó =FACT() calcula! Ejerccos E7 E8. Def. Permutacoes (ordeacoes s repetcó) S r Z + r etoces P r P r! r! Las permutacoes de e r P( r) dca el úmero de arreglos ordeados de tamaño r que se pude formar a partr de objetos dsttos elegdos s remplazo (s que los objetos se pueda repetr e u msmo arreglo). Por ejemplo s se quere determar el úmero de formas posbles de elegr el cuadro de hoor (prmero segudo tercer lugares) e u saló de alumos ese úmero es: Cuadro de hoor: Posbldades: o o o () (9) (8) = 684 O be:!! 987! P ! 7! 7! Comúmete las permutacoes se puede obteer fáclmete e las calculadoras a través de la tecla Pr. ECEL. Permutacoes. La fucó =PERMUTACIONES( r) calcula P( r). Note cómo las permutacoes de e es smplemete! :!! P!!! Ejercco E9. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -5

21 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Def. Combacoes S r Z + r etoces C r C r r! r! r! Las combacoes de e r es el úmero de subcojutos (s orde s r repetcó) de tamaño r que se puede formar a partr de u cojuto de objetos dsttos. Por ejemplo s Aa (A) Beatrz (B) Carlos (C) Dael (D) tegra u equpo de su clase de Probabldad dos de ellos debe epoer los resultados de u trabajo de cuátas formas se puede elegr a los tegrates de la pareja que epodrá? Este problema se traduce e cotar cuátos subcojutos de tamaño se puede geerar 4 4! 4! a partr de u cojuto de tamaño 4. Este úmero es 6.! 4!! S el equpo de tamaño 4 es: {A B C D} Las 6 posbles parejas so: {A B} {A C} {A D} {B C} {B D} {C D} S e este ejemplo sólo uo de los tegrates del equpo debera epoer los resultados 4 4! 4! del trabajo es evdete que este sólo 4 posbldades: {A}! 4!! {B} {C} o {D}. Comúmete las combacoes se puede obteer fáclmete e las calculadoras a través de la tecla Cr. ECEL. Combacoes. La fucó =COMBINAT( r) calcula. r Proposcó ) ) DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -6

22 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Observacó:!!!!!!!!!!! es decr sólo ha u subcojuto de tamaño (el vacío ). es decr sólo ha u subcojuto de tamaño (el uverso ). Dfereca etre las Combacoes las Permutacoes. Para lustrar la dfereca etre las combacoes la permutacoes supoga que ua ura cotee pelotas co las letras a m o cosdere el epermeto aleatoro e que etrae de la ura pelotas al azar s reemplazo. Las permutacoes las combacoes asocadas a este epermeto aleatoro se muestra a cotuacó. Fgura.8 a m o Etraccó de pelotas s reemplazo Permutacoes (co orde): ( a ( a ( m ( m ( o ( o m o a o a m ) ) ) ) ) )!!! P 6!!! permutacoes Combacoes (s orde): { a { a { m m o o } } }!!! combacoes!!!!! Note cómo s r etoces: r! r! r r!!! r! r! r P! r! r P r Es decr e geeral las permutacoes so maores a las combacoes la relacó etre ambos coceptos es la sguete: P r r! r P r Ejerccos E E. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -7

23 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó SUMAS Y PRODUCTOS Notacó: S represeta úmeros reales etoces: deota su suma; deota su producto. Los operadores se deoma sumatora productora respectvamete. Los valores por debajo por arrba de la sumatora determa el co el f de la suma se deoma ídce o cotador. sgfca que la suma se debe realzar sobre todos los posbles valores del ídce. Ejercco E. Solucó: a) ; b) 5; c) 79.8; d) 847.; e) 75.5; f) 9.65 Importate S so cojutos de úmeros reales e geeral se puede afrmar que: ) ) Propedades de la suma S so cojutos de úmeros reales c ua costate etoces: ) c c ) c c ) Ejerccos E E4. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -8

