MÉTODO DE NEWTON. SU APLICACIÓN A LAS FINANZAS

Transcripción

1 MÉTODO DE NEWTON. SU APLICACIÓN A LAS INANZAS Dafe R. Courty, Gustavo Alejadro Vera Uversdad Nacoal de la Patagoa Austral Pto. Sa Julá. Prov. de Sata Cruz (Argeta) dafecourty@yahoo.com.ar vera_gustavo4@yahoo.com.ar Es sorpredete, y a alguos profesores os resulta compresble, la aprehesó que tee los alumos haca el estudo de las cecas exactas. S be es lógco que para alguos resulte más apasoates, y compresbles que para otros, o podemos egar que os rodea, y co ellas podemos explcar hechos cotdaos de uestras vdas, de la aturaleza y del uverso. Cada movmeto que realzamos se explca desde la físca, el cómo mateemos uestra temperatura y dgermos los almetos, desde la químca, y así podríamos cotuar ctado ejemplos. Pero lo que queremos destacar es que muchos de estos feómeos ecesta de herrametas matemátcas para ser estudados. Auque os parezca metra las usamos permaetemete, a veces s daros cueta, otras veces, cocetes de lo que estamos buscado. Imagemos ua persoa que esté por ecarar u egoco; dgamos, la compra de ua maquara ueva, la produccó de u be, la prestacó de u servco, o colocar dero e u plazo fjo; hará u aálss cas coscete relacoado tres elemetos: ) El dero que debe vertr. ) Cuato gaará co esa versó ) Y e cuato tempo. S esto lo llevamos a térmos académcos dríamos lo sguete: Cuado evaluamos u proyecto, resulta evtable utlzar herrametas provstas por la matemátca, para comparar los dsttos flujos de caja (dfereca etre pagos y cobros) geerados, co la versó cal realzada, y así saber s el proyecto permte obteer la retabldad deseada, además de recuperar la versó cal.

2 Los métodos más coocdos so los llamados Valor Actual Neto o VAN y la Tasa Itera de Retoro o TIR. El método VAN es el más aceptado por los evaluadores, porque mde la retabldad deseada, después de recuperar la versó, para lo cual debemos calcular el Valor Actual de los flujos futuros de caja, es decr, cuato vale e el presete los flujos futuros y restar la versó total expresada e el mometo cero. El método TIR, mde la retabldad como u porcetaje, su resultado coduce esecalmete, a la msma regla de decsó que el método VAN, por lo que cada vez tee meos aceptacó. S embargo, la TIR os dca cual será la máxma tasa que se puede exgr de u proyecto, cuado el VAN es gual a cero. S el VAN es postvo, la TIR es mayor que la tasa de descueto a la que fuero expuestos los flujos de fodos y s es egatvo, la TIR es meor que la tasa de descueto exgda por el proyecto. Traduzcamos esto a u leguaje matemátco: Al decr que el VAN es producto de actualzar los flujos futuros de fodos y restarles la versó cal estamos plateado lo sguete: S a la versó cal la llamamos ; y a los flujos de caja los detfcamos co la letra agregado u subídce que dque e que mometo de la versó os hallamos, cotado desde períodos hasta períodos y deomado co la letra a la tasa de terés volucrada, obtedríamos: VAN = ( ) ( ) ( ) ( )... Ahora be, cuado estamos buscado ua medda e porcetaje que os dque la máxma tasa que se puede exgr del proyecto, djmos que esta tasa, provocaba que el VAN sea gual a cero, e este caso, estamos e preseca de la TIR. Platear u VAN gual a cero, o es más que decr, que los flujos descotados a ua tasa de terés determada resulta ser exactamete guales a la versó cal realzada, por lo tato matemátcamete platearíamos que: = + + ( ) ( ) ( ) ( )