24 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó SUMAS ÚTILES EN PROBABILIDAD Sumas de aturales ) ) (Suma Gaussaa) (Suma de cuadrados) 6 Estas fórmulas se puede demostrar por duccó matemátca sobre que es el úmero de sumados de cada suma. La Suma Gaussaa recbe su ombre e hoor al matemátco alemá Kart Fredrch Gauss ( ). Seres Geométrcas ) ) k r r r s r (Sere geométrca) r k k s (Sere geométrca trucada) k La sere geométrca trucada se puede demostrar fáclmete multplcado por. La sere geométrca es la epasó de la Sere de Talor de la fucó f para evaluada e r co cetro e cero. Sere de Talor S f es ua fucó de clase C (es decr que tee ftas dervadas cotuas) a ua k k f costate etoces a a f es su Sere de Talor co cetro e a. k k! S a = la Sere de Talor se deoma Sere de Maclaur. Corolaro. Sere de Maclaur de e. (Sere de Talor de f() = e co a = ) e k k!!! k DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -9

25 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó DAVID RUELAS RODRÍGUEZ - Note cómo !! e e Ejercco E5. Teorema Bomal o Bomo de Newto S R etoces para = k k k k La demostracó de este teorema se puede realzar medate argumetos combatoros. El Bomo de Newto permte calcular productos otables: Bomo al cuadrado ( = ). Cuadrado del prmero más el doble del prmero por el segudo más cuadrado del segudo. k k k k Bomo al cubo ( = ). Cubo del prmero más trplo del prmero al cuadrado por el segudo más trplo del prmero por el segudo al cuadrado más cubo del últmo. k k k k Ua forma fácl de calcular los coefcetes bomales que aparece e el Bomo de Newto es a través del Trágulo de Pascal como se muestra a cotuacó.

26 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó DAVID RUELAS RODRÍGUEZ - Fgura.9 = = = = = 4 = Trágulo de Pascal Coefcetes Bomales = Suma de Coefcetes Bomales = 4 = 8 = 6 = 4 = = = = = = 4 = Trágulo de Pascal Coefcetes Bomales = Suma de Coefcetes Bomales = 4 = 8 = 6 = 4 = Corolaro k k Demostracó. El Teorema Bomal k k k k se establece para todo R. Tomado e partcular = = se obtee k k k k por lo tato k k. Ejercco E6. El corolaro ateror permte demostrar el sguete teorema que establece que s el espaco muestral es fto tee elemetos etoces el espaco de evetos A tee elemetos. Teorema # = #A =

27 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó DAVID RUELAS RODRÍGUEZ - La geeralzacó del Coefcete Bomal se deoma Coefcete Multomal permte cotar el úmero de posbles dvsoes de objetos e r dsttos grupos de tamaños r. Def. Coefcete Multomal S r r etoces!!!! r r El Coefcete Multomal se defe de esta maera a que para dvdr los objetos e los r grupos dsttos se puede aplcar la regla de la multplcacó (de coteo) procededo de la sguete maera: Tomar el úmero de formas de elegr los elemetos del grupo a partr de los elemetos totales. Multplcar el resultado ateror por el úmero de formas de elegr a los elemetos del grupo a partr de los elemetos restates. Cotuar multplcado por factores de la forma hasta = r como se muestra a cotuacó. r r r!!!!!!!!!!!! r r r!!!!!!!!!! r r Ejercco E7. dode r

28 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó.4.. Aomas de Probabldad. Aomas de Probabldad (fucó de probabldad) P : A [ ] se deoma fucó de probabldad satsface los sguetes aomas: ) P(A) para todo A A ) P() = ) S A A es ua sucesó de evetos m.e. e A (A A j = para toda j) etoces P A PA El aoma ) se deoma adtvdad fta se puede demostrar que també es váldo para u úmero fto de evetos. Teorema. Adtvdad fta S A A A so evetos m.e. e A etoces P A PA Def. Espaco de Probabldad Es la trpleta ( A P) El espaco de probabldad es u cocepto stétco que asume la esteca de u espaco muestral u espaco de evetos A ua fucó de probabldad P. A partr de los aomas de probabldad es posble demostrar las sguetes propedades que satsface cualquer fucó de probabldad P. Estas propedades so de gra utldad e el cálculo de probabldades. Teorema. Propedades de la probabldad S ( A P) es u espaco de probabldad co A B evetos e A etoces: ) P(A c ) = P(A) ) P() = ) v) S B A etoces P(A B) = P(A) P(B) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Ejercco E8. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

29 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó La propedad ) es de gra utldad e el cálculo de probabldad pues e muchos casos es más fácl calcular la probabldad del eveto complemeto (v.gr. el problema del cumpleaños). E relacó a la propedad ) es mportate resaltar lo sguete: P(A) = o mplca A = Cotraejemplo: Cosdere el epermeto aleatoro e que se elge al azar u úmero real. E este caso = R de modo que # = #R es fto o umerable. Sea * R u úmero fjo A el eveto e que el úmero elegdo es * de modo que #A =. # Etoces bajo el efoque clásco de la probabldad P A A (costate etre # fto) s embargo A = {*}. E relacó a la propedad ) es de gra utldad el sguete corolaro que permte calcular la probabldad de la dfereca de dos evetos arbtraros. Corolaro P(A B) = P(A) P(AB) para todo A B evetos e A Demostracó. Observe cómo para todo A B evetos e A A B = A (AB) además AB A etoces cosderado la propedad ) del teorema ateror teemos que P(A B) = P(A (AB)) = P(A) P(AB). Por últmo e relacó a la propedad v) la fórmula para el cálculo de la probabldad de la uó de cojutos P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) se puede geeralzar a través de la fórmula de clusó-elusó. Teorema. Fórmula de clusó-eclusó. S A A A so evetos e A etoces: P A P < j < j < k A PA Aj PA Aj Ak PA A A Iterseccoes baras Iterseccoes de tres evetos Iterseccó de todos los evetos La demostracó de este resultado se puede realzar: Por duccó sobre el úmero de evetos ; o Medate argumetos combatoros mostrado cómo cada lado de la gualdad clue los msmos putos del espaco muestral. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -4

30 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó E partcular cosderado la fórmula de clusó-eclusó para = se obtee la sguete epresó: P A A A PA PA PA PA A PA A PA A PA A A Este resultado se puede demostrar a partr de la propedad v) medate la asocatvdad de cojutos. Ejerccos E9 E E..5. Probabldad codcoal e depedeca.5.. Probabldad Codcoal Def. Probabldad Codcoal S A B A la probabldad codcoal de A dado B deotada por P(A B) se defe P por A B P A B s P(B) > ; o se defe s P(B) =. P B S P(B) > (o be P(B) ) la probabldad codcoal P(A B) cosdera que el eveto B a ocurró de modo que ahora P(B) represeta el % (como s se redefera el espaco muestral) el cálculo de la probabldad de A queda restrgdo a P(AB) como se muestra e la sguete fgura. Fgura. A B AB La ocurreca del eveto B puede afectar las crcustacas del feómeo aleatoro posblemete afectar la probabldad del eveto A. El eveto A se deoma eveto de terés al eveto B se le llama eveto codcoate. Def. Evetos Favorables Evetos Desfavorables ) S P(A B) > P(A) B es favorable a A. ) S P(A B) < P(A) B es desfavorable a A. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -5

31 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Es decr u eveto codcoate es favorable (o desfavorable) al eveto de terés s aumeta (o dsmue) su probabldad de ocurreca. S B o es favorable desfavorable a A etoces A B so evetos depedetes. Por su mportaca este últmo cocepto se estudará co detalle más adelate. A partr de las defcoes aterores se puede demostrar que s el eveto B es favorable al eveto A etoces també A es favorable a B. Y e forma aáloga s B es desfavorable a A etoces també A es desfavorable a B. Proposcó ) P(A B) > P(A) P(B A) > P(B) ) P(A B) < P(A) P(B A) < P(B) Ejerccos E E. Teorema. Aomas de Probabldad de la Probabldad Codcoal S ( A P) es u espaco de probabldad co P(B) > para B A etoces P( B) satsface los msmos aomas que P( ) es decr: ) P(A B) para todo A A ) P( B) = ) S A A es ua sucesó de evetos m.e. e A (A A j = para toda j) etoces P A B PA B Como la Probabldad Codcoal satsface los Aomas de Probabldad la Probabldad Codcoal posee las msmas propedades que la Probabldad No Codcoal o Probabldad Icodcoal. Proposcó. Propedades de la Probabldad Codcoal S ( A P) es u espaco de probabldad co A B C evetos e A P(C) > etoces: ) P(A c C) = P(A C) ) P( C) = ) P(AB C) = P(A C) + P(B C) P(AB C) DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -6