3 He aquí dos fucoes, ua de ellas costate, que pretedemos gualar, o expresado de otra maera, buscamos que la dfereca etre ambas sea gual a cero. O sea: = ( ) ( ) ( ) ( )... La cuestó es cómo hacer para hallar ese valor de la tasa; que e térmos matemátcos, llamamos cero de la fucó. E la actualdad exste u método umérco de aproxmacó que os permte hallar esta tasa de forma rápda y seclla. Esto se lo debemos a Isaac Newto, cetífco y matemátco glés acdo e la aldea de Wooolsthorp cerca de Lcol, el 4 de eero de 64 y fallecdo e Lodres. E 665, él se traslada a la fca de la famla; pues la captal de Gra Bretaña fue vadda por la peste bubóca, es allí dode desarrolla sus descubrmetos más mportates, como lo so el Teorema Bomal, las bases del cálculo dferecal e tegral. E uo de sus tratados preseta los fudametos de la físca y la astroomía formulados e el leguaje de la geometría pura; Methodus fluxoum et sererum ftorum, e el que se descrbe el método de fluxoes, como lo defó el msmo Newto, para explcar sus métodos ftesmales, este método es el que os permtrá aproxmar la TIR. El lbro se escrbó e 67, pero se publca e 76 cuado lo traduce Joh Colso. Es aquí dode surge algo llamatvo pues, Joseph Raphso ya había publcado este método de Newto e su lbro Aalyss aequatoum uversals e el año 69, que se való su eleccó para formar parte de la Royal Socety e 69. Esto se debó a que Raphso era uo de los pocos que tuvo acceso a las cartas de Newto, tal es así que el año 7, él tuvo acceso a los borradores del surgmeto del Método de luxoes. Por ello e el año 75, luego de su muerte, es publcado Hstory of luxos. Nuestra tecó es mostrar la aplcacó de este método e su forma actual e el cálculo de la TIR. Volvamos a la stuacó que estábamos aalzado, las fucoes de las que estamos hablado so: VAN = ( ) ( ) ( ) ( )... Estas, e geeral, determa curvas tales como la de la g. 4

4 Como se djo aterormete para determar la TIR; que o es más que la raíz de la fucó, podemos aplcar el método de Newto. El procedmeto a utlzar, es elegr u valor aleatoro para "" (x = ) y co esto determar la ecuacó de la recta tagete e ese valor como muestra la g.. y VAN = ( x ) 5

5 Como observamos e la g. esta recta tee su raíz e x = dode () es: ( ) VAN = A cotuacó despejo. VAN = VAN = Esto o es más que la fórmula recursva del método de Newto. 6

6 Como puede observarse, debdo a la covexdad de la fucó, el puto obtedo, está más próxmo a la raíz que el puto. S determamos la recta tagete e ; obtedríamos ua mayor aproxmacó a la TIR, sedo la expresó de : VAN = E geeral: + = VAN Podemos termar el proceso, cuado el + obtedo, es gual al de la etapa ateror, cabe aclarar, que esto depederá del úmero de decmales que cosderemos, obteedo resultados más exactos cuado utlzamos 6 decmales como catdad míma. Pudedo detfcar las varables ecesaras, que os permta la aplcacó del método, aú cuado el objeto de estudo que lo produjo sea dstto del uestro, ecotraríamos multplcdad de aplcacoes. Co esto hemos mostrado al lector ua maera rápda y efcaz, de resolver este tpo de problemas a través de u método; que e u prcpo fue cocebdo, aalzado ua stuacó determada y hoy podemos aplcarla a ua dferete a la cal. Seguramete Isaac Newto o alcazó a tomar real coceca de la magtud de su trabajo. Por ello hemos expuesto uo más de sus aportes; e este caso, a las cecas ecoómcas. REERENCIAS BIBLIOGRÁICAS Vetur García, Alejadro (4). Los matemátcos que hcero la hstora. Bueos Ares: Edcoes Cooperatvas. Cha Sapag Nassr (4). Evaluacó de proyectos de versó e la empresa. Bueos Ares. Pearso educato S.A 7