32 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó PROBABILIDAD CONJUNTA Y PROBABILIDAD MARGINAL Def. Dstrbucó de frecuecas absolutas. Es ua tabla que resume los coteos de la ocurreca de uo o varos evetos. Co base e el efoque frecuetsta de la Probabldad es posble calcular probabldades a partr de la dstrbucó de frecuecas absolutas dvdedo etre el úmero total de observacoes. A estas frecuecas relatvas també se les deoma probabldades empírcas. Al cosderar dstrbucoes de frecuecas relatvas (probabldades empírcas) que volucra más de u eveto se deoma Probabldades cojutas a las probabldades de las terseccoes; Probabldades margales (ubcadas e los márgees) a las probabldades que volucra sólo a u eveto lbre de los demás evetos. Ejercco E4. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN Proposcó. Regla de la Multplcacó (Probabldad) S P(B) > P(AB) = P(B) P(A B) La Regla de la Multplcacó es útl para calcular probabldades de terseccoes. P A B Demostracó. Por defcó de probabldad codcoal PA B a que PB P(B) >. Etoces despejado P(AB) se obtee que P(AB) = P(B) P(A B). La Regla de la Multplcacó se puede geeralzar a evetos como se muestra e el sguete Teorema. Teorema. Regla de la Multplcacó (caso geeralzado) S A A A A A A P P para j = etoces: A j A A A PA PA A PA A A PA A A A DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -7

33 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Dagramas de árbol co probabldades Regla de la Multplcacó. E ocasoes es útl para el cálculo de probabldades cosderar dagramas de árbol agregado probabldades e cada ua de sus ramas: Las probabldades de las prmeras ramas so probabldades codcoales. Las probabldades de la ramas teras so codcoales a que cosdera lo ocurrdo prevamete. El caso geeralzado de la Regla de la Multplcacó muestra cómo para calcular la probabldad de toda ua rama de u dagrama de árbol (probabldad de ua terseccó) basta multplcar todas las probabldades volucradas e esa rama. Ejerccos E5 E Idepedeca estadístca Def. Evetos Idepedetes (d.) Sea A B A. Se dce que A B so evetos depedetes s cualquera de las sguetes codcoes se cumple: ) P(A B) = P(A) s P(B) > ) P(B A) = P(B) s P(A) > ) P(AB) = P(A) P(B) De acuerdo co la defcó ateror A B so evetos depedetes s la ocurreca de uo o flue e la probabldad del otro. Esto es evdete e las codcoes ) ). La codcó ) es equvalete a las dos aterores. A cotuacó se demuestra cómo ) mplca ). Demostracó. De la Regla de la Multplcacó sabemos que P(AB) = P(B) P(A B) pero como A B so depedetes P(A B) = P(A) etoces P(AB) = P(A) P(B). Itutvamete es posble hacer hpótess acerca de la depedeca de evetos s embargo para demostrar la depedeca de evetos es ecesaro verfcar que se cumpla cualquera de las codcoes de la defcó. Frecuetemete la depedeca se verfca medate la defcó ) pues establece que la probabldad de la terseccó es gual al producto de las probabldades o que la probabldad cojuta es gual al producto de las probabldades margales. Se dce que A B so evetos depedetes s o so depedetes. Ejerccos E7 E8. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -8

34 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Importate. Evetos depedetes evetos mutuamete ecluetes so coceptos mu dsttos; s embargo se puede relacoar a través de la sguete proposcó. Proposcó S A B so evetos mutuamete ecluetes tales que P(A) > P(B) > etoces o puede ser depedetes. Note cómo el smple hecho de saber que A B so m.e. hace que sepamos que s ocurre B etoces o puede ocurrr A vceversa; etoces A B o so depedetes. Ejercco E9. Teorema S A B so evetos depedetes etoces també lo so: ) A B c ) ) A c B A c B c Def. Evetos Completamete Idepedetes Se dce que A A A A. so evetos completamete depedetes sí sólo sí: P P A Aj PA PA j A A A PA PA PA P para toda j (depedeca dos a dos) para toda j k j k (d. tres a tres) A j k P A j k Importate. Idepedeca dos a dos o mplca depedeca completa. Ejerccos E4 E4. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -9

35 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó.5.. Regla de Probabldades Totales Teorema de Baes Def. Partcó Se dce que B B B forma ua partcó de s: ) B B j = para toda j (evetos m.e.); ) B (evetos ehaustvos) Gráfcamete ua partcó se puede represetar medate Dagramas de Ve como se muestra a cotuacó. Fgura. Para = 4 Para geeral Para = B = B B = B c B B B B B B B c B B 4 B Proposcó B B c forma ua partcó de Proposcó. (ver Fgura.) S B B B A forma ua partcó de A es u eveto merso e la partcó etoces B A B A B A so evetos m.e. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

36 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Teorema. Regla de Probabldades Totales (RPT) S B B B A forma ua partcó de P(B ) > = ; etoces para A A PA PA B PB Fgura. RPT para geeral RPT para B B c B B B B B B c A A AB AB c La RPT permte calcular la probabldad de u eveto A merso e ua partcó B B B codcoado sobre cada elemeto de la partcó. Corolaro. RPT para B B c. P c c A PA BPB PA B PB Demostracó. Como B B c forma ua partcó de A = (AB) (AB c ) dode AB AB c so m.e. etoces por adtvdad fta P(A) = P(AB) + P(AB c ). Falmete aplcado la Regla de la Multplcacó para la calcular probabldad de la c c P A P A B P B P A B P B. terseccó e cada sumado se obtee La demostracó de la RPT para el caso geeralzado se puede realzar sguedo este msmo razoameto. Al cosderar dagramas de árbol co probabldades e sus ramas la RPT es el fudameto probablístco que permte calcular la probabldad de u eveto de terés sumado los productos de las probabldades de las ramas que coduce a la ocurreca del eveto. Ejerccos E4 E4. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

37 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Teorema de Baes (TB) S B B B A forma ua partcó de P(B ) > = ; etoces para P A A co P(A) > A B j PB j P B j A para j =. P A B P B Fgura. TB para j = TB para B B c B B B B B B c A A A dfereca de la RPT el Teorema de Baes permte calcular la probabldad codcoal de uo de los evetos de la partcó codcoado e el eveto merso e la partcó. Note cómo e el Teorema de Baes: El deomador es la RPT; El umerador sempre aparece como u sumado del deomador. Corolaro. Teorema de Baes para B B c. PB P A B PB A s P(A) > P c c A BPB PA B PB P B A Demostracó. Por defcó de probabldad codcoal PB A para PA P(A) >. Aplcado comutatvdad Regla de la Multplcacó e el umerador se obtee P(BA) = P(AB) = P(A B) P(B). Por su parte como B B c forma ua c c partcó de e el deomador se obtee PA PA BPB PA B PB al aplcar la RPT. Falmete susttuedo umerador deomador se obtee el P resultado deseado es decr A BPB P B A. c c P A B P B P A B P B Ejerccos E44 E45 E46. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

38 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó. Varables Aleatoras.. Defcó propedades de varables aleatoras dscretas absolutamete cotuas. Def. Varable Aleatora (v.a.) Se dce que es ua varable aleatora s : R es decr ua fucó cuo domo es el espaco muestral su cotradomo la recta real. Fgura. 5 4 R + La mage o rago de la fucó se deoma soporte de la varable aleatora. Ejercco E47. Clasfcacó de las varables aleatoras. Co base e su soporte las varables aleatoras se clasfca e dscretas cotuas. Varables aleatoras dscretas. Se asoca a u espaco muestral dscreto su soporte es fto o fto umerable provee de u proceso de coteo. Varables aleatoras cotuas. Se asoca a u espaco muestral cotuo su soporte es fto o umerable provee de u proceso de medcó. So ejemplos de varables aleatoras dscretas: el úmero de étos al realzar varas repetcoes de u epermeto el úmero de autobuses que llega a ua cetral el úmero de llamadas telefócas que recbe ua operadora etc. So ejemplos de varables aleatoras cotuas: la dstaca dara que recorre u coche elegdo al azar la temperatura promedo de u día el volume de lluva que cae durate ua tormeta la duracó de ua llamada telefóca el moto que debe pagar daramete ua aseguradora a sus asegurados etc. Ejercco E48. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

39 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó.. Fucoes de masa desdad dstrbucó de probabldad.... Fucó de masa de probabldad (f.m.p.) Def. Fucó de masa de probabldad (f.m.p.) S es varable aleatora dscreta co soporte { } se dce que la fucó f () f : R [ ] es la fucó de masa de probabldad de s: P s ) f ; e otro caso ( e. o. c.) ) f Por ejemplo s se laza volados co ua moeda hoesta es el úmero de águlas etoces { } el espaco muestral asocado a este epermeto aleatoro se muestra e la fgura.. Fgura. Volado Volado P() = () A S A (A A) S (A S) A (S A) S (S S) f f f 4 P P S S 4 4 P P A S S A 4 P P A A Cosecuetemete la fucó de masa de probabldad de la varable aleatora es 4 s f s e. o. c. su gráfca se muestra a cotuacó. Fgura. f () 4 - DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

40 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Al cojuto de probabldades asocadas a la varable aleatora se le llama dstrbucó de probabldades o dstrbucó de la varable aleatora. Ua forma comú de represetar la dstrbucó de probabldades de ua varable aleatora dscreta es a través de la represetacó tabular de su f.m.p. es decr ua tabla que muestra las parejas ( f ()) para cada valor del soporte de la varable aleatora. Note cómo la represetacó tabular omte el cero e otro caso. Importate. Para el caso dscreto el cotradomo de la f.m.p. es [ ] a que f () es ua probabldad. Proposcó. Cálculo de probabldades vía f.m.p. S es varable aleatora dscreta A R etoces P A f A Corolaro. E partcular: S es varable aleatora dscreta a b f P : a b Ejercco E49. Def. Fucó Idcadora La fucó dcadora del cojuto A se defe por I A s s A A s 9 Por ejemplo s A es el cojuto de los dígtos etoces I A e. o. c. de modo que I A (5) = pero I A () = I A (.5) = I A ( ) =. Ua otacó alteratva de las fucoes dcadoras es ( A) = I A (). Las fucoes dcadoras auda a smplfcar la otacó de las fucoes utlzadas e Probabldad a que los dsttos casos coverte e sumados el cero e otro caso queda mplícto. Por ejemplo cosderado uevamete el lazameto de volados co ua moeda hoesta s es el úmero de águlas obtedas etoces: 4 s f s se epresaría como f I I. 4 e. o. c. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -

41 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Propedades de la Fucó Idcadora ) I A I c A ) I A A A I I I A A A ) I ma A A A I I I A A A v) I I (dempoteca) A A Ejerccos E5 E5 E5. Def. Modelos Paramétrcos U modelo paramétrco es ua fucó de masa de probabldad que volucra costates llamadas parámetros cuos valores determa por completo el comportameto probablístco de u feómeo aleatoro (dstrbucó de probabldad). Al cojuto de valores posbles de los parámetros se le deoma espaco paramétrco. Por ejemplo u modelo paramétrco utlzado frecuetemete e Probabldad es la Dstrbucó Geométrca. Se dce que tee ua Dstrbucó Geométrca s ~ Ge(p) f p p I < p < Parámetro Espaco paramétrco Aplcacoes. S u epermeto aleatoro () puede ser éto co probabldad p o fracaso co probabldad p () el resultado de cada epermeto es depedete de los demás; () es el úmero de epermetos ecesaros hasta obteer el prmer éto etoces tee ua Dstrbucó Geométrca co parámetro p. Este modelo paramétrco puede ser utlzado para modelar el úmero de lazametos de u dado ecesaros hasta obteer u 6 (e este caso p 6 ) el úmero de hjos que tedrá ua pareja que decde teer hjos hasta teer ua ña (e este caso el parámetro p es la probabldad de teer ua ña e certa poblacó) etc. Ejercco E5. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -4

42 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó... Fucó de desdad de probabldad (f.d.p.) Def. Fucó de desdad de probabldad (f.d.p.) S es varable aleatora cotua se dce que la fucó f () f : R [ ) es la fucó de desdad de probabldad de s: ) f para toda R; f ) d Fgura.4 z.6 f () f Y ().4. Área = Área = La prcpal dfereca etre las varables aleatoras dscretas cotuas es que e el caso dscreto se cosdera sumas de masas de probabldad e el caso cotuo se cosdera áreas bajo la curva a que el soporte de las varables aleatoras cotuas es deso (propedad de los úmeros reales). E la fgura.4 se observa cómo el área bajo la curva de cada f.d.p. es gual a (correspodete al % del espaco muestral). Importate. Para el caso cotuo el cotradomo de la f.d.p. es [ ) ( o [ ] como e el caso dscreto) a que f () o es ua probabldad (de hecho squera es relevate). Por ejemplo e el caso de la f.d.p. de la varable aleatora Y de la fgura.4 f Y () > para < <.5. E el caso cotuo lo relevate para el cálculo de probabldades o es el valor que toma la f.d.p. so el área bajo la curva. Proposcó. Cálculo de probabldades vía f.d.p. S es varable aleatora cotua A R etoces P A f A d DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -5

43 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Corolaro. E partcular: b S es varable aleatora cotua P a b f a d Fgura.5 f () Área = P [a b]. - a b 4 5 Proposcó S es varable aleatora cotua etoces: ) P a P a P a ) Demostracó. Para el caso ) s es varable aleatora cotua co f.d.p. f () h > a h P a a h f d de modo que para h sufcetemete pequeña etoces a a h h a se obtee que P a lm Pa a h lm f d f d h a a. Para el caso ) cómo es varable aleatora cotua { a} = { < a} { = a} e dode { < a} { = a} so evetos m.e. etoces cosderado el resultado demostrado e P a P a P a P a P a. el caso ) se tee que Proposcó. Geeralzacó del caso ) de la proposcó ateror. S es varable aleatora cotua etoces para a b: P a b P a b P a b P a b Ejerccos E54 E55 E56. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -6

44 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó... Fucó de dstrbucó acumulada (f.d.a.) Def. Fucó de dstrbucó acumulada (f.d.a.) Se dce que la fucó F () F : R [ ] es la fucó de dstrbucó acumulada de P para toda R. F la varable aleatora s La f.d.a. tee la msma defcó para varables aleatoras dscretas o cotuas. La fgura.6 cotrasta la relacó que ha etre la f.m.p. su correspodete f.d.a. (caso dscreto) la relacó que ha etre la f.d.p. su correspodete f.d.a. (caso cotuo). Fgura.6 Caso dscreto w Caso cotuo w.6 f Y () f Z (z) Área = z w.9 F Y () w F Z (z) F Z () = P[Z ] = z Proposcó ) S W es varable aleatora dscreta co soporte {w w } etoces F w P W w f ( w ) para toda w R (fucó escaloada) W w : w w ) S Z es varable aleatora cotua etoces Z z z PZ z f t Z W F dt para toda z R (fucó cotua) DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -7

45 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Note cómo el cálculo de la f.d.a. e el caso cotuo requere u cambo de otacó e la varable del tegrado para evtar ambgüedad. Este cambo es váldo a que e cualquer tegral defda la varable del tegrado es ua varable muda. Caracterzacó de la f.d.a. Se dce que la fucó F () F : R [ ] es la fucó de dstrbucó acumulada de la varable aleatora s sólo s: ) lm lm ; F F ) F () es o decrecete es decr a < b F a F b; ) F () es cotua por la derecha es decr F h F lm para h >. h E la fgura.6 se puede aprecar cómo tato F Y () (caso dscreto) como F Z (z) (caso cotuo) satsface las codcoes que caracterza a cualquer f.d.a. Notacó. Por practcdad se cosderará las sguetes smplfcacoes e la otacó que volucre límtes: lm F F. Límtes al fto: Límtes por la derecha: F a h lm F F a h a Límtes por la zquerda: F a h lm F F a lm para h >. lm para h >. h Ejerccos E57 E58 E59. Proposcó ) S W es varable aleatora dscreta co a < b Pa W b F b F a ) S Z es varable aleatora cotua co a < b Pa Z b F b F a a W Z Z W Costruccó de la f.m.p. (caso dscreto) de la f.d.p. (caso cotuo) vía f.d.a. ) S W es varable aleatora dscreta etoces f w F w F w ) S Z es varable aleatora cotua etoces f z F z Ejerccos E6 E6. W Z W d dz Z W DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -8

46 APUNTES PARA EL CURSO DE PROBABILIDAD. AGOSTO DICIEMBRE Seccó Def. Fucó de Supervveca Se dce que la fucó S () S : [ ) [ ] es la fucó de supervveca de la P para. varable aleatora s S Las fucoes de supervveca so útles para modelar el tempo futuro de vda. Por ejemplo el tempo a la muerte de alguas especes (v.gr. seres humaos amales bacteras vrus alguas otras especes bológcas) o la vda útl de alguos objetos (v.gr. maquara moblaro equpo de cómputo artículos electrodoméstcos). A la rama de la Estadístca ecargada del estudo de esta clase de feómeos se le cooce como Aálss de Supervveca. Proposcó S F para Demostracó. Por defcó s : S P P F Ejercco E6.... Característcas umércas de las varables aleatoras... Esperaza varaza mometos de varables aleatoras Def. Esperaza S es varable aleatora etoces su esperaza o meda es: ) E f s es dscreta. ) f E d s es cotua. La esperaza també coocda como esperaza matemátca o meda es el promedo poderado de los valores que toma poderados por sus respectvas probabldades. E el caso cotuo este promedo poderado llevado al límte se coverte e ua tegral. DAVID RUELAS RODRÍGUEZ -